Friday, July 17, 2015

局部上來說，由於光滑流形看起來就是歐氏空間，流形上的光滑函數就是歐氏空間中的光滑函數。你當然希望你的微積分在座標變換下的意義是不變的，因此，你會要求你的函子C_{X}^{\infty}是一個層。基本上來說，層的概念就是透過微分流形才產生的。而層的一些條件就是在告訴你，微分流形上的微積分學是良定(well-defined)的(在座標變換的意義下不變)。

丘成桐院士演講：現代幾何的發展

episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_4_09/

這是從Gauss 開始的，Gauss 對微分幾何主要的貢獻是研究Gauss 曲率與內在幾何 ... 而發展出來的；Lobatchevsky 研究曲率K= -1 的雙曲空間，這個研究與平行公理有 ... 了活動標架法，20世紀初期，Cartan、Flex Klein 對幾何的看法與Gauss、黎曼的 ...

从双曲几何到Gauss-Bonnet-Chern定理 - 繁星客栈- 网友原创 ...

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曲面上多边形的Gauss曲率K在曲面上的积分加上多边形边界曲线的测地曲率k_g在 .... 在二维，曲率标量就是高斯曲率，所以Gauss-Bonnet 实际上告诉我们二维引力 ...

高斯曲率- 维基百科，自由的百科全书

https://zh.wikipedia.org/wiki/高斯曲率轉為繁體網頁

它是曲率的内在度量，也即，它的值只依赖于曲面上的距离如何测量，而不是曲面如何嵌入到空间。这个结果是高斯绝妙定理的主要内容。用符号表示，高斯曲率K定义 ...

[PDF]to download the PDF file. - 中研院數學研究所

w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d164/16410.pdf

獻是研究Gauss 曲率與內在幾何間的關係。內在性是指只 ... 之寫法無關, 例如一張紙曲率K = 0, 將其. 捲起來 ... 很大的影響, 他引進了活動標架法,20世紀初. 期,Cartan ...

常Gauss曲率,constant Gauss curvature,音标,读音,翻译,英文 ...

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构造了三维欧氏空间R~3中的螺旋面,该螺旋面平均曲率H和Gauss曲率K满足线性关系lH+K=c(l≠0), ... 超曲面的Gauss-Kronecker曲率是一个重要的几何不变量。 3.

An Introduction to Riemann-Finsler Geometry - 豆瓣读书

book.douban.com/review/5168070/ - 轉為繁體網頁

評論者：[已注销]

2011年11月13日 - 在Chern联络下，曲率被分成两项，Riemann曲率张量和Chern曲率张量。 ... 伪标量，它是Cartan伪标量的导数，而[;K;]是熟知的Gauss曲率。

咨询一下曲率的事，我学的不好，各位不吝赐教_相对论吧_ ...

tieba.baidu.com/p/3189341913 轉為繁體網頁

曲率标量”是Riemann张量的迹，它跟Gauss曲率不是一个意思。Gauss曲率一般是指曲面 ... 这时候标量曲率R和K成正比，可以看成是一回事。当然这只是二维的情况， ...

【转贴】微分几何科普(1):浅谈度规和曲率by 萍踪浪迹. 望月殿_ ...

tieba.baidu.com/p/872060567 轉為繁體網頁

Gauss绝妙定理指出, Gauss曲率K在曲面的等距变换下保持不变.即曲面的内蕴 ... 其中R_ij为时空的Ricci曲率,R为时空的标量曲率, g_ij为时空的度规张量. ∧为宇宙学 ...

引力論: - 第 515 頁 - Google 圖書結果

https://books.google.com.hk/books?isbn=9570911336 - 轉為繁體網頁

1997 - ‎Astrophysics

( 21.75 )式和( 21.76 )式郎所謂 Gauss 和 Codazz ... 卒二古 R 一古( n . n ) - 1 [ ( TrK ) 2 一 Tr ( K2 ) ]式中 R 是三維標量曲率不變量, Tr 表示「逃」;即 TrK =叫 K 。= gUK ...

