关于几何基础中的假设(节录) 全文 下载PDF
-- 黎曼
众所周知，几何学根据现实的情况设定了空间的概念以及关于空间中各种建构的基本原则。它只是给出这些概念和原则的名称定义，而它们的真正定义则以公理的形式给出。结果是，我们至今仍然对这些设定之间的关系一无所知: 既不知道它们之间的联系是否以及在多大程度上是必要的，也无法先验地知道这种联系是否可能。编者按: 黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866)，出生于德国汉诺威的布列斯伦茨(Breselenz) 村，父亲是一位贫穷的牧师。他于1846 年进格丁根大学，一开始学哲学和神学，后来转学数学。1851年获博士学位，其关于复变函数研究的博士论文受到高斯的赞赏。1854年任格丁根大学讲师，1859年成为教授。黎曼堪称是19世纪最富有创造性的数学家。现代数学这座大厦中，到处打有黎曼的印记: 黎曼积分、黎曼面、黎曼流形等等;关于黎曼zeta函数零点分布的黎曼猜想则是迄今为止尚未解决的最重要的数学猜想。
本文是黎曼在就任格丁根大学讲师职位时发表的就职演讲，该演讲题目是高斯指定的。原文为德文，题名为Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen。这是继高斯的关于曲面研究的论文之后，现代微分几何学的又一篇奠基性文献。
由于非欧几何的发现，人们开始考虑，《几何原本》中以公设和公理的形式给出的那些关于空间的基本假设究竟是先验的还是经验的? 以及它们在多大程度上是可靠的?黎曼在此文中，试图通过对一般度量概念进行无穷小分析来澄清这些问题。于是，他把通常的二、三维欧氏空间一下子推广到一般的n维流形。在另一方面，他继承了高斯的思想，坚持认为流形上一条线的长度是与位置无关的“内蕴”性质，从而推广了高斯关于曲面研究的工作。特别地，他假设在无穷小的范围内，流形中的线段长度依然可以表示成在欧氏空间中的那种形式。后人就称具有这种性质的流形为“黎曼流形”。
自从爱因斯坦利用黎曼流形建立了广义相对论，黎曼流形受到越来越多的关注。如何把高斯在曲面研究中得到的那些漂亮定理推广到黎曼流形上，成为几何学家们的重要任务。陈省身先生在这方面做出了重要贡献。
从欧几里得到勒让德(Legendre)，这种一无所知的状况既没有被数学家们也没有被那些关注此事的哲学家们所改变。其原因无疑是由于完全缺乏对于“多重广延量”(multiply extended quantities)(包括空间量)一般概念的研究。因此，我给自己的首个任务是，从“量”(quantity)的一般概念导出“多重广延量” 的概念。然后第二个任务是要表明，多重广延量可以容纳各种不同的度量关系，而空间不过是三重广延量的一个特例。但由此必然会得出: 几何学命题并不能从量的一般概念中推出。因此，把空间从其他可以想象的三重广延量区分开来的那些性质只能来自经验。于是产生了这样一个问题: 如何找出一组最简单的事实来决定空间的度量关系? 这个问题就所涉事情的性质来说并不完全确定，因为可能有几套事实均符合要求。就我们当前目的来说，最重要的一套是欧几里得作为基础的那些公设公理。这些事实一如所有的事实，它们并不具有必然性，只具有经验的确定性；它们是假设。因此，我们可以研究这些事实的可靠性(在我们的观察范围内当然相当可靠); 并从无穷大和无穷小方面探究，把它们推广到观察范围以外是否正当。
I. n重广延量的概念(略)
II. n维流形上可容许的度量关系(假定线具有与位置无关的长度，因而每条线都能被其他各条线度量)
我们建立了n维流形的概念，并且知道其本质特点在于确定其中的位置可以归结为确定n个量。接着要完成上面所提到的第二个任务，即研究流形所允许的度量关系以及确定度量关系的充分条件。这些度量关系只能在量的抽象概念中研究，而它们之间的依赖关系只能用公式来表达。然而，在某些假定下，它们可以被分解成为一些具有各自几何意义的关系，从而有可能用几何形式来表达计算结果。这样，为了得到一个牢固的基础，我们确实无法避免对我们的公式作抽象的讨论;但至少，我们因此可以用几何形式来表达计算结果。关于此问题两方面的表述已由枢密顾问官高斯在其关于曲面研究的著名论文中建立。
黎曼假设在NPC公理系统中被证明成立(5)
黎曼假设在NPC公理系统中被证明成立(5)
＝P＝NP理论体系与黎曼ζ函数的数理逻辑关系＝
司马阳春
在零数学三大定理中，NPC数理逻辑一般性边值公理系统中的任何一个“数” 都具有了双重身份。
