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附A 张量分析 § A-1 指标符号 例如, 三维空间任意一点P在笛卡儿坐 标系 x1 , x2 , x3 用指标符 号表示为 xi , i ? 1,2,3 数 a1 , a2 , a3 ,? ? ?, an x1 , x2 , x3 ,? ? ?, xn 变量 ai , i ? 1,2,? ? ?, n xi , i ? 1,2,? ? ?, n 指标符号 i—指标——取值范围为小于或等于n的所有正整数 n—维数 § A-1 指标符号 一、求和约定和哑指标 A 张量分析 S ? a1 x1 ? a2 x2 ? ? ? ?an xn S ? ? ai xi ? ? a j x j i ?1 j ?1 n n 求和指标 与所用的 字母无关 指标重复 只能一次 约定 S ? ai xi ? a j x j 指标范围 用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维 一、求和约定和哑指标 § A-1 指标符号 双重求和 ?? Aij xi y j i ?1 j ?1 3 3 Aij xi y j ? A11 x1 y1 ? A12 x1 y2 ? A13 x1 y3 ? A21 x2 y1 ? A22 x2 y2 ? A23 x2 y3 ? A31 x3 y1 ? A32 x3 y2 ? A33 x3 y3 Aijk xi y j zk 代表27项 的和式 二、自由指标 § A-1 指标符号 A11 x1 ? A12 x2 ? A13 x3 ? b1 A21 x1 ? A22 x2 ? A23 x3 ? b2 A31 x1 ? A32 x2 ? A33 x3 ? b3 筒写为 Aij x j ? bi j ——哑指标 i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式 中必须相同 § A-1 指标符号 三、Kronecker-?符号和置换符号(Ricci符号) Kronecker-?符号定义 ?1 ? ji ? ? ij ? ? ?0 当i ? j 当i ? j 当i, j ? 1,2,3时，有 ? 11 ? ? 22 ? ? 33 ? 1 ? 12 ? ? 21 ? ? 23 ? ? 32 ? ? 31 ? ? 13 ? 0 § A-1 指标符号 三、Kronecker-?符号和置换符号 (Ricci符号) Kronecker-?符号定义 ? 11 ? 12 ? 13 1 0 0 ? ij ? ? 21 ? 22 ? 23 ? 0 1 0 ? 1 ? 31 ? 32 ? 33 0 0 1 ? ij a j ? ? i1a1 ? ? i 2 a2 ? ? i 3 a3 ? ai ? im Amj ? Aij ? ii ? ? 11 ? ? 22 ? ? 33 ? 3 ? ik ? kj ? ? ij ? ij? ij ? ? ii ? ? jj ? 3 ? ij? jk ? kl ? ? il aik? kj ? aij aij? ij ? aii ? a11 ? a22 ? a33 ai? ij ? a j 直角坐标系的 基矢量 ei ? e j ? ? ij § A-1 指标符号 三、Kronecker-?符号和置换符号(Ricci符号) Ricci符号定义 eijk 偶次置换 ? 1 若?i, j , k ? ? ?1,2,3?, ?2,3,1?, ?3,1,2 ? ? ? ?? 1 若?i, j , k ? ? ?3,2,1?, ?2,1,3?, ?1,3,2 ? ?0 若有两个或三个指标相等 ? e123 ? e231 ? e312 ? 1 e213 ? e132 ? e321 ? ?1 e111 ? e112 ? e113 ? ? ? ? ? 0 奇次置换 § A-1 指标符号 三、Kronecker-?符号和置换符号(Ricci符号) Ricci符号定义 ? i1 ? i 2 ? i 3 ? i1 ? j1 ? k1 eijk ? ? j1 ? j 2 ? j 3 ? ? i 2 ? j 2 ? k 2 ? k1 ? k 2 ? k 3 ? i 3 ? j 3 ? k 3 ? 31 ? 32 ? 33 0 0 1 e321 ? ? 21 ? 