如何求B-S-M偏微分方程的数值解？ - 数学- 知乎
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... 方程的数值解？ 因为这个方程是一个倒向偏微分方程，而在matla中现有的工具只能求出带有初值条件的pde，所以求助各位怎么求解这类的方程呢？ 添加评论 分享 ...
[PDF]倒向随机微分方程及其应用
倒向随机微分方程及其应用
第 26 卷第 2 期
数 学 进 展
Vol. 26,No. 2
1997 年 4 月
ADVANCES IN MA THEMA T ICS
Ap ril, 1997
收稿日期: 1993207205. 修改稿: 1995206227.
国家自然科学基金资助项目.
倒向随机微分方程及其应用
彭实戈
(山东大学数学系, 济南, 山东, 250100)
摘要 本文将介绍一类新的方程: 倒向随机微分方程. 为便于理解, 我们将首先通过与
常微分方程和经典的随机微分方程( It1oδ方程) 的对比. 并通过数理经济和数学金融学中的
一个典型的例子来引入倒向随机微分方程. 然后给出解的存在唯一性定理和比较定理. 并
介绍非线性 Feynm an2Kac 公式, 它给出了倒向随机微分方程的解与一大类常见的非线性偏
微分方程(组) 的解之间的对应关系, 从而为将来利用Monté2Carlo 型的随机计算方法计算
大量的偏微分方程开辟了新的途径. 最后介绍倒向随机微分方程在金融数学中的应用.
关键词 随机微分方程; 倒向随机微分方程; 非线性 Feynm an2Kac 公式; 非线性抛物
型偏微分方程(组); 非线性椭圆型偏微分方(组); 金融数学
M R(1991) 主题分类 34F05, 60H10, 93E03, 90A09
1 引言
为介绍倒向随机微分方程. 我们需要对照一下经典的(即正向的) 随机微分方程. 正
向微分方程的研究已有近半个世纪的历史, 取得了辉煌的成果. 它不仅有直接的应用背
景, 并且与其他数学分支如测度论、偏微分方程、微分几何、势论等发生了非常自然的而
且常常是意想不到的联系, 互相促进, 相映生辉. 许多著名的数学家都为之吸引, 在这一领
域作出了杰出的贡献. 其结果又反过来促进了其它学科的进展. 近期一个典型的例子就
是 P. L. L ions 等提出的非线性二阶偏微分方程的粘性解理论, 其直接动力就是来源于他
在随机微分方程和随机控制理论方面的研究. 与这一进展形成鲜明对照的是: 关于倒向随
机微分方程的研究才刚刚开始, 其线性情况由B ism u t 在 1978 年的文[2](也可见[3]) 提
出, 而非线性情况下的基本框架是由作者与 Pardoux 在 1990 年的文[32]提出并证明其
存在唯一性的. 非常巧合的是, 在经济学的研究中, 著名经济学家Duffie 和 Ep stein 也
独立地在 1992 年的文[12](也可见[13]) 中提出了这一方程的一个特别典型的情况.
倒向随机微分方程的研究之所以大大滞后于正向随机微分方程, 现在回过头来分析
应不外乎以下两个原因: 首先, 正向随机微分方程与倒向随机微分方程在结构上有本质
的区别. 所以难以从正向随机微分方程出发猜想出倒向随机微分方程的形式. 其次, 从
应用的角度讲. 正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程, 而倒向
随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到预期的目标. 从认
识论的观点来看这一滞后也是自然的.
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
倒向随机微分方程的理论研究的历史较短, 但进展却很迅速. 除了其理论本身所具
有的有趣的数学性质之外, 还因为发现了重要的应用前景. 著名经济学家Duffie 和 Ep2
stein 发现可以用它来描述不确定经济环境下的消费偏好(即效用函数理论——这是计量
经济学的基础. 见[12]). 彭通过倒向随机微分方程获得了非线性 Feynm an2Kac 公式, 从
而可以用来处理诸如反应扩散方程和N avier2Stokes 方程等众所周知的重要非线性偏微
分方程组(见[ 38 ]). E i Ka rou i 和Q uenez 发现金融市场的许多重要的派生证券(如期权
期货等) 的理论价格可以用倒向随机微分方程解出(见[19, 18, 14, 15 ]).
倒向随机微分方程引入了一种新的方程结构. 为便于了解这一新理论. 我们打算在
进入其技术细节的讨论之前先看一下众所周知的常微分方程. 考虑以下两个(定义于区
间[0, T ]上的) 常微分方程:
X (t) = b(X (t)), 0 Φ t Φ T ,
X (0) = x 0,
(1)
Y (t) = g (Y (t)), 0 Φ t Φ T ,
Y (T ) = y T.
(2)
其中 b(・) , g (・) 是给定的函数. x 0, y T 是给定的数据. 方程(1) 的定解条件在初始时刻
t= 0 给出, 我们称它为正向常微分方程. (2) 的定解条件在终了时刻 t= T 给出. 我们称
它为倒向常微分方程. 在数学上(1) 和(2) 的处理方法基本上是相同的. 例如, 在一定的
条件(如L ip sch itz 条件) 下这两个方程都有唯一的解. 但从应用的角度来讲, 这两个方程
已经有了显著的区别. 事实上(1) 的存在唯一性是说只要知道了系统的初始状态 x 0 就可
以确定的计算出系统在将来任意一个时刻 t∈[0, T ]的状态. 与之相对, (2) 的存在唯一
则意味着我们能够计算出应该具备怎样的起点才能使系统达到预定的目标 y T.
以上两个模型(1) 和(2) 实际上都假定了系统是不受随机干扰的理想情况(即确定性
系统). 对于随机系统, 两者之间的差别就不止是在应用的意义上了. 连方程的数学结构
都发生了实质性的差别.
