黎曼zeta 黎曼zeta函數與圓周率也有著緊密的聯系 黎曼zeta函數被定義為所有正整數的其復數變量次方的和，比如我們必須定義2的pi次方是什麼意義。但是這個定義只對復數變量的實數部分大于一的時候有用，然後就要進行進一步的解析延拓把這個函數對所有復數變量都給予定義。除了在復數變量為一的時候為無窮大以外，其他所有復數變量對應的函數值都是有限的

zero，数学系在读学森 收起

我来民科的介绍一下黎曼猜想，首先我们有一个很厉害的东西，叫黎曼函数
当然它是定义在整个复平面上的，黎曼猜想就是说，这个函数的零点是不是都分布在实部=1/2的那根线上

黎曼猜想是純數學學科中的一個猜想。在數學里，所謂“猜想”就是一個還沒有被證明是正確還是錯誤的命題；通常這個“詞匯”只限用于那些難以證明正確或錯誤的命題。 如果一個猜想被證明是正確的，那麼這個命題被證明後一般就叫做定理或者偶爾叫做引理；如果這個命題被證明是錯誤的，那麼在這個命題被證明不正確以後就成了一段歷史和對將來研究可用的參考資料。


黎曼猜想是德國著名數學家黎曼在1859年提出的有關黎曼zetahan8個猜想中最核心的一個問題。所有的其他猜想在黎曼提出之後不太久都已經被相繼證明是正確的，唯獨剩下的這個現在叫做黎曼猜想的問題經歷了153年之後仍然傲立在今天的數學界。到本文寫作為止關于黎曼猜想從各個方向的研究而發表的文章中似乎看不到任何黎曼猜想被證明的希望，已經發表的結果在某種意義上幾乎甚至都沒有在一定程度上接近證明黎曼猜想。 所以，黎曼猜想被當今的數學界公認為是難度最大的數學問題之一。 



黎曼猜想的準確描述需要相當的數學基礎，因為它涉及到前面提到的一個黎曼進行了開創性研究後來被叫做黎曼zeta函數的特殊函數。 這個函數的定義需要大學數學系高年級的基礎知識，比如解析函數與收斂級數等等。 黎曼猜想的實際意義是一個關于質數分布的關鍵性估計。 這里所說的分布可以簡單地理解為質數的個數以及它們之間的相對距離。當然有點數學知識的人們可能不難接受存在無窮個質數的陳述。這里談個數是指對任何一個界限，我們都要能夠借助黎曼猜想的正確性給出一個合理的估計。 
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黎曼zeta


既然有無窮個質數存在，我們可以比如用每一個正整數的倒數來相加。事實上，所有正整數的倒數相加起來叫做調和級數。調和級數的和仍然是一個無窮大；而這正是黎曼zeta函數中唯一一個奇點的來源。如果把所有正整數的平方的倒數加起來，那麼得到的結果等于那個圓周率的平方除以6。這樣用來研究質數個數的黎曼zeta函數與圓周率也有著緊密的聯系。事實上，所有的數學理論都是緊密地聯系在一起的 - See more at: http://bbs.creaders.net/education/bbsviewer.php?trd_id=814267&language=big5#sthash.eazLb8In.dpuf
黎曼zeta函數被定義為所有正整數的其復數變量次方的和，比如我們必須定義2的pi次方是什麼意義。但是這個定義只對復數變量的實數部分大于一的時候有用，然後就要進行進一步的解析延拓把這個函數對所有復數變量都給予定義。除了在復數變量為一的時候為無窮大以外，其他所有復數變量對應的函數值都是有限的 - See more at: http://bbs.creaders.net/education/bbsviewer.php?trd_id=814267&language=big5#sthash.eazLb8In.dpuf

