几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （26）宇宙学标准模型
26.0 什么是宇宙学模型
我们想建立一个关于宇宙的在最宏观尺度上的模型。我们希望对全部的时空有一个大体的描述。宇宙学模型不可能是纯理论的，我们必须先有一定的观测基础。但宇宙学模型也不可能是纯观测性的，因为我们的观测能力不足以完全确定它。但我们有爱因斯坦方程，所以我们可以把观测和爱因斯坦方程结合。按广义相对论的要求，我们同时也必须对宇宙间物质分布 有一个大体的描述。
26.1 宇宙学原理
最基本的观测事实是宇宙间的物质分布在各个方向上看 在大尺度下 几乎都是一样的。这叫各向同性。也就是说 对我们而言 宇宙没有一个空间上的特殊方向。
另一个基本假设是 人类在宇宙间的位置不是特殊的
。所以我们假定宇宙有一个整体的坐标时间（这样就有了时空分解），人类也用这个坐标时间， 而且宇宙的时空 在空间部分上的弯曲程度和物质分布 都是均匀的，即不同的 都使用整体坐标时间的 自由观察者的观测大体上是相同的。
宇宙学原理假定：时空在空间部分上的弯曲程度和物质分布都是均匀的，对观察者而言空间各向同性。
26.2 宇宙学原理不是必须的，但是是很有用的
当然宇宙不是严格的空间均匀的 或者对观察者而言各向同性的。但基于前述的宇宙学原理建立的模型已经是一个比较好的近似。如果我们想考虑更精确的模型，我们可以把非均匀的和非各向同性的修正加入进去。
在我的科普中，我只介绍宇宙学标准模型。该模型假定宇宙学原理。
26.3 宇宙学标准模型中空间部分 内在弯曲程度处处相同
在26.1中讲的宇宙学原理， 从数学上说即是：宇宙时空有整体的坐标时间，在由此给出的时空分解中，每一个时刻的空间部分上 描述空间部分内在弯曲的数学量在空间每一处都是相同的。我们称这样的度量流形为 常曲率流形。
这样一来空间部分的度量结构就极大的简化了。结果只有三种可能。
可能性1：空间部分 具有正的常曲率。 这里“正的”意味着从一点发出的几条测地线 会比平直的空间中的 从一点发出的几条测地线 要更收拢一些。比如内在的几何球面（见（5））就是 正的常曲率流形。但内在的几何球面是二维的， 而我们这里要的是一个3维的流形（空间是3维的）。也许你已经想到了，3维的球面上 可以有正的常曲率的度量结构。所以你可以用（内在的）3维球面作为心目中的例子。在（1）中我定义了嵌入的3维球面，在（4）中我们知道了嵌入的流形自动给出一个内在的流形。 很明显（内在的）3维球面既不是无限延展的，也没有边界。这就是 有的科普中说的“空间有限无边”的宇宙模型的一个例子。
可能性2：空间部分 具有是0的常曲率。 这里常曲率是0 意味着空间是平直的。所以标准的例子是 有标准度量结构的3维欧式空间。但要注意，我们只能推出 空间部分在局部上是 有标准度量结构的3维欧式空间。
可能性3：空间部分 具有负的常曲率。 这里“负的” 意味着从一点发出的几条测地线 会比平直的空间中的 从一点发出的几条测地线 要更散开一些。例子我就不举了（因为以后用不到这种情况）。
到底哪一种可能性描述我们的宇宙呢？这一点由实验观测决定（见下一篇
）。
26.4 宇宙学标准模型中 时空不是静态的
这指的是时空洛仑兹流形的度量结构 所用的变系数 “勾股定理”中的变系数 依赖于坐标时间。更确切地说，在空间部分三个方向用的变系数都是 同一个依赖于时间的变系数。如果该变系数随坐标时间的增大而增大，我们就说宇宙是膨胀的；如果该变系数随坐标时间的增大而减小，我们就说宇宙是收缩的
。
26.5 什么是宇宙膨胀
