§14.3 电磁波
麦克斯韦方程组的微分形式为：
, (14.19)
, (14.20)
, (14.21)
. (14.22)
在上述方程组中，
和
两项的存在意味着：
和两项的存在意味着：
只要存在变化的磁场，就会激发有旋电场；
所激发的随时间变化的有旋电场，又反过来激发变化的有旋磁场，……
换言之，只要空间有变化的磁场存在，就一定有电场同时存在，反之亦然。
若在空间某处有一个电磁振源，在这里有交变的电流或电场，它在自己周围激发交变的有旋磁场，后者又在自己周围激发有旋电场……交变的有旋电场和有旋磁场互相激发，闭合的电场线和磁场线就会像链条的环节一样一个个地套连下去，在空间传播开来，从而形成电磁波。
已发射出去的电磁波，即使在激发它的波源消失之后，仍将继续存在并向前传播。电磁场可以脱离电荷和电流而单独存在，并在一般情况下以波的形式运动。
一 自由空间中的电磁波和平面电磁波
由给定条件求解麦克斯韦方程组，可以证明电磁波的存在。
( 1 ) 真空中电磁场的波动方程
在自由空间中，既没有自由电荷，也没有传导电流，电场和磁场互相激发，电磁场遵从齐次麦克斯韦方程组：
, (14.39a)
, (14.39b)
, (14.39c)
. (14.39d)
在真空中，介质性质方程为：
, 
.
对式(14.39a)两边求旋度，并利用式(14.39b)，可得
；
再利用矢量分析公式及
，
可得 
.
.
由以上两式立即得到关于电场E的偏微分方程
. (14.40)
对式(14.39b)两边求旋度，类似可得关于B的偏微分方程
. (14.41)
与式 
(6.51)
(6.51)
相比可以看出，它们就是真空中电磁场的波动方程，而且
(14.42)
是电磁波在真空中的传播速度。由此可见，从麦克斯韦方程组确实可以预言电磁波的存在，且其波速等于光速。
( 2 ) 定态波动方程(关于单色电磁波的波动方程)
一般而言，介质的电容率和磁导率都随电磁波的频率而变，这种现象称为介质的色散。
在线性介质中，有
, 
(14.43)
因此，对于一般非简谐变化的电磁场，无法推出E和B的一般波动方程。在很多实际情况下，电磁波的激发源往往以大致确定的频率作简谐振荡，因而辐射出的电磁波也以相同的频率作简谐振荡。这种以一定频率作简谐振荡的波，常称为定态电磁波或单色波。一般的非单色电磁波，可以用傅里叶分析方法分解为不同频率的单色波的叠加，因此以下我们只讨论单色波。
对于一定频率的单色电磁波，电磁场对时间的依赖关系是 cosw t，或用复数形式表示为：
, 
(14.44)
在频率一定的定态情况下，均匀介质e 和m 为常量，有
和 
.
把式(14.44)代入自由空间的麦克斯韦方程组[式(14.39)]，消去共同因子
后可得：
后可得：
, (14.45a)
, (14.45b)
, (14.45c)
. (14.45d)
对式(14.45a)取旋度，并利用式(14.45b)，可得
.
再利用矢量分析公式及
，
可得
.
由以上两式可导出：
, (14.46)
其中 
. (14.47)
. (14.47)
方程(14.46)称为亥姆霍兹方程，是一定频率下电磁波的基本方程。它与联立，可解出E在空间的分布，再由式
联立，可解出E在空间的分布，再由式, (14.45a)
即可求出
. (14.48)
概括起来，在一定的频率下，麦克斯韦方程组化为：
,
, (14.49)
.
麦克斯韦方程组也可以化为：
,
, (14.50) 
.