首先, 正向常微分方程将被更一般的随机微分方程所取代
dX (t) = b(X (t) )d t + Ρ(X (t) )dW t,
X (0) = x 0,
(3)
其中W 是 d - 维布朗运动. 代表了 d 个互相独立的干扰源. 一个典型的例子就是股票的
价格: t 时刻的第 i 种股票的价格可以用X (t) 的第 i 个分量来描述(后面将详细介绍). 我
们可以这样来直观的解释(3) 的解 X (t): 系统在现在时刻 t= 0 从给定的初始状态 x 0 出
发. 按照(3) 给出的规律运动. 它在未来时刻 T 的状态 X (T ) 是一个随机变量. 在现在时
刻 t= 0 我们是无法确定出 x (T ) 的值的. 只有当随着时间的变化 T 变为“现在时刻”时我
们才能观察到 X (T ) 的精确值(股票的价格是一个很好的例子). 具有上述特点的随机过
程被称为(相对于上述布朗运动而言的) 适应过程(后面将详细定义). 适应性是随机分析
理论中的一个非常重要的基本概念.
我们立刻体会到这一适应性的要求使得对随机微分方程(3) 与常微分方程(1) 的解的
存在唯一性的意义变得非常不同了: 在有随机干扰的情况下的存在唯一性并不意味着可
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以通过现在的初始状态精确的预测出未来时刻 T 的状态! 它实际上是一种统计意义上的
存在唯一性.
以下我们转而考虑常微分方程(2) 的不确定情况下的推广、即倒向随机微分方程. 我
们仍然要求方程的解是适应的. 应该注意到这一要求是非平凡的: 它意味着我们要通过
将来时刻 T 给定的一个(一般可以是随机的) 目标 y T = Ν解出现在时刻的值 y (0). 这一
要求乍一看起来似乎不现实. 为了更好的理解. 下面我们举一个离散时间情况下的非常
简单的例子, 它在金融数学中是非常典型的.
我们将模型充分化简: 设在一个证券市场中流通两种证券: 一种债券和一种股票.
债券是无风险的: 今天买 1 元的债券. 明天连本带利可获 1. 2 元. 而股票是有风险的: 今
天买 1 元的股票. 则明天是否获利就要看运气: 若是“好运天”它值 1. 4 元; 但若是“坏运
天”则它只值 1 元. 设想有一个投资者为明天制定的“财政目标”是: 若明天是好运天则他
要获 a 元, 若明天是坏运天则他要获 b 元.
问题: 他今天要投入多少元才能实现这一财政目标? 这是一个初等代数问题. 解法:
设他今天要投入 y 元, 其中用 z 元买股票(从而用 y 2z 元买债券). 则上面的问题等价于
下列代数关系
1. 2y + 0. 2z = a,
1. 2y - 0. 2z = b.
(4)
显然这一方程组有唯一的解:
y =
5
12
(a + b) , z =
5
2
(a - b).
(5)
这里要强调一下解的存在唯一性的意义: 若投资者要想达到明天的财政计划, 那么他今
天的决策必须包括(y , z ) 两部分: 他不仅要决定今天的总投入 y , 而且还必须将其中的 z
元, 即风险部分(经济术语为portfolio) 用来买股票.
上述例子虽简单, 但它深刻地反映了倒向随机微分方程所要处理的问题的实质. 这
个投资者今天虽然无法预知他明天的收益(它还是一个随机变量, 要等明天到来时才能
知道). 但尽管如此, 这个投资者仍旧可以确切地计算出他今天应如何去做才能达到明
天的不确定收益(注意到这里处理的虽然是“不确定收益”问题, 实际上“确定收益问题”
也是它的特殊情况, 即 a= b. 有趣的是此时风险部分投资为零, 这一现象在倒向随机微
分方程中也有对应). 上述例子所处理的问题的模型很有代表性, 大量的投资决策以及很
多工程决策中都会遇到类似的问题.
我们特别强调上述例子所算出的解. 即投资决策的结构: 投资者不仅需要投入 y
元, 并且还必须将其中的 z 元买股票才能达到既定的财政目标. 这一点显露出了我们要
引入的倒向随机微分方程将与正向随机微分方程及正向或倒向常微分方程在结构上的本
质差别. 因为我们不仅要确定今天的总投入, 还必须同时确定其中的风险投资.
我们在[32]中提出的倒向随机微分方程正好适用于处理这类问题: 它的典型结构是
- dY (t) = g (Y (t) , Z (t) , t)d t - Z (t)dW (t) ,
Y (T ) = Ν.
(6)
这里 Ν是一个给定的 F T 可测的随机变量(关于 F T 可测在这里的具体含义是: 它是只
有到 T 时刻才能确定的量). Y (t) 和 Z (t) 是两个要同时解决的过程. 与前面例子的一个
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恰当的类比是: 0 时刻代表今天. T 时刻代表明天. Y (0) 对应着 y , Z (0) 对应着 z.
[32]的主要结果是关于解的存在唯一性定理. 粗略的说: 只要 g 和 Ν满足适当的条
件, 则存在唯一的一对随机过程(Y (・) , Z (・) ) 满足B SD E (6). 特别地, 当 t= 0 时, (Y
(0) , Z (0) ) 就唯一地被确定. 这就给出了为达到明天的目的而今天需要做出的决策. 我
们看到: 倒向随机微分方程(6) 在结构上与正向随机微分方程(3) 及倒 向常微分方程(2)
有显著差别. 这一点也是倒向随机微分方程的研究起步晚的原因之一. 我们再回头来看
一下方程组(4) 的解(5). 它反映了金融学里的一个典型的现象: 如果投资者明天的目标
是非负的: aΕ 0, bΕ 0(即他一定不会赔钱). 并且 a+ b> 0(即他有获益的可能性). 则他
今天的投入 y 必须是正的. 这一点在金融数学中被称为满足无套利(non2arbitrage) 条件.
