完备性 一阶近似 non-higher order Wiener cantor 费曼的路径积分 .kg wilson 通过delta函数保证我们取出连续的路径 保证我们取出真实的“路径”。格林函数和散射振幅 Feynman's path integral was an analytic continuation of sorts of the Wiener functional integral used in Brownian motion.
qed: still 可交换 abelian group, vs. non 可交换abelian group gauge field theory
诱导度规是轨迹的函数 non-非线性的问题，它对轨迹有没有动力学反馈; 整个度规求导是Killing motion, 与轨迹切向正交的子空间上的诱导度 ...
张永德教授量子力学讲义 第十一章
.3 几种常见含时微扰的一阶近似计算 1, 常微扰
假定微扰H与时间无关，并且按体系特征时间
mn
1
ω尺度衡量，H是在足够长时间TT
-,22
内加在系统上。这时，按上面一阶近似
[PDF]introduction to the path integral - Clarkson University
people.clarkson.edu/~lschulma/1988TriestePathIntegralLectures.pdf
by LS Schulman - Cited by 6 - Related articles
An overview of the major trends in the use of the path integral. ..... The important paths that contribute to Brownian motion—as in the Wiener integral, Eq ..... In any case, I would not be the least dissatisfied if by using the path integral formulation.
Kac who recognized around 1950 that Feynman's path integral was an
analytic continuation of sorts of the Wiener functional integral used in Brownian motion.
analytic continuation of sorts of the Wiener functional integral used in Brownian motion.
1. Measure theory, Wiener integral, etc.
2. Pseudomeasures and other approaches to the complex \measure"
3. Large Deviation techniques
2. Pseudomeasures and other approaches to the complex \measure"
3. Large Deviation techniques
math01 费曼路径积分Wiener process - 热点讨论主题 - 文学城
bbs.wenxuecity.com › 论坛 › 音乐快递
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2011年11月16日 - math01 费曼路径积分Wiener process ... episte.math.ntu.edu.tw/articles/mc/轉為繁體網頁
tw01 levy01 Brown01 運動與Lévy 泛函分析(下) - 费曼路径 ...
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2014年1月17日 - www.math.sinica.edu.tw/math_media/d172/17207.pdf. 對於此種無限維分析學 ... math01 费曼路径积分Wiener process - 热点讨论主题- 文学城.非平衡统计动力学Ito积分. 数值积分. 是Wiener过程增量
phymath999.blogspot.com/2013/12/ito-wiener.html
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2013年12月18日 - staff.ustc.edu.cn/~hzhlj/. ... phymath999: 【股價變動過程及Ito 定理】 Wiener Process的樣本路徑是. ... 的规范理论 · read01 路径积分积分变量—路径—本身是时空的函数，所以它是推广了的黎曼积分，即所谓的泛函积分. ... 这才是规范理论的初衷 · 费曼路径积分为什么在数学上不严格 · 铂金的主要用途是汽车的尾气 ...轉為繁體網頁
維納過程- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia
zh.wikipedia.org/zh-hk/维纳过程
數學中，維納過程（英語：Wiener process）是一種連續時間隨機過程，得名於諾伯特·
缺少字詞： cedu
读书笔记- 人人小站
zhan.renren.com/takingnotes?page=7&from=pages
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2012年1月2日 - http://www.phy.duke.edu/~rgb/Class/phy319/phy319/node72.html. # green函数. 2011 / . 年12 / ... 总结一下就是我觉得费曼的路径积分其实有两个tricky的地方. 1.轉為繁體網頁
科学网—我的诸多烂尾工程...之一- 王雄的博文 - 科学网—博客
blog.sciencenet.cn/blog-439941-695934.html
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2013年6月2日 - https://web.math.princeton.edu/~nelson/papers/talk.pdf. The mystery of stochastic .... 3 进而和费曼路径积分的关系。。。 4 最终打通从薛定谔到波 ...轉為繁體網頁
[PDF]布朗运动理论一百年1)
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las.sinica.edu.tw/search*chi/i?SEARCH=9789576938191
量子力學與路徑積分/ [美]R. P. 費曼, A.R.希布斯著; 張邦固,韋秀譯希布斯, A. R.([DOC]《Field Theory：A Modern Primer》评介 - 南开大学
www2.lib.nankai.edu.cn/.../《Field%20Theory：A%20Mo...