现在我们讲一讲怎么来体验宇宙膨胀。 我们用某一时刻的空间坐标来标记空间位置，然后在空间部分的度量结构 就会告诉我们这两个位置间的空间距离。过了一段（坐标）时间之后，由于计算空间距离时 用的“勾股定理”中的系数 变大了，这一距离也就变大了。一个经典的比方是：你在气球上用墨水点两个点。在吹气球时（气球膨胀），两个点的距离自然要变大。现在把气球换为3维空间部分就可以了。当然你要注意 气球是嵌入在更大的空间里的， 而宇宙的空间部分 已经是所有物理空间， 不嵌入任何其他的物理空间（虽然它嵌入时空）。
如果我们让某观察者A 向一定距离外的观察者B 发光信号（假定他们都在体验坐标时间，即以坐标时间为原时）。由于坐标时间是整体的，发信号时AB都位于某一时刻的空间部分中。B接到信号时 则位于一个较晚一些时刻的空间部分中。这时候 就会出现引力红移现象（也叫宇宙红移）：计算表明 接收到的光的频率与发出的光的频率 的比值 正好是 发出时刻的空间部分的（度量结构）变系数 与接收时刻的空间部分的（度量结构）变系数 的比值。宇宙膨胀意味着这个比值小于1。所以接收到的光频率变小了（在光谱上变红了）。
我们还可以把频率变化对时刻变化的依赖性 换算为 频率变化对观察者AB在某时刻的空间距离大小的依赖性。由于空间距离越大，发出与接收的时刻间隔也越大，所以我们不难看出 空间距离越大，红移程度越大。
宇宙红移的上述规律被天文观测证实了。 这是支持宇宙膨胀的最有力证据之一。
我们不妨把这里的红移和史瓦西解的引力红移 比较一下。史瓦西解的时空是静态的， 但空间部分不是均匀弯曲的（径向距离越小，弯曲度愈大）；引力红移 是由于不同空间位置处时间方向上的变系数不一样。而宇宙学标准模型中 时空不是静态的，但空间部分却是均匀弯曲的；引力红移 是由于不同时刻处空间方向上的变系数不一样。
26.6 还没有用爱因斯坦方程
迄今为止我们还没有使用爱因斯坦方程来分析宇宙的时空（这样我们能知道的事不多）。下一篇我们将这么做。
待续
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （28） [ changshou ] 于:2012-02-27 22:01:57 复:3659016
26.0 什么是宇宙学模型
我们想建立一个关于宇宙的在最宏观尺度上的模型。我们希望对全部的时空有一个大体的描述。宇宙学模型不可能是纯理论的，我们必须先有一定的观测基础。但宇宙学模型也不可能是纯观测性的，因为我们的观测能力不足以完全确定它。但我们有爱因斯坦方程，所以我们可以把观测和爱因斯坦方程结合。按广义相对论的要求，我们同时也必须对宇宙间物质分布 有一个大体的描述。
26.1 宇宙学原理
最基本的观测事实是宇宙间的物质分布在各个方向上看 在大尺度下 几乎都是一样的。这叫各向同性。也就是说 对我们而言 宇宙没有一个空间上的特殊方向。
另一个基本假设是 人类在宇宙间的位置不是特殊的
。所以我们假定宇宙有一个整体的坐标时间（这样就有了时空分解），人类也用这个坐标时间， 而且宇宙的时空 在空间部分上的弯曲程度和物质分布 都是均匀的，即不同的 都使用整体坐标时间的 自由观察者的观测大体上是相同的。宇宙学原理假定：时空在空间部分上的弯曲程度和物质分布都是均匀的，对观察者而言空间各向同性。
26.2 宇宙学原理不是必须的，但是是很有用的
当然宇宙不是严格的空间均匀的 或者对观察者而言各向同性的。但基于前述的宇宙学原理建立的模型已经是一个比较好的近似。如果我们想考虑更精确的模型，我们可以把非均匀的和非各向同性的修正加入进去。
在我的科普中，我只介绍宇宙学标准模型。该模型假定宇宙学原理。
26.3 宇宙学标准模型中空间部分 内在弯曲程度处处相同
在26.1中讲的宇宙学原理， 从数学上说即是：宇宙时空有整体的坐标时间，在由此给出的时空分解中，每一个时刻的空间部分上 描述空间部分内在弯曲的数学量在空间每一处都是相同的。我们称这样的度量流形为 常曲率流形。
这样一来空间部分的度量结构就极大的简化了。结果只有三种可能。
