保守向量場 ∇ (讀做 nabla 或 del)

http://boson4.phys.tku.edu.tw/fundamentals_of_math_phys/unit-03_Vector__grad-div-curl_n_coord-sys.html

梯度、散度、旋度、其常用公式、與正交（球、柱）座標系

向量微分

純量場微分與梯度

溫度場、高度（海拔）、氣壓場（場是空間的分佈）
 

保守向量場

W = ∫_a^b F · ds
保守力作功，僅與初、末位置有關，而與路徑無關。即上式
W = ∫_a^b F · ds = U(b) - U(a)
這意味著 F · ds = dU，即存在 一 U(x₁, x₂, x₃)，其
dU = (∂U /∂x₁) dx₁ + (∂U /∂x₂)  dx₂ + (∂U /∂x₃) dx₃
= ( ∂U /∂x₁ , ∂U /∂x₂ , ∂U /∂x₃ ) · (dx₁, dx₂, dx₃) = (∇U) · dr
 

向量微分算子 ∇ (讀做 nabla 或 del)

∇ ≡ ( ∂/∂x₁ , ∂/∂x₂ , ∂/∂x₃ )
 

向量場的向量微分

散度

∇· A = ( ∂/∂x₁ , ∂/∂x₂ , ∂/∂x₃ ) · (A₁, A₂, A₃)
= ∂A₁ /∂x₁ + ∂A₂ /∂x₂ + ∂A₃ /∂x₃
是一個純量

散度的意義：

如果一個向量場是由某種 "源" 所產生的，那麼這個場在空間處處的的散度值會突顯出該 "源" 存在與否。

從連續方程式理解 "散" 度

自行見課本說明，會考。
 

∇²

∇² φ = 0 叫 Laplace 方程式，重要。

∇² 作用在向量場與純量場都可以。

旋度

 

善用 ε_ijk 定義 處理下列證明

∇ × ∇φ = 0



用到 ε_ijk  的反對稱性，也就是 ε_ijk  = -ε_ikj 。

常用公式

作業：驗證上列十五個公式。(公式 (6) 最後一個 × 應作 · )

提示：善用 ε_ijk 與 δ_ij 等關係式
 

 

正交曲線性座標系

見課本推導，關鍵概述如下：

首先，在不失一般性的情況下，任何座標變換總是存在新、舊座標位置的定義：

見圖 1.16

 

新座標軸的產生

上面這一組的三個函數，會把體的任一點對應到另一點，佈滿三維空間。
這裏如果我們固定住 u₂, u₃ 而只讓 u₁ 動，就能掃描出一條空間曲線，就可以把它們的切線向量，拿來作為座標軸的方向，就像於前單元採用單一 t 或弧長 s 作為參數時，可定義切線方向及單位切向量那樣。（至於這樣做出來的座標軸單位向量，並不保證正交。）

小線段元素的變換

把 ∂r /∂u_i 的方向定為 u_i^，長度 |∂r /∂u_i| 定為 h_i （又叫 scale factor），則上式成為

我們現在規定 u^₁, u^₂, u^₃ 互為正交，現在再來看小體積元素如何變換
 

小體積元素的變換

重點是：變換時，乘上 Jacobian。
Jacobian 不等於 0 時，局部有 1對1 轉換 （這是課本提醒）。
（為什麼要講這個？因為未來會有需要把 ∫ f(x,y,z) dxdydz 換成 ∫ f(u₁,u₂,u₃) J du₁du₂du₃ 時，就要在微小體積元素上乘上 J。）

梯度算子、散度算子、旋度算子、拉卜拉斯算子的變換 (即它們在非卡氏座標系的公式)
通式
梯度

先看結果公式

推導起點

假設

注意 f_i 不是本節一開始 談到之 座標變換函數 f, g, h ，而是某函數梯度之分量。
前有

由於 u^₁, u^₂, u^₃ 自成一 "正交歸一" 座標系 (這是前提假設)，故有 （用上面 ∇φ 的公式與 dr 的公式）

但又根據全微分之基本定義，下式一定成立

綜合前兩式條件，即得
h_i f_i = ∂φ/∂u_i，即 f_i = (1/h_i) ∂φ/∂u_i
得證原式
補充：h_i 是有幾何學上的意義的，詳見其他教科書。
 

散度預備

會利用到的兩個關係

(a) 的證明

利用前已證之 ∇φ 公式，套用在 u₁ 上， ∇u₁ = (1/h₁) (∂u₁/∂u₁) u₁^ + 0 + 0 = (1/h₁) u₁^，故 其長度 | ∇u₁| = 1/h₁。
 