( 3 ) 平面电磁波
按激发和传播条件的不同，电磁波的场强E(r)可以有各种不同的形式。
一种最基本的解是存在于自由空间的平面电磁波。
① 沿x轴正方向传播的平面电磁波
设电磁波沿x轴正方向传播，其场强在与x轴正交的平面上的各点有相同的值，即E和B仅与x和t有关，而与y和z无关，这种电磁波称为平面电磁波，其等相位点所组成的波阵面是与传播方向正交的平面。
对于平面电磁波，亥姆霍兹方程(14.46)化为一维的常微分方程，即
,
它的一个解是
,
再由式(14.44)可得
. (14.51)
最后，由条件
可得
，
即要求
.
因此，E0与传播方向x轴垂直。
以上为了运算方便而采用了复数形式，实际存在的场应理解为只取式(14.51)的实部，即
, (14.52)
其相速为
. (14.53)
由式
, 
(14.43)
可见，介质的相对电容率er和相对磁导率mr都是频率的函数，因此在介质中不同频率的电磁波有不同的相速，这就是介质的色散现象。
图14 - 4 平面电磁波
② 沿任意方向传播的平面电磁波
在普遍的情况下，代替式
, (14.51)
平面电磁波的表达式是
, (14.54)
式中k是沿电磁波传播方向的一个常矢量，其大小为
.
如图所示，取垂直于矢量k的任一平面S，设P为此平面上位矢为r的任意一点，则
，
其中r0是r在矢量k上的投影。由于平面S上任意点的位矢在k上的投影都等于r0，因此平面S是等相位面。换言之，当k为常矢量时，式(14.54)表示沿k方向传播的平面波。矢量k称为传播矢量，其大小k称为角波数，
(14.55)
是电磁波的波长，因为沿电磁波传播方向相距2p/k的两点间有相位差2p.
③ 电磁波的横波条件
如上所述，对式
(14.40)
必须加上条件
才能得到电磁波解。取式
才能得到电磁波解。取式 (14.54)
的散度，可得
,
因此条件
化为
. (14.56)
上式表示电场波动是横波，E可在垂直于k的任意方向上振荡，E的取向称为电磁波的偏振方向。
④ 平面电磁波的磁场
平面电磁波的磁场可由式
(14.48)
求出，即
, (14.57)
其中en为传播方向的单位矢量。由上式可以看出，
, (14.58)
即磁场波动也是横波。因此E、B和k是三个互相正交的矢量。由式(14.57)还可以看出，E和B是同相位的，它们的振幅满足以下关系：
,
或 
. (14.59)
. (14.59)
在真空中，上式化为
或 
.
⑤ 平面电磁波的主要性质
1 ) 电磁波是横波，E和B都与传播方向k垂直；
2 ) E和B互相垂直，
沿k方向；
沿k方向；
3 ) E和B同相位，振幅比等于v，或
；
4 ) 电磁波的传播速度为
. (14.60)
平面电磁波沿传播方向各点电场和磁场强度的瞬时值如图14-5所示，随着时间的推移整个波形将向x轴的正方向以速度v移动。
图14 - 5 平面电磁波的电场和磁场矢量
严格而言，以上结论只适用于在自由空间传播的平面电磁波，对于局限在空间有限范围内或导电介质中的电磁波，例如在波导管中传播的电磁波，不一定都成立。
⑥ 各频段电磁波传输电磁能的方式
对于低频段，可用两根普通导线传输；
到了电视用的米波段，必须用制作精细的平行双线或同轴线传输；
对于雷达和定向通讯等使用的微波段，则需用波导管(即空心的金属管)来传输，这可以避免辐射损耗和介质损耗，并大大减小电流的焦耳热损耗；
对于激光等光波段的电磁波，则需要用光导纤维等介质波导来传输。
在矩形波导管中，如果电场是横波，则磁场不能再是横波，这样的横电波叫TE波；反之，如果磁场是横波，则电场不能再是横波，这样的横磁波叫TM波。一般而言，波导管中的场是各种模式的TE波和TM波的叠加，但和前面所讨论的无界空间不同，波导管中不能传送TEM波，即像平面电磁波那样的横电磁波。
二 电磁波的辐射
( 1 ) 偶极振子
电磁波是由发射台通过天线辐射出来的电磁振荡在空间的传播。
能量补给：原则上，任何一个LC共振电路都可以作为发射电磁波的振源。然而，为了产生持续的电磁振荡，必须把LC电路接在晶体管或电子管上组成振荡器，由电路中的直流电源不断补给能量。
开放性电磁场：在集中性元件所组成的LC振荡电路中，电磁场和电磁能绝大部分都集中在电感和电容元件中。为了把电磁场和电磁能有效地发射出去，必须改造电路使其尽可能开放，使电磁场尽可能分散到空间中去。
高频率电磁振荡：由于电磁波在单位时间内辐射的能量是与频率的四次方成正比的，而且
，
因此为了有效地把电路中的电磁能发射出去，必须尽量减小L和C的值，以提高电磁振荡频率f0 .