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Lubos Motl评价本书时说到，读者可以从书中学到用费曼图计算格林函数和散射振幅的方法。标量Klein-Gordon场在最开始被用作一个教学事例，路径积分的思想贯穿 ...轉為繁體網頁
缺少字詞： wiener
Table I. Some Trends in Path Integration
I. Asymptotics
1. Semiclassical (~!0) methods, chaos, chemical applications
2. Short wavelength approximation, Geometrical Theory of Di®raction
3. Instantons
4. Other large parameter situations including mean ¯eld theory
(Range !1) and weak coupling approximations
II. Getting rid of an in¯nite number of degrees of freedom
1. QED (photons)
2. Polarons (phonons)
3. Dissipation and quantum tunneling (phonons)
4. And on and on and on
III. Inserting an in¯nite number of degrees of freedom
1. Uncompleting the square, Ising model as functional integral
2. Random potential distribution function
IV. Renormalization and scaling
1. Partition function as functional integral
V. Variational principles
VI. Field theory
1. Analytic continuation, Euclidean quantum ¯eld theory
2. Bosons, Fermions and supersymmetry
VII. Polymers
VIII. Machine summation
1. Statistical mechanics, long time asymptotics
2. QCD
IX. Topological considerations and curved space
1. Homotopy
2. Curvature, constrained systems
3. Relativity, spin
4. Operator ordering
X. Grassmann variables
1. Fermions
2. Combinatorial applications
XI. Exact Solutions
XII. Mathematical
1. Measure theory, Wiener integral, etc.
2. Pseudomeasures and other approaches
在迈向成功的道路上，爱因斯坦获得飞跃性的认识来源于对刚体转动圆盘的研究。在他1912年2月所发表的《光速和引力场的静力学》一文中，他认为，由于洛仑兹收缩，圆周与半径之比不再为π，这表明，惯性系的观察者得出沿圆周运动方向运动的尺有尺缩效应，而相对非惯性旋转系的观察者根据等效原理，会认为所在系是静止不动的，却存在着一个“离心的引力场”，由于圆周与半径之比不再为π，他自然会解释为，由于这一引力的存在，使欧几里德几何不再成立。将这一结论扩展到一切真实引力场，有引力的空间都将不再是欧几里德的。这就是爱因斯坦所解释的，“把等效原理和狭义相对论结合起来，很自然地得出，引力与非欧几何联系在一起”的结论。当时爱因斯坦对非欧几何所知甚少，仅在大学读书时从基塞(Geiser)教授那里学到一点微分几何的知识，正是其中有关高斯曲面理论使爱因斯坦受到启发。他曾回忆道，“直到1912年，当我偶然想到高斯的曲面理论可能就是解开这个奥秘的关键时，这个问题才获得了解释。我发现，高斯曲面坐标对于理解这个问题是十分有意义的。”①
"在此之前，我们不妨先看一下时空、引力和物质之间的关系，我这里说保守的说法：时空有其固有的几何结构，就是我们常说的Lorentz群结构，如果不考虑物质的影响，我们可以称之为纯度规场；引力有来源，是物质的能量动量张量，引力的来源的张量要求其实已经表达了这样一个意思，就是物质场和纯度规场的耦合，或者换句话说，我们写出的表述物质的Lagrangian被要求是广义协变的。在爱因斯坦引力理论里面，时空、引力和物质就是这样的一种联系，物质就是物质，时空就是时空，相比粒子物理的规范相互作用，引力理论中所谓的规范相互作用（物质场和纯度规场的所谓耦合），很不相同，从这个角度看，我本人认为，引力理论不存在被要求实现量子化的条件。所以，跳出这个话题，如果你问暗物质是否会影响时空几何结构？那么答案应该是明显的，时空的几何结构不会被物质所影响，只不过能够表现出来物质的引力效应"
2014年12月12日 - sr01 gr01 诱导度规是轨迹的函数非线性的问题，它对轨迹有没有动力学反馈; 整个度规求导是Killing motion, 与轨迹切向正交的子空间上的诱导度 ...
荊陽青龍公 (公丘子) 2012-05-03 11:23:37
可能是因爲度槼是決定時空性質的唯一物理量，所以，應該對度槼求變分。再者，愛因斯坦方程就是關於度槼的二階方程。
我遇到過這種情況。給出電磁場張量和對應的拉氏量，用變分法求出麥克斯韋方程組。如果對協變的四矢求變分，非常好算且能得到麥克斯韋方程。但是，若是對逆變四矢求變分，非常複雜；我沒認真算，但是，我估計得不到麥克斯韋方程。
正確的是：麥克斯韋方程組是一樣的，能動量張量可能不一樣。繼續驗証中
那么假设度规不是基本场，不能表达所有的引力的性质，我们就可以得到对广相的修正，选择合适的度 那么假设度规不是基本场，不能表达所有的引力的性质，我们就可以得到对广相的修正，选择合适的度规函数，可以跟观测对比，取得合理的形式。
在引力理论里面，把作用量看做度规的协变还是逆变形式的泛函，对于正统的 GR 来说没有区别
至于联络是为了在微分流形上对矢量场求导而出现的，它先验地跟度规并没有关系。 ... 而我们往往只对跟度规相契合的那个联络感兴趣（因为我们希望导数为0有几何 ...
度规的意义_百度文库
2011年3月24日 - 关键词：度规；度规积分；度规导数；变度规实数轴；度规度量中图分类 ... 公式（1）是已知度规求向量的问题，我们称作常度规实数轴的积分问题。
"度規求导数"
在廣義相對論中，作用量一般都被認為是度規（以及物質場）的一個泛函，而其聯絡是 ... 在第二行中我們使用了上面得到的里奇張量的變分結果以及協變導數對度規的 ...
