phymath999: riemann 度规张量点的“纬度”“经度”，小线段距离的平方ds^2是各坐标之差dx的二次型，即是关于dx,dy,dz这三个变量的二次的多项式

Friday, July 17, 2015

riemann 度规张量点的“纬度”“经度”，小线段距离的平方ds^2是各坐标之差dx的二次型，即是关于dx,dy,dz这三个变量的二次的多项式

请问黎曼度规张量是什么，如何计算？万分感谢

对这个问题很感兴趣，请多指教

1 条评论

加来到雄书中的「度规张量」是什么？

在看加来到雄的书，遇到这个名词，不太理解，请高人深入浅出的讲一下。谢谢！

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赵永峰，DON'T do theory in an experimental lab.

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陈启明、一郎、Leung Garging 等人赞同

通俗地说，在一个坐标系中，度规张量是用来描述一段很短很短的线段长度和线段两个端点坐标之差的关系的一个2阶张量。换句话说，度规张量定义了一个坐标系中如何度量曲线的长度。

众所周知，如果我们有一个配有笛卡尔坐标的三维欧式空间，空间中有两个离得很近很近的点，坐标分别为 $(x,y,z)$ 与 $(x+dx,y+dy,z+dz)$ ，那么两点之间连一段直线，它的长度 $ds$ 满足：
$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$ (1)
这是人人都知道的勾股定理。如果连接两点的不是直线而是一般的光滑曲线，只要两个点足够近，曲线的长度都可以用直线段的长 $ds$ 来近似，差别为 $dx,dy,dz$ 的高阶无穷小，因为积分为0，通常是可以忽略的。

同样是三维欧式空间，但现在我们换成球坐标，这里定义 $\rho$ 为点到坐标原点的距离， $\phi$ 是点的“纬度”， $\theta$ 是点的“经度”，这时两个点的坐标写成 $(\rho,\phi,\theta)$ 和 $(\rho+d\rho,\phi+d\phi,\theta+d\theta)$ ，这时两点之间的距离不再直接满足(1)式。根据简单的高中学过的空间几何，同样根据勾股定理，或者将代换：
$&&x=\rho\sin\phi\cos\theta \\ &&y=\rho\sin\phi\sin\theta \\ &&z=\rho\cos\phi$
代入(1)，我们的 $ds$ 现在满足：
$ds^2=d\rho^2+\rho^2d\phi^2+\rho^2\sin^2\phi d\theta^2$ (2)

现在我们来观察(1)和(2)，它们有个共同的特点：小线段距离的平方 $ds^2$ 是各坐标之差 $dx$ 的二次型，即是关于 $dx,dy,dz$ 这三个变量的二次的多项式。我们推广一下，写成一般形式，对于 $n$ 维欧式或非欧式空间的任意坐标系统 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ，一个无穷小的线段的长度可以人为地定义为（为了通俗，我这里没有区分共变和逆变）：
$ds^2=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^ng_{ij}dx_idx_j$
其中2阶张量 $g_{ij}$ 就叫做度规张量。

对于刚才举的两个例子，三维欧式空间的笛卡尔坐标中的度规张量为：
$\bm{g}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)$
而对于三位球坐标，度规张量为：
$\bm{g}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \rho^2 & 0 \\ 0 & 0 & \rho^2\sin^2\phi \\ \end{array}\right)$

这两个例子都是容易想象的例子。一个不容易想象的例子是非欧式空间的度规。非欧式空间是不满足勾股定律的，所以会看到一个奇怪的度规。比如，广义相对论认为具有能量动量的物体会改变空间的度规，让它变得不是欧式空间。那么一个不旋转的球形天体（比如太阳）周围的度规长什么样呢？这就是著名的史瓦西（Schwarzschild）度规（写在“球坐标”中）：
$ds^2=(c^2-\frac{2GM}{\rho})dt^2-(1-\frac{2GM}{c^2\rho})^{-1}d\rho^2-\rho^2d\phi^2-\rho^2\sin^2\phi d\theta^2$
其中， $c$ 是光速， $G$ 是引力常量， $M$ 是中心天体的质量， $t$ 是时间。注意，相对论是使用四维空间来同时描述空间与时间的，所以这里定义的距离是两个事件的时空距离。显示全部

编辑于 2013-07-12 6 条评论感谢分享收藏 • 没有帮助 •

欧阳泽西，7年级正自学微积分，有很多问题，请多多…

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谢谢,原来黎曼度规张和黎曼张量是一回事，我在学得时候叫黎曼张量，学超弦理论时叫黎曼度规张……

赵永峰，DON'T do theory in an experimental lab.

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参见任何一本微分几何书，这是最基础的内容。
简单的理解性解释可以参见我以前写的答案有人了解“度规张量”吗？
黎曼度规是指正定的度规。

给定空间中超曲面上的诱导度量是可以计算的，不过是简单的多元微积分。通常情况下黎曼度量则是先验的，不同的度量实际上定义了不同的几何，比如欧式几何和球面几何、双曲几何。

哦，是七年级啊，我以前的答案可以先看看，等微积分学差不多了计算细节就自然理解了。补充一个概念，正定实质上意味着任意两个点之间的距离是正的。这在伪黎曼空间中是不成立的，比如描述时空的闵科夫斯基空间，距离是可正可负的。

完备黎曼度量的,complete Riemannian metric,音标,读音,翻译 ...