设想把LC振荡电路按图14-6(a), (b), (c), (d)的顺序逐步加以改造，使电路越来越开放，L和C越来越小。最后，演化成直线型振荡电路，电流在其中往复振荡，两端出现正负交替的等量异号电荷，称为振荡偶极子或偶极振子。发射台的实际天线要比上述偶极振子复杂得多，但所发射的电磁波都可以看成是偶极振子所发射的电磁波的叠加。
图14 - 6 从LC振荡电路过渡到偶极振子
( 2 ) 偶极振子发射的电磁波
偶极振子周围的电磁场，可以用麦克斯韦方程组严格计算出来。在这里我们只对结果作定性的讨论，并假定偶极振子的电偶极矩的大小是
. (14.61)
在偶极振子中心附近的近场区内，即在离振子中心的距离r远小于电磁波波长 l 的范围内，电磁波传播速度有限性的影响可以忽略，电场的瞬时分布与静态偶极子的电场很相近。设t = 0时偶极振子的正负电荷都在中心，然后分别作简谐振动；起始于正电荷终止于负电荷的电场线的形状也随时间而变化。
在偶极振子附近，一条电场线从出现到形成闭合圈，然后脱离电荷并向外扩张的过程，如右图所示。
在电场变化的同时也有磁场产生，磁场线是以偶极振子为轴的疏密相间的同心圆。电场线与磁场线互相套合，以一定的速度由近及远向外传播。
图14 - 7 偶极振子附近电场线的变化
在离偶极振子足够远的地方，即在r >> l 的波场区，波阵面逐渐趋于球形。若以偶极振子的中心为原点，以偶极振子的轴线为极轴取球坐标，则电场强度E趋于eq 方向，磁场强度H沿ej 方向。E与H同相位且互相垂直，E´H的方向指向波的传播方向er .
图14 - 8 波场区内的电场线和磁场线
图14 - 9 E和H的方向
为了描述波的能量密度，定义能流密度S为单位时间内通过与传播方向垂直的单位截面的能量；它在一个周期内的平均值
称为平均能流密度。可以证明，偶极振子辐射的平均能流密度为
称为平均能流密度。可以证明，偶极振子辐射的平均能流密度为
. (14.62)
上式表明，偶极振子的辐射具有三个重要的特点：
1 ) 偶极振子辐射的能量与频率的四次方(f 4)成正比，因此用于广播的电磁波频率一般都在几百千赫以上。
2 ) 与r 2成反比，这正是球面波的特点。因为通过球面波阵面的平均能流为
，根据能量守恒定律它是与r无关的常量，因此对于球面波必定有
.
与r 2成反比，这正是球面波的特点。因为通过球面波阵面的平均能流为，根据能量守恒定律它是与r无关的常量，因此对于球面波必定有.