可能性1：空间部分 具有正的常曲率。 这里“正的”意味着从一点发出的几条测地线 会比平直的空间中的 从一点发出的几条测地线 要更收拢一些。比如内在的几何球面（见（5））就是 正的常曲率流形。但内在的几何球面是二维的， 而我们这里要的是一个3维的流形（空间是3维的）。也许你已经想到了，3维的球面上 可以有正的常曲率的度量结构。所以你可以用（内在的）3维球面作为心目中的例子。在（1）中我定义了嵌入的3维球面，在（4）中我们知道了嵌入的流形自动给出一个内在的流形。 很明显（内在的）3维球面既不是无限延展的，也没有边界。这就是 有的科普中说的“空间有限无边”的宇宙模型的一个例子。
可能性2：空间部分 具有是0的常曲率。 这里常曲率是0 意味着空间是平直的。所以标准的例子是 有标准度量结构的3维欧式空间。但要注意，我们只能推出 空间部分在局部上是 有标准度量结构的3维欧式空间。
可能性3：空间部分 具有负的常曲率。 这里“负的” 意味着从一点发出的几条测地线 会比平直的空间中的 从一点发出的几条测地线 要更散开一些。例子我就不举了（因为以后用不到这种情况）。
到底哪一种可能性描述我们的宇宙呢？这一点由实验观测决定（见下一篇
）。26.4 宇宙学标准模型中 时空不是静态的
这指的是时空洛仑兹流形的度量结构 所用的变系数 “勾股定理”中的变系数 依赖于坐标时间。更确切地说，在空间部分三个方向用的变系数都是 同一个依赖于时间的变系数。如果该变系数随坐标时间的增大而增大，我们就说宇宙是膨胀的；如果该变系数随坐标时间的增大而减小，我们就说宇宙是收缩的
。26.5 什么是宇宙膨胀
现在我们讲一讲怎么来体验宇宙膨胀。 我们用某一时刻的空间坐标来标记空间位置，然后在空间部分的度量结构 就会告诉我们这两个位置间的空间距离。过了一段（坐标）时间之后，由于计算空间距离时 用的“勾股定理”中的系数 变大了，这一距离也就变大了。一个经典的比方是：你在气球上用墨水点两个点。在吹气球时（气球膨胀），两个点的距离自然要变大。现在把气球换为3维空间部分就可以了。当然你要注意 气球是嵌入在更大的空间里的， 而宇宙的空间部分 已经是所有物理空间， 不嵌入任何其他的物理空间（虽然它嵌入时空）。
如果我们让某观察者A 向一定距离外的观察者B 发光信号（假定他们都在体验坐标时间，即以坐标时间为原时）。由于坐标时间是整体的，发信号时AB都位于某一时刻的空间部分中。B接到信号时 则位于一个较晚一些时刻的空间部分中。这时候 就会出现引力红移现象（也叫宇宙红移）：计算表明 接收到的光的频率与发出的光的频率 的比值 正好是 发出时刻的空间部分的（度量结构）变系数 与接收时刻的空间部分的（度量结构）变系数 的比值。宇宙膨胀意味着这个比值小于1。所以接收到的光频率变小了（在光谱上变红了）。
我们还可以把频率变化对时刻变化的依赖性 换算为 频率变化对观察者AB在某时刻的空间距离大小的依赖性。由于空间距离越大，发出与接收的时刻间隔也越大，所以我们不难看出 空间距离越大，红移程度越大。宇宙红移的上述规律被天文观测证实了。 这是支持宇宙膨胀的最有力证据之一。
我们不妨把这里的红移和史瓦西解的引力红移 比较一下。史瓦西解的时空是静态的， 但空间部分不是均匀弯曲的（径向距离越小，弯曲度愈大）；引力红移 是由于不同空间位置处时间方向上的变系数不一样。而宇宙学标准模型中 时空不是静态的，但空间部分却是均匀弯曲的；引力红移 是由于不同时刻处空间方向上的变系数不一样。
26.6 还没有用爱因斯坦方程
迄今为止我们还没有使用爱因斯坦方程来分析宇宙的时空（这样我们能知道的事不多）。下一篇我们将这么做。
待续
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （28） [ changshou ] 于:2012-02-27 22:01:57 复:3659016
