连续时间无规行走（ＣＴＲＷ）模型 粒子在某一晶格位置上的 等待时间长短用一个圆圈表征，其

粒子在某一晶格位置上的

等待时间长短用一个圆圈表征，其

中等待时间正比于圆的直径

第２５卷　第４期物　理　学　进　展Ｖｏｌ．２５，Ｎｏ．４

　２００５年１２月ＰＲＯＧＲＥＳＳＩＮＰＨＹＳＩＣＳ Ｄｅｃ．，２００５

文章编号：１００００５４２（２００５）０４０３５９９

收稿日期：２００５１０２８

基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０２３５０２０，１００７５００７）；教育部跨世纪优秀人才基金项目；高等学校博

士点专项科研基金（２００５００２７００１）

分数布朗运动和反常扩散

包景东

（北京师范大学物理系，北京１００８７５）

摘　要：　本文评述了分数布朗运动和反常扩散现象及描写它们的几种数学方式。报告了我们

在弹道扩散的产生条件、起源和长时间效应方面的工作。

关键词：分数布朗运动；反常扩散；连续时间无规行走；广义Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程；弹道扩散

中图分类号：Ｏ４１５．６　　　　　　　文献标识码：Ａ

０　引言

历史上，布朗运动现象追源于ＪａｎＩｎｇｅｎｈａｕｓｚ在１７８５年观测木炭粉末在酒表面的运动；后

来ＲｏｂｅｒｔＢｒｏｗｎ在１８２８年观测花粉、尘埃、烟灰在水表面的扩散；１９０５年ＡｌｂｅｒｔＥｉｎｓｔｅｉｎ用随

机行走解释流体分子的热运动；１９２６年ＪｅａｎＰｅｒｒｉｎ因为测量Ａｖｏｇａｄｒｏ常数获Ｎｏｂｅｌ物理奖。

整整一百年前，伟大的物理学家爱因斯坦在一篇开创性的文章［１］，建立了布朗运动的扩散理

论。他考虑一个布朗粒子的一维无规运动，粒子每隔τ时间被撞击一次而移动距离ｌ，每次撞

击时向左和向右移动的可能性各占一半。假设粒子从原点出发，在时刻ｔ，粒子已受到了

ｎ＝ｔ／τ次撞击。爱因斯坦证得：粒子的平均位移为零，〈ｘ（ｔ）〉＝０；方均位移写作〈ｘ２（ｔ）〉＝

２Ｄｔ，这里Ｄ＝ｌ２／（２τ）。其实这是扩散方程ｔＰ（ｘ，ｔ）＝Ｄ２

ｘＰ（ｘ，ｔ）的高斯分布函数解的前两次

距，也是中心极限定理的直接结果。

上世纪４０年代以后，布朗运动的动力学研究开始兴起［２，３］。两个等价的方程是Ｌａｎｇｅｖｉｎ

方程和ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程［４］，前者是关于粒子轨道的随机微分方程；后者是关于分布函数随

时演化的二阶偏微分方程。人们通常认为前者更基本，因为在有些情况下写不出精确的

ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程，例如色噪声和记忆阻尼。Ｋｕｂｏ认为布朗运动可以看成一个系统受到外界

随机扰动的响应，提出了第一和第二涨落耗散定理［５］。站在更广义的角度上，用纯粹的微观

理论来对一个复杂系统的演化过程进行完全的动力学描述并不是适合的，因为哪里包含了大

量的自由度。当今大部分流行的模型是输运理论，即要区分集体自由度（相关变量）和内禀自

由度（非相关变量）。后者在平均意义上被处理成一个热浴，集体和内禀自由度之间的能量转

换的量度就是耗散或摩擦。故许多现象能够类比成布朗运动。

近几年来，在破缺媒介及非大数定理统计下的反常扩散现象引起了人们的极大关注［６～８］，

例如在湍流、等离子体、渗透媒介、生长表面和细胞等环境中的系统就表现出偏离布朗运动的

特征。一个自由粒子的方均位移在长时间后正比于时间的分数次幂，称为分数布朗运动：

〈ｘ２（ｔ）〉∝ｔδ，其中０＜δ＜１为欠扩散；δ＝１是正常扩散；１＜δ＜２为超扩散；δ＝２系弹道扩散。

从数学上看，反常扩散来自于时间和空间上的非局域性，而描写这一运动的主要手段有：连续

时间无规行走（ＣＴＲＷ），分数ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程，Ｌｅｖｙ飞行，Ｔｓａｌｌｉｓ统计，广义Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程