光滑流形(Smooth Manifold) | 尼斯的靈魂

https://frankliou.wordpress.com/2012/03/07/流形/

2012年3月7日 - 你當然希望你的微積分在座標變換下的意義是不變的，因此，你會要求你 ... 启发的如平均曲率流是物上首先. ... 它介乎于拓扑和黎曼几何之间"共形映射就是保角映射, 如图1所示. .... 流形M上相同階次的張量組成一個以M為底的纖維叢(張量叢)，張量場是它的截面，切叢、余切叢、向量場、一次微分形式都是它們的特例。

[PPT]近代幾何的發展丘成桐香港中文大學數學科學研究所

www.cms.zju.edu.cn/UploadFiles/AttachFiles/20054411421524.ppt

研究這種內積的幾何學叫做黎曼幾何，它推廣了歐氏幾何、雙曲幾何和橢圓幾何。 .... 在環的情形，任何黎曼度量可以保角變換到曲率為零的環：在平面上取平行四邊形， ...

缺少字詞：截面

[转载]黎曼空间 - 新浪博客 - 新浪网

blog.sina.com.cn/s/blog_698544fb01016r0t.html 轉為繁體網頁

2012年7月28日 - 在高维时高斯曲率的自然推广为截面曲率(见黎曼几何学)。 .... 两个黎曼曲面M和N称为保角等价（或共形等价），如果存在一个双射的从M到N的全纯 ... 到R²的映射，在点z的雅可比矩阵也就是由乘以复数h'(z)的运算给出的实线性变换。

繁星客栈- 望月殿(数学逻辑论坛)

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2005年11月23日 - 14 篇文章 - ‎4 位作者

截面曲率恒为－1 的黎曼度量。 .... 是复平面C,我们可以将H^3紧致化使得他的边界是球面，并且H^3的等距变换可以延拓为边界球面上的保角变换。

phymath999: 黎曼曲面沒有距離保角黎曼觀點是平凡人觀點活 ...

phymath999.blogspot.com/2014/12/blog-post_719.html 轉為繁體網頁

2014年12月15日 - 就可以引进曲率的观念，距离可以决定曲率，这是黎曼几何一个重大的突破， . ... 据，降低不平衡度；然后以黎曼几何为依据，利用保角变换，对核函数进行 ..... 域位势的瑞奇极点理论粒子被中心复势场散射总散射截面; 核对于中子只起.

黎曼曲面（一维复流形）_百度百科

baike.baidu.com/view/786971.htm 轉為繁體網頁

黎曼曲面的研究不仅是单复变函数论的基本问题之一，而且与众多的现代数学分支 ... 因而,分式线性变换组成的间断群(即克莱因群,包括富克斯群)的理论和黎曼曲面理论有紧密的联系。 .... 两个黎曼曲面M和N称为保角等价(或共形等价conformally equivalent)，如果 ... 每个连通黎曼曲面可以转成有常数曲率-1，0或1 的完备实黎曼流形。

缺少字詞：截面

[DOC]《微分几何》教学大纲一、课时总数：128学时，其中自学72学时 ...

202.192.128.61/jigou/.../《微分几何》教学大纲.doc 轉為繁體網頁

7、保角变换(保形变换)的概念，曲面间的变换为保角变换的充要条件。第三节曲面的第 ... 2、曲面与曲线的曲率，法截面与法截线，法曲率，梅尼埃 (Meusnier)定理。 ... 2、曲面的黎曼(Riemann) 曲率张量和高斯──科达齐──迈固纳尔迪公式。 3、高斯 ...

[PDF]近似可展曲面的构造及应用

staff.ustc.edu.cn/~dengjs/.../45%20minigauss_surface.pdf 轉為繁體網頁

经典微分几儡可中Gauss 曲率为零的曲面称为可展曲面, 它是一种特殊的直纹面可. 展曲面有 ... 相连而成在此，GauSS 曲率K 的范数也有多种取法，比如乙P(n) 范数.