22 ? 23 ? 0 1 0 ? ?1 ? 11 ? 12 ? 13 1 0 0 eijk ? ?e jik ? ?eikj ? ?ekji eijk ? e jki ? ekij eijk e pqr ? i1 ? i 2 ? i 3 ? p1 ? q1 ? r1 ? ? j1 ? j 2 ? j 3 ? ? p 2 ? q 2 ? r 2 ? k1 ? k 2 ? k 3 ? p 3 ? q 3 ? r 3 ? i1? p1 ? ? i 2? p 2 ? ? i 3? p 3 ? ? i1? p1 ? ? ip eijk e pqr ? ip ? iq ? ir ? ? jp ? jq ? jr ? kp ? kq ? kr p?k eijk ekqr ? iq ? ir ? ? ? iq? jr ? ? ir ? jq ? jq ? jr a11 a31 a12 a32 a13 a23 ? a11a22a33 ? a12a23a31 ? a33 A ? a21 a22 a13a21a32 ? a13a22a31 ? a12a21a33 ? a11a23a32 ? eijk a1i a2 j a3k ? eijk ai1a j 2 ak 3 Kronecker-?和Ricci符号的关系 ekij ekst ? ? is? jt ? ? js? it §A-2 矢量的基本运算 在三维空间中, 任意矢 量都可以表示为三个基 矢量的线性组合 A 张量分析 e1 , e2 , e3 a ? a1e1 ? a2e2 ? a3e3 ? ai ei ai为矢量a在基矢量ei下的分解系数, 也称矢量 的分量 一、矢量点积 ei ? e j ? ? ij §A-2 矢量的基本运算 一、矢量点积 A 张量分析 a ? b ? ai ei ? b j e j ? ai b j? ij ai bi ? a j b j 二、矢量叉积 ei ? e j ? eijk ek §A-2 矢量的基本运算 二、矢量叉积 证明 A 张量分析 ei ? ? ik ek e j ? ? jk ek ? i1 ? i 2 ? i 3 ei ? e j ? ? j1 ? j 2 ? j 3 e1 e2 e3 ? erst? ir ? js et ? eijt et ? eijk ek §A-2 矢量的基本运算 二、矢量叉积 A 张量分析 a ? b ? ai ei ? b j e j ? ai b j ei ? e j ai b j eijk ek ? eijk ai b j ek ? c ck ? eijk ai b j §A-2 矢量的基本运算 三、矢量的混合积 A 张量分析 a ? b ? c ? eijk ai b j ek ? cr er ? eijk ai b j cr? kr ? eijk ai b j ck ei ? e j ? ek ? eijr er ? ek ? eijr ? rk ? eijk Ricci符号 §A-2 矢量的基本运算 四、矢量的并乘(并矢) A 张量分析 a ? ai ei , b ? b j e j 并乘 ab ? ai ei b j e j ? ai b j ei e j a2b1e2 e1 ? a2b2 e2 e2 ? a2b3e2 e3 ? a3b1e3e1 ? a3b2 e3e2 ? a3b3e3e3 ab ? a1b1e1e1 ? a1b2 e1e2 ? a1b3e1e3 ? §A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析 x? ? x cos? ? y sin? y? ? ? x sin? ? y cos? x ? x? cos? ? y? sin ? y ? x? sin ? ? y? cos? §A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析 x1? ? x1 cos? ? x2 sin ? x2? ? ? x1 sin ? ? x2 cos? x1 ? x1? cos? ? x2? sin? x2 ? x1? sin? ? x2? cos? 