关于圆的周长和面积的由来，为什么说圆周率乘以直径就是周长，为什么说圆周率乘以半径的平方就是面积？想知道理论的推导和证明。
非数学专业，只是非常想知道，希望答案通俗易懂，谢啦
3个答案
圆周率的最初定义就是周长除以直径。
关于面积为什么是"圆周率乘以半径的平方"，有一种比较直观又不失严谨的解释方法：
如图，把圆周切割成N等份，当N很大，每一份近似一个三角形，分别计算面积，就是【弧长×半径/2】，将这N等份的面积求和，就是【周长×半径/2】，也就是【圆周率乘以半径的平方】。
【题外科普】
以上是最基础的中学几何内容，其实圆周率是非常神奇、非常体现数学艺术感的东西，不只是和圆有关，它经常出现在和几何无关的场合，参见：《Pi究竟牛B在哪里？》
关于面积为什么是"圆周率乘以半径的平方"，有一种比较直观又不失严谨的解释方法：
如图，把圆周切割成N等份，当N很大，每一份近似一个三角形，分别计算面积，就是【弧长×半径/2】，将这N等份的面积求和，就是【周长×半径/2】，也就是【圆周率乘以半径的平方】。
【题外科普】
以上是最基础的中学几何内容，其实圆周率是非常神奇、非常体现数学艺术感的东西，不只是和圆有关，它经常出现在和几何无关的场合，参见：《Pi究竟牛B在哪里？》
第一个问题:
可以认为圆周率就是这么定义的:圆周率=圆周长/直径.
第二个问题:
小学课本上给的解释,应该是五年级左右(五年制小学),手头没有课本只搜到以下链接,
http://wenku.baidu.com/view/de10ab1214791711cc791703.html
把圆切开了组成以上图形,切的越多越接近长方形.这个长是周长的一半也就是 pi*r/2,宽是r,面积长*宽也就是
pi*r/2 * r
可以认为圆周率就是这么定义的:圆周率=圆周长/直径.
第二个问题:
小学课本上给的解释,应该是五年级左右(五年制小学),手头没有课本只搜到以下链接,
http://wenku.baidu.com/view/de10ab1214791711cc791703.html
把圆切开了组成以上图形,切的越多越接近长方形.这个长是周长的一半也就是 pi*r/2,宽是r,面积长*宽也就是
pi*r/2 * r
这个问题其实问得很好
提问者的问题其实应该转变一下，是否圆的周长除以圆的直径是一个定值？
这个就涉及到古希腊数学史上的最著名的证明，即阿基米德的证明
阿基米德的证明实际上还是用多边形去不断的逼近一个圆----祖冲之也是这么做的，实际上圆就可以理解为一个无穷多边形。
阿基米德证明以N边形逼近圆，不管N等于多少，其周长与N边形的“半径”的长度的比值都是确定的，因而当逼近到无穷多边形的时候，其比值也就是一定的。
算面积也是一样，用N边形的面积去逼近圆的面积。
你可以去百度搜索一下阿基米德和圆周率
阿基米德被认为是与牛顿欧拉高斯们地位相等的伟大的数学家，显然只有浮力定律，杠杆原理等等静力学方面的贡献是不能称作为数学家的
刚才在网上稍微搜索了一下，中文网络对阿基米德关于圆周率的贡献仅仅提到了计算圆周率的贡献，实际上他更大的贡献在于用严谨的证明方法证明了这是一个定值。
反过来说，祖冲之他们并没有证明周长半径比是一个定值，其思维的严谨性是远不如阿基米德等古希腊人的
提问者的问题其实应该转变一下，是否圆的周长除以圆的直径是一个定值？
这个就涉及到古希腊数学史上的最著名的证明，即阿基米德的证明
阿基米德的证明实际上还是用多边形去不断的逼近一个圆----祖冲之也是这么做的，实际上圆就可以理解为一个无穷多边形。
阿基米德证明以N边形逼近圆，不管N等于多少，其周长与N边形的“半径”的长度的比值都是确定的，因而当逼近到无穷多边形的时候，其比值也就是一定的。
算面积也是一样，用N边形的面积去逼近圆的面积。
你可以去百度搜索一下阿基米德和圆周率
阿基米德被认为是与牛顿欧拉高斯们地位相等的伟大的数学家，显然只有浮力定律，杠杆原理等等静力学方面的贡献是不能称作为数学家的
刚才在网上稍微搜索了一下，中文网络对阿基米德关于圆周率的贡献仅仅提到了计算圆周率的贡献，实际上他更大的贡献在于用严谨的证明方法证明了这是一个定值。
反过来说，祖冲之他们并没有证明周长半径比是一个定值，其思维的严谨性是远不如阿基米德等古希腊人的
No comments:
Post a Comment