Issac

光滑流形(Smooth Manifold)

In 微分幾何 on 03/07/2012 at 7:11 下午

導言

今天要跟各位談的是一種比較特殊的拓樸空間，這個拓樸空間呢叫做流形(Manifold)。這個拓樸空間特別的地方就在於它每個點的附近看起來都像歐氏空間，換句話說，他是由一些歐氏空間所黏貼而成。舉例來說，我們所生長的地球就是一個具有這樣性質的空間。想一想，我們生活在地球上，我們自己覺得是生活在平地上並沒有感覺到我們所生活的空間是彎曲的。由於這個空間局部上看起來很像是歐氏空間，所以我們可以賦予這空間座標系的概念。例如，我們熟知的地球，有經度跟緯度這樣的概念，而經緯的概念就是座標系的概念。在介紹一般的流形概念之前，讓我們先來看一下，在歐氏空間中如何定義曲線與曲面的概念。
我們使用 $(x_{1},\cdots,x_{n})$ 來表示歐氏空間的(標準)直角座標。

歐氏空間的參數化曲線

令 $I=[a,b]$ 區間，連續函數 $c:I\to \mathbb{R}^{n}$ 稱為 $\mathbb{R}^{n}$ 中的一條參數化曲線。如果 $c(t)=(x_{1}(t),\cdots,x_{n}(t)),$ $t\in I$ 且 $x_{1},\cdots,x_{n}:I\to\mathbb{R}$ 均是光滑函數，則我們稱 $c$ 是光滑曲線。如果 $c$ 是光滑曲線並且 $c'(t)\neq 0,$ $t\in I,$ 則我們稱 $c$ 是一條正則的光滑曲線。以下我們討論的曲線均為光滑的正則曲線。
假設 $t_{0}\in I$ 且 $c(t_{0})=p,$ 則我們稱 $c'(t_{0})$ 是曲線 $c$ 在 $p$ 點的切向量，我們記 $v_{p}=c'(t_{0})$ 。
範例:令 $c(t)=p+tv,$ $t\in\mathbb{R}$ 其中 $p,v\in\mathbb{R}^{n}$ 且 $v\neq 0$ 。則 $c$ 是通過 $p$ 點且在 $p$ 點的切向量為 $v$ 的正則曲線。
範例:令 $I=(-\pi,\pi)$ 且 $c:I\to\mathbb{R}^{2}$ 為 $c(t)=(\cos t,\sin t)$ 。則 $c$ 是歐氏平面上的正則曲線。此時 $c'(0)=(0,1)$ 為曲線在 $c(0)=(1,0)$ 時的切向量。
範例:令 $I$ 同上。定義 $c:I\to\mathbb{R}^{3}$ 為 $c(t)=(\cos t,\sin t,t)$ 則 $c$ 為 $\mathbb{R}^{3}$ 上的正則曲線。且 $c'(0)=(0,1,1)$ 是曲線在 $c(0)=(1,0,0)$ 上的切向量。
令 $\{e_{1},\cdots,e_{n}\}$ 表示 $\mathbb{R}^{n}$ 的標準基底。令 $f:U\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ 表示一個可微分函數，其中 $U$ 是一個開集合。任取一條 $U$ 中的曲線 $c:(-\epsilon,\epsilon)\to U,$ 其中 $\epsilon>0$ 。令 $c(0)=p$ 且 $c'(0)=v.$ 我們定義函數 $f$ 在 $P$ 點延著 $v$ 方向的方向導數為

$\displaystyle v_{p}[f]=\left.\frac{d}{dt}(f\circ c)(t)\right|_{t=0}.$

如果 $v=\sum_{i=1}^{n}v_{i}e_{i},$ 則

$\displaystyle v_{p}[f]=\sum_{i=1}^{n}v_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(p).$

事實上我們還可以把上述式子改寫為

$\displaystyle v_{p}[f]=\left(\sum_{i=1}^{n}v_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)|_{p}f.$

換句話說，我們可以把 $v_{p}$ 當作是微分算子來使用:

$\displaystyle v_{p}=\sum_{i=1}^{n}v_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(p).$ (*)

如果 $f,g$ 均是定義在 $p$ 點附近的光滑函數，則我們可以驗證:

(1) $v_{p}(af+bg)=av_{p}(f)+bv_{p}(g),$ $a,b\in\mathbb{R}$

(2) $v_{p}(fg)=v_{p}(f)g(p)+f(p)v_{p}(g).$

於是切向量就被賦予了新的意義。當然這意義是人工的，我們只是把切向量看成是對函數做微分。這樣的目的是為了在抽象的流形中引入切向量的概念，隨後我們會見到。

定理: $\displaystyle\left\{\frac{\partial}{\partial x_{i}}(p):1\leq i\leq n\right\}$ 是 $T_{p}\mathbb{R}^{n}$ 的標準基底。