坐标变换式 xi? ? ? i?i xi xi ? ? ii? xi? ? i?i ? cos(xi? , xi ) ? ii? ? cos(xi , xi? ) §A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析 [? ii? ], [? i?i ] 互逆、正交矩阵 ?1 0 ? ? ii?? i?i ? ? ij ? ? ? ?0 1 ? 基矢量变换式 ei? ? ? i?i ei ei ? ? ii?ei? 坐标变换系数 任意向量变换式 vi? ? ? ii?vi ? ? i?i vi §A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析 张量的定义——在坐标系变换时,满足如下变 换关系的量称为张量 ?i?j?k ????l? ? ? i?i? j?j? k ?k ? ? ?? l?l?ijk ???l 张量的阶——自由指标的数目 不变性记法 ? ? ? ijk ???l ei e j ek ? ? ? el §A-3 坐标变换与张量的定义 一、加(减)法 A 张量分析 T ? A ? B ? ( Ai?j? ? Bi?j? )ei?e j? ? Ti?j?ei?e j? 二、矢量与张量的点积(点乘) 矢量与张量点乘的结果仍为张量,新张量b比原张量 T的阶数降低一阶 左点乘 a ? T ? (ai ei ) ? (T jk e j ek ) ? aiT jk ? ij ek ? b §A-4 张量的代数运算 右点乘 A 张量分析 T ? a ? (Tij ei e j ) ? (ak ek ) ? Tij ak ei? jk ? Tij a j ei ? c a ?T ? T ? a 对称张量两 者才相等 §A-4 张量的代数运算 三、矢量与张量的叉积 A 张量分析 矢量与张量叉乘的结果仍为张量, 新张量与原 张量同阶 左叉乘 a ? T ? ( ai ei ) ? (T jk e j ek ) ? aiT jk eijr er ek ? eijr aiT jk er ek ? A §A-4 张量的代数运算 三、矢量与张量的叉积 右叉乘 A 张量分析 T ? a ? (Tij ei e j ) ? (ak ek ) ? Tij ak ei e jkr er ? e jkr Tij ak ei er ? B §A-4 张量的代数运算 四、两个张量的点积 A 张量分析 两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 2 A ? B ? ( Aij ???k ei e j ? ? ? ek ) ? ( Brs???t er es ? ? ? et ) ? Aij ???k Brs???t ei e j ? ? ? ? kr es ? ? ? et ? Aij ???k Bks ???t ei e j ? ? ? es ? ? ? et ? S 两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这 相当于矩阵相乘 §A-4 张量的代数运算 五、张量的双点积 A 张量分析 两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 4 A : B ? ( Aijk ei e j ek )( Brst er es et ) ? Aijk Brst? jr ? ks ei et ? Aijk B jkt ei et ? S §A-4 张量的代数运算 六、张量的双叉乘 A 张量分析 A B ? ( Aijk ei e j ek )( Brst er es et ) ? ? Aijk ei e jrm em Brst eksn en et ? e jrm eksn Aijk Brst ei em en et ? S Simnt ? e jrm eksn Aijk Brst ? §A-4 张量的代数运算 七、张量的缩并 A 张量分析 在张量的不变性记法中, 将某两个基矢量点乘, 其结果是一个较原张量低二阶的新张量, 这种运 算称为缩并 A ? Aij ei e j ? A ? Aij ei ? e j ? Aij? ij ? Aii ? A11 ? A22 ? A33 §A-4 张量的代数运算 八、指标置换 A 张量分析 A ? Aijk ei e j ek 若对该张量的分量中任意两个指标交换次序, 得 到一个与原张量同阶的新张量 A jik ei e j ek ? Bijk ei e j ek Aijk e j ei ek ? Ajik ei e j ek ? Bijk ei e j ek §A-4 张量的代数运算 九、对称化和反对称化 A 张量分析 若张量的任意两个指标经置换后所得的张 量与原张量相同, 则称该张量关于这两个指 标为对称, 若与原张量相差一符号, 则称 该张量关于这两个指标为反称。 