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （28）宇宙学标准模型（续2）
28.1 大爆炸奇点
宇宙学标准模型的另一个重要后果是 如果我们沿着整体坐标时间往前追溯，则宇宙的空间部分在不断收缩。可以证明，在有限的坐标时间之前，空间部分度量结构的变系数 就降为0了。这意味着所有空间距离都趋向于0。由于宇宙间有物质，物质的密度趋于无穷大。 这就是著名的大爆炸奇点。广义相对论至此失效
。
28.2 大爆炸奇点是时空的来源
大爆炸奇点的存在意味着我们不能无限的沿坐标时间往回追溯，因为到了大爆炸奇点处空间就缩为一点了。因此我们可以说宇宙有有限的年龄。问大爆炸奇点之前有什么 没有意义，因为大爆炸奇点是时间起点。
同样的问大爆炸发生在何处没有意义，因为大爆炸奇点处全部物理空间缩为一点了。
当然严格说来，上面讲的是纯粹宇宙学标准模型的结论。由于广义相对论失效，在极接近大爆炸奇点时 很可能要由（未确立的）量子引力理论接管，宇宙学标准模型也要相应修改。因此更严肃的回答是：我们不知道 问大爆炸奇点之前有什么 是否有意义。因为我们不知道 大爆炸奇点附近的物理。
28.3 一个帮助你理解的玩具模型
我们考虑一个 有标准度量结构的3维欧氏空间。考虑所有以原点为球心的2维几何球面。取一条以原点为起点延伸至无穷的射线。射线上的每一点 有它到原点的距离。然后我们考虑半径为该距离的2维几何球面。 现在我们用球面的坐标（经纬度）和径向（沿射线的方向）的距离作为我们的坐标系。我们可以写下标准度量结构在这个坐标系的公式。然后我们在径向方向的系数前添上一个负号。
我们把径向方向（射线方向）作为时间方向（因为它的度量结构的系数是负的）。给定一个时刻，就等于给定一个半径。我们把给定时刻（半径）的2维几何球面 解释为宇宙的空间部分。这就是我的玩具模型。原点是大爆炸奇点。整个宇宙时空， 作为流形，就是3维欧氏空间。 它是由空间部分（2维几何球面）沿着时间方向（径向）演化而成的。由于随着时间（半径）的增大，几何球面上的距离在增大，所以宇宙在膨胀。宇宙在某一时刻的空间部分（2维几何球面）有限无边。
在这模型中，时间方向无（未来）终点，但是有起始。起点是原点，即大爆炸奇点。问大爆炸奇点 之前是什么没有意义，因为大爆炸奇点处时刻（半径）是0，而我们没有小于0的时刻（半径）。问大爆炸奇点 发生在何处也没意义， 因为大爆炸奇点不是位于某个物理空间里的，大爆炸奇点处2维几何球面（全部物理空间）缩为一点（半径为0的球面就是原点）。
当然现实的模型和玩具模型有区别。第一 这里的玩具模型空间部分只有2维，现实模型中应换为3维；第二 玩具模型空间部分 具有正的常曲率，而现实模型中是（极接近于）平直的；第三 现实模型中有物质和能量。
28.4 暴胀模型
暴胀模型说的是在很接近于大爆炸奇点但又不是特别特别接近（以至于要直接动用基本的量子引力理论）时，宇宙学标准模型要作重要调整（在稍稍离开大爆炸奇点以后就不需要调整）。调整的结论是由于某种来自于待定的基本理论的机制，宇宙在极短时间内（若干亿。。。亿分之一秒）空间暴胀了很多倍（若干亿。。。亿倍）。暴胀模型可以解决一些宇宙学标准模型中的棘手问题（但不包括最基本的 奇点是什么的问题和暗能量/宇宙常数是什么的问题）。由于它的一些预言受到了一些对宇宙不均匀性的精细观测的支持，不少宇宙学家都支持暴胀模型。 不过它的地位还没有宇宙学标准模型稳固。
爱因斯坦方程的初值问题告诉我们 柯西超曲面 完全决定了 由它演化出来的全局双曲的时空。这就是广义相对论在一般时空中的预言能力的来源。而29.1 又说很多时候这种全局双曲的时空是有奇点的（即测地线不完整）。 这样看来唯一的麻烦似乎就是 奇点处广义相对论失效。只要我们不考虑奇点附近的时空 应该就没事