如果 $v_{p}$ 如(*)。我們記 $v_{p}=(v_{1},\cdots,v_{n})_{p}$ 。稱為向量 $v_{p}$ 對於基底的座標表示。

範例:假設 $f(x,y)=x^{2}+y$ 。令 $c(t)=(\cos t,\sin t),$ $-\pi\leq t<\pi$ 。試球出 $f$ 在 $p=(1,0)$ 點沿著 $v$ 方向的方向導數。

解:

方法一: $h(t)=f(\cos t,\sin t)=\cos^{2}t+\sin t$ 。所以 $h'(0)=1$ 。

方法二: $\nabla f(x,y)=(2x,1)$ 。則 $\nabla f(1,0)=(2,1)$ 。由於 $v_{p}=(0,1)$ 。所以 $v_{p}[f]=\nabla f(p)\cdot v_{p}=1$ 。

我們發現，由方法一跟方法二得到的結果相同。

歐氏空間中的 $k$ 維曲面

假設 $D$ 是 $\mathbb{R}^{k}$ 中的開集合。令 $X:D\to\mathbb{R}^{n}$ 表示一光滑映射且
(1) $X:D\to X(D)$ 是一個拓樸同胚
(2)任意的 $u\in D,$ $dX_{u}$ 是一個rank為 $k$ 的矩陣。
則我們稱映射 $X$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的一個 $k$ 維參數化曲面(我們或稱 $X(D)$ 是一個 $k$ 維參數化曲面)。當 $k=n-1$ 時，我們稱此曲面為 $\mathbb{R}^{n}$ 中的超曲面。
我們使用 $(u_{1},\cdots,u_{k})$ 做為 $\mathbb{R}^{k}$ 的座標函數， $(x_{1},\cdots,x_{n})$ 作為 $\mathbb{R}^{n}$ 的座標函數。矩陣 $dX_{u}$ 行向量均形如 $\displaystyle\beta=\left\{\frac{\partial X}{\partial u_{1}}(u),\cdots,\frac{\partial X}{\partial u_{k}}(u)\right\}$ 。由於 $dX_{u}$ 是rank為 $k$ 的矩陣，所以 $\beta$ 是一個線性獨立集合，我們稱 $\beta$ 所構成的向量空間是參數化曲面 $X$ 在 $p=X(u)$ 的切空間，將其記為 $T_{p}M$ 。
範例:令 $D=(0,2\pi)\times (-\pi,\pi).$ 定義 $X:D\to\mathbb{R}^{3}$ 如下:

$X(\phi,\theta)=(\cos\phi\sin\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\theta).$

則 $X$ 是一個二維的參數化曲面(事實上它是二維球面的一部分)。而曲面的切向量為
$X_{\phi}=(-\sin\phi\sin\theta,\cos\phi\sin\theta,0),$
$X_{\theta}=(\cos\phi\cos\theta,\sin\phi\cos\theta,-\sin\theta).$
當你把不同的 $k$ 維參數化曲面給黏貼起來，那麼你就得到了一般的 $k$ 維曲面。
定義:令 $M$ 表示 $\mathbb{R}^{n}$ 中的子集合。我們稱 $U$ 是 $M$ 的一個開集合若且唯若存在 $\mathbb{R}^{n}$ 中的開集合 $U'$ 使得 $U=U'\cap M$ 。因此 $M$ 成了一個拓樸空間。如果存在 $M$ 的一個開覆蓋 $\{U_{\alpha}\}$ 使得每個 $U_{\alpha}$ 都是參數化曲面(意思就是:任給一個 $\alpha,$ 存在滿足參數化曲面的映射 $X_{\alpha}:D_{\alpha}\subset\mathbb{R}^{k}\to U_{\alpha}$ )則我們稱 $M$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的 $k$ 維曲面。
範例: $S^{2}=\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的一個二維曲面。