2014年12月12日 - sr01 gr01 诱导度规是轨迹的函数非线性的问题，它对轨迹有没有动力学反馈; 整个度规求导是Killing motion, 与轨迹切向正交的子空间上的诱导度 ...
至于联络是为了在微分流形上对矢量场求导而出现的，它先验地跟度规并没有关系。 ... 而我们往往只对跟度规相契合的那个联络感兴趣（因为我们希望导数为0有几何 ...
2011年3月24日 - 关键词：度规；度规积分；度规导数；变度规实数轴；度规度量中图分类 ... 公式（1）是已知度规求向量的问题，我们称作常度规实数轴的积分问题。
2013年8月13日 - 作用量原理告诉我们这个作用量对度规 g^{.mu.nu}., ... 由于这个方程要求对所有变分 .delta g^{.mu.nu} ... 根据对行列式进行求导的雅可比公式.
公式（1）是已知度规求向量的问题，我们称作常度规实数轴的积分问题。 .... 时，由公式（3）和公式（3′）可知＝，度规导数与导数等价，以后可以把度规导数称作导数。
对坐标求导能求出质量量纲来？我确实是没常识，不但没常识，恐怕连理解这个观点的智商都没有，所以我请教下对度规的二次求导怎么变出质量量纲的，望不吝赐教。
2012年5月1日 - ... 矢量场，t 是个张量场，metric 是度规, 省略号表示这些量的高阶导数项。 ... 如果对
I. Asymptotics
1. Semiclassical (~!0) methods, chaos, chemical applications
2. Short wavelength approximation, Geometrical Theory of Di®raction
3. Instantons
4. Other large parameter situations including mean ¯eld theory
(Range !1) and weak coupling approximations
II. Getting rid of an in¯nite number of degrees of freedom
1. QED (photons)
2. Polarons (phonons)
3. Dissipation and quantum tunneling (phonons)
4. And on and on and on
III. Inserting an in¯nite number of degrees of freedom
1. Uncompleting the square, Ising model as functional integral
2. Random potential distribution function
IV. Renormalization and scaling
1. Partition function as functional integral
V. Variational principles
VI. Field theory
1. Analytic continuation, Euclidean quantum ¯eld theory
2. Bosons, Fermions and supersymmetry
VII. Polymers
VIII. Machine summation
1. Statistical mechanics, long time asymptotics
2. QCD
IX. Topological considerations and curved space
1. Homotopy
2. Curvature, constrained systems
3. Relativity, spin
4. Operator ordering
X. Grassmann variables
1. Fermions
2. Combinatorial applications
XI. Exact Solutions
XII. Mathematical
1. Measure theory, Wiener integral, etc.
2. Pseudomeasures and other approaches
为什么路径积分中只是研究连续的路径
在做路径积分的时候，总是默认我们选出的是一条连续的路径。我上次听过一次这种说法：“从无限条路径中取出一条连续的路径跟从实数轴上取出一个有理数的概率一样，都是零，为什么不去研究处处不连续的路径呢？所以我只能认为这是一个假设。”当时是在开组会，貌似大家也没有什么反对意见。
可是今天我看sakurai的时候觉得不是这样的，有一个东西保证了我们取路径的时候总是能取到一条连续的路径。
于是路径积分中的<xj tj|xi ti>就同propagator联系起来了，而propagator有两个很简单的性质
这里关心第二个性质就行了，注意这是个取极限的过程，所以保证了K是连续的。而回到路径积分，这就说明我们取出的路径是连续的。
说的更直白一点，我们有
（2.5.43是Heisenberg picture下，同一时刻的时候，位置基矢必须正交的要求）如果tn趋向tn-1时，xn不等于xn-1，那么这条路径对应的积分就是零。
总结一下就是我觉得费曼的路径积分其实有两个tricky的地方
1.通过delta函数保证我们取出连续的路径
2.通过
这个条件保证我们取出真实的“路径”。
可是今天我看sakurai的时候觉得不是这样的，有一个东西保证了我们取路径的时候总是能取到一条连续的路径。
于是路径积分中的<xj tj|xi ti>就同propagator联系起来了，而propagator有两个很简单的性质
这里关心第二个性质就行了，注意这是个取极限的过程，所以保证了K是连续的。而回到路径积分，这就说明我们取出的路径是连续的。
说的更直白一点，我们有
（2.5.43是Heisenberg picture下，同一时刻的时候，位置基矢必须正交的要求）如果tn趋向tn-1时，xn不等于xn-1，那么这条路径对应的积分就是零。
总结一下就是我觉得费曼的路径积分其实有两个tricky的地方
1.通过delta函数保证我们取出连续的路径
2.通过
这个条件保证我们取出真实的“路径”。
"物理"对应"数学"名词词典 zz from 繁星客栈 作者 季候风
季候风：
有时候物理理论和数学理论研究类似的对象, 但是由于各自独立的发展, 所使用的术语有很大的差别; 有时候物理学家先发展了一些理论, 数学家从中找到一些有趣的结构加以进一步研究; 有时候物理学家发现他们的理论可以用来解释一些神秘的数学现象和令人困惑的数学理论......以下这个 "词典" 就试图部分总结一下以上提到的这几种 "物理/数学 对偶", 抛砖引玉, 欢迎补充.