3 ) 偶极振子辐射的平均能流密度具有很强的方向性，即
. 如图所示，在垂直于偶极振子轴线的方向上辐射最强，而在沿偶极振子轴线的方向上没有辐射。
. 如图所示，在垂直于偶极振子轴线的方向上辐射最强，而在沿偶极振子轴线的方向上没有辐射。
实际上，偶极振子的辐射也可以看成是由带电粒子的加速运动造成的。可以证明，对于一个作匀速运动的电荷来说，尽管它携带着电磁场以及电磁场的能量和动量运动，在电荷的运动方向上有一净能量流，但它并不辐射电磁能，即任一闭合曲面的净能量通量为零。然而，对于一个作加速运动的电荷来说，情况则大不相同。一加速运动的电荷的电场不再是径向的，其电场线如图所示。当电荷运动时，左边的场减小，而右边的场增加。但是由于有加速度，场的增大(对应于新的更大的速度)大于先前存在的场的减小(对应于较早的较小的速度)。因此，净的过剩能量必然被转移到整个空间来建立场，即一个加速电荷辐射电磁能；为了维持一个电荷作加速运动，必须对它提供能量，以补偿由于辐射而损失的能量。
图14-10 偶极振子辐射方向性
可以证明，如果被加速的电荷相对于观测者暂时静止或缓慢运动，因而波的有限传播速度所引起的推迟效应可以忽略不计，则通过以这个电荷为中心的半径为r的球面，单位时间辐射的能量为
, (14.63)
称为拉莫尔公式，a是电荷的加速度。
图14 - 11 加速电荷电场线
如果电荷被减速，则辐射的能量是由于电荷速度减小而使电磁场额外具有的能量。这种减速辐射通常又称为轫致辐射，例如X射线就是快速运动的电荷轰击靶时所产生的轫致辐射。
( 3 ) 赫兹实验
1864年12月8日，麦克斯韦在英国皇家学会宣读了总结性论文“电磁场的动力学理论”。在该文中，麦克斯韦从他的方程组出发，导出了电磁场的波动方程，算出了电磁波的传播速度与当时已知的光速很接近，从而得出“光是按照电磁定律经过场传播的电磁扰动”的结论，但麦克斯韦并未提出产生电磁波的方法。
1883年，斐兹杰惹提出，应该能用纯电的方法产生电磁波。他指出，载有高频交流电的线圈应当向周围空间辐射电磁波，莱顿瓶放电就可以产生这种高频交流电。
1886年春，29岁的赫兹在作课堂演示时发现，当电池或莱顿瓶通过一对里斯线圈中的一个放电时，很容易在另一个线圈里产生火花。
一次他把一根铜线弯成长方形，铜线两端间有一个小间隙，构成一个开路(副电路)；然后，他用一根导线把这个副电路连接到正在由感应圈激发而作火花放电的回路上，这时他看到副电路的间隔中也有电火花出现。他发现，连接到副电路上的导线的连接点位置对副电路中电火花的强度有影响，他理解到这是电磁振荡的共振现象。他还发现，即使副电路不连接到放电回路上，也有电火花出现。
为了最有效地发出电火花，赫兹在放电回路上产生电火花的部分使用了不同大小和形状的导体，最后他采用的是如图所示的导体，称为赫兹振子。
图14 - 12 赫兹振子
1888年，赫兹完成了空气中电磁波反射的实验。他把大小为4m´2m的锌板固定在墙上作为反射镜，用副电路火花探测由反射产生的驻波。他根据驻波波节间的距离，测得波长为9.6 m. 赫兹总结出，电磁感应作用是以波动形式在空气中传播的，他第一次使用了“电磁波”一词。
三 电磁波谱
自从赫兹运用电磁振荡的方法产生电磁波，并证明电磁波的性质与光波相同之后，人们进行了许多实验，不仅进一步证明了光是一种电磁波，c就是光在真空中的传播速度；而且，还发现了X射线和 g 射线等都是电磁波。在本质上这些电磁波完全相同，只是频率或波长有很大的差别。按照电磁波的频率 n 及其在真空中的波长 l 的顺序，可以把各种电磁波排列起来，通常称为电磁波谱。
图14 - 13 电磁波谱
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