关于这一点在倒向随机微分方程中也有对应的结果, 称为比较定理(见定理 2. 6).
大家知道, 正向随机微分方程是正向常微分方程的一个自然的推广: 当 Ρ≡0 时(3)
就退化为(1) 了. 读者自然会问: 如何将倒向随机微分方程(6) 看作是倒向常微分方程的
推广呢? 答案是当 g (y , z , t) 和 Ν都不具随机性时(即不含 Ξ 时) 方程(6) 的解就退化为
(Y (t) ≡ y (t) , Z (t) ≡ 0). 其中 y (・) 是一个确定性的(从而是适应的) 过程. 它满足下面
的常微分方程
- yδ(t) = g (y (t), 0, t) ,
y (T ) = Ν.
(7)
从而退化为常微(2) 的形式. 这是方程(6) 的存在唯一性(见定理 2. 1) 的一个简单推论.
综上所述: 正向随机微分方程的解将今天的确定状态(初始条件) 变为明天的一般是
不确定的状态以研究其统计规律, 而倒向随机微分方程则将明天的(一般可以是不确定
的) 目标变为今天的确定的解以制定今天的决策.
本文将介绍倒向随机微分方程在以下几个方面的进展情况: 在下一节将讨论解的存
在唯一性定理和比较定理, 它是这一理论的基础. 第三节介绍非线性 Feynm an2Kac 公
式. 它给出了一大类常见的倒向随机微分方程的解与非线性偏微分方程(组) 的解之间的
对应关系, 这不仅使我们能够利用现有的有关偏微分方程数值解的丰富的程序库来解出
倒向随机微分方程, 也为将来利用Monté2Carlo 型的随机计算方法计算大量的偏微分方
程开辟了新的途径. 第四节介绍倒向随机微分方程在金融数学中的应用.
由于篇幅所限我们不能对倒向微分方程的各方向的研究内容作一一的介绍. 如与微
分几何中调和映射理论的联系[9- 11, 49, 50 ] , 与偏微分方程中的自由边界问题的关系[ 25 ], 非
线性鞅分解定理[48, 8], 大偏差理论[ 51, 54 ], 无穷维倒向随机微分方程[ 23, 41 ], 随机能控
性[ 46, 52 ]等, 特别是倒向随机微分方程与随机最优控制之间的联系: 事实上非线性倒向随
机微分方程的引入主要得力于李训经教授领导的复旦控制理论讨论班关于随机最优控制
的最大值原理的研究[22, 36- 45, 56, 26, 55]等.
2 倒向随机微分方程: 存在唯一性与比较定理
设 (W t) tΕ 0 是定义在概率空间(8 , P , F ) 上的 d 2维B row n 运动. 我们用 F t 来表示
由(W s, sΦ t) 所产生的 Ρ 的代数:F t = Ρ{W s, 0 Φ s Φ t}.
一个向量值的随机过程 X t= X (w , t) 称为 F t2适应的(F t2adap ted) , 如果对于每一个 t
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∈[0, ∞) , X t (・) 是关于 F t 可测的随机变量. 直观地讲, F t 代表了 t 时刻我们所能掌
握的信息. 而X t 是 F t- 可测的适应过程则是说对任何时刻 t0 我们都能确定 X t 在 t0 时
刻以前的轨线. 本文仅限于讨论关于 F t- 适应的随机过程. 不熟悉这一概念的读者可
以这样去理解: 对于任何当前时刻 t0, X t 在 t0 以前的行为是完全确定的, 而此时过程的
随机性表现在 t0 时刻以后, 即将来行为的不确定性上.
注 F t 由B row n 运动产生这一限制是可以放宽的. 但为阐明问题的实质我们仅限于
在这一框架下讨论. 对一般情况有兴趣的读者可以参见[5], [26]及[55].
我们还仅限于讨论给定时间区间[0, T ]上的平方可积的随机过程
E∫T
0
X t
2d t < ∞,
其中・表示 Euchlid2范数: x = (21
n
x i
2 )
1
2. 满足以上限制的 F t2适应的R n2值的随
机过程的全体记为M (0, T ; R n). 它显然是一H ilbert 空间. 倒向随机微分方程的基本形
式为:
y t = Ν+
∫T
t
g (t, y t, z t)d t - ∫T
t
z tdW t, 0 Φ t Φ T.
(8)
其微分形式是
- dy t = g (t, y t, z t)d t - z tdW t,
y T = Ν,
(9)
其中待求的未知过程是两个, 即(y t, z t). 它们分别是取值于R m 和R m ×d
的平方可积的
适应过程.
(y t, z t) 0Φ tΦ T ∈M (0, T ; R m ×R m ×d
) ,
(10)
(其中空间R m ×d
的 Euchlid 范数是z = (T r[zzT ])
1
2. 但在方程里我们只对 y t 设定终端
条件: y T = Ν, Ν是给定的关于 F T 2可测的平方可积的随机向量, 即 Ν∈L
2 (8 , F T , P; R
m ).
注 这里 F T - 可测的具体含义是: 当将来时刻 T 变为“现在时刻”时我们就知这个
随机变量具体取什么值了. 一个典型的例子是 Ν=
(W t1 , W t2 , …, W tN ), 0Φ t1, …, tN
Φ T. 其中 (・) 是(确定的)Borel 可测函数. 当然 Ν也可以取为确定的常数: Ν= c∈R
m . 这相当于“给将来一确定的目标”. 另一个给定的系数是 g (w , t, y , z ): 8 ×[0, T ]
×R m ×R m ×d
→R m . 我们对它们作如下假设:
(i) g (, y , z ) ∈M (0, T ; R m ) , Π (y , z );
(ii) g (t, y 1, z 1) - g (t, y 2, z 2) Φ C (y 1 - y 2
+ z1 - z 2 ) , Πw , t, y 1, y 2, z 1, z 2.