Tij ? T ji 有6个独立分量 Wij ? ?W ji 有3个独立分量 §A-4 张量的代数运算 九、对称化和反对称化 A 张量分析 对称化：对已知张量的N个指标进行N!次不同的置 换, 并取所得的N!个新张量的算术平均值的运算。 其结果张量关于参与置换的指标为对称。将指标放 在圆括弧内表示对称化运算。 1 A?ij ? ? ( Aij ? A ji ) 2! 1 A?ijk ? ? ( Aijk ? A jki ? Akij ? Akji ? A jik ? Aikj ) 3! §A-4 张量的代数运算 九、对称化和反对称化 A 张量分析 反称化: 对已知张量的 N 个指标进行N!次不同的 置换,并将其中指标经过奇次置换的新张量取反号, 再求算术平均值, 这种运算称张量的反称化,其结果 张量关于参与置换的指标为反称。将指标放在方括 弧内表示反称运算。 1 A[ij ] ? ( Aij ? A ji ) 2! 1 A[ijk ] ? ( Aijk ? A jki ? Akij ? Akji ? A jik ? Aikj ) 3! §A-4 张量的代数运算 十、商法则 A 张量分析 若在某坐标系中按某规律给出 33=27 个数 A(ijk), 且A(ijk)bk=Cij, 其中bk 是与A(ijk)无关的任意矢量 , Cij是张量 , 那么 , A(ijk)必为比Cij高一阶的张量。 用于判定某些量的张量性！ §A-5 二阶张量（仿射量） A 张量分析 B ? Bij ei e j B ? v ? Bij ei e j ? vk ek ? Bij v j ei ? ui ei ? u B的作用如同一个算子, 它使空间内每一个向量变换 为另一个向量, 或者说 B 能把一个向量空间映射为 另一向量空间。 B ? (?a ? ?b) ? ?B ? a ? ?B ? b §A-5 二阶张量（仿射量） 一、仿射量的转置BT A 张量分析 B ? B e e j ? B ji ei e j T T ij i B ? B ji T ij B ? B, Bij ? B ji T 对称张量 反对称张量 B ? ? B, Bij ? ? B ji T §A-5 二阶张量（仿射量） 一、仿射量的转置BT A 张量分析 a ? B ?b ? b ? B ? a T ( A ? B) ? A ? B T T T T T T B?a ? a?B (B ) ? B T T T ( A ? B) ? B ? A (B ) ? (B ) T ?1 ?1 T α 和b为任意向量 §A-5 二阶张量（仿射量） 一、仿射量的逆B-1 A 张量分析 B ? B ? I , I ? ? ij ei e j ?1 I ?1 ?I ?1 ?1 ?1 ( B ? A) ? A ? B (?B ) ? ?1 1 ? B ?1 §A-5 二阶张量（仿射量） 三、对称仿射量的主向和主值 A 张量分析 对于仿射量B, 若存在三个相互垂直的方向i,j,k, 其映象 B· · ·也相互垂直, 则称该三个方向 i,B j,B k 为 B 的主向。对称仿射量T 必存在三个主向和三 个相应的主值。主值S 满足如下特征方程。 S ? IS ?ⅡS ? Ⅲ ? 0 3 2 §A-5 二阶张量（仿射量） 三、对称仿射量的主向和主值 A 张量分析 S ? IS ?ⅡS ? Ⅲ ? 0 3 2 I ? T11 ? T22 ? T33 Ⅱ? T11 T12 T21 T22 T11 T12 ? T22 T23 T32 T33 T13 ? T11 T13 T31 T33 Ⅲ ? T21 T22 T23 T31 T32 T33 §A-5 二阶张量（仿射量） 三、对称仿射量的主向和主值 2e 2? ? 1 ? S1 ? sin? ? ? ?? I 3 ? 3 3 ? 2e 1 S2 ? sin ? ? I 3 3 2e 2? ? 1 ? S3 ? sin? ? ? ?? I 3 ? 3 3 ? A 张量分析 1 3 3q ? ? ? ? arcsin 3 ,? ? ? ? 