算術基本定理與黎曼zeta函數 送交者: 莊銳 2013年01月12日16:19:17 于 [教育學術] 發送悄悄話

黎曼猜想是什麼（２）

2. 算術基本定理與黎曼zeta函數。

算術基本定理又叫唯一分解定理。這個定理是說，每一個大于1的正整數N都可以寫成有限個質數（或者素數）的乘積；這個乘積叫做N的因數分解。N的因數分解中的質數因子可以有重復但是其個數是由這個被分解的正整數確定的，不同整數的分解是不可能相同的。這個定理幾乎有兩千年的歷史。 算術基本定理描述了全體素數是整個大于一的正整數之集合的生成集；就是說從所有素數的集合出發，把所有有限乘積都加進去就得到了所有大于1的正整數之集合。
描述質數之個數的結論叫做素數定理，這個定理根據估計的準確度可以有多種不同的形式。固定任何一個比一大的正整數N，通過簡單的實驗人類很早就知道在一到N之間我們可以期待有少數質數。比如在1到10之間有2，3，5，7這四個質數；佔幾乎五分之二。 這個比例平均地講隨著N的增加在減少，實驗結果告訴我們在一到N之間大概有 M =log（N)　分之一的整數是質數。這里的　log(N)　是類似與常用對數的（以ｅ為底的）自然對數。這個ｅ是繼圓周率ｐｉ之後的第二個重要數學常數。用公式表示，通常把從一到N之間的質數個數表示為 pi(N)。這里的　pi　用的是圓周率的同一個符號，但是不是指那個圓周率常數，而是用來表示質數計數函數。 最簡單的素數定理是說　pi(N)　大致等于N　與 log（N)　的商。　這里的大致必須用數學詞匯準確地描繪。 其他精確的素數定理就要給出對這個函數的更精確描寫加上對誤差的估計。
在黎曼之前，高斯對質數計數函數有一個猜測，那就是用現在叫做　高斯的(logarithmic integral) 對數積分函數 li（N) 來代替上面所提到的N與log（N)之商。高斯對後來叫做黎曼zeta函數的那個數學對象已經有過一些研究。1859年，黎曼在他唯一關于數論的研究論文中引進復數作為變量，從而制造出現在叫做黎曼zeta函數的這個特殊函數。黎曼zeta函數是一個以復數為變量的函數，除了一個奇點以外這個函數在整個復數平面上是解析的。這里用的的“解析”一詞，基本上就是微積分中無窮次可微分的意思。
要解釋什麼是黎曼zeta函數，我們還是從如何計算質數的個數說起。 數學發展到前兩個世紀中間的時候，已經有了非常成熟的無窮個數字相加的工具。　其實幾乎兩千年前就有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的說法。如果把二分之一，四分之一，八分之一，十六分之一，等等一切，一直加起來，可以想象其和為一。 嚴格地說，這就是現代數學系大學高年級里學到的“無窮級數”。定義黎曼zeta函數就必須要用到“無窮級數”與“解析”的概念，所以至少要到大學數學系接近畢業的學人們才可能真正理解黎曼zeta函數的定義。
這里給出在某個場合本人曾經使用過的一個籠統解釋，那就是黎曼zeta函數其實就是把所有的正整數添加必要的附帶數據後然後巧妙地糅合在一起得到的一個函數。不難想象，有關整數的所有一切都被揉在里面了。 因此可以說，這個函數既展示了宇宙的完美無瑕，又顯現出這個世界的雜亂無章。 對于數學家們的問題就是，如何從這個非常復雜的函數里面找到清晰的數學數據。
既然有無窮個質數存在，我們可以比如用每一個正整數的倒數來相加。事實上，所有正整數的倒數相加起來叫做調和級數。調和級數的和仍然是一個無窮大；而這正是黎曼zeta函數中唯一一個奇點的來源。如果把所有正整數的平方的倒數加起來，那麼得到的結果等于那個圓周率的平方除以6。這樣用來研究質數個數的黎曼zeta函數與圓周率也有著緊密的聯系。事實上，所有的數學理論都是緊密地聯系在一起的。作為開端，黎曼zeta函數被定義為所有正整數的其復數變量次方的和，比如我們必須定義2的pi次方是什麼意義。但是這個定義只對復數變量的實數部分大于一的時候有用，然後就要進行進一步的解析延拓把這個函數對所有復數變量都給予定義。除了在復數變量為一的時候為無窮大以外，其他所有復數變量對應的函數值都是有限的。這就是對于什麼是黎曼zeta函數的一個簡單解釋。
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