光滑流形的一般定義

嚴謹的流形定義如下:假設 $X$ 是一個拓樸空間，如果此拓樸空間滿足下列條件，則我們稱此拓樸空間為一個拓樸流形:任給一個 $X$ 上的點 $x$ ，存在 $x$ 的開鄰域 $U$ 與歐氏空間 $\mathbb{R}^{n}$ 中的開集合 $V$ 使得 $U$ 與 $V$ 是拓樸同胚。換句話說，存在一個一對一且映成的連續函數 $\varphi:U\subset X\to V\subset\mathbb{R}^{n},$ 使得 $\varphi^{-1}:V\to U$ 也是連續函數。任取 $U$ 上的點 $p,$ 則 $\varphi(p)=(x_{1}(p),\cdots,x_{n}(p))$ 。我們稱函數組 $\{x_{1},\cdots,x_{n}\}$ 是 $x$ 點附近的一個局部座標系。而 $\varphi^{-1}:V\to U$ 則稱為 $U$ 的參數化(parametrization)。
假設 $X$ 是一個拓樸流形，並且存在 $X$ 上的開覆蓋 $\{U_{\alpha}\},$ 以及 $U_{\alpha}$ 上的局部座標系 $\varphi_{\alpha}$ 使得當 $U_{\alpha}\cap U_{\beta}\neq\phi$ 時，

$\varphi_{\beta}\circ\varphi_{\alpha}^{-1}:\varphi_{\alpha}(U_{\alpha}\cap U_{\beta})\to\varphi_{\beta}(U_{\alpha}\cap U_{\beta})$

是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的微分同胚，則我們稱 $X$ 為光滑流形。而 $\{U_{\alpha},\varphi_{\alpha}\}$ 就稱為 $X$ 的地圖集(atlas)。

以下我們談到的 $X$ 指的均是光滑流形。附註:如果 $\varphi_{\alpha}:U_{\alpha}\to V_{\alpha}\subset\mathbb{C}^{n}$ 且 $\varphi_{\beta}\circ\varphi_{\alpha}^{-1}$ 是 $\mathbb{C}^{n}$ 上的複解析函數，那麼我們稱 $X$ 是一個複流形。
定理: (Whitney Embedding Theorem) 假設 $M$ 是一個 $n$ 微流形，則存在 $N>0$ 使得 $M$ 是 $\mathbb{R}^{N}$ 的 $n$ 維曲面。
這個定理告訴我們，所有的光滑流形都是某個歐氏空間中的光滑曲面。

光滑流形的環空間定義方式

令 $U$ 是 $X$ 中的開集合，並且 $f:U\to \mathbb{R}$ 是一個連續函數。如果對任意的 $\alpha$ 使得 $U\cap U_{\alpha}\neq\phi$ ，合成函數

$f\circ \varphi_{\alpha}^{-1}:\varphi_{\alpha}(U\cap U_{\alpha})\to\mathbb{R}$

是定義在 $\varphi_{\alpha}(U\cap U_{\alpha})\subset\mathbb{R}^{n}$ 上的光滑函數，則我們稱 $f:U\to\mathbb{R}^{n}$ 是定義在 $U$ 上的一個光滑函數。令 $C_{X}^{\infty}(U)$ 表示所有定義在 $U$ 上的實值光滑函數所形成的集合。
定理:函數空間 $C_{X}^{\infty}(U)$ 構成實交換環。
如果 $V$ 是 $U$ 的開子集並且 $f$ 是 $U$ 上的光滑函數，令 $f|_{V}$ 表示 $f$ 限制在 $V$ 上的函數。換句話說，我們定義 $f|_{V}:V\to\mathbb{R}$ 為 $f|_{V}(P)=f(P),$ $P\in V.$ 利用光滑函數的定義，我們可以證明 $f|_{V}$ 是 $V$ 上的光滑函數。因此 $f|_{V}\in C_{X}^{\infty}(V).$ 我們很自然的得到了一個環的同態映射(homomorphism)

$r_{U,V}:C_{X}^{\infty}(U)\to C_{X}^{\infty}(V),$ $f\mapsto f_{V}.$

假如 $W\subset V\subset U,$ 我們還可以證明

$r_{U,W}=r_{V,W}\circ r_{U,V}.$

如果 $f$ 是定義在 $U$ 上的光滑函數，假設 $\{U_{\alpha}\}$ 是 $U$ 的開覆蓋，並且 $f|_{U_{\alpha}}=0,$ 利用連續函數的性值，我們可以推得 $f=0.$ 假設 $f_{\alpha}\in C_{X}^{\infty}(U_{\alpha}),$ 並且