3 2e 6 6 1 e 2 ? I 2 ?Ⅱ 3 1 q ? ? Tij ? I? ij 3 §A-5 二阶张量（仿射量） 三、对称仿射量的主向和主值 A 张量分析 S1 ? S 2 ? S3 笛卡儿坐标 T ? S1ii ? S 2 jj ? S3 k k §A-5 二阶张量（仿射量） 四、各向同性张量 A 张量分析 各向同性张量——在坐标任意变换时, 各分量保持 不变的张量 零阶张量(标量)总是各向同性的。一阶张量(即矢 量) 总不是各向同性的。对于对称二阶张量T,如果 其三个主值相等, 即S1=S2=S3=λ ,则是各向同性的。 T ? Tij ei e j ? ?? ij ei e j ? ?e j e j ? ?e j?e j? Tij ? Ti?j? ? ?? ij ? ?e j?e j? §A-5 二阶张量（仿射量） 四、各向同性张量 Aijkl ? ?? ij? kl ? ?? ik ? jl ? ?? il ? jk 证明： (1)4个指标都相同的分量有3个 A1111, A2222, A3333 A1111 ? A2222 ? A3333 ? r §A-5 二阶张量（仿射量） 四、各向同性张量 Aijkl ? ?? ij? kl ? ?? ik ? jl ? ?? il ? jk 证明： (2) 4个指标有3个相同的分量有24个 A1112, A1113,? ? ? A2221, A3331 ? ? ? 以A1112 为例。如绕x2转1800，坐标变 换系数为 ?? 1 0 ?0 1 ? ?? ?0 0 ? 0? ? 0? ? 1? ? y y? x? z? x z A1112 ? ?1m?1n?1 p? 2 q Amnpq ? ? ? 22 A1112 ? ? A1112 3 11 要使新坐标的分量A1112 与原坐标中 的分量A1112 相等， A1112 。必为零。 (3) 4个指标中有2个相同的分量有36个 A1123, A1132,? ? ? A2213, A3312 ? ? ? 以A1123 为例。坐标仍绕x2转1800，坐 标变换系数同上，则 A1123 ? A1123 ? ?1m?1n?1 p? 2 q Amnpq ? ? ? 22? 23 A1123 ? ? A1123 2 11 所以 A1123=0。其它都为零。 (3) 4个指标中有2对指标重复的分量有18个。 可分为3类，每6个分量相等。 A1122 ? A2211 ? A2233 ? A3322 ? A3311 ? A1133 ? ? A1212 ? A2121 ? A2323 ? A3232 ? A3131 ? A1313 ? ? A2112 ? A1221 ? A3223 ? A2332 ? A1331 ? A3113 ? ? 将此三类分量用统一形式表示为： ?? ij? kl ? ?? ik ? jl ??? il? jk A-6 张量分析 在空间所论域内, 每点定义的同阶张量, 构成了张量场。一般张量场中被考察的张 量随位置而变化。研究张量场因位置而变 化的情况使我们从张量代数的领域进入张 量分析的领域。笛卡儿坐标系中的张量分 析。 A-6 张量分析 一、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子) 设有标量场?(x), 当位置点r(x)变到r(x+dx)时, ?的增 量d? 命为 ?? ?? ?? d? ? dx ? dy ? dz ?x ?y ?z ? ? i?dxi ? ? i?ei ? e j dx j ? ? ? ? dr 梯度算子,矢量算子 A-6 张量分析 一、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子) 1. 标量场的梯度 ?? ?? ?? grad? ? e1 ? e2 ? e3 ?x ?y ?z ? ?? 2. 矢量场u的散度 ?u x ?u y ?u z div? ? ? ? ?x ?y ?z ? u j , j ? ei ? i ? u j e j ? ? ? u A-6 张量分析 一、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子) 3. 