按照数的一般性边值公理系统约定，真空光速C值，在P！=NP中，与任何速度不变的N种波速(V)的数学关系均是恒等的。
当真空光速C＝300000㎞/秒 C＝1 P＝1 N＝1时
1＝300000㎞/秒
1＝1×300000㎞/秒
当1＝1^2 P＝1^2 N＝1^2时
1＝1^2×300000^2㎞/秒
当1＝N^2 P＝ N^2 N＝ N^2时
1＝ N^2 ×300000^2㎞/秒
当1＝ N^2 ×300000^2㎞/秒 P＝ N^2 ×300000^2㎞/秒 N＝ N^2
×300000^2㎞/秒时
1＝( N^2 ×300000^2㎞/秒) ×( N^2 ×300000^2㎞/秒)
等等。
在P！=NP中，任何多项式绝对P，与其非多项式相对P中的绝对P都是绝对恒等的。任何素数与合数或合数中的因子数学关系均是恒等的。
这在物理体系中同样是被允许的，在数学体系却是不被允许的。
理查德费曼发明的量子力学中的路径积分，有别于黎曼积分，是一种泛函积分，在量子物理、凝聚态物理、数学物理、量子多体及非线性物理等领域有着十分广泛的应用。在数学中，曲线积分或路径积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。物理学中的许多简单的公式。路径积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出现的概率。
黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。同时，如f(x)取负值，则相应的面积值S亦取负值。
一个闭区间[a,b]的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列a=x0<x1<x2<...<xn=b。每个闭区间[xi,xi
+ 1]叫做一个子区间。定义λ 为这些子区间长度的最大值：λ = max(xi + 1 ? xi)，其中0≤i≤n-1。
再定义取样分割。一个闭区间[a,b]的一个取样分割是指在进行分割a=x0<x1<x2<...<xn=b后，于每一个子区间中[xi,xi
+ 1]取出一点 xi≤ti≤xi+1。λ的定义同上。
精细化分割：设x0,...,xn以及t0,...tn-1构成了闭区间[a,b]的一个取样分割，y0,...,ym和s0,...,sm-1是另一个分割。如果对于任意0≤i≤n，都存在r(i)使得xi
= yr(i)，并存在
使得ti =
sj，那么就把分割：y0,...,ym、s0,...,sm-1称作分割x0,...,xn、to,...,tn-1的一个精细化分割。简单来说，就是在后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。
于是，我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。
其实，我们可以在NPC数学理论中，把理查德费曼路径积分和黎曼积分统一起来，抹平二者之间的区别，使物理学与数学统一。
第一边值公理系统：O＝O，O＞O，O＜O，O≠O，O＝1，O＝N，O＝N^2，O＝N^n，O＝(
N^n) ^n…。Oa＝Ob，Ob ＝Oc，Oc ＝Od…，O^2＝O^3，O^3＝O^4，O^4＝O^5…
第二边值公理系统：1＝1，1＞1，1＜1，1≠1， 1＝N，1＝N^2，1＝N^n，1＝( N^n)
^n…。1a＝1b，1b ＝1c，1c ＝1d…，1^2＝1^3，1^3＝1^4，1^4＝1^5…
第三边值公理系统：1＝1^2，1^2＞1^2，1^2＜1^2，1^2≠1^2，1^2＝1，1^2＝N^2，1^2＝(
N^2) ^2，1^2＝( N^n) ^n…。1^2a＝1^2b，1^2b ＝1^2c，1^2c
＝1^2d…，(1^2)^2＝(1^2)^3，(1^2)^3＝(1^2)^4，(1^2)^4＝(1^2)^5…
第四边值公理系统：N＝N，N＞N，N＜N，N≠N，N＝1， N＝N^2，N＝N^n，N＝( N^n)
^n…。Na＝Nb，Nb ＝Nc，Nc ＝Nd…，N^2＝N^3，N^3＝N^4，N^4＝N^5…
在NPC数学理论边值公理系统中，当1＞1，1≠1，1＝1^2，1＝N，1＝N^2，1＝N^n，1＝(
N^n) ^n时，“1” 具有素数双完全性，1，1^2，1^n，N，N^2，N^n，( N^n) ^n…都具有完全素数的性质。“O”
的负无穷大数理性质，是它不能成为完全素数的数理原因。
