为双曲几何(或伪欧几何
洛伦兹速度变换的一种直接推导方法
费保俊
(装甲兵工程学院物理教研室,北京 100072)
摘要:用光速不变原理直接导出洛伦兹速度变换式,并证明相对论性速度构成双曲几何的Beltrami2Klein模型.
关键词:洛伦兹速度变换;双曲几何;Beltrami2Klein模型
中图分类号:O313 文献标识码:A 文章编号:100020712(2003)0320012202 爱因斯坦的光速不变原理本来是用速度来表述的,但我们一般都是在四维闵氏时空中讨论.本文给出一个简单证明,在速度空间用光速不变原理直接推导洛伦兹速度变换式.
如图1所示,设A、B相对于O的速度为va和vb,
A、B的相对速度为vab,由光速不变原理,若|va|=c或
|vb|=c,则|vab|=c,即有
图1 相对论速度三角形
1-vab2/c2=0(若1-va2/c2=0,或1-vb2/c2=0)
因此,一般地必然可写成
1-vab2/c2=f(va,vb)(1-va2/c2)(1-vb2/c2)
(1)
式中f(va,vb)取决于va、vb的大小和它们的夹角.因为当va与vbνc时,速度三角形是Euclid的,即f(va,vb)应该满足:
f(va,vb)=1+2va・vb/c2 (若va与vbνc)
(2)
设速度是均匀和各向同性的,则f(va,vb)还应该满足以下要求:
1)若va和vb互换,不会改变vab的大小,故
f(va,vb)=f(vb,va)
(3)
2)若va=0或vb=0,则vab=vb或vab=va,故
f(0,vb)=f(va,0)=1
(4)
3)若va=vb,则vab=0,因而有
f(va,va)=
1(1-va2
/c2)
2
=
1
(1-va・va/c2)2
(5)
满足以上要求的唯一可能是
f(va,vb)=
1
(1-va・vb/c2)
2
(6)
于是式(1)成为
1-vab2
c2=
(1-va2/c2)(1-vb2/c2)(1-vavbcosθ/c2)2
或
vab=c1-(1-va2/c2)(1-vb2/c2)
(1-vavbcosθ/c2)2
1/2
(7)
此即洛伦兹速度变换式[1].在上式中将vb和vab互换,得
vb=c1-(1-va2/c2)(1-vab2/c2)
(1-vavabcosθ′/c2)
2
1/2
联立上二式消去vab,即得洛伦兹速度变换式的另一种形式:
cotθ′=
11-va2
/c
2
cotθ-
va
vb
cscθ(8)
由上式可以看出相对论速度三角形的内角和小于π.例如在图1中取α=β,则 cotα=
11-va2/c2
(cscθ-cotθ)=
11-va2
/c
2
tan
θ2>tanθ
2
cotα+
θ2=cotαcot(θ/2)-1cotα+cot(θ/2)
>0即α+θ/2<π/2.因此相对论速度空间是双曲空间,相对论速度是双曲空间的测地线.为了看得更清楚,我们将式(7)用微分形式表示
将图1中的物理量va,vb,vab和θ分别表示为v,v+dv,dσ和dθ,dσ是v和v+dv矢端的距离,如图2所示.由式(7)得
dσ2
=c21-
[1-v2/c2][1-(v+dv)2/c2
]
[1-v(v+dv)cos(d
θ)/c2]2(9)
图2 Beltrami2Klein射影模型
利用级数展开,略去dv,d
θ的高阶小量,就得到线素表示:dσ2=1(1-v2/c2)2dv2+v2
1-v2/c
2dθ2
(10)这正是双曲几何的二维Beltrami2Klein射影模型度规[2].所谓双曲面的Beltrami2Klein射影模型,是指Eu2
clid平面E2上半径为c的开圆Γ的内域
intΓ={v,θ∈E2|v<c,0<θ<2π}
其上的点和直线与双曲面H2上的点和测地线存在1-1映射.
将式(10)中的极坐标(v,θ
)推广到三维Cartesian坐标(vi,i=1,2,3),则线素为
dσ2=ξijdvidvj(11)
其度规张量
ξii=
1-
6j≠i
vjvj
/c2
1-δklvkvl/c
2
2
,ξij=
vivj/c
2
1-δklvkvl/c
2
(i≠j)
(12)
这里采用爱因斯坦求和惯例,δij是Euclid度规.式(11)和
(12)是双曲几何的三维Beltrami2Klein射影模型度规[2],
对于洛伦兹速度变换(v′
i
)→(vi)速度间隔dσ为不变量[3].它等价于四维闵氏时空的时空间隔不变性
ds2=ημνdxμdx
ν
式中ημν(μ,ν=0,1,2,3)是闵氏度规.对于洛伦兹变换
(x′μ
)→(xμ),时空间隔ds为不变量.
感谢裴寿镛教授对本文的指导.参考文献:
[1] LandauLD,LifshitzEM.TheClassicalTheoryofFields[M].
Oxford:PergamonPress,1975.36.
[2] GoldmanMW.ComplexHyperbolicGeometry[M].Oxford:
ClarendonPress,1999.80.
[3] FeiBJ,LiZG.RelativisticVelocityandHyperbolicGeometry
[J].PhysicsEssays,1997(2):248.
金斯不穩定性
Jeans instability
由萬有引力產生的一種不穩定性，因金斯在二十世紀初最先研究而得名。對於一個自引力體係，如果它的基態是均勻的或準均勻的，密度為ρ0，則存在一個臨界波長λJ，亦稱金斯波長。
中文名
金斯不穩定性
外文名
Jeans instability
定義
萬有引力產生的一種不穩定性
得名原因
金斯最先研究
條件
基態不滿足準均勻性條件
金斯不穩定性
Jeans instability
由萬有引力產生的一種不穩定性，因金斯在二十世紀初最先研究而得名。對於一個自引力體係，如果它的基態是均勻的或準均勻的，密度為ρ0，則存在一個臨界波長λJ，亦稱金斯波長：
式中G為萬有引力常數；α0為聲速。λJ的基本性質是:尺度小於λJ的密度擾動,隻能在體係中傳播而不能增長;尺度大於λJ的密度擾動將隨時間而增長，即密度大的地方將變得更密，這就是不穩定性。這個不穩定性判據稱為金斯判據。對於一個無轉動的體係，臨界波長λJ與整個體係的尺度為同一量級，因此，對於尺度為λJ的擾動來說，體係不能看做是均勻或準均勻的，上述結論就不適用。對於一個有轉動的體係,λJ可能小於體係的尺度,可以應用上述結論。盡管金斯不穩定性在定量的應用上有這些局限性，但金斯的論證方法是簡單而富有啟發性的，它體現了在自引力介質中兩個主要的物理因素──引力和壓力之間的對抗。因此，即使在基態不滿足準均勻性條件時，金斯不穩定性的定性結果仍然是有價值的
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