[PDF]丁玖《自然的奥秘：混沌与分形》 - 新语丝
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经典牛顿法求解一个未知数的实数方程的思想很简单。方程的解是函数的曲线和x-轴的交点坐标。取解点的一个近似点，在曲线上对应的那点作一条切线，它和x-轴的交点比第一个猜测更靠近解。重复这个过程就得到近似
重复这个过程就得到近似
解的一个序列，可望能收敛到解。如果第一个猜测取得足够好，意思是和未知的解足够接近，那么这个迭代过程是收敛的，而且，收敛的速度很快。
但是如果初始猜测不好，迭代不收敛了，那怎么办？教了多次微积分课本里介绍的牛顿法，有点厌倦标准教法的哈伯德想换换花样。他把目光转向在复数平面上用牛顿法解最简单的三次方程z3 – 1 = 0，即算出1的三个立方根，分别是实数1和两个复数根 (-1 + i √3)/2 和 (-1 - i √3)/2。这三个解在复平面上形成一个等边三角形。给出一个初始点，他让学生们看看牛顿法将引到三个解中的哪一个。
这实际上成了一个标准的具有三个“吸引子”的动力系统问题。哈伯德让计算机决定哪些点走到第一个解，哪些点趋向第二个解，哪些点导致第三个解。这些到达不同目的地的初始点分别用三个不同的颜色区别开来。在粗糙的选点下，牛顿法的动力学果然如他所猜把平面分成三个扇形，但随着选点的越来越精细，他和学生们发现这三个区域的分界线越来越不清楚，三种颜色互相缠绕，只要两种颜色靠近一些，第三种颜色便乘虚而入，挤进来夹在中间，这又引起一连串新的自相似的涌入，似乎没有哪个点可以分开任两种颜色。就这样，美国数学教授哈伯德和修他课的法国学
经典牛顿法求解一个未知数的实数方程的思想很简单。方程的解是函数的曲线和x-轴的交点坐标。取解点的一个近似点，在曲线上对应的那点作一条切线，它和x-轴的交点比第一个猜测更靠近解。重复这个过程就得到近似
重复这个过程就得到近似
解的一个序列，可望能收敛到解。如果第一个猜测取得足够好，意思是和未知的解足够接近，那么这个迭代过程是收敛的，而且，收敛的速度很快。
但是如果初始猜测不好，迭代不收敛了，那怎么办？教了多次微积分课本里介绍的牛顿法，有点厌倦标准教法的哈伯德想换换花样。他把目光转向在复数平面上用牛顿法解最简单的三次方程z3 – 1 = 0，即算出1的三个立方根，分别是实数1和两个复数根 (-1 + i √3)/2 和 (-1 - i √3)/2。这三个解在复平面上形成一个等边三角形。给出一个初始点，他让学生们看看牛顿法将引到三个解中的哪一个。
这实际上成了一个标准的具有三个“吸引子”的动力系统问题。哈伯德让计算机决定哪些点走到第一个解，哪些点趋向第二个解，哪些点导致第三个解。这些到达不同目的地的初始点分别用三个不同的颜色区别开来。在粗糙的选点下，牛顿法的动力学果然如他所猜把平面分成三个扇形，但随着选点的越来越精细，他和学生们发现这三个区域的分界线越来越不清楚，三种颜色互相缠绕，只要两种颜色靠近一些，第三种颜色便乘虚而入，挤进来夹在中间，这又引起一连串新的自相似的涌入，似乎没有哪个点可以分开任两种颜色。就这样，美国数学教授哈伯德和修他课的法国学
- 混沌和分形不光已成为数学领域两大相辅相成的研究分支，更以遍地开花的应用在几乎所有科学技术界的地盘中大显身手。遥望大地，全世界各国对这两门学问的理论研究和应用探索，方兴未艾。作为最新的例子，无线通讯、药物设计这两个与我们的日常生活最有关系的行业已把“混沌”当作一位富有的老太爷来服侍。但是放眼未来，我们不愿预测“混沌学与分形几何学”的走向，因为按照“混沌”的观点，未来是不可预测的！
致谢：作者感谢美国密西根州立大学数学系李天岩教授和香港城市大学电子工程系陈关荣教授在他写作过程中提供的帮助。
参考文献
1. “关于‘Li-Yorke 混沌’的故事”，李天岩，《数学传播》十二卷三期，13-16，1988。
2. 《混沌--开创新科学》，詹姆斯 · 格莱克著，张淑誉译，上海译文出版社，1990。
3. A First Course in Chaotic Dynamical Systems, Robert L. Devaney, Addison-Wesley, 1992.
4.《分形的哲学漫步》，林夏水等著，首都师范大学出版社，1999。
5.《勇闯人生的数学大师斯提芬 · 斯梅尔》，Steve Batterson著，邝重平译，世界科技出版公司，2002。
6.《数学大师—从芝诺到庞加莱》，E. T. 贝尔著，徐源译，上海科技教育出版社，2004。
7.《天才的拓荒者--冯 · 诺依曼传》，诺曼 · 麦克雷著，范秀华、朱朝晖译，上海科技教育出版社，2008。
8. “Birds and Frogs”, Freeman Dyson, Notices of
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