暋暋2012年7月出版的 PhysicsToday 杂志刊登了耶鲁大
学 NicholasRead教授撰写的《拓扑物态和准粒子编织》一
文.文章深入浅出地介绍了拓扑物态的基本性质,准粒子交
换和非阿贝尔统计,拓扑物态的物理实现及其在拓扑量子计
算中的潜在应用.下面摘译其中的主要内容.
我们熟知的固液气三相以及其他常规物态可以通过局
域性质来区分,例如系统中某一点的粒子密度,或者某一点
附近一个小区域内的粒子数.传统凝聚态物理的观点是,如
果在参数空间里的两相无法用任意一条路径光滑连接的话,
这两相的对称性质一定存在着差别.例如固态冰破缺了液态
水的平移对称性,粒子密度出现了空间上的周期调制———从
无到有的调制表征了水到冰的相变.
当温度非常低或者说在零温下时,量子力学效应往往比
热涨落更为重要.这时系统处于量子物态,粒子占据能量最
低的基态.系统哈密顿量中参数的变化可以诱发量子相变,
从而导致系统的对称性发生变化.量子力学中可观测量是由
算符来描述的,其中局域观测量由局域算符来描述,只影响
算符所在位置附近小范围内的系统.
拓扑物态中受能隙保护的基态
在传统的理解中,冰和水是不同的物态,它们有不同的
对称性;另一方面,晶格冰有简并的基态,但由对称性相联
系.这些传统的普适对称特征现在看来并不完备,物态可能
只有拓扑性质的差别,基态的简并可以不涉及对称性,而涉
及非局域的操作.在过去的30年里,理论物理学家发现了这
种完善我们认识的量子物态,即拓扑物态.
考虑真空中或周期势中一群没有内部结构的点粒子.局
域性意味着粒子之间只有短程相互作用,从而哈密顿量可以
表示成局域算符之和.作用在基态上的局域算符一般把系统
激发到高能态上.相对于基态而言,产生局域激发的最小能
量称为能隙.如果系统的粒子数密度保持不变而粒子数趋向
于无穷大时能隙持续存在,我们说系统处在拓扑物态.当哈
密顿量稍作改变时,系统的能隙依然存在.
无限大的系统中可以存在无法用局域算符产生的能态,
它们的激发能可能为零,即与基态简并.有意思的是,这些简
并的基态可能既无法用任何局域算符互相映射,也无法用任
何局域算符的期待值来区分.在这种情况下,哈密顿量的小
变化无法改变基态的简并度.拓扑物态的基态简并度依赖于
物态本身和边界条件,可以用来区分不同的拓扑物态.在拓
扑物态中不改变的性质称为拓扑性质,包括能隙的存在以及
给定边界条件下基态的简并度.拓扑性质不受哈密顿量被微
扰的影响;事实上,这一点类似于数学中的拓扑学,后者研究
不随描述物体形状的参数而改变的几何性质.
如果说基态简并度不可能通过在哈密顿量中加入微小
的局域算符来解除的话,那么这些简并基态从局部看上去应
该完全相同.在非常大的尺度上它们会有不同,但不可能从
局部来探测这种差别.所以拓扑性质是全局的,是集体效应,
但有别于传统物态中的集体效应.可以把这些态想象为液
体,而波函数是粒子很多不同组态的量子叠加.拓扑性质依
赖于长程的量子纠缠,而不是传统意义上的关联.
准粒子激发及其统计性质
拓扑物态中存在无法用局域算符产生或消灭的激发.从
能量上说,这些激发态与基态不简并;也就是说,在空间中某
些区域,可以用局域算符把这些态和基态区分开.这些区域
通常是点状的缺陷(而不是线状的),无法用局域算符消除.
这些需要非局域算符产生的缺陷被称为准粒子,它们的位置
大致说来就是缺陷的中心.除去准粒子,这些激发态和基态
没有区别,而准粒子的位置可以用局域算符来改变.从而准
粒子就像粒子一样,可以有动能和有效质量.如果在哈密顿
量中加入合适的局域项,它们也可以受到来自相应位置的吸
引力或排斥力.
与基态类似,由给定位置而间隔又足够远的准粒子组成
的激发态也可以是简并的1).这种简并的解除无法通过在哈
密顿量中添加局域项来实现,特别是用来调控准粒子位置的
局域算符,所以这些简并的准粒子态在局域是不可区分的.
对于给定准粒子位置的系统来说,准粒子态的简并度随粒子
数增加而指数增长.
准粒子态的拓扑简并暗示着拓扑物态在量子信息科学
中有潜在的应用.在简并的准粒子态空间,量子信息是非局
域储存的.当系统与环境耦合在一起时,这种存储的好处是
显然的.如果起耦合效应的相互作用项是局域的,那么初始
存储的信息无法在简并的子空间内退相干,这是相比其他量
子计算方案来说最吸引人的地方.
如何对存储在简并准粒子态中的信息实现操控,也就是
实现拓扑量子计算? 为此,我们需要研究拓扑物态中准粒子
的量子统计,也就是说,系统波函数在全同准粒子的交换下
如何改变.从技术上说来,我们需要绝热地移动准粒子以实
现交换.绝热保证了粒子移动时系统状态不被激发,从而准
粒子交换的结果使系统获得了一个贝里相因子(不简并情
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