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介绍了在球极投影下引入的黎曼度量,并介绍了这种度量的一些性质,指出了这种度量与从平直的欧几里德空间标准度量中诱导的黎曼度量是一致的;同时指出在球面上 ...

纤维丛的黎曼度量,THE RIEMANNIAN METRIC OF FIBER ...

www.dictall.com › 词典
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橢圓幾何,什麼是橢圓幾何,橢圓幾何釋義_華文詞源

www.43577.com/show/619124.shtml

黎曼認識到度量隻是加到流形上的一種結構，並且在同一流形上可以有許多不同的度量。黎曼以前的數學家僅知道三維歐幾裏得空間E3中的曲麵S上存在誘導 ...

加来到雄书中的「度规张量」是什么？

在看加来到雄的书，遇到这个名词，不太理解，请高人深入浅出的讲一下。谢谢！

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赵永峰，DON'T do theory in an experimental lab.

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一郎、Leung Garging、林小妖等人赞同

第一基本形式- 维基百科，自由的百科全书

zh.wikipedia.org/wiki/第一基本形式 - 网页快照类似结果

在微分几何中，第一基本形式（first fundamental form）是三维欧几里得空间中一个曲面的切空间中内积，由R3 中标准点积诱导。它使得曲面的曲率和度量性质

季候风

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Re: 关于黎曼流形 [文章类型: 原创]

当我们谈论一个流形, 总是假定它已经是一个拓扑空间. 其它添加的结构必须与这个预先存在的拓扑相容.

如果要谈黎曼流形, 首先要在流形上加一个微分结构, 它与原来拓扑的相容性没有问题 --- 微分结构的定义本身依赖于预先存在的拓扑;

然后再指定一个二阶正定对称光滑张量场 g; 黎曼度量 g 的一个重要作用是可以用来定义流形上曲线的长度, 这样两点之间的距离可以定义连接两点所有曲线长度的下确界, 这样就在流形的底集合上定义了一个 "距离";

集合上的任一距离会诱导一个拓扑, 但是在黎曼流形上早就预先设定了一个拓扑, 所以如果这个有黎曼度量定义出来的距离诱导的拓扑最好与原来设定的拓扑是同一个拓扑, 所以标准的黎曼几何教材上都会就这个问题进行讨论, 而事实上新拓扑的确就是旧拓扑.

这样我们在谈论黎曼流形的时候, 连续性就没有任何歧义: 既可以用局部坐标来表达连续性, 又可以用距离来表达连续性.

在英文里, 赋予了 "距离" 的集合传统上叫做 "metric space", 这个距离传统上也叫 metric. 但是近些年由于黎曼几何在数学各个分支的渗透, 它越来越成为更基础的课程. 这样为了避免初学者混淆概念, 很多新写的教材上把原来的 "metric space" 的 "metric" 称为 "distance".

中文就更方便了, 即便把 "度量空间" 改叫做 "距离空间" 也颇为顺口.

为了强调 g 这个 "metric" 跟距离的不同, 一般都会强调说这是一个 "Riemannian metric" 而不仅仅简单叫它 "metric".

近几十年经过 Gromov 等人的工作, 很多原来在黎曼流形上研究的对象, 工具和问题, 现在已经成功地移植到了性质比较接近黎曼流形的距离空间.

发表时间: 2007-06-29, 13:29:46

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季候风

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Re: 关于黎曼流形 [文章类型: 原创]

更正: 上一贴第三行 "定义" 应该是 "定义为"

发表时间: 2007-06-29, 13:36:56

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枭雄

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Re: 关于黎曼流形 [文章类型: 原创]

非常感谢各位前辈的指导！由于非钻研数学之人，所以对某些概念的理解比较肤浅！

因为有界只对度量空间有意义，在拓扑学的教材里，只是说度量可以自然地诱导出拓扑，而一般拓扑空间的拓扑结构并非都可以由度量诱导而来。

实际上我遇到的问题是紧致黎曼流形的有界性，现在按照我对各位前辈之言的理解，说紧致黎曼流形有界应该没有问题吧！

当然还有个地方觉得比较神奇，不知我的理解对否：

黎曼流形M，某点x处的切空间TxM，切空间集合TM。按照各位前辈的说法，黎曼度量是定义在TM上，却可以用来定义M上两点之间的距离！而如果把这个距离说成是M上的一个度量，那这个度量和黎曼度量不是一回事！

发表时间: 2007-06-30, 02:50:40

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季候风

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Re: 关于黎曼流形 [文章类型: 原创]

黎曼度量的实质是在流形每一点的切空间定义了一个内积.

广义相对论与宇宙学第二章_百度文库

123.125.114.20/view/57df0e4bb84ae45c3b358ce8.html - 轉為繁體網頁

2013年9月16日 - 来定义相邻两点（坐标差为dx ? ）的距离ds ds ... 0 则必能找到坐标变换，把二次型化为微分的平方和(或差)． ? g ?? ? g ?? ??1 ?? ?0 ? ?? ? ?? 在黎 ...

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wenku.baidu.com/.../57df0e4bb84ae45c3b358ce8.html?re... 轉為繁體網頁

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phymath999

Friday, July 17, 2015

riemann 度规张量点的“纬度”“经度”，小线段距离的平方ds^2是各坐标之差dx的二次型，即是关于dx,dy,dz这三个变量的二次的多项式

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赵永峰，DON'T do theory in an experimental lab.

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