经典力学 <----> 辛几何
位形空间 / 微分流形
相空间 / 余切丛
Hamilton 正则方程 / 辛梯度场
运动方程的解 / Hamilton 流动
正则变换 / 辛同胚, Lagrange 子流形
Hamilton-Jacobi 方法 / 等值面极化
狭义相对论 <----> 群表示论
标量 / SO(3,1) 的平凡表示空间中的元素
矢量 / SO(3,1) 的定义表示空间中的元素
张量 / SO(3,1) 的定义表示空间及其对偶的张量积中的元素
旋量 / SL(2,C) 的二维不可约表示空间及其对偶的张量积中的元素
量子论 <----> 泛函分析
右矢 / Hilbert 空间的元素
左矢 / 对偶空间的元素
算符 / 算子
共轭算符 / 伴随算子
算符作用于左矢 / 对偶算子
Hermite 算符 / 自伴算子
本征值 / 谱点
离散本征值 / 点谱
连续本征值 / 连续谱
算子微积 / Gelfand 表示
delta 函数 / delta 泛函
位移算符 / 空间平移群的酉表示的无穷小生成元
时间演化 / 酉算子群
Schrodinger 方程 / Stone 定理
表象 / Hilbert 空间的形式及正交基的选取
表象变换 / Hilbert 空间同构
Schrodinger 表象 / Stone-von Neumann 定理
路径积分 / Wiener 测度
规范场论 <----> 纤维丛的几何
场 / 丛的截面
整体对称性(规范群) / 纤维空间的自同构群
规范对称性 / 丛的自同构群
规范势 / 主丛上的联络
规范力 / 联络的曲率
规范荷 / 规范群的表示
带荷的物质场 / 规范群表示从主丛诱导的向量丛的截面
协变导数 / 主丛上的联络诱导的向量丛上的联络
规范 / 局部平凡化
规范不变的 / 丛上整体定义的, 或者在丛的自同构下不变的
Maxwell 方程组 / Hodge 理论
弦论 <----> 拓扑学? 几何学? 新拓扑学? 新数学?
非线性 sigma 模型 / Morse理论, Floer理论, Gromov-Witten 理论
拓扑弦 / 低维流形不变量 ( Khovanov-Rozansky, Jones-Witten, ...), Langlands 猜想(?)
B-场 / 扭曲 K-理论
共形场论 / 魔群, 月光模
拓扑共形场论 / 弦拓扑(?)
???
量子场论 <----> 低维拓扑
Abel群 Chern-Simons 场论 / 链接数, 挠数
超对称量子场论 / Donaldson 不变量
紧群 Chern-Simons 场论 / Jones-Drinfeld 不变量
微扰 Chern-Simons 场论 / Vassiliev 不变量
3维引力 / 双曲几何
Liouville 共形场论 / Teichmuller 理论
N=2 超对称量子场论 / Seiberg-Witten 不变量
N=4 超对称量子场论 / 几何 Langlands 计划
有时候物理理论和数学理论研究类似的对象, 但是由于各自独立的发展, 所使用的术语有很大的差别; 有时候物理学家先发展了一些理论, 数学家从中找到一些有趣的结构加以进一步研究; 有时候物理学家发现他们的理论可以用来解释一些神秘的数学现象和令人困惑的数学理论......以下这个 "词典" 就试图部分总结一下以上提到的这几种 "物理/数学 对偶", 抛砖引玉, 欢迎补充.
经典力学 <----> 辛几何
位形空间 / 微分流形
相空间 / 余切丛
Hamilton 正则方程 / 辛梯度场
运动方程的解 / Hamilton 流动
正则变换 / 辛同胚, Lagrange 子流形
Hamilton-Jacobi 方法 / 等值面极化
狭义相对论 <----> 群表示论
标量 / SO(3,1) 的平凡表示空间中的元素
矢量 / SO(3,1) 的定义表示空间中的元素
张量 / SO(3,1) 的定义表示空间及其对偶的张量积中的元素
旋量 / SL(2,C) 的二维不可约表示空间及其对偶的张量积中的元素
量子论 <----> 泛函分析
右矢 / Hilbert 空间的元素
左矢 / 对偶空间的元素
算符 / 算子
共轭算符 / 伴随算子
算符作用于左矢 / 对偶算子
Hermite 算符 / 自伴算子
本征值 / 谱点
离散本征值 / 点谱
连续本征值 / 连续谱
算子微积 / Gelfand 表示
delta 函数 / delta 泛函
位移算符 / 空间平移群的酉表示的无穷小生成元
时间演化 / 酉算子群
Schrodinger 方程 / Stone 定理
表象 / Hilbert 空间的形式及正交基的选取
表象变换 / Hilbert 空间同构
Schrodinger 表象 / Stone-von Neumann 定理
路径积分 / Wiener 测度
规范场论 <----> 纤维丛的几何
场 / 丛的截面
整体对称性(规范群) / 纤维空间的自同构群
规范对称性 / 丛的自同构群
规范势 / 主丛上的联络
规范力 / 联络的曲率
规范荷 / 规范群的表示
带荷的物质场 / 规范群表示从主丛诱导的向量丛的截面
协变导数 / 主丛上的联络诱导的向量丛上的联络
规范 / 局部平凡化
规范不变的 / 丛上整体定义的, 或者在丛的自同构下不变的
Maxwell 方程组 / Hodge 理论
弦论 <----> 拓扑学? 几何学? 新拓扑学? 新数学?
