是不是内部弯曲，通过局部性质就可以确定，不用去考察其全局的性质,我思考的误区是，以为可以通过映射，在一个球面的局部建立一个欧式坐标标架。但这个标架是近似的，如果我们的测量精度足够高，还是能够感知到，勾股定理不是严格成立的。

我想lz表达的是 [ 大散人 ] 于:2015-04-16 23:28:38 复:4112400

是不是内部弯曲，通过局部性质就可以确定，不用去考察其全局的性质。
而外部弯曲：比如你拿到一块比你大若干倍的碎片，它满足了勾股定理，你也分不清它到底是圆柱面的一小块，还是真的是平面的一小块。


经纬线圈 是球面上定义或测距离的基础（给定两城市的经纬度，它们的距离就确定了）。

明白了！谢谢 [ pseudo ] 于:2015-04-16 23:49:33 复:4112466

我思考的误区是，以为可以通过映射，在一个球面的局部建立一个欧式坐标标架。但这个标架是近似的，如果我们的测量精度足够高，还是能够感知到，勾股定理不是严格成立的。


从勾股定理的角度讲， 几何球面上 “球面三角形”不满足 勾股定理。 取赤道， 东经30度经线（从北极到赤道），东经60度经线（从北极到赤道） 这三根线。 我们得到 几何球面上的一个“三角形”。东经30度经线 垂直于 赤道（看地球仪）。所以他应是“直角边”。于是 东经60度经线 该是 “斜边”。 可是这两条经线 从北极到赤道的距离是一样。显然勾股定理不成立了。 这意味着 在嵌入的几何球面 定义距离 和测距离 哪怕在局部上 和在平面上作 是不一样的。（严格说来：我还没有讲 在嵌入的几何球面上怎么定义距离，但实际上这个距离 就是我们每天用的 不同城市间的距离。 如前所述，这种距离 和平面上基于勾股定理的距离 不一样。）这就是 圆柱体的侧面 的弯曲 和 嵌入的二维球面 的弯曲 的本质不同。


5.4 嵌入的几何球面 等于 嵌入的橡皮膜球面 加上 度量结构
我在5.3讲了嵌入的几何球面。 这和 嵌入的橡皮膜球面 有何关系？ 回顾2.2 （或上文），嵌入的几何球面 等于 嵌入的橡皮膜球面 加上 经纬线圈。经纬线圈 是球面上定义或测距离的基础（给定两城市的经纬度，它们的距离就确定了）。更确切地说 如同 平面上我们用直角三角形 作为 定义或测距离的标架并用勾股定理定义距离， 嵌入的几何球面上 我们用 经纬线圈为边的球面三角形 作为 定义或测距离的标架。一个度量结构， 就是制定一组 定义或测距离的标架和从这些标架给出距离的法则。你可以把 定义度量结构 理解为 定义距离。（标架和法则的关系其实有些复杂， 见（8）的讨论）。