Poincare’指出多重积分的体积元素应有一个正负定向导致了外微分的出现, 双曲抛物面结合了两种方式的优点。凹下去的U型部分处于拉伸状态，而凸起来的拱顶部分则是压缩，高斯绝妙定理则保证了任何一个地方的受力都会传递到四周——因为这是一个高斯曲率非零的曲面

学习外微分形式的一些感受

                                          PB07210141   焦凡书

外微分形式把Stokes,Gauss公式联系起来,而且推广到高维空间。初学时觉得很“神奇”，查阅了一些书籍后才知道Poincare’指出多重积分的体积元素应有一个正负定向导致了外微分的出现。而外微分的出现可以说标志着微积分从古典走向现代。在物理，力学，偏微分方程，微分几何中，外微分发挥了巨大的作用。外微分有其更本质的含义，下面是我的一些总结和感受。

如果我们研究曲面（双侧曲面）的方向性，那么：在双侧曲面上任意取定一点M，并在M处选定一个单位法向量n(M)，对于曲面S上任意一点M’，在S上做一条连接M,M’的曲线，由n(M’)沿曲线连续变化的原则，就可以唯一的确定M’处的单位法向量n(M’)，从而就完全确定了双侧曲面的一个侧。曲面S在M处的单位法向量有且仅有两个，它们是互为相反方向的单位向量，这两个向量正好确定了曲面的两个定侧。

在双侧曲面内令：x=x(u,v) y=y(u.,v)

则面积元素dA=dxdy=||dudv=||dudv=()dudv

若将x,y对换dA=dydx=||dudv=||dudv=()dudv

 

可得dxdy=-dydx

dxdx=0

我们把满足上述关系即：两个相同微分乘积为零，不同微分乘积变换顺序时变号的微分之间的乘积称为微分外积，用 表示。由微分的外乘积乘上函数组成的微分形式称为外微分形式。若P,Q,R,H是x,y,z的函数，则Pdx+Qdy+Rdz为一次外微分形式。Pdydz+Qdzdx+Rdxdy为二次外微分形式，Hdxdydz为三次外微分形式。

可以证得（1）Newton-Leibniz公式用外微分表示=f(b)-f(a)=

         （2）Green公式用外微分表示Pdx+Qdy,=,

         

         （3）Gauss公式用外微分表示Pdydz+Qdzdx+Rdxdy, Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= dxdydz,

         （4）Stokes公式用外微分表示Pdx+Qdy+Rdz, ,

   而数量场的梯度，向量场的散度，旋度分别与之对应。因此他们的关系可以表示为     

外微分形式的次数	空间	公式	对应的度
0	直线段	Newton-Leibniz	梯度
1	平面区域	Green	旋度
1	空间曲面	Stokes	旋度
2	空间区域	Gauss	散度

 

由此得出公式的一般形式：

定理  设为外微分形式，d是它的外微分，则有

G是d的积分区域，G表示G的边界。

Stokes公式揭示了微分与积分在空间上的关系。若令，d为算子，则它们对偶.

所以说Stokes公式是微积分中最本质的，由它引出了微分几何，广义相对论的很多内容，我的知识有限，希望以后有能力了解更多。

参考书目：《高等数学导论》

          《微积分五讲》龚升

你拿披萨的方式，很可能是错的

高斯 曲面 曲率 平面 几何 几何学 空间 建筑 波形 建材 弯曲 波纹 强度 张力 拉力 双曲 抛物 受力

Aatish Bhatia 发表于  2014-10-17 17:30

（Ent/编译）我们都遇到过这种情况。你抓起一块披萨，正要一口吞掉的时候，披萨一下子软了，从你的指尖处耷拉了下来。披萨饼本身的结构强度不够高，无法支持整片的重量。也许下次应该少加点儿料？不用，无需绝望。
如果是是个吃披萨多年的老手，那你应该知道怎么对付这样的场景：只需把披萨弯成U形即可。（手头没有披萨？拿一张纸试验一下就好。）