非线性 sigma 模型 / Morse理论, Floer理论, Gromov-Witten 理论
拓扑弦 / 低维流形不变量 ( Khovanov-Rozansky, Jones-Witten, ...), Langlands 猜想(?)
B-场 / 扭曲 K-理论
共形场论 / 魔群, 月光模
拓扑共形场论 / 弦拓扑(?)
???
量子场论 <----> 低维拓扑
Abel群 Chern-Simons 场论 / 链接数, 挠数
超对称量子场论 / Donaldson 不变量
紧群 Chern-Simons 场论 / Jones-Drinfeld 不变量
微扰 Chern-Simons 场论 / Vassiliev 不变量
3维引力 / 双曲几何
Liouville 共形场论 / Teichmuller 理论
N=2 超对称量子场论 / Seiberg-Witten 不变量
N=4 超对称量子场论 / 几何 Langlands 计划
在迈向成功的道路上，爱因斯坦获得飞跃性的认识来源于对刚体转动圆盘的研究。在他1912年2月所发表的《光速和引力场的静力学》一文中，他认为，由于洛仑兹收缩，圆周与半径之比不再为π，这表明，惯性系的观察者得出沿圆周运动方向运动的尺有尺缩效应，而相对非惯性旋转系的观察者根据等效原理，会认为所在系是静止不动的，却存在着一个“离心的引力场”，由于圆周与半径之比不再为π，他自然会解释为，由于这一引力的存在，使欧几里德几何不再成立。将这一结论扩展到一切真实引力场，有引力的空间都将不再是欧几里德的。这就是爱因斯坦所解释的，“把等效原理和狭义相对论结合起来，很自然地得出，引力与非欧几何联系在一起”的结论。当时爱因斯坦对非欧几何所知甚少，仅在大学读书时从基塞(Geiser)教授那里学到一点微分几何的知识，正是其中有关高斯曲面理论使爱因斯坦受到启发。他曾回忆道，“直到1912年，当我偶然想到高斯的曲面理论可能就是解开这个奥秘的关键时，这个问题才获得了解释。我发现，高斯曲面坐标对于理解这个问题是十分有意义的。”①
德国数学家高斯(Gauss, Johann Karl Freidrich1777～1855）从大地测量中受到启发，创立了二维曲面的微分几何理论。他在曲面上引入曲线坐标u和v，并证明曲面上任意线元具有如下普遍形式
ds2=g11du2+g12dudv+g21dvdu+g22dv2
其中g11，g12，g21，g22均为变量u和v的函数，称之为度规，它们由曲面的物质所决定。根据高斯的曲线坐标和度规，不仅可以确定曲面上的测地线（即弯曲空间的“直线”），还可以找到曲面的曲率，并进一步证明曲面所在空间的非欧几里德性质。高斯曲面即为一种弯曲的二维空间结构，然而在其中一点的任意一个小的邻域上，它应近似为平面，在这个局域，欧氏几何仍将成立，并与局域的笛卡尔系相对应。
爱因斯坦把引力空间与高斯曲面理论做了类比思考，他发现，引力所在的空间具有类似高斯曲面的几何性质，特别是当他把闵可夫斯基对狭义相对论所做的解释与引力问题联系起来以后，就更认识到其中的重要含意，这些观念成为了广义相对论理论形成的重要因素。他曾说“没有这个观念，广义相对论恐怕无法成长”，因为闵可夫斯基的四维世界“与高斯曲面理论相结合，向人们展示，存在引力场时，空间是弯曲的，欧氏几何不再成立，这表面引力场中不存在全局性的或大范围的惯性系，但对每一时空点附近的一个小的局域而言，却是闵可夫斯基平直的，欧氏几何仍成立，同时也存在与之对应的‘局域惯性系’。”这实际就是“爱因斯坦升降机”的思想。爱因斯坦明确地指出，“高斯的曲面理论与广义相对论间最重要的接触点就在于度规的性质，这些性质是建立两种理论概念的重要基础。”在1912年3月，爱因斯坦在《静引力场理论》中又指出，“等效原理只能在局域中成立”，这一系列思想表明，爱因斯坦看到了引力与时空几何结构间的联系，这就是引力场影响着时空结构，乃至决定着它的度规的规律。
高级微观经济学 - 第 32 頁 - Google 圖書結果
https://books.google.com.hk/books?isbn=7302041717 - 轉為繁體網頁
武康平 - 2001 - Microeconomics