等。现在反常扩散和输运的研究才刚刚起步，仅自由场、线性场和简谐势可以获得精确解。由

于数值求解分数ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程的困难，人们知道的有势系统的信息还很有限，目前的理

论研究大都是从唯象观点出发，导出分布函数或粒子轨道满足的方程，其中反常指数为一个自

由参数。

玻耳兹曼建立了各态历经理论，即长时间后可观测量的系综平均等于时间平均；各态历

经系统具有唯一的定态分布，分布函数在等能量面上为一常数。这也是统计物理的基础，也

就是微正则系统的等概率法则。该理论的目的在于在相空间理解不可逆的起源。其实这个问

题很重要，构成了平衡态统计物理和大部分非平衡态统计物理的基础，但很少有好的例子表明

在孤立系统（自由粒子）各态历经被破坏。近年来，分数布朗运动和非玻耳兹曼统计为这一问

题的研究打开了话题。众所周知，平衡态统计物理侧重于统计分布，非平衡态统计物理侧重于

动力学。我们感兴趣于两者的结合，也就是在什么动力学规律支配下，系统从不同的初始条件

出发，所达到的渐近稳定态有别于平衡态，而是介于牛顿确定性力学和朗之万随机力学之间。

这不仅需考虑耦合方式的非线性，而且更应该深入探讨热浴的结构。

图１　连续时间无规行走（ＣＴＲＷ）模型的

图示。粒子在某一晶格位置上的

等待时间长短用一个圆圈表征，其

中等待时间正比于圆的直径

本文第１节评述了几种描写分数布朗运动和反常扩散现象的数学手段，并与正常的布朗

运动做了比较；第２节报告了我们最近关于弹道扩散的工作，包括产生的条件，可能的物理起

源以及在这一过程中Ｋｕｂｏ第一和第二涨落耗散定理的

适用性；小结被最后写在第３节。

１　反常扩散的描述方法

１．１　连续时间无规行走（ＣＴＲＷ）

ＣＴＲＷ模型［７～１０］中有两个基本要素：一次跳跃的长

度和两次跳跃之间的等待时间。两者均是随机变量，分

别由跳跃分布密度函数（ｐｄｆ）φ（ｘ，ｔ）所定义。那么跳

跃长度的ｐｄｆ为λ（ｘ）＝∫∞

０ｄｔφ（ｘ，ｔ），等待时间的ｐｄｆ为

ｗ（ｔ）＝∫∞

－∞ ｄｘφ（ｘ，ｔ）。其物理意义分别是：λ（ｘ）ｄｘ表

示在间隔（ｘ，ｘ＋ｄｘ）跳跃长度的几率；ｗ（ｔ）ｄｔ表示在间

隔（ｔ，ｔ＋ｄｔ）一次等待时间的几率。如果跳跃长度和等

待时间是独立的，那么φ（ｘ，ｔ）＝ｗ（ｔ）λ（ｘ）。不同的

３６０ 物理学进展　　２５卷

ＣＴＲＷ过程是以平均等待时间Ｔ＝∫∞

０ｄｔｗ（ｔ）ｔ和跳跃长度的方均Σ２＝∫∞

－∞ｄｘλ（ｘ）ｘ２是否收敛

和发散来分类的。对于标准的布朗运动，两者都是确定的；而对于反常扩散，两者之一必发散。

令Ｗ（ｘ，ｔ）代表发现无规行走者在ｔ时刻处于ｘ位置的分布密度函数，它满足一个广义主

方程

Ｗ（ｘ，ｔ）＝∫∞

－∞ｄｘ′∫∞

０ ｄｔ′Ｗ（ｘ′，ｔ′）φ（ｘ－ｘ′，ｔ－ｔ′）＋Ψ（ｔ）δ（ｘ） （１）

式中Ψ（ｔ）＝１－∫ｔ

０ｄｔ′ｗ（ｔ′）为（０，ｔ）时间段内粒子等待不跳的几率。

对方程（１）进行空间Ｆｏｕｒｉｅｒ变换和时间Ｌａｐｌａｃｅ变换，则Ｗ（ｘ，ｔ）的ＦｏｕｒｉｅｒＬａｐｌａｃｅ变换