(11)
其中(i) 限定了 g (・, y , z ) 必须是 F t2适应的平方可积的随机过程. 一个特殊的例子就
是 g 只是(y , z ) 的确定的函数. (ii) 是众所周知的L ip sch itz 条件.
定义 一对过程(Y t, Z t) 称为倒向随机微分方程(8) 的解, 如果它们满足(10) 和(8).
定理 2. 1[ 32 ] 我们假设(11) 成立. 则对任何给定的终端条件 Ν∈L
2 (8 , F T , P; R
m ) , 倒向随机微分方程(8) 的解存在且唯一.
注 很多首次接触倒向随机微分方程的读者容易对“一对过程的唯一性”这一点产生
疑问, 这里作一下进一步的说明. 此处的唯一性就是指在M (0, T ; R m ×R m ×d
) 空间
中的存在唯一性. 即如果有两个过程(X
1, Y
1) 和(X
2, Y
2) 都同时满足(8) 和(10). 则必有
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E∫T
0
Y 1
t - Y t
2 2d t = 0, E∫T
0
Z 1
t - Z 2
t
2d t = 0.
(12)
注 定理 2. 1 的结论等价于存在唯一 y 0 ∈R m 以及 z t∈M (0, T ; R m ×d
) , 使得如下的
Itó方程
y t = y 0 - ∫t
0
g (s, y s, zs)ds + ∫t
0
zsdW s
(13)
的解满足 y T = Ν. 但这种说法不易表明方程的终端条件.
以下给出定理 2. 1 证明的主要思想. 其原始思想属于[ 32 ]. 但下面的证明取材于
[39]及[18].
任意给定 y 0∈R 和(at) ∈M (0, T ; R ), (bt) ∈M (0, T , R d ). 考虑以下 Itó过程:
y t = y 0 + ∫t
0
asds + ∫t
0
bsdW s, 0 Φ t Φ T.
(14)
以下引理在定理 2. 1 的证明过程中起了实质的作用.
引理 2. 2 对任意给定的常数 Β> 0, 我们有以下估计:
y 0
2 + E∫T
0[ Β2 y t
2 + bt
2 ]eΒtd t Φ E y T
2eΒT +
2
ΒE∫T
0
at
2eΒtd t.
(15)
证明概要: 只需对y t
2
eΒt在[0, T ]上应用 Itó公式后两端取数学期望并注意到其中的一
项 T
0 2y tateΒtd t 能够被 T
0 [ Β2 y t
2+
2
Β at
2 ]eΒtd t 界住即可.
以下引理说明定理 2. 1 在最简单的情况下是成立的.
引理 2. 3 对于任给的(at) ∈M (0, T ; R ) 和 Ν∈L
2 (8 , F T , P; R ). 下面的倒向随机
微分方程有唯一解.
y t = Ν+
∫T
t
asds - ∫T
t
zsdW s, t ∈ [0, T ].
(16)
证明 唯一性是引理 2. 2 的简单推论. 存在性的证明如下: 记
M t = E [Ν+
∫T
0
asds F t],
则M t 是 F t2可积鞅. 从而由B row n2鞅的 Itó积分表示定理知存在唯一(z t) ∈M (0, T ;
R d ) , 使
M t = M 0 + ∫t
0
zsdW s, 从而有 M t = M T - ∫T
t
zsdW s, Π t ∈ [0, T ].
今记
y t = M t - ∫t
0
asds = M T - ∫t
0
asds - ∫T
t
zsdW s,
由此及M T = Ν+∫T
0 asds 知(y t, z t) 满足(16). 证毕.
定理 2. 1 的证明概要 由引理 2. 3 知, 对于任给的(y t, z t) ∈M (0, T ; R m×R m ×d
) , 以
下的倒向微分方程存在唯一解(Y s, Zs):
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Y t = Ν-
∫T
t
g (s, y s, zs)ds - ∫T
t
ZsdW s, t ∈ [0, T ].
(17)
由此引导出空间M (0, T ; R m ×R m ×d
) 上的一个映照(y t, z t) → (Y t, Z t). 我们只需证
明这一映照是压缩的则定理就完成了. 设(Y
1, Z
1) 和(Y
2, Z
2) 分别是(17) 当(y , z )= (y
1,
z
1) 和(y , z )= (y
2, z
2) 时的解. 注意到 Y
1
T - Y
2
T = 0. 由引理 2. 2 的估计(15) 可得
E∫T
0( Β2 [Y 1
t - Y 2
t
2 + Z 1
t - Z 2
t
2)eΒtd t Φ 2
Β E∫T
0
gδt
2eΒtd t,
其中 gδt= g (t, y
1
t , z
1
t ) - g (t, y t
2, z t
2). 注意到 g 满足(11) 2( ii) ,
gδt
2 Φ 2C2 (y t
1 - y t
2 2 + z t
1 - z t
2 2) ,
由于 Β是任意正常数, 我们可以选 Β= 2V (8C
2). 我们有
E∫T
0 (Y 1
t - Y 2
t
2 + Z 1
t - Z 2
t
2)eΒtd t Φ 12 E∫T
0 (y t
1 - y t
2 2 + z t
1 - z t
2 2)eΒtd t,
由此知由(17) 引出的映射(y , z ) → (Y , Z ) 是压缩映射, 从而(8) 有唯一解. 证毕.
作为一个例子, 我们以下考虑最简单的情况, 即线性的一维情况: m = 1 且
g (t, y , z ) = f t + aty + bt
z ,
(18)
这里(f t) 和(at) 属于M (0, T , R ), (bt) ∈M (0, T ; R d ). 且(at) 和(bt) 有界. 这时 g 满足
假设(9). 从而对于任给的 Ν∈L
2 (8 , F T , P; R ) , 以下倒向随机微分方程
- dY t = (atY t + bt
Z t + f t)d t - Z tdW t,
Y T = Ν
(19)
有唯一解. 此时我们可以显式地解出 Y t: 设(X s)sΕ t是如下 Itoδ方程的解
dX s = X s (asds + bsdW s) , s ∈ [t, T ],
X t = 1.