二、价格的表示(一)价格向量我们首先考虑有限维经济中商品价格的表示问题。设商品空间为 R ' ,用九表示一个单位商品 i 所能交换的货币量,则角就是商品 i 的价格( i"在此之前，我们不妨先看一下时空、引力和物质之间的关系，我这里说保守的说法：时空有其固有的几何结构，就是我们常说的Lorentz群结构，如果不考虑物质的影响，我们可以称之为纯度规场；引力有来源，是物质的能量动量张量，引力的来源的张量要求其实已经表达了这样一个意思，就是物质场和纯度规场的耦合，或者换句话说，我们写出的表述物质的Lagrangian被要求是广义协变的。在爱因斯坦引力理论里面，时空、引力和物质就是这样的一种联系，物质就是物质，时空就是时空，相比粒子物理的规范相互作用，引力理论中所谓的规范相互作用（物质场和纯度规场的所谓耦合），很不相同，从这个角度看，我本人认为，引力理论不存在被要求实现量子化的条件。所以，跳出这个话题，如果你问暗物质是否会影响时空几何结构？那么答案应该是明显的，时空的几何结构不会被物质所影响，只不过能够表现出来物质的引力效应"
2014年12月12日 - sr01 gr01 诱导度规是轨迹的函数非线性的问题，它对轨迹有没有动力学反馈; 整个度规求导是Killing motion, 与轨迹切向正交的子空间上的诱导度 ...
荊陽青龍公 (公丘子) 2012-05-03 11:23:37
可能是因爲度槼是決定時空性質的唯一物理量，所以，應該對度槼求變分。再者，愛因斯坦方程就是關於度槼的二階方程。
我遇到過這種情況。給出電磁場張量和對應的拉氏量，用變分法求出麥克斯韋方程組。如果對協變的四矢求變分，非常好算且能得到麥克斯韋方程。但是，若是對逆變四矢求變分，非常複雜；我沒認真算，但是，我估計得不到麥克斯韋方程。
正確的是：麥克斯韋方程組是一樣的，能動量張量可能不一樣。繼續驗証中
那么假设度规不是基本场，不能表达所有的引力的性质，我们就可以得到对广相的修正，选择合适的度 那么假设度规不是基本场，不能表达所有的引力的性质，我们就可以得到对广相的修正，选择合适的度规函数，可以跟观测对比，取得合理的形式。
在引力理论里面，把作用量看做度规的协变还是逆变形式的泛函，对于正统的 GR 来说没有区别
求问，有关微分几何_相对论吧_百度贴吧
tieba.baidu.com/p/2453906058 - 轉為繁體網頁
度规的意义_百度文库
wenku.baidu.com/view/528ffc1da300a6c30c229fec.html
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"度規求导数"
愛因斯坦-希爾伯特作用量- 維基百科，自由的百科全書
zh.wikipedia.org/zh-hk/爱因斯坦-希尔伯特作用量
sr01 gr01 诱导度规是轨迹的函数非线性的问题，它对轨迹有 ...
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求问，有关微分几何_相对论吧_百度贴吧
tieba.baidu.com/p/2453906058 - 轉為繁體網頁
度规的意义_百度文库
wenku.baidu.com/view/528ffc1da300a6c30c229fec.html
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[DOC]度规的意义 - 教育数学会
www.emath.cn/ytdg.doc
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【揭秘】从爱因斯坦场方程说起/ databit / 第6页-[天涯] - 贴库网
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对谁做变分[误] - 豆瓣
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豆瓣小组
广义相对论引起的科学思想革命
自爱因斯坦的论动体的电动力在1905年发表以来，在过去的近110年里，科学思想革命性变化的主线条是：
1. 四维空间（1维时间+三维空间）的偏导数运算【作为联系两点之间的客体变化量（单位长度上的函数变化量），忽略高价小量】，被升级为度规张量变换【作为联系两相邻线段之间的空间客体量】条件下的协变导数运算。而这种升级的客观物理基础就是：时空尺度的变化受到世界线长度客体不变性的制约。
从科学哲学上看，把四维空间的偏导数运算分为两类：一类是满足特定度规张量变换条件的，被看成是反映物理真实性的运算；其它的被划入第二类，不是物理真实的而是纯粹数学上的。这样就压缩了偏导数运算有效性的范畴。
出于这样的一个要点，物理量必须为张量就成为一条科学原理（协变性原理）。质点运动的概念被抛弃，而代之于运动轨迹概念。
2. 度规张量变换既然是客体（或运动），那么不同类别的客体（或运动）就有不同类别的度规张量变换（群变换），由此引出：度规张量变换（群变换）就是物质场（或物质运动），从而，用规范场论重新表达出的物理学就是用普通偏导数表达出的经典物理的升级版本。
引力场理论提供了一个典范，从而也开启了天体科学研究的新时代。由运动轨迹概念升级为流形演化概念。坐标概念被参考流形概念替代。