满足以下的代数方程

Ｗ（ｋ，ｕ）＝１－ｗ（ｕ） ｕ

Ｗ０（ｋ）

１－φ（ｋ，ｕ）

（２）

这里Ｗ０（ｋ）是初始条件Ｗ０（ｘ）的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换。

让我们考虑一个泊松等待时间分布ｗ（ｔ）＝τ－１ｅｘｐ（－ｔ／τ）［Ｔ＝τ］和高斯跳跃长度分布λ

（ｘ）＝（４πσ２）－１／２ｅｘｐ（－ｘ２／（４σ２））［Σ２ ＝２σ２］。对于初始条件Ｗ０（ｘ）＝δ（ｘ），传播子的

ＦｏｕｒｉｅｒＬａｐｌａｃｅ变换为Ｗ（ｋ，ｕ）＝（ｕ＋Ｋ１ｋ２）－１，这里Ｋ１＝σ２／τ。变回到（ｘ，ｔ）空间，得到著名

的高斯传播子解：Ｗ（ｘ，ｔ）＝（４πＫ１ｔ）－１／２ｅｘｐ（－ｘ２／（４Ｋ１ｔ））。事实上，只要Ｔ和Σ２同时是有限

的，就可以给出相同的结果。

接下来我们考虑平均等待Ｔ时间发散，而方均跳跃长度Σ２有限的情况，即一个长尾等待

时间分布。其分布密度函数的渐近表达式为ｗ（ｔ）≈Ａα（τ／ｔ）１＋α（０＜α＜１），它的Ｌａｐｌａｃｅ变换

是ｗ（ｕ）≈１－（ｕτ）α。那么跳跃密度函数Ｗ（ｘ，ｔ）的ＦｏｕｒｉｅｒＬａｐｌａｃｅ变换为

Ｗ（ｋ，ｕ）＝ Ｗ０（ｋ）／ｕ

１＋Ｋαｕ－αｋ２ （３）

使用分数积分的Ｌａｐｌａｃｅ变换规则：Ｌ｛０Ｄ－Ｐ

ｔ Ｗ（ｘ，ｔ）｝＝ｕ－ＰＷ（ｘ，ｕ），ｐ≥０，我们有分数扩散方程

Ｗ

ｔ＝０Ｄ１－α

ｔ Ｋα ２

ｘ２Ｗ（ｘ，ｔ） （４）

式中，ＲｉｅｍａｎｎＬｉｏｕｖｉｌｌｅ分数导数（积分）被定义成［１１］

０Ｄ１－α

ｔ Ｗ（ｘ，ｔ）＝ １

Γ（α）



ｔ∫ｔ

０ｄｔ′Ｗ（ｘ，ｔ′）

（ｔ－ｔ′）１－α （５）

进而给出自由粒子方均位移的渐进表示式

〈ｘ２（ｔ）〉＝ ２Ｋα Γ（１＋α）ｔα，　０＜α＜１ （６）

这里广义扩散系数Ｋα≡σ２／τα。

让我们来考查分数导数和积分的算例［６］与意义。常数Ｃ的１／２阶导数是０Ｄ１／２

ｘ Ｃ＝Ｃ／

槡πｘ，而１／２阶积分为０Ｄ－１／２

ｘ Ｃ＝２Ｃ ｘ／ 槡π；ｘ的１／２阶导数是０Ｄ１／２

ｘ ｘ＝２ ｘ／ 槡π，而１／２阶积分

为０Ｄ－１／２

ｘ ＝４ｘ３／２／３槡π。分数速度定义成ν＝ｄμ／ｄｔμｘ（ｔ），则粒子的轨道写作ｘ（ｔ）＝Γ－１（μ）

∫ｔ

０ｄｔ′ν（ｔ′）（ｔ－ｔ′）μ－１。扩散粒子的微观运动是完成了一条双绞线和处处非可微的曲线，对于

这个曲线，粒子的轨道是速度的一个功率权重的平均。事实上，它是由粒子的速度记忆效应引

起的，对于分数路径，瞬间速度和位移并不贡献到粒子的宏观运动。

　４期包景东：分数布朗运动和反常扩散３６１

一般阻尼和有势情况下，分数ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程表为

Ｗ（ｘ，ν，ｔ）

ｔ ＋νＷ

ｘ＋ｆ（ｘ） ｍ

Ｗ（ｘ，ν，ｔ）

ｖ ＝γα０Ｄ１－α

ｔ Ｌ＾

ＦＰＷ（ｘ，ν，ｔ） （７）

ＦＰ算子是Ｌ＾

ＦＰ＝

νｖ＋ｋＢＴ

ｍ

２