矢量的旋度 e1 ? curlu ? ?x u1 e2 ? ?y u2 e3 ? ?z u3 ? eijk ? i u j ek ? ei ? e j ? i u j ? ei ? i ? u j e j ? ? ? u A-6 张量分析 二、张量场的微分 1. 张量A的梯度 左梯度 ?A ? ei ? i A jk e j ek ? A jk ,i ei e j ek 右梯度 A? ? ? i A jk e j ek ei ? A jk ,i e j ek ei 张量的梯度为比原张量高一阶的新张量 A-6 张量分析 二、张量场的微分 1. 张量A的散度 左散度 ? ? A ? ei ? i ? A jk e j ek ? A jk ,i? ij ek ? A jk , j ek A ? ? ? ? i A jk e j ek ? ei ? A jk ,i e j? ki ? A jk ,k e j ? Akj , j ek 右散度 张量的散度为比原张量低一阶的新张量 A-6 张量分析 二、张量场的微分 3. 张量A的旋度 左旋度 ? ? A ? ei ? i ? Ajk e j ek ? Ajk ,i eijr er ek ? eijr Ajk ,r er ek ? erki Akj ,r ei e j A-6 张量分析 二、张量场的微分 3. 张量A的旋度 右旋度 A ? ? ? ? i Ajk e j ek ? ei ? ekir Ajk ,i e j er ? ekri Ajk ,r e j ei ? ekrj Aik ,r ei e j A-6 张量分析 三、散度定理 高斯积分公式为 ? ?Vx ?V y ?Vz ? ? ?dv ? ? ? ? ? ?x ?y ?z ? ? V? ? ?V S x cos? ? V y cos ? ? Vz cos? ?ds ?V V i ,i dv ? ? Vi ni ds S A-6 张量分析 三、散度定理 高斯积分公式为——任意阶张量 Aijk ,k dv ? ? Aijk nk ds ? V S ? A ? ?dv ? ? A ?nds V S ? ? ? Adv ? ? n ? Ads V S A-7 曲线坐标下的张量分析 一般讨论的张量, 都是在笛卡儿坐标系下进行的, 在解决具体问题时, 往往要求更复杂的坐标系。 一、曲线坐标 在笛卡儿坐标系 , 空间任一点 P 的向径是 r ? xi ei 设在三维空间某连通区域, 给定了笛氏坐标的三个 连续可微的单值函数 xi? ? xi? ( xi ) 反函数 xi ? xi ( xi? ) A-7 曲线坐标下的张量分析 x3? g3 x 2? g2 g1 x1? A-7 曲线坐标下的张量分析 若函数不是线性函数, 则称其为曲线坐标系 xi? ? xi? ( xi ) 例如：圆柱坐标系 x ? r cos? , y ? r sin? , z?z 用于编排指标i’的次序 ?xi ? J ? ?0 ?xi 1 ? ? i?j ? ?xi? ?xr ? ?xr ?x j ? ?xi? ?xr ?1 ? ? J ?J ?xr ?x j ? J ?1 ?xi ? ?0 ?xi? A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 在笛卡儿坐标系, 空间任意向量(张量)都可以在基上分 解。这种做法可进行两种不同的解释: (l) 空间里只有一个固定在原点的基 ei, 先将向 量(张量)平行移至原点, 然后在这基上分解。 (2)在定义区域内每点都有一个与 ei 相同的基, 即局部基, 向量(张量)在本作用点的局部基上就 地分解。 在曲线坐标系, 如果只用一个固定基的做法, 就 会使曲线坐标的引人成为无的放矢。我们采用第 二种做法, 在空间每一点都建立局部基。 A-7 曲线坐标下的张量分析 x3? g3 x 2? g2 g1 e2 e1 x1? e3 A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 取一点处坐标曲线的切向量 ?xi ?r ? ?xi ei ? ? ei gi ? ? ?xi? ?xi? ?xi? 