(20)
若在区间[t, T ]上对 Y s・ X s 运用 It1o 公式, 然后求关于 F t 的条件数学期望, 则得:
Y t = E [ΝX T + ∫T
t
f sX sds F t ],
(21)
由此立刻得以下引理:
引理 2. 4 若进一步设 g 为线性形式(18). 则 Y t 的解还可以进一步表示成(21) 的形
式, 其中(X s) 是线性(20) 的解.
注 若再进一步假设(18) 中的 g 满足 f t≡ at≡ 0. 即 g= bt・ zs, 则(20) 的解可表为
X s = exp [∫s
t
brdW r -
1
2∫s
t
br
2d r ],
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从而由(21) 得
Y t = E [ΝX T
F t]= E Q [ΝF t].
特别地,
Y 0 = E Q [Ν].
其中 PQ (A ) = E Q [1A ]= E [X T 1A ]. 由此可知: 可以通过线性倒向随机微分方程导出
Girsanov 变换.
一个有趣的问题是, 既然对最简单的情况 g = bt・ z 可以由倒向随机微分方程的 Y 0
导出(Girsanov 变换意义下的) 新的概率测度下的数学期望E Q, 我们可以考虑更进一步的
情况: 即 g 满足
g (t, y , 0) ≡ 0, Π (t, y ).
(22)
这时可以由B SD E (8) 的解(Y t, Z t) 引出如下泛函
Εg [Ν] = Y 0:L 2 (8 , F T , P , R ) →R .
(23)
这一泛函保持了数学期望的许多性质:
(i) Εg [c]= c (若 c 为确定常数);
(ii) Εg [Ν1 ]Ε Εg [Ν2 ]. 若 Ν1Ε Ν2.
一个非常有趣的现象是相应的条件数学期望的性质也保持下来了. 见[47].
引理 2. 5} 设m = 1 且 g 满足(22). 我们通过B SD E (8) 的解引出泛函(23). 则对每
一个 t∈[0, T ]. 存在唯一的 Γ∈L
2 (8 , F t, P; R ) 使
Εg [1A Ν] = Εg [1A Γ], ΠA ∈ F t.
我们称 Γ为 Ν在 F t 下的 g - 数学期望且将它记为
E g[Ν F t ] = Γ.
Εg [Ν F t ]保持了条件数学期望的许多性质. 例如
Εg [Εg [Ν F t ]F s
= Εg [Ν F t∧s ]
等. 但不保持线性. 它是一种非线性的“数学期望”. 由此出发可导出一系列有趣的非平
凡的研究课题. 如 g - 上鞅分解定理(见彭[48]). 这里由于篇幅所限不能做一一介绍.
以下我们讨论m = 1 时的情况. 这时倒向随机微分方程(8) 有一个重要的性质: 比较
定理. 这个定理首先由彭在[43]中获得. 以下的证明取自[18](也见[33]).
定理 2. 6 设m = 1 且 g 满足假设(11). 设(Y t, Z t) 是倒向方程(8) 的解. 另外对给定
的一个过程 g1 (・) ∈M (0, T ; R ) 和一个随机变量 Ν1 ∈L
2 (8 , F T , P; R ). 设(Y t
1, Z t
1)
是下面B SD E 的解.
Y t
1 = Ν1 + ∫T
t
g1 (s)ds - ∫T
t
Zs
1dW s, t ∈ [0, T ].
如果我们进一步假设
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g1 (s) Ε g (s, Y s
1, Zs
1) , a. e. a. s. ; Ν1 (w ) Ε Ν, a. s.
则我们有 Y
1
t Ε Y t a. e. , a. s.
证明 为书写简单我们仅证 d = 1 的情况. 记 Yδ= Y
1- Y , Zδ= Z
1- Z. 则我们有
dYδt = [g (t, Y t
1, Z t
1) - g (t, Y t, Z t) + f (t) ]d t - ZδtdW t,
YδT = Ν1 - Ν,
(24)
其中 f (t) = g1 (t) - g (t, Y
1
t , Z t
1) 是一个非负过程. 注意到 g (t, Y t
1, Z t
1) - g (t, Y t, Z t) 可
写为
g (t, Y 1
t , Z t
1) - g (t, Y t, Z t) = atYδt + btZδt,
其中
at =
g (t, Y t
1, Z t
1) - g (t, Y t, Z t
1)
Yδt
,
0,
bt =
g (t, Y t, Z t
1) - g (t, Y t, Z t)
Zδt
,
0,
if Yδt ≠ 0.
other case.
if Z t ≠ 0.
other case.
但注意到 g (t, y , z ) 关于(y , z ) 满足L ip sch itz 条件, 从而(at) 和(bt) 一致有界, 从而(Yδt,
Zδt) 是如下线性倒向随机微分方程的解
- dYδt = [atYδt + bδtZ t + f (t) ]d t - ZδtdW t,
YδT = Ν1 - Ν.
由引理 2. 5 知此方程有线性表达式(21)
Yδt = E [ (Ν1 - Ν)X T + ∫T
t
f (s)X sds F u ],
但(X s) 本身有表达式
X s = exp ∫s
t
(ar -
1
2
br
2)d r + ∫s
t
brdW r
,
从而X sΕ 0, a. s, a. e. 由此及 Ν1- ΝΕ 0 和 f sΕ 0 立刻得 YδtΕ 0 a. s, a. e. 证毕.
上面的比较定理的常见的应用是以下两个推论.