一张纸拿在手里就会耷下去，但弯曲握就能让它笔直。为什么呢？图片来源：Aatish Bhatia

这个披萨小窍门的背后，深藏着一项关于曲面的强力数学。这一数学发现如此绝妙，以至于它的发明人——数学天才卡尔·弗雷德里克·高斯（Carl Friedrich Gauss）——给它起了个拉丁文名叫Theorema Egregium，意思是“绝妙定理”。
拿一张纸，卷成圆柱形纸筒。你可能觉得显而易见，纸本来是平的，卷成筒就弯了，对吧？可是高斯不这么想。他想给纸的弯曲程度（“曲率”）下一个定义，让它不因你人工施加的弯曲而改变。

图片来源：Aatish Bhatia

如果你放大去看一只生活在纸筒上的蚂蚁，这只蚂蚁可以走很多条不同的路线。它可以沿着弯曲道路横着走下去，画出一个圆；也可以沿着平坦路线竖着走，走出一条直线。或者它可以把两种方式组合起来，走一条螺旋。
高斯的天才在于，他想到把所有这些路线都纳入曲率定义里面。办法是这样的：从任何一点出发，找到这只蚂蚁能选择的最极端的两条路线——也就是最凹的和最凸的两条线。然后把它们的曲率乘起来。凸的路线曲率是正的，凹的路线曲率是负的，直的路线曲率是0。你得到的数字，就是那个点上的高斯曲率。

图片来源：Aatish Bhatia

举几个例子吧。对于纸筒上的蚂蚁来说，最极端的两条路，一条是横着画圆，另一条就是竖着画直线。但是因为直线具有0曲率，所以乘起来总是得到0。照数学家的说法，纸筒是平的——它的高斯曲率就是0。这正是因为你能用平整的纸张卷出一个纸筒。
相反，如果蚂蚁活在一个球上，那么它就无法找到平坦的路线，每一条道路都会有一定程度的向外凸出，所以高斯曲率一定是个正的数。所以，球是弯的，而筒是平的。你可以把一张纸卷成一个筒，却永远不能卷成一个球。

图片来源：Aatish Bhatia

高斯的绝妙定理就是：生活在曲面上的蚂蚁，根本不需要离开它就能知道曲面的曲率。只要测量一下距离，计算一下就行。顺便说，这也是为什么我们没有离开宇宙却能测量出我们的宇宙是不是平的（根据目前的观测来看，它是）。
但这个定理还有一个绝妙的结果：你可以随意弯曲一个曲面，只要你不拉长、压缩或者撕裂它，高斯曲率一定不会变。因为单纯弯曲不改变其上的距离，所以不管怎么弯，上面的蚂蚁总会计算出同样的高斯曲率。
听起来可能有点儿抽象，但是这推论有十分紧贴现实的结果。把一个橘子切成两半，吃掉里面的东西，然后把剩下半个橘子皮放在地上，踩吧。皮永远不可能被踩扁成一个完整的圆。相反，它一定会裂开。这是因为球面和平面拥有不同的高斯曲率，所以不扭曲、不撕裂，是不可能把球面压平的。有没有试过给人寄篮球当礼物？包装纸会遇到完全一样的问题。不管你怎么弯曲一张纸，它总会留下一点点“平”的痕迹，所以最后只能得到皱皱巴巴一团糟。

桔子皮不可能压成完整圆——因为球面和平面高斯曲率不同（而且桔子皮也没有什么延展性）。图片来源：Aatish Bhatia

这个定理的另一个推论是，平面纸上永远不可能画出准确的地图。很多常见世界地图投影方式能精确地保留角度，但是在面积上就有严重误差。数学博物馆的推特指出，服装设计师也面临类似挑战——他们在平面上设计花样，却要符合弯曲的人体。