从科学哲学上看，数学上的流形映射就是物质运动的自然表达方式，从而，对流形映射的属性分类就是对物质运动属性的分类。从此，在科学思想上，摆脱了用直观表象进行物质运动属性分类的束缚，也因此而深入到了物质运动的更深层次。这是革命性的进步，从而也就在原则上能渗入任意学科。
3. 在近半个世纪以来，发现度规张量变换过于狭隘，无法把量子力学包括进来，在经历李代数这个中间环节后，在本世纪初，终于发现，把度规张量变换拓展为群变换后，再限定为超代数下的Clifford几何代数张量，也就可以把量子力学、色动力学也包含进来。而原来用的度规张量变换只是一个特例。
具体的超代数运算法则成为具体的物质抽象运动表述。
由此，又把物质运动的概念拓展为更大的类别，从而为处理复杂运动（复合性的物质运动）提供了理论工具。量子物理的新时代被开启了。
从科学哲学上看，它对流形映射概念加上了更多的限定（同时也扩充了映射的类别），复合属性成为物质运动复杂性的对应描述。原则上，可以完全的实现跨学科的高度抽象性的理论建构。
这就开启了现代物理的大门，也开启了物理学大小统吃的大门。一场科学革命的高潮期似乎是即将到来。
如果一个人无视这一百年来物理学家（作为整体）取得的物理学成就，那么他就只能生活在经典物理的世界里。
如果一个人还在度规张量变换水平上研究物理，发现广义相对论（物理学）的缺陷，他只不过是重复“1.”的线条，而且未必是正确的重复。
如果一个人还在群变换水平上研究物理，发现大量的原理是不足为奇的，他推翻这个原理也好，那个原理也好，总是可能的。但是，那是徒劳无功的。因为，他未必能给自身脱僵的思绪加上必要的束缚，就是加了，也未必加的正确。顶多是在“2.”圈内转来转去而已。
如果不能进入“3.”时代，无论如何叫喊，也是在现代物理的大门之外。
现实就是如此的不以人们的主观愿望而转移。
无论是批广义相对论也好，保广义相对论也好，作为现代物理学革命的导火线，也作为第一个成功的经典型范例，广义相对论作为最重要的环节的历史地位是任何理论和任何人所无法否定的
阿當．史密斯在《原富》揭示的「自然的自由」（Natural Liberty），旨在說明在不違反公平公正的原則下，每個人都有自由運用自己的勞力和資本去追求自己的利益（私利），這種自由，是任何政府不應立法予以剝奪的天賦人權。換句話說，每個人都是基於自利心而從事經濟活動的經濟人（Economic Man）；引申至買賣活動，在自由市場機制下，賣者認為於己有利而賣、買者認為於己合算而買，結果雙方各牟其利，成交而退，皆大歡喜。《原富》中所舉麵包師焗麵包、釀酒師釀酒以至屠戶賣肉的「故事」，大家早已耳熟能詳，不過，筆者仍可作更有「說服力」的譬如，麵包師不是因為顧客肚餓而烤麵包，他是為了免使自己肚餓才做此「苦役」；同理，屠戶若非為了養兒育女，亦不會因為顧客食無肉營養不足而殺牛宰羊……。顯而易見，在這種受「無形之手」 （Invisible Hand）引導下的商業活動中，買賣雙方均獲得滿足；交易過程令整體社會受惠，那便是史密斯指陳的追求私利足以增進公益（「私利公益調和論」）。
对谁做变分[误]
来自: 编程的章鱼喵(=L=~=M=) 2012-05-01 13:08:30
这种问法是不对的。正确的问法应该是，作用量看作不同函数的泛函的时候，如何如何。只要知道了正确的问法，答案就立刻出来了。
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一个作用量 S[phi, u, t, metric, ...]，其中 phi 是个标量场，u 是个矢量场，t 是个张量场，metric 是度规, 省略号表示这些量的高阶导数项。
在变分原理里面，如果想对一个作用量做变分，求极值。那么到底该对哪个量做变分呢？
GR 里面一般是对 metric 变分的，QFT 里面一般是对基本场做变分的，那么如果是这么复杂的作用量，应该对谁做变分呢？
对不同的量做变分不太等价，GR 里面有个 Palatini 形式，是对联络做变分的，大部分情况下跟 GR 的度规变分形式等价，有些情况下就不等价了。
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一个作用量 S[phi, u, t, metric, ...]，其中 phi 是个标量场，u 是个矢量场，t 是个张量场，metric 是度规, 省略号表示这些量的高阶导数项。
在变分原理里面，如果想对一个作用量做变分，求极值。那么到底该对哪个量做变分呢？
GR 里面一般是对 metric 变分的，QFT 里面一般是对基本场做变分的，那么如果是这么复杂的作用量，应该对谁做变分呢？
