Wednesday, July 1, 2015

newton 经典牛顿法求解一个未知数的实数方程 , 解的一个序列,可望能收敛到解, 迭代过程是收敛的, 收敛的速度很快

丁玖《自然的奥秘:混沌与分形》 - 新语丝


[PDF]丁玖《自然的奥秘:混沌与分形》 - 新语丝
www.xys.org/xys/netters/psi2b/dingjiu.pdf


经典牛顿法求解一个未知数的实数方程的思想很简单。方程的解是函数的曲线和x-轴的交点坐标。取解点的一个近似点,在曲线上对应的那点作一条切线,它和x-轴的交点比第一个猜测更靠近解。重复这个过程就得到近似

重复这个过程就得到近似

解的一个序列,可望能收敛到解。如果第一个猜测取得足够好,意思是和未知的解足够接近,那么这个迭代过程是收敛的,而且,收敛的速度很快。
但是如果初始猜测不好,迭代不收敛了,那怎么办?教了多次微积分课本里介绍的牛顿法,有点厌倦标准教法的哈伯德想换换花样。他把目光转向在复数平面上用牛顿法解最简单的三次方程z3 – 1 = 0,即算出1的三个立方根,分别是实数1和两个复数根 (-1 + i √3)/2 和 (-1 - i √3)/2。这三个解在复平面上形成一个等边三角形。给出一个初始点,他让学生们看看牛顿法将引到三个解中的哪一个。
这实际上成了一个标准的具有三个“吸引子”的动力系统问题。哈伯德让计算机决定哪些点走到第一个解,哪些点趋向第二个解,哪些点导致第三个解。这些到达不同目的地的初始点分别用三个不同的颜色区别开来。在粗糙的选点下,牛顿法的动力学果然如他所猜把平面分成三个扇形,但随着选点的越来越精细,他和学生们发现这三个区域的分界线越来越不清楚,三种颜色互相缠绕,只要两种颜色靠近一些,第三种颜色便乘虚而入,挤进来夹在中间,这又引起一连串新的自相似的涌入,似乎没有哪个点可以分开任两种颜色。就这样,美国数学教授哈伯德和修他课的法国学

No comments:

Post a Comment