每个红色圆圈的实际面积是相等的，但在地图上看起来就有很大的差异。图片来源：Stefan Kühn (左), Eric Gaba (右) / Wikimedia

那这一切和披萨饼有什么关系呀？是这样的：你拿起披萨之前，它是平的（数学上说，它的高斯曲率为0）。高斯绝妙定理指出，这片披萨必须有至少一个方向永远保持平整——不管你怎么弯，它一定会留下一点“平”的痕迹。当这片披萨塌下去的时候，平的方向（红色箭头）是朝侧面的，这对吃掉它可没有什么帮助。但是如果你抢在它塌下去之前，先把披萨侧着捏弯，就迫使另一个方向只能保持平整——也就是对着你嘴巴的方向。还真是绝妙的定理呀。

没想到几何学也能这么美味吧。图片来源：Aatish Bhatia

在一个方向上弯曲，来迫使它在另一个方向上保持平直。一旦你理解了这个点子，你就会到处都看到它。仔细看看一片草叶。它通常都是沿着中央叶脉弯曲的，这能帮助它维持笔直，不会软塌下去。工程师经常用弯曲来强化结构承载力。在马德里扎祖拉体育场，西班牙结构工程师埃杜拉多·托罗亚（Eduardo Torroja）设计了一套创新的混凝土屋顶，从边缘一直伸到看台上方，遮蔽了大片区域，而厚度只有几厘米。这其实就是披萨技巧。

弯曲的草叶。图片来源：Dudley Carr / Flickr

西班牙扎祖拉体育场。图片来源：Ximo Michavila

弯曲带来力量。想想看：你能站在一个空易拉罐上，它能轻松承载你的体重；可是易拉罐外壁的厚度差不多和纸一样薄。它的秘密就是它的弯曲。如果有人趁你站在上面的时候拿笔戳一下易拉罐，就能戏剧化地展现这一点——只需一个小凹坑，它就会在你脚下轰然崩塌。

纸板箱里隐藏的秘密。图片来源：Craig Sunter / Flickr

但最日常的例子可能是无处不在的波形建材。世界上简直没有比纸板箱更无聊的东西，但是撕开一个这样的箱子，你会看到箱壁里一条熟悉的波浪曲线。这些皱褶在里面可不是为了好看，它们是一种天才的结构方式：让材料又薄又轻，又能坚硬到足以承担可观的重压。

很多人小时候玩过的把戏：把一张纸折叠几次就能承载很大的重量，但它背后的数学可能你就想不到了。图片来源：Aatish Bhatia

波形金属板使用的也是同样的原理。这些不起眼的建材是纯实用性的体现，它们的形态和其功能完美契合；它们的高强度和相对低廉造价使其成为了整个现代世界的背景。
今天，我们就算看到这些波浪形金属板也几乎不会多想什么。但当它们诞生时，许多人把波形建材看成是奇迹材料。1829年，亨利·帕尔默（Henry Palmer）获得了波形建材的专利，他是一个英国工程师，负责建造伦敦码头。帕尔默建起了世界上第一个波形钢结构建筑——伦敦码头的松油棚屋。虽然它今天看来可能没什么了不起，但是听听当时的一家建筑学杂志是怎么描述它的吧：

不久前路过伦敦码头时，我们十分满意地发现，帕尔默先生新发明的屋顶已经得到了实际应用。……任何一个目光敏锐的人，路过的时候都不可能不被它的优雅和简洁所打动（虽然它只是个棚屋）；而只要稍加思索，他们就会相信这一建筑的效率之高、经济之节约。我们认为，这是自亚当诞生以来，人类之手所建造的最轻又最结实（以其重量而言）的屋顶。若我们仔细观察（我们为了这一目的而爬过了各式各样的粘稠松油罐），会发现这一屋顶的总厚度绝对没有超过十分之一英寸！

这年头的建筑学杂志真是大不如前了啊。
虽然波形建材和易拉罐的强度可以很高，但有个办法让这些材料变得更强。想自己找到这个办法？去冰箱拿个鸡蛋出来。放在掌心，整只手握住鸡蛋，挤吧。（尝试这个的时候记得别戴戒指。）你会为它的强度而惊讶的。我就没法把鸡蛋握坏，哪怕用尽全力也没戏。（真的，谁试谁知道。）