推论 2. 6 设(Y
1, Z
1) 是B SD E
- dY 1
t = [g (t, Y 1
t , Z 1
t ) + g0 (t) ]d t - Z 1
t dW t,
Y 1
T = Ν1
的解且有 Ν1Ε Ν, g0 (t) Ε 0. 则有 Y t
1Ε Y t a. e, a. s.
推论 2. 7 设(Y
1
t , Z t
1) 是B SD E
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2 期
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- dY 1
t = g1 (t, Y 1
t , Z 1
t )d t - Z 1
t dW t,
Y 1
T = Ν1
的解且有 Ν1Ε Ν, g1 (t, g, z ) Ε g (t, y , z ) , 则有 Y t
1Ε Y t a. e, a. s.
比较定理在理论分析方面起非常重要的作用. 另外在应用方面它也有很具体的意
义: 即预定的目标越高, 现在要投入的就越多.
3 与偏微分方程的关系: 非线性 Feynm an2Kac 公式
我们在引言中已经谈到, 正向和倒向随机微分方程虽然分别有各自的存在唯一性定
理, 但两者之间的实际意义有着重要的不同. 存在唯一性对正向方程而言仅表明我们可
以掌握系统未来行为的统计规律. 对倒向方程而言则意味着我们能够明确地决定现在应
怎样去做以实现一个给定的将来目标. 但人们立刻会问: 对于一个具体的倒向方程如何
算出它的解来? 我们现在的回答只能是: 对一般情况而言这仍是一个未解决的问题. 对
大部分B SD E 我们还不能具体计算出其解来. 幸运的是, 对于实际中常见的一些典型情
况我们已经知道如何去“计算”了. 这是因为我们获得了一类与正向随机微分方程的解耦
合的倒向随机微分方程的解与一类拟线性二阶偏微分方程的解的对应关系. 这就是彭在
1992[39]中获得的非线性 Feynm an2Kac 公式. 这在理论上引起两个方面的工作: 一个是
通过与 SD E 耦合的B SD E 来表示 PD E 的解(见[38, 33, 34, 1, 18 ]等) , 另一方面是结合偏
微分方程方法来解决. 这方面的工作可见马进, 雍炯敏[ 31 ] 及马进, 雍炯敏, Protter[ 30 ] 及
马进, 雍炯敏, Duffie[ 16 ] 等的工作. 最近[ 24 ]又通过概率方法获得了一类完全耦合的
SD E 和B SD E 的解的存在唯一性.
我们以下仅就部分耦合的情况介绍一下 Feynm an2Kac 公式. 对任意给定的(x , t) ∈
R n ×[0, T ], 设过程(X s
x , t) tΦ sΦ T 是如下扩散型 SD E 方程的解:
dX s
x , t = b(X s
x , t)ds + Ρ(X s
x , t)dW s,
X t
x , t = x.
(25)
其中 b(x ): R n →R n 和 Ρ(x ): R n→R n×d
是给定的函数. 使得Π (x , t) , (25) 都存在唯
一的强解. 以下考虑与(25) 耦合的B SD E
- dY x , t
t
= f (X s
x , t, Y s
x , t, Zs
x , t)ds - Zs
x , tdW s, s ∈ [t, T ],
Y T
x , t = 5 (X T
x , t).
(26)
其中 f (x , y , z ): R n ×R m ×R m ×d
→R m , 5 (x ): R n →R m它们关于(x , y , z ) 满足
(例如) 线性增长条件, 关于(y , z ) 满足L ip sch itz 条件. 从而对任何的(x , t) , (26) 有唯一
的解(Y s
x , t, Zs
x , t). 一个重要的事实是(见[39, 33, 18]): Y s
x , t在 s= t 时的值不再是随机
的, 从而可以看作是(x , t) 的确定的函数
u (x , t) = Y s
x , t
s= t: R n × [0, T ] →R m .
(27)
彭在[39]中发现了这一函数与下列拟线性偏微分方程组的解的关系:
u
t
+ Lu+ f(x, u, ΡT
u) = 0, (x, t) ∈R n × [0, T ],
Λ(x, T) = 5 (x) ,
(28)
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其中L 是二阶椭圆微分算子:
L =
1
2 2
n
i, j= 0
aij (x)
2
xt xj+ 2
n
i= 1
bi (x)
xi
, (aij = [ΡΡT ]ij)
其主要思想可以用以下非常简单的命题来概括:
命题 3. 1 若由(27) 定义函数 u (x , t)= (u
1, …, um ) T (x , t) 是 Cb
2, 1的, 则它也是偏
微分方程(28) 的唯一的Cb
2, 1解; 反之, 若(28) 有Cb
2, 1解, 则解唯一且关系式(27) 成立. 在
上述两种情况下我们都有 Y s
x , t= u (X s
x , t, s) , Zs
x , t= Ρ u (X s
x , t, s).
证明概要 我们仅考虑如何从(28) 推出(25). 若 u∈Cb
2, 1是(28) 的一个解, 则可以对
(u (X s
x , t, s) ) tΦ sΦ T 应用 Itoδ公式
du (X x , t
s
, s) = [
u
t
+ Lu ] (Xs
x, t, s)ds + Ρ u (Xs
x, t, s)dW s,
u (XT
x, t, T) = 5 (Xx, t
T ).
(29)
注意到
[
u
t
+ Lu](x, s)ds= - f(x, u(x, s), Ρ u (x, s) ) ,
从而若在(29) 中令
Y s
x , t = u (X s
x , t, s) , Z s
x , t = Ρ u (X s
x , t, s) , s ∈ [t, T ].
(30)
则显然(Y s
x , t, Zs
x , t) 是B SD E (26) 的解. 特别地, (27) 成立. 唯一性是由倒向随机微分方
程的唯一性而获得的. 证毕.