$f_{\alpha}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}=f_{\beta}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}},$

我們定義 $f:U\to\mathbb{R}$ 為 $f(x)=f_{\alpha}(x),$ $x\in U_{\alpha}.$ 那麼 $f:U\to\mathbb{R}$ 是一個良定的函數，並且

$f|_{U_{\alpha}}=f_{\alpha}.$

層(sheaf)的概念便從此而生。層的定義煩請閱讀:層sheaf。
定義:如果 $X$ 是一個拓樸空間， $\mathcal{O}_{X}$ 是 $X$ 上的層環，那麼我們稱序對 $(X,\mathcal{O}_{X})$ 是一個環空間。
定理: $C_{X}^{\infty}$ 是光滑流形 $X$ 上的一個層(sheaf)。而 $(X,C_{X}^{\infty})$ 構成了一個環空間。
假設 $X$ 是一個拓樸空間，並且 $\mathcal{O}_{X}:\mbox{Top}(X)\to\mbox{Rings}$ 是一個定義在 $X$ 上的環層(sheaf of rings)。則我們稱序對 $(X,\mathcal{O}_{X})$ 是一個環空間。
換句話說，環空間除了具有拓樸空間的概念外，我們也定義了他上面由環層 $\mathcal{O}_{X}$ 所構成的函數空間族。接著，我們來談談光滑流形之間的映射。假設 $\varphi:X\to Y$ 是光滑流形之間的一個連續函數。如果對任意的光滑函數 $f:V\subset Y\to\mathbb{R}$ ，合成函數

$f\circ\varphi:\varphi^{-1}(V)\subset X\to \mathbb{R}$

也是一個光滑函數，則我們稱映射 $\varphi$ 是一個光滑映射。
任給一個 $Y$ 上的光滑函數 $f:V\subset Y\to \mathbb{R}$ ，我們定義

$\varphi^{*}(f):\varphi^{-1}(V)\subset X\to\mathbb{R}.$

則我們有一環同態(ring homomorphism) $\varphi^{*}:C_{Y}^{\infty}(V)\to C_{X}^{\infty}(f^{-1}(V)).$ 換句話說，光滑映射 $\varphi:X\to Y$ 誘導了一個環層同態

$\varphi^{*}:C_{Y}^{\infty}\to \varphi_{*}C_{X}^{\infty}.$

定理:光滑流形與其上的光滑映射構成了一個範疇。

基本上來說，光滑流形可以視為某一類的環空間 $(X,C_{X}^{\infty})$ 滿足:存在一個 $X$ 開覆蓋 $\{U_{\alpha}\}$ 使得對任意的 $\alpha$ ，環空間 $(U_{\alpha},C_{X|U_{\alpha}}^{\infty})$ 與環空間 $(\mathbb{R}^{n},C_{\mathbb{R}^{n}}^{\infty})$ 是同構的。換句話說，光滑流形局部上來說，他跟歐氏空間一樣，他上面的函數空間跟歐氏空間上的光滑函數所形成的空間也是一樣的(在同構意義下)。換句話說呢，如果給一個 $X$ 上的可微分函數，我們取局部座標系 $(x_{1},\cdots,x_{n}),$ 那麼 $f$ 就可以寫成歐氏空間中的可微分函數 $y=f(x_{1},\cdots,x_{n}).$ 這樣的對應關係

$f\mapsto f(x_{1},\cdots,x_{n})$

是一個代數上的同構關係。不僅如此，透過這樣的代數關係，我們把歐氏空間中的微積分學就這樣的搬到了光滑流形上。局部上來說，由於光滑流形看起來就是歐氏空間，流形上的光滑函數就是歐氏空間中的光滑函數。你當然希望你的微積分在座標變換下的意義是不變的，因此，你會要求你的函子 $C_{X}^{\infty}$ 是一個層。基本上來說，層的概念就是透過微分流形才產生的。而層的一些條件就是在告訴你，微分流形上的微積分學是良定(well-defined)的(在座標變換的意義下不變)。從現在開始，你知道的微分流形的概念，把古典微積分學套入，你就可以開始研究微分幾何。

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