自然基 gi ? g j ? g ij 度量张量 A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 求圆柱坐标系的自然基gi 和度量张量gij x ? r cos? , ?xi gi ? ei ?xi? y ? r sin ? , z?z r ? r cos?e1 ? r sin ?e 2 ? e3 ?r g1 ? ? cos?e1 ? sin ?e 2 ?r A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 求圆柱坐标系的自然基gi 和度量张量gij ?r g2 ? ? ?r sin ?e1 ? r cos?e2 ?? ?r g3 ? ? e3 ?z 1 gij ? 0 0 0 r 2 0 0 1 0 A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等, 可以推广到曲线坐标系, 区别只在于这时的基矢量 gi及变换系数?i’i是空间点位置的函数。如张量A在 曲线坐标系可以写成 ijk i j k A? A g g g 由于在曲线坐标系并非所有坐标都具有长度量纲 , 例 如 , 圆柱坐标中的。因此 , 相对 应的自然基矢量就不 是无量纲的单位矢量。具有一定物理意义的向量 ( 张 量 ) 在这样的基上 的各分量并不具有物理量纲, 从而 给直接的物理解释带来不便。 A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 为了使张量在每个具体坐标系里能取得具有物 理量纲的分量 , 在正交曲线坐标系 , 取切 于坐标曲 线的无量纲单位矢量作为基矢量 , 即 1 ? ei ? gi ? gi 1 gi g ii 在物理标架上分解的张 量, 其相应的各分量能 取得相同的物理量纲 正交单位标架为物理标架, 或称物理基 圆柱坐标下的张量分析 圆柱坐标系的物理基 e1 ? ? g1 ? ? cos? ?? ? ? ?1 ? ? ? ?e2 ? ? ? g 2 ? ? ?? sin? ?e ? ? r ? ? 0 ? ?3 ? ? g 3 ? ? sin? cos? 0 0? ? e1 ? ? ?e ? 0? ? 2 ? 1? ?e3 ? ?? ? 圆柱坐标下的张量分析 球坐标系的物理基 ? ? ? ? e1 ? ? g1 ? ? sin ? cos? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? e2 ? ? ? g 2 ? ? ?cos? cos? ? ?e ? ? r ? ? ? sin ? ?3 ? 1 ? ? ? g3 ? ? r sin ? ? ? ? sin ? sin ? cos? sin ? cos? cos? ? ? e1 ? ? ? ? sin ? ? ?e2 ? ? 0 ? ?e3 ? ?? ? A-7 曲线坐标下的张量分析 三、张量对曲线坐标的导数 标量场? 沿 s 方向的方向导数为 ?? ? ?? ?s ?S ?xi ?r ?r ?xi ?xi s? ? ? ? gi ? ?S ?xi ?S ?S ?S ?? ?? ?xi ? ? ?S ?xi ?S ?xi ? ?S ? g ii ei 两边点 ? 乘 ei 1 ?? ? ei ? s g ii ?xi A-7 曲线坐标下的张量分析 三、张量对曲线坐标的导数 标量场?沿 s 方向的方向导数为 1 ?? ? ? ?? ? ei ? ei ? i ? g ii ?xi ? ? ? ei ? i 形式导数 A-7 曲线坐标下的张量分析 1. 克里斯多弗符号 ? ? ? i e j ? ?ijk ek 1 ?ijk ? g ii g jj g kk ?1 ?g jk ,i ? g ki , j ? gij ,k ? ?2 ? df ? ? 1 ? ? ? ?g ? ? g jj ? g jj ? jk ? ?xi ? ? ? A-7 曲线坐标下的张量分析 1. 克里斯多弗符号 ? ? ? i ej ? ?? ?ijk ek df gk 1 ? 1 ? ? ?ijk ? ? i e j ? ek ? ( g j)? g ii ?xi g jj g kk ? ?g j ? ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ?g ? ? g ? ? ? ? g ? j? k? g jj g kk ? g jj ?xi ?xi ? jj ? ? ? ? A-7 曲线坐标下的张量分析 1. 