例 若在(25) 中令 t= 0, b≡ 0, Ρ= In (n 阶单位矩阵) , 则 X s
x , 0= x + W s. 此时要想
解出“现在时刻”∈[0, T ] BSD E (26) 的解(Y s
x , 0, Zs
x , 0) , 只要观察到 x + W s 的值, 然后代
入下式
(Y s
x , 0) i = ui (x + W s, s) , (Z s
x , 0) ij =
ui
x j
(x + W s, s) ,
i = 1, …, m , j = 1, …, n
(31)
其中 u (x , t) 是下面的偏微分方程的解
ui
t
+
1
2 ∃
ui + f i (x , u,
u) = 0, (x , t) ∈R n × [0, T ],
ut (x , T ) = 5 i (x ).
(32)
(27) 被称为非线性 Feynm an2Kac 公式. 它的一个特殊情况是当m = 1 且 f = c (x ) y + l
(x ). 此时对 Y s
x , texp∫s
tc(X r
x , t) d r 应用 Itoδ公式易得
u (x , t) = Y t
x , t = E∫T
t
exp ∫s
t
c(X x , t
r
)dr l (X x , t
s
)ds + E 5 (X x , t
T ) exp∫T
t
c(X x , t
r
)d r,
(33)
其中 u (x , t) 是下列线性偏微分方程的解
u
t
+ Lu+ c(x) + l(x) = 0, (x, t) ∈R n × [0, T ],
u(x, T) = 5 (x).
(34)
(33) 就是著名的 Feynm an2Kac 公式. 我们知道 Feynm an2Kac 公式为偏微分方程(34) 的
解提供了Monté2Carlo 型的随机算法. 从而自然想到: 是否可以应用非线性 Feynm an2
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Kac (27) 来计算非线性偏微分方程(28) 的解? 关于这一方面的研究最近已在法国国立信
息与自动化研究所( IN R IA ) 展开并获得初步成果(见[6]).
由于篇幅限制我们这里只能给出非线性 Feynm an2Kac 公式的关键思想. 这方面的
细节: 如在什么情况下 u (x , t) 是 C
2, 1 的(见[33], [34]); 若 u (x , t) 只是一个连续函数,
则如何用粘性解理论来处理(见[38, 33]); 如何处理边值问题(即将(28) 中的R n 换为
一个开区域D 并在边界 D 上提边值条件(见[ 35, 25 ]) ) ; 如何给出N avier2Stokes 方程
的解的概率表示等. 这些问题有的已经解决. 大部分还待解决. 与之相应的偏微分方程
的解的随机计算方法也有待展开. 用概率表示和处理非线性 PD E 的其它非常好的方法
可参考 Freidlin[ 20 ]及赵忠信等人的工作.
4 在数学金融学中的应用
为简明扼要, 我们仅考虑一个简单的证券市场. 市场中仅有一种股票和一种债券
(多种股票时有类似的结果). 债券是无风险的, 它的价格随时间 t 以指数的形式增长:
P 0 (t) = ert,
其中 r 是债券的利率. 而股票是有风险的, 它的价格按
P (t) = p exp [bt + ΡB (t) -
1
2 Ρ
2 t]
的形式变化, 其中 p 是现在时刻 t= 0的价格, b 是期望回报率, Ρ 是市场波动系数(volati2
tity) , B () 是一维标准B row n 运动. 此处 Ρ≠0(否则就是无风险的了). 我们不妨设 Ρ=
1. 而且忽略交易费. 今设一个自融资金且无消费的投资者. 他在时间[0, T ]的策略是: t
时刻将他的财产 y t 元中 z t 元买股票, y t- z t 元买债券. 则容易推出他的财产 y t 满足下列
方程:
dy t = f (y t, z t)d t - z tdB (t) , t ∈ [0, T ]
(35)
其中 f (y , z ) = ry + (b- r) z + (R - r) (y - z ) - . 而R 是市场的贷款利率, 它一般比 r 大,
当R = r 时 f = ry + (b- r)z. 我们立刻看到上面的方程具有典型的倒向随机微分方程的
结构. 而如前所述, 这意味着我们可以方便地利用倒向微分方程的理论和计算方法来为
投资者进行投资目标设计与管理. 例如若他计划在将来 T 时刻使自己的资产达到 Ν元,
则我们可以满足(35) 和
y T = Ν
(36)
的倒向随机微分方程. 获得唯一解(y t, z t). 其具体含义是: 他若要在 T 时刻达到目标 Ν,
则必须在0时刻投入 y 0元, 并且他在[0, T ]的投资策略也随之确定了: 在 t 时刻需用 z t 来
买股票, y t- z t 元来买债券. 上一节介绍的比较定理(特别是引理2. 6) 在这一问题里的具
体含义是: 一个投资者在 T 欲达到的目标越高, 则他在 t0时刻投入的资本要越大.
下面我们来看一下目前金融市场中的一个非常受重视的课题, 即期权定价问题. 通俗
地说, 期权就是一份合同. 合同的双方在 t= 0时刻商定一个执行合同, 并且甲方(W riter)
保证在给定的时刻 T 将一张股票以执行价格 q 卖给乙方, 只有乙方有优先权, 即在 T 时
刻乙认为不合适可以放弃合同.
不难看出, 这份合同实际上使乙方在 T 时刻获益(P (T ) 2q) + . 这是一种只有到了 T
时刻才能确定其真正获益大小的随机变量, 称为未定权益 (contingentclaim). 更一般未
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定权益是一个 F T 2可测的非负随机变量 Ν(对于期权 Ν= (P T - q) + ). 这类花样繁多的未
定权益的一个重要用途就是帮助各类投资者在风险迭起的生产和贸易活动中(作为乙方)
进行套期保值(hydging), 以回避风险, 它也构成了目前很流行的金融工程的主要数学基
础. 既然合同的受益方只有乙方, 那么乙方在 t= 0时刻就应付钱给甲方, 究竟付多少钱
才合理的问题就是期权定价问题(op tion p ricing). 这是现在时刻 t= 0就要确定的事情.