(b) 的證明

由 (a) 我們有 ∇u₁ = (1/h₁) u₁^ ，∇u₂ = (1/h₂) u₂^，∇u₃ = (1/h₃) u₃^
∇u₂ × ∇u₃ = 1/(h₂ h₃) u₂^ × u₃^ = 1/(h₂ h₃) u₁^
（為什麼 u₂^ × u₃^ = u₁^ ？ ）
故 u₁^ = h₂ h₃ ∇u₂ × ∇u₃ ，得證。

 

散度

證法
∇ · A = ∇ · (Σ_i A_i u_i^) = ∇ · ( A₁ u₁^) + ∇ · ( A₂ u₂^) + ∇ · ( A₃ u₃^) （分配律）
其中先看 ∇ · ( A₁ u₁^)
利用前面的 u₁^ = h₂ h₃ ∇u₂ × ∇u₃ ，有
∇ · ( A₁ u₁^) = ∇ · ( A₁ h₂ h₃ ∇u₂ × ∇u₃ )
= ∇( A₁ h₂ h₃) · (∇u₂ × ∇u₃ ) +( A₁ h₂ h₃) ∇· ( ∇u₂ × ∇u₃ )
再利用前面的 ∇u_i = (1/h_i) u_i^
上式 = (1/h₁) (∂ A₁ h₂ h₃ / ∂ u₁) [1/ (h₂ h₃)] + 0
第二項為零是因為使用了"對任何函數  f, g ， ∇· ( ∇f × ∇g ) = 0 " 這一個特性。（同學們自己可利用 ∇· ( A × B ) = ... 的公式證明看看 (用前面 15 條公式之 (4) 和 (6) )，不會做可見 Riley 書。）
(亦可由 ∇u₂ × ∇u₃ = (u^₂/ h₂) × (u^₃/ h₃) = u^₁/ (h₂h₃)，
（課文提供的證法，較不方便的點也在此。因為既要證明∇· ( ) 的形式，且尚未證出，就又需要 用到∇· ( ) 的公式。）
補充：也可使用 ∇· A ≡ lim_ΔV→0 (∫_CS A · ds ) / ΔV ，即微小體積的通量（向量面積分）來理解 ∇· (u₁^) = 0   的理由。
思考：為什麼 ∇不是用向量分量的轉換公式就好，其解果還這麼複雜？ 我們把 ∇寫成向量的樣子，操作規則也很像，它到底是不是向量，若不是，為何與向量如此相像？

詭論式的推導

∇ · ( A₁ u₁^) = ∇A₁ · u₁^ +   A₁∇ · u₁^
其中，第一項中的
∇A₁ = (1/h₁) (∂A₁/ ∂ u₁) u₁^ + (1/h₂) (∂A₁/ ∂ u₂) u₂^ + (1/h₃) (∂A₁/ ∂ u₃) u₃^
故
∇A₁ · u₁^  = (1/h₁) (∂A₁/ ∂ u₁)
另外，第二項中的
∇ · u₁^ = 0
綜合兩項，
∇ · ( A₁ u₁^) = (1/h₁) (∂A₁/ ∂ u₁)
與剛才上面導出來的不一樣，那裏見到鬼了？

拉卜拉斯算子

前面已知

組合使用，可得

問題：我們怎麼知道上面的操作是合法的？真的可以這樣套用嗎？為什麼？難到沒有一個 "正統座標轉換" ，或是 "廣義微分定義" 的方法，讓我們可以直接看到上述各通式？

旋度

一樣從 ∇× A =  ∇× (A₁ u₁^ + A₂ u₂^ + A₃ u₃^)  開始 看 u1 分量
∇× (A₁ u₁^) =  ∇× ( A₁ h₁∇u₁ )
= ∇( A₁ h₁) × ∇u₁ + A₁ h₁ ∇× ∇u₁ = ∇( A₁ h₁) × ∇u₁ +  0
= ∇( A₁ h₁) × (u₁^ / (h₂h₃))
= Σ_ijk ε_ijk u_i^ [(∂/∂u_j ) (A₁ h₁)] [(u₁^/ (h₂h₃)]|_k
= Σ_ijkε_ijk u_i^ [(∂/∂u_j ) (A₁ h₁)] [(1/ (h₂h₃)]_k δ_1k
= Σ_ij ε_ij1 u_i^ [(∂/∂u_j ) (A₁ h₁)] [(1/ (h₂h₃)]
= ε_i=2,j=3,1 u_i^ [(∂/∂u_j ) (A₁ h₁)] [(1/ (h₂h₃)] + ε_i=3,j=2,1 u_i^ [(∂/∂u_j ) (A₁ h₁)] [(1/ (h₂h₃)]
= u₂^ [(∂/∂u₃ ) (A₁ h₁)] [1/ (h₂h₃)] − u₃^ [(∂/∂u₂ ) (A₁ h₁)] [1/ (h₂h₃)]
= [1/ (h₂h₃)] [ u₂^ (∂/∂u₃ ) (A₁ h₁) − u₃^ (∂/∂u₂ ) (A₁ h₁)]