张量的梯度 ?A ? ei ? i ?A jk e j ek ? ? ? ? e ?? A e e ? A ? e e ? A e ? e ? ? ?? A ? ? A ? ? A ?e e e ? ? A e e e ? ei ? i A jk e j ek ? A jk ? i e j ek ? A jk e j ? i ek i i jk j k irj jk ijr r k irk jr jk j ikr r i i jk rk i j k jk i j k ?i A jk ? ? i A jk ? ?irj Ark ? ?irk A jr 圆柱坐标下的张量分析 圆柱坐标系的自然基g i 和度量张量g ij x ? r cos? , y ? r sin ? , z ? z 空间任意点的向径为 r ? r cos?e1 ? r sin ?e2 ? ze3 ?r g1 ? ? cos?e1 ? sin ?e2 ?r ?r g2 ? ? ? r sin ?e1 ? r cos?e2 ?? ?r g3 ? ? e3 ?z ?1 0 ?0 r 2 g ij ? ? ?0 0 ? 0? ? 0? 1? ? 圆柱坐标下的张量分析 圆柱坐标系的物理基 e1 ? ? g1 ? ? cos? ?? ? ? ?1 ? ? ? ?e2 ? ? ? g 2 ? ? ?? sin? r ? ?e ? ? ?3 ? g3 ? ? 0 ? ? ? sin? cos? 0 0? ? e1 ? ? ?e ? 0? ? 2 ? 1? ?e3 ? ?? ? 圆柱坐标下的张量分析 g11 ? 1, g 22 ? r , g 33 ? 1 ?kjk ? ?121 ? ?212 ? ?313 ? 1 ? j ln g kk gjj j?k 圆柱坐标系的?ijk 1 ? ln g11 ? 0, ?131 ? g 22 ?r 1 ? 1 ln g 22 ? , ?232 ? r g11 ?r 1 ? 1 ln g 33 ? , ?323 ? 2 g11 ?r 1 ? ln g11 ? 0 g 33 ?z 1 ? ln g 22 ? 0 g 33 ?z 1 ? ln g 33 ? 0 g 22 ?? 圆柱坐标下的张量分析 圆柱坐标系张量的导数公式 x1 ? r , x2 ? ? , x3 ? z g11 ? 1, g 22 ? r , g 33 ? 1 1 1 ?kjk 不为零的分量只有两个，即?212 ? , ?221 ? ? r r 1 ? ? 1 ? 1 ? ?1 ? ? ,? 2 ? ? g11 ?x1 ?r g 22 ?x2 r ?? ?3 ? 1 ? ? ? g 33 ?x3 ?z 圆柱坐标下的张量分析 圆柱坐标系张量的导数公式 ? ?? ? ? ?1?grad? ? ?? ? ei?i? ? ei ? i ? ? ? er ? e? ? ez ?? ?? ?z ? ? ?r ?2?divu ? ? ? u ? ei? i ? u j e j ? ? i ui ? ?iki uk ?u r 1 ?u? ?u z u r ? ? 1 ? 1 ?u? ?u z ? ? ? ? ? ? ? ?u r ? ? ?r r ?? ?z r ? ?r r ? r ?? ?z 圆柱坐标下的张量分析 圆柱坐标系张量的导数公式 ?3?? 2? ? ? ? ?? ? (? i ? i ? ?2 1 ? ?? 2 ? ? ?r r ?? ? ? ?iji ? j )? 1 ? ? ?2 ?? ? ? ? ? 2 ? ?212 ?? r ?? ? ?z ?r ? ? ? 2 ? ?2 1 ? 1 ?2 ? ? ?? 2 ? ? 2 ? 2 ?? ? ?r r ?r r ?? 2 ?z ? ? ? 圆柱坐标下的张量分析 圆柱坐标系张量的导数公式 ?4?? ? A ? ei? i ? A jk e j ek ? ?Arr 1 ?A?r ?Azr Arr ? A?? ? ? er ? ? ? ? ?? ?z r ? ?r r ?? ? ? ?Ar? 1 ?A?? ?Az? Ar? ? A?r ? e? ? ? ? ? ?? r ?? ?z r ? ?r ? ? ?Arz 1 ?A?z ?Azz Arz ? ez ? ? ? ? ? ?z r ? ? ?r r ??
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