对不同的量做变分不太等价，GR 里面有个 Palatini 形式，是对联络做变分的，大部分情况下跟 GR 的度规变分形式等价，有些情况下就不等价了。
广义相对论引起的科学思想革命
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自爱因斯坦的论动体的电动力在1905年发表以来，在过去的近110年里，科学思想革命性变化的主线条是：
1. 四维空间（1维时间+三维空间）的偏导数运算【作为联系两点之间的客体变化量（单位长度上的函数变化量），忽略高价小量】，被升级为度规张量变换【作为联系两相邻线段之间的空间客体量】条件下的协变导数运算。而这种升级的客观物理基础就是：时空尺度的变化受到世界线长度客体不变性的制约。
从科学哲学上看，把四维空间的偏导数运算分为两类：一类是满足特定度规张量变换条件的，被看成是反映物理真实性的运算；其它的被划入第二类，不是物理真实的而是纯粹数学上的。这样就压缩了偏导数运算有效性的范畴。
出于这样的一个要点，物理量必须为张量就成为一条科学原理（协变性原理）。质点运动的概念被抛弃，而代之于运动轨迹概念。
2. 度规张量变换既然是客体（或运动），那么不同类别的客体（或运动）就有不同类别的度规张量变换（群变换），由此引出：度规张量变换（群变换）就是物质场（或物质运动），从而，用规范场论重新表达出的物理学就是用普通偏导数表达出的经典物理的升级版本。
引力场理论提供了一个典范，从而也开启了天体科学研究的新时代。由运动轨迹概念升级为流形演化概念。坐标概念被参考流形概念替代。
从科学哲学上看，数学上的流形映射就是物质运动的自然表达方式，从而，对流形映射的属性分类就是对物质运动属性的分类。从此，在科学思想上，摆脱了用直观表象进行物质运动属性分类的束缚，也因此而深入到了物质运动的更深层次。这是革命性的进步，从而也就在原则上能渗入任意学科。
3. 在近半个世纪以来，发现度规张量变换过于狭隘，无法把量子力学包括进来，在经历李代数这个中间环节后，在本世纪初，终于发现，把度规张量变换拓展为群变换后，再限定为超代数下的Clifford几何代数张量，也就可以把量子力学、色动力学也包含进来。而原来用的度规张量变换只是一个特例。
具体的超代数运算法则成为具体的物质抽象运动表述。
由此，又把物质运动的概念拓展为更大的类别，从而为处理复杂运动（复合性的物质运动）提供了理论工具。量子物理的新时代被开启了。
从科学哲学上看，它对流形映射概念加上了更多的限定（同时也扩充了映射的类别），复合属性成为物质运动复杂性的对应描述。原则上，可以完全的实现跨学科的高度抽象性的理论建构。
这就开启了现代物理的大门，也开启了物理学大小统吃的大门。一场科学革命的高潮期似乎是即将到来。
如果一个人无视这一百年来物理学家（作为整体）取得的物理学成就，那么他就只能生活在经典物理的世界里。
如果一个人还在度规张量变换水平上研究物理，发现广义相对论（物理学）的缺陷，他只不过是重复“1.”的线条，而且未必是正确的重复。
如果一个人还在群变换水平上研究物理，发现大量的原理是不足为奇的，他推翻这个原理也好，那个原理也好，总是可能的。但是，那是徒劳无功的。因为，他未必能给自身脱僵的思绪加上必要的束缚，就是加了，也未必加的正确。顶多是在“2.”圈内转来转去而已。
如果不能进入“3.”时代，无论如何叫喊，也是在现代物理的大门之外。
现实就是如此的不以人们的主观愿望而转移。
无论是批广义相对论也好，保广义相对论也好，作为现代物理学革命的导火线，也作为第一个成功的经典型范例，广义相对论作为最重要的环节的历史地位是任何理论和任何人所无法否定的
阿當．史密斯在《原富》揭示的「自然的自由」（Natural Liberty），旨在說明在不違反公平公正的原則下，每個人都有自由運用自己的勞力和資本去追求自己的利益（私利），這種自由，是任何政府不應立法予以剝奪的天賦人權。換句話說，每個人都是基於自利心而從事經濟活動的經濟人（Economic Man）；引申至買賣活動，在自由市場機制下，賣者認為於己有利而賣、買者認為於己合算而買，結果雙方各牟其利，成交而退，皆大歡喜。《原富》中所舉麵包師焗麵包、釀酒師釀酒以至屠戶賣肉的「故事」，大家早已耳熟能詳，不過，筆者仍可作更有「說服力」的譬如，麵包師不是因為顧客肚餓而烤麵包，他是為了免使自己肚餓才做此「苦役」；同理，屠戶若非為了養兒育女，亦不會因為顧客食無肉營養不足而殺牛宰羊……。顯而易見，在這種受「無形之手」 （Invisible Hand）引導下的商業活動中，買賣雙方均獲得滿足；交易過程令整體社會受惠，那便是史密斯指陳的追求私利足以增進公益（「私利公益調和論」）。
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