请务必在家中尝试一下——好吧，为了安全，别在电脑前尝试。图片来源：Aatish Bhatia

鸡蛋为什么这么强？易拉罐和波形金属板在一个方向上是弯的，另一个还是平的。这一弯曲让它们拥有了一定强度，但它们还是有可能被压成本来的平板。
相反，鸡蛋壳两个方向上都是弯的。这是它的关键。用数学语言表达，那就是这些双重弯曲的曲面拥有非零的高斯曲率。像我们先前遇到的橘子皮一样，这意味着它们不可能被压平，除非有撕裂或者拉伸——有高斯绝妙定理保证这一点。要打破一个鸡蛋，你必须首先弄出一个坑。等到鸡蛋失去了弯曲，也就失去了强度。

图片来源：Owen Cliffe / Wikimedia

核电站冷却塔的象征性形状也在两个方向上利用了弯曲。这个形状叫做双曲面，能让所需的材料最少。正常的烟囱很像巨大易拉罐——结实是结实，但是很容易弯。双曲面形状的烟囱靠双向弯曲来解决这个问题，这样的弯曲方式能把形状“锁死”在空间中，提供额外的强度。
另一种得益于弯曲的形状是品客“薯片”，照数学家的说法，这是个双曲抛物面（hyperbolic paraboloid，舌头打结了没？）。

图片来源：Aatish Bhatia

自然界运用这一形状的招数堪称脑洞大开。濑尿虾有一项臭名昭著的本领——动物界里最快的拳击手，它的一拳打出去的力道足以把着力点上的水蒸发掉，创造出冲击波和闪光。要想使出这死亡一击，濑尿虾使用了双曲抛物面形状的“弹簧”。平时它把弹簧压缩起来储存巨大的能量，然后一招之内释放出来。
西班牙-墨西哥建筑师菲利克斯·坎德拉（Félix Candela）很懂薯片形状的力量。坎德拉是托罗亚的学生，他的建筑将双曲抛物面带到了新的高度（字面意思）。当你听到“混凝土”这个词的时候，恐怕只会想到无聊透顶的方块建筑，但坎德拉却利用双曲抛物面盖起了巨大的建筑，使用的混凝土薄到不可思议。身为这一材料的真正大师，他既是极富创新的建筑者，也是结构艺术家。

图片来源：Ciudad de las Artes y las Ciencias / Flickr

所以为什么薯片形状强度如此之高？这和它平衡张力与压力的方式有关。一切建筑都要支撑重量，最终将这些重量传递到地面上。这一传递可以靠两种不同方式完成：其一是压缩，拱顶就是纯靠压力而实现的例子；另一个就是拉伸，把一根锁链拎起来，它的每一环就都处于拉伸状态、受到张力。双曲抛物面结合了两种方式的优点。凹下去的U型部分处于拉伸状态，而凸起来的拱顶部分则是压缩，高斯绝妙定理则保证了任何一个地方的受力都会传递到四周——因为这是一个高斯曲率非零的曲面。只要你试图改变它的形状，就必须得连带压缩或者拉伸一整片区域才能让结果遵从高斯的律令；像纸张那样只弯曲一条线而不影响其他部分是不可能的。通过这样的双重弯曲，这一形状实现了张力和压力之间的精妙平衡，让它以很小的厚度就能实现惊人的强度。
通过弯曲来产生强度，这个想法塑造了我们所见的当代世界，而它的根源却来自万古不变的几何学。所以下一次你抓起一块披萨的时候，记得朝周围看看，欣赏一下这个简单的披萨小把戏背后的庞大遗产吧。（编辑：Calo）

参考资料

1. Reid, Esmond. Understanding buildings: a multidisciplinary approach. MIT Press, 1984.
2. Mornement, Adam, and Simon Holloway. Corrugated iron: building on the frontier. WW Norton & Company, 2007.
3. Garlock, Maria E. Moreyra, David P. Billington, and Noah Burger. Félix Candela: engineer, builder, structural artist. Princeton University Art Museum, 2008.