如果，我们设定光子及波的内禀质量为O，没有内禀质量即为1+(－1)或1+(－1)＝O，N+(－N)＝O。
在NPC数学理论中，1+(－1)＝O或N+(－N)＝O表示正负物理量相互等效的零等价值。这种观念来自对相对论等价原理的数学关系理解。
1的绝对身份是1，而1的相对身份是1＞1，1＜1，1≠1， 1＝N，1＝N^2，1＝N^n，1＝(
N^n) ^n…。1a＝1b，1b ＝1c，1c ＝1d…，1^2＝1^3，1^3＝1^4，1^4＝1^5…
或1＝1^2，1^2＞1^2，1^2＜1^2，1^2≠1^2，1^2＝1，1^2＝N^2，1^2＝(
N^2) ^2，1^2＝( N^n) ^n…。1^2a＝1^2b，1^2b ＝1^2c，1^2c
＝1^2d…，(1^2)^2＝(1^2)^3，(1^2)^3＝(1^2)^4，(1^2)^4＝(1^2)^5…等等。
1的绝对身份和相对身份构成1的一般性身份。此时，1的身份NPC问题得到完备。
1具有了一般性身份之后，它才有资格参与P=NP素数时间算法。
在NPC数学理论边值公理系统中，当1＞1，1≠1，1＝1^2，1＝N，1＝N^2，1＝N^n，1＝(
N^n) ^n时，“1” 具有素数双完全性，1，1^2，1^n，N，N^2，N^n，( N^n) ^n…都具有“完全素数”的性质。
“1”即被允许无穷小；又被允许无穷大。
“1”即被允许有限小；又被允许无限大。
“1”即被允许是最小集合；又被允许是最大集合。
“1”即被允许是最小子集；又被允许是最大子集。
“1”即被允许是最小子集的子集；又被允许是最大子集的子集。
“1”即被允许是最大子集的最大子集；又被允许是最大集合的最大集合。
“1”即被允许是更大集合的最大合集；又被允许是更大集合的更大集合。
“1”即被允许是更大集合的更大合集；又被允许是更大集合的更大集合的集合。
“1”即被允许是更大集合的更大集合的集合；又被允许是更大集合的更大集合的集合的倍数。
当P＝NP，P＝1，1＝ζ(s)/2，1＝N×1时(s＝1…n)
则1＝N×ζ(s)/2，ζ(s)/2＝N×ζ(s)/2
或P＝N×ζ(s)/2
此后，1，P或ζ(s)/2即是素数因子、子集、不动点、多项式，又是合数、集合、动点、非多项式。它们都有了相同的规律，并且将物理学的相对性有限性，同数学的无穷大相统一。
哥德巴赫猜想、丢番图方程、黎曼ζ函数、P＝NP？问题、梅森素数、四色猜想等数论问题，都可以为P＝NP素数时间算法所归约。
所有NP问题，素数问题都可以在NPC塔形素数算法中得到解决，并使纯数学、元数学、基本算术、应用数学相统一，与物理学相统一，物理学统一。
代数几何是现代数学的一个重要分支学科。它的基本研究对象是在任意维数的（仿射或射影）空间中，由若干个代数方程的公共零点所构成的集合的几何特性。这样的集合通常叫做代数簇，而这些方程叫做这个代数簇的定义方程组。
在这儿，我们必须面对两个问题:
②、 在任意维数的（仿射或射影）空间中，由若干个代数方程的公共零点所构成的集合(代数簇) 问题 。
关于在任意维数的（仿射或射影）空间中，由若干个代数方程的公共零点所
构成的集合(代数簇) 问题 。即N个集合同一子集的P＝N^nP^n问题。
在NPC集合中，当子集与集合具有NPC素数与合数、不动点、动点、复数、多项式、非多项式身份之后，一个子集与一个集合的数学关系恒等。一个集合相容了N个子集。一个子集相容了N个集合。一个子集与N个同子集集合数学关系恒等。一个子集与一个集合中的每一个子集数学关系恒等。一个同子集集合中的子集与N个集合中的每一个子集数学关系恒等。
或者说，在黎曼ζ函数体系中，其N条直线上必然有一个共同坐标点(或公共零点)。这个共同坐标点是黎曼ζ函数中的共同子集。这个共同子集与其相关的N条直线(彧曲线，曲面任意维空间)，构成P=N^nP^n形式结构。即一个子集与N个集合数学关系恒等。一个P＝N^nP^n形式结构相容了体系中N条直线(彧曲线，曲面任意维空间)上所有集合中的零点。
实际上，当我们面对狭义的数时，也在左冲右突。
s＝O，s＞1，s≠1，s＝1，s＝n，O＜Re(s)＜1。我们分别都考虑过。但从未对它们进行过综合考虑。
NPC集合性质与复变函数性质相近。亦可以由许多层面安放在一起而构成一个黎曼曲面。使多值函数同单值解析函数一样，有一个唯一确定的值。并逐渐地趋向于拓扑性质。
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