我们可以看到实际上这一合理价格 x 就是倒向随机微分方程(35) 在给定终端条件
(36) 下的解: x = y 0. 事实上, 若 x < y 0则甲方不干. 因为如前所述, 甲为了在 T 时刻获
得 Ν元并付给乙则他现在必须投入 y 0元, 所以没人会作这样的亏本生意; 另一方面, 若
x > y 0则甲方仅需拿出其中的 y 0元去投入金融市场并按(35) 的投资策略 z t, 从而在 T 时
刻获 Ν元并按合同付给乙方. 这意味着他可以在没有初始资本的情况下获利 x - y 0 元.
这样一种无本而可获利的机会在金融学上被称为套利机会(a rb itrage oppo rtu ity). 显然
这种有套利的价格不会是平衡价格, 因为否则所有的投资者都会争着大批地做这种卖出
期权的生意从而使价格降下来. 这种不容许套利机会存在的价格称为无套利价格. 有趣
的是, 只要知道现在时刻 t= 0的股票价格 P 0, 则这个期权价格 y 0就可以用前面引入的非
线性 Feynm an2Kac 公式来算出: y 0= u (P 0, 0). 其中 u 是下面的拟线性抛物型偏微分方
程
u
t
+ Lu+ f= 0, u(p, T) = (p - q) +
的解. 现令R = r 则 u (p , 0) 就有显式表达式. 这就是著名的B lack & Scho les 公式(1973)
[ 4 ]:
u (p , 0) = p 5 (Τ+ ) - q- rT 5 (Τ- ) ,
其中
5 (x ) =
1
2Π
∫x
- ∞
exp (-
a2
2
)da,
Τ±=
1
Ρ
T
[ lo g
p
q
+ (r ±
1
2 Ρ
2)T ].
(37)
自70年代初芝加哥期权交易所正式开业以来Black & Scholes 公式经受了20多年的考验.
一个惊人的事实是期权的实际成交价格的确总是在此公式所算出的价格上下作偏差不大
的波动. 而这一公式也成了作期权交易的投资者衡量盈亏和风险的主要计算工具. 以上
例子非常典型, 它不仅说明了倒向随机微分方程理论可以用来对期权定价问题进行更精
确更合乎实际的计算和分析, 重要的是我们可以用它来帮助各种类型的投资者进行回避
风险的套期保值及其它各类风险分析. 特别值得一提的是倒向随机微分方程理论可以用
来对不完全市场中的各种派生证券的定价及套期保值问题提供有力的分析和近似计算方
法. 一个典型的例子就是: 它可以解决投资组合(portfolio) 受限并且限制是非凸的情况
下的期权定价问题.
近来国际上一个重要的研究动向是: 上面提到的“套利定价理论”(APT) (金融市场
以外的) 范围更宽的各类投资风险分析(见[7, 53]). 我们也将应用倒向随机微分方程理
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2 期
彭实戈: 倒向随机微分方程及其应用
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论展开这方面的研究.
金融数学中的价格分析理论目前有两大类, 一类是前面提到的A PT 理论. 另一类
就是 CAM P 理论. CAM P 理论的基础是用于刻画描述人们的消费偏好的所谓“效用函
数”(utility function) 的概念. 著名经济学家Duffie 和 Ep stein 在1992 [ 12, 13 ]中 (也见
[ 27- 29, 21 ]) 提出, 在不确定环境下的效用函数应当由一种新的“随机微分效用方程”来
解出, 它实际上是倒向随机微分方程(8) 的一种特殊情况
dy t = g (y t, z t)d t - z tdB (t) , t ∈ [0, T ].
Y T = 0.
(38)
(但他们是独立获得这一方程的). 按照他们的观点, g 中的 z 是用以刻画所谓“风险厌
恶”(risk aversion) 的程度的. 但他们的理论只能处理 g 是 z 的平方和 g 不含 z 两种情
况. ElKaroui, Peng 和Q uenez 的文章[18]对此进行了系统的论述, 合理地解释了为什
么需要用更一般的倒向随机微分方程来刻画效用函数.
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111
2 期
彭实戈: 倒向随机微分方程及其应用
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
(3): 274—284.
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52 Saada N. These de Doctorat de U niversite de Paris2V I.
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versity, 1993.
56 Zhou Y. 复旦大学博士论文.
The Backward Stochastic D ifferential Equations and Its Application
Peng Shige
(D ep t. of M ath. , S handong U niv. , J inan, S handong , 250100)
Abstract This survey presents a new type of equations: backward stochastic dif2
ferential equations (BSDE). It points out the essetial differences between the classical
notions of ordinary differential equations, Itós (forward) stochastic differential equa2
tions and that ofBSDE. An existence and uniquenessofBSDE is given. Thispaper also
presents the comparison theorem, nonlinear Feynman2Kac formula which gives one to
one correspondence between a large kind of solutions of (system s of) nonlinear partial
differential equations and those ofBSDE. A s a remarkable example in applications, the
relations of BSDE and m athem atical finance are emphasized.
Key words stochastic differential equation; backward stochastic differential equa2
tion; nonlinear Feynm an2Kac fo rm ula; nonlinear partial differential equation of parabo l2
ic types and elliptic types;mathematical finance
211
数 学 进 展
26 卷
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166.111.121.20:9080/mathjournal/.../sxjz702000.caj.pdf
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景, 并且与其他数学分支如测度论、偏微分方程、微分几何、势论等发生了非常 ..... 它给出了一大类常见的倒向随机微分方程的解与非线性偏微分方程(组) 的解之间的 ...... ElKaroui, Peng 和Q uenez 的文章[18]对此进行了系统的论述, 合理地解释了为什.
這是 http://166.111.121.20:9080/mathjournal/SXJZ702/sxjz702000.caj.pdf 的 HTML 檔。
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