ν２。这里分数ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程仅能描述欠扩散（０＜α＜１），物理

上适合于长等待系统。但并不依赖于等待时间和跳跃分布的密度函数，它的推导以及线性和

简谐势场的解见文献［９，１０］。

另外，从系统分布密度函数随时演化的角度，一些作者［１２］引入了非线性媒质中的过阻尼

ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程，即

Ｗ（ｘ，ｔ）

ｔ ＝ 

ｘ［Ｕ′（ｘ）Ｗ（ｘ，ｔ）］＋Ｄ ２

ｘ２［Ｗ（ｘ，ｔ）］ν （８）

它对应一个在Ｉｔｏ意义下的态有关的乘性Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程

ｘ·

（ｔ）＝－Ｕ′（ｘ）＋ ２ 槡Ｄ［Ｗ（ｘ，ｔ）］（ν－１）／２η（ｔ） （９）

这里η（ｔ）是一个均值为零，方差是１的高斯白噪声。

方程（８）已被应用到多孔媒介中的气体渗透问题，薄液体膜中的传播问题，Ｍａｒｓｈａｋ波的

热传播以及表面生长。其稳定解为Ｗｓｔ（ｘ） ＝［１－（ν－１）βＶ（ｘ）］１／（ν－１） ＋ ／Ｚ，这里

［ｆ］＋ ＝ｍａｘ｛ｆ，０｝，Ｚ是归一化常数，β＝Ｚν－１／（νＤ），Ｖ（ｘ）＝Ｕ（ｘ）－Ｕ０，Ｕ０是势的极小值。自

由粒子的方均位移为〈ｘ２（ｔ）〉∝ｔ２／（ν＋１），ν＜１为超扩散；ν＞１为欠扩散；ν＝１系正常扩散。

图２　具有相同跳跃步数的布朗运动

（左）与μ＝１．５的Ｌｅｖｙ飞行

（右）的比较

１．２　Ｌｅｖｙ飞行

与上述分数扩散给出的分数ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程的情形相反，我们考虑一个长跳跃过程，

即Ｌｅｖｙ飞行。它具有有限的等待时间但跳跃长度分布的二次距发散，后者一种可能的Ｆｏｕｒｉｅｒ

变换是λ（ｋ）＝ｅｘｐ（－σμ｜ｋ｜μ）≈１－σμ｜ｋ｜μ，这里１＜μ＜２，其对应的跳跃分布的渐进形式为λ

（ｘ）≈Ａμσ－μ｜ｘ｜－１－μ。自由粒子的扩散方程写作ｔＷ＝Ｋμ

－∞Ｄμｘ

Ｗ（ｘ，ｔ），其解是一个Ｆｏｘ函数［７］

Ｗ（ｘ，ｔ）＝ １

μ｜ｘ｜Ｈ１，１

２，２

｜ｘ｜

（Ｋμｔ）１／μ

（１，１／μ），（１，１／２）

[ （１，１），（１，１／２ ] ）

（１０）

自由粒子（甚至简谐势中的粒子）方均位移发散，〈ｘ２（ｔ）〉

→∞。但我们应该关注的是Ｌｅｖｙ飞行分布的宽度而不是

二次距，那么前者定义为〈ｘ２（ｔ）〉Ｌ＝∶∫Ｌ－１ｔＬ／μ１ｔ／μｄｘｘ２Ｗ（ｘ，ｔ）

≈ｔ２／μ，是一种超扩散［１３，１４］。这种运动还可以用满足Ｌｅｖｙ

统计的噪声η（ｔ）驱动的Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程ｘ·

（ｔ）＝Ｆ（ｘ）／

（γｍ）＋η（ｔ）来描述，其中η（ｔ）分布密度函数的Ｆｏｕｒｉｅｒ

变换是

ｐ（ｋ）＝∫ｄηｅｘｐ（－ｉｋη）ｐ（η）＝ｅｘｐ（－Ｄ｜ｋ｜μ）

（１１）

式中０＜μ