（提醒：看到 ×  就代入 ε_ijk ，然後設法讓 ε_ijk 消失，是常見的作法）

課本的作法（倒數第二行括弧內應全是 A₁ h₁ 才對）


綜合三個部分，完整的結果是：

也可寫成行列式形式

問題：我們怎麼知道前面的 (1) ~ (14) 式對曲線性座標系也是對的？
或先問簡單一點：我們怎麼知道 ，那些公式，在另一個卡氏座標是對的？


∇· v、∇× v 、 ∇v 的不變性（進階）

用張量的語言來了解（不同座標下，形式一樣，張量就是在描述這像的東西。）
一本不錯的小書：J. G. Simmonds, A Brief on Tensor Analysis

 

常用正交座標系

柱座標系

（見課本圖 1.17）
x₁ = ρ cosφ, x₂ = ρ sinφ, x₃ =z

本例中， h_rho = 1、h_phi = ρ、h_z = 1。
證明見下：

方法一

由圖可見
dr = dρ e_ρ + ρ dφ e_φ + dz e_z = [1] dρ e_ρ + [ρ] dφ e_φ + [1] dz e_z
注意 ρ dφ 的意思。 得證

方法二

由圖可見
e_ρ = cosφ e_x + sinφ e_y
e_φ = - sinφ e_x + cosφe_y
意謂著
e_x= cosφe_ρ- sinφ e_φ
e_y= sinφe_ρ + cosφe_φ
此外，從 x = ρ cosφ, y = ρ sinφ  的定義，有
dx = cosφdρ - ρsinφ dφ
dy = sinφdρ + ρ cosφ dφ
現在，從 dr = dx e_x + dy e_y + dz e_z 出發，分別代入上面剛剛整理出未的 e_x、e_φ 及 dx、dy。就可以把 dr 化成全由 dρ、dφ 及  e_ρ、 e_φ 所構成。
dr = dx e_x + dy e_y + dz e_z= (cosφdρ - ρsinφ dφ) (cosφe_ρ- sinφ e_φ) + ( sinφdρ + ρ cosφ dφ ) (e_y= sinφe_ρ + cosφe_φ ) + dz e_z
利用 cos²θ + sin²θ = 1
最後，得
dr = dρ e_ρ + ρdφe_φ + dz e_z

（對行列式乘上一個係數，等同於對其某一行或一列同乘該係數）



 

球座標

（見課本圖 1.18）
x₁ = r sinθcosφ, x₂ = r sinθsinφ, x₃ = r cos θ


一樣用 ds2 去對出 h1, h2, h3，見課本


上面的式子雖然很複雜，但數學問題有對稱性時，就會大幅簡化，在未來你們的課程中，這樣的例子很多。

微分運算的核心特徵

(1) 線性 （對函數的加運算組合）
(2) 萊布尼玆律 （對函數的乘運算組合）
說明

想想泰勒展開式

f(x+Δx) = Σ^∞_n=0 f⁽ⁿ⁾(x) (Δx)ⁿ / n!

，其中 f⁽ⁿ⁾(x) 是函數 f(x) 的第 0 階導數。
欲表達一個連續變化的函數，用微小量的多項式（冪次），配合各階導數（斜率）作展開，總是可以 做到。 而任何微分算子，就是要取出斜率（函數值的變化率）。
現在，試想兩個業經泰勒函數的加法運算組合，要取其一階斜率，自然取得冪次同為 Δx 之各自的一階導數和，故任何微分運算滿足線性。
其次， 試想兩個業經泰勒函數的乘法運算組合，要取其一階斜率，自然取得冪次同為 Δx 之各帶有一次一階導數者（兩個一階導數的那一項，是 Δx² 項，太小），故必滿足 萊布尼玆律。

作業：證明泰勒展開式

參考閱讀

K. F. Riley and M. P. Hobson, Fundation of Mathematics : for the physical sciences, Cambridge University Press
解說清楚，範例眾多。
S. S. Bayin, Essentials of Mathematical Methods in Sceince and Engineering, Wiley
兼具推導詳細與取材完整，
林雲海，基礎數學(簡明版)，五南出版社
中文，淺顯易懂