28.1 大爆炸奇点
宇宙学标准模型的另一个重要后果是 如果我们沿着整体坐标时间往前追溯，则宇宙的空间部分在不断收缩。可以证明，在有限的坐标时间之前，空间部分度量结构的变系数 就降为0了。这意味着所有空间距离都趋向于0。由于宇宙间有物质，物质的密度趋于无穷大。 这就是著名的大爆炸奇点
。广义相对论至此失效。28.2 大爆炸奇点是时空的来源
大爆炸奇点的存在意味着我们不能无限的沿坐标时间往回追溯，因为到了大爆炸奇点处空间就缩为一点了。因此我们可以说宇宙有有限的年龄。问大爆炸奇点之前有什么 没有意义，因为大爆炸奇点是时间起点。
同样的问大爆炸发生在何处没有意义，因为大爆炸奇点处全部物理空间缩为一点了。当然严格说来，上面讲的是纯粹宇宙学标准模型的结论。由于广义相对论失效，在极接近大爆炸奇点时 很可能要由（未确立的）量子引力理论接管，宇宙学标准模型也要相应修改。因此更严肃的回答是：我们不知道 问大爆炸奇点之前有什么 是否有意义。因为我们不知道 大爆炸奇点附近的物理。
28.3 一个帮助你理解的玩具模型
我们考虑一个 有标准度量结构的3维欧氏空间。考虑所有以原点为球心的2维几何球面。取一条以原点为起点延伸至无穷的射线。射线上的每一点 有它到原点的距离。然后我们考虑半径为该距离的2维几何球面。 现在我们用球面的坐标（经纬度）和径向（沿射线的方向）的距离作为我们的坐标系。我们可以写下标准度量结构在这个坐标系的公式。然后我们在径向方向的系数前添上一个负号。
我们把径向方向（射线方向）作为时间方向（因为它的度量结构的系数是负的）。给定一个时刻，就等于给定一个半径。我们把给定时刻（半径）的2维几何球面 解释为宇宙的空间部分。这就是我的玩具模型。原点是大爆炸奇点。整个宇宙时空， 作为流形，就是3维欧氏空间。 它是由空间部分（2维几何球面）沿着时间方向（径向）演化而成的。由于随着时间（半径）的增大，几何球面上的距离在增大，所以宇宙在膨胀。宇宙在某一时刻的空间部分（2维几何球面）有限无边。
在这模型中，时间方向无（未来）终点，但是有起始。起点是原点，即大爆炸奇点。问大爆炸奇点 之前是什么没有意义，因为大爆炸奇点处时刻（半径）是0，而我们没有小于0的时刻（半径）。问大爆炸奇点 发生在何处也没意义， 因为大爆炸奇点不是位于某个物理空间里的，大爆炸奇点处2维几何球面（全部物理空间）缩为一点（半径为0的球面就是原点）。
当然现实的模型和玩具模型有区别。第一 这里的玩具模型空间部分只有2维，现实模型中应换为3维；第二 玩具模型空间部分 具有正的常曲率，而现实模型中是（极接近于）平直的；第三 现实模型中有物质和能量。
28.4 暴胀模型
暴胀模型说的是在很接近于大爆炸奇点但又不是特别特别接近（以至于要直接动用基本的量子引力理论）时，宇宙学标准模型要作重要调整（在稍稍离开大爆炸奇点以后就不需要调整）。调整的结论是由于某种来自于待定的基本理论的机制，宇宙在极短时间内（若干亿。。。亿分之一秒）空间暴胀了很多倍（若干亿。。。亿倍）。暴胀模型可以解决一些宇宙学标准模型中的棘手问题（但不包括最基本的 奇点是什么的问题和暗能量/宇宙常数是什么的问题）。由于它的一些预言受到了一些对宇宙不均匀性的精细观测的支持，不少宇宙学家都支持暴胀模型。 不过它的地位还没有宇宙学标准模型稳固。
爱因斯坦方程的初值问题告诉我们 柯西超曲面 完全决定了 由它演化出来的全局双曲的时空。这就是广义相对论在一般时空中的预言能力的来源。而29.1 又说很多时候这种全局双曲的时空是有奇点的（即测地线不完整）。 这样看来唯一的麻烦似乎就是 奇点处广义相对论失效。只要我们不考虑奇点附近的时空 应该就没事
No comments:
Post a Comment