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10.费米能级
费米能级（Fermi Level）是半导体物理中的重要概念，不可不知。
前面几节中介绍的能带图，描述了晶体中的电子所可能具有的能量值。打个不十分恰当的比喻，能带图就好比是在一个蜿蜒连绵的山区中，沿着高高低低、层层重叠的山坡谷底，建造了许许多多的房子。每种晶体有各自独特的建房方案。所有这些房子都是单间房，因为电子绝不与别人同居。每间房子，电子可能住进去了，也可能还没住。电子到底住没住？住进某个房间的几率是多少？一定的条件下，电子是如何分布在这些房间中的？很遗憾，这些从能带图上看不出来。那么，哪一个参数才会告诉我们这些信息呢？这个参数就是费米能级。
所以，费米能级并不高深神秘，只是具有能量量纲的某个数值而已。不过，一个参数就能供给我们这么多的信息，这个数值也还是挺神的。
费米能级可以告诉我们电子的分布情况，所以应该和统计现象有关。
物理学中有3种不同的统计规律：波尔兹曼统计、波色爱因斯坦统计、和费米狄拉克统计。它们分别适用于三种不同性质的微观粒子：经典粒子、玻色子、和费米子。相对于经典粒子而言，玻色子和费米子服从量子力学的规律。从统计观点来看，它们和经典粒子的不同之处是在于它们的不可区分性，或者说，玻色子和费米子是全同粒子。
什么是全同粒子呢？所谓全同粒子就是质量、电荷、自旋等内在性质完全相同的粒子。以经典力学的观点，即使两个粒子的上述性质全同，它们也仍然可以从运动的不同轨道而被区分。但在量子力学中，由于测不准原理，粒子没有确定的轨道，因而当两个粒子间距大大小于它们的德布罗意波长时，就无法区分了。至于费米子和玻色子的不同秉性，我们曾经描述过一点点儿：费米子是独行侠，就像电子那样，必须每人单独住一间房，而玻色子呢，则可以群居。
这3种粒子本性的不同，又如何影响它们的统计分配规律呢？让我们从一个简单的例子：两个粒子（A、B）分住三间房子（F1、F2、F3）的情况，来体会这点。
图10.1
我们最熟悉的是经典粒子，就是等同于两个‘人’住3间房子的情况，可能的方案有图10中所示的9种。因此，两个经典粒子入住的方法共有9种。如果这两个粒子是费米子，则入住的方式只有1、2、3这三种。这是因为费米子遵循泡利不相容原理而排除了方案4、5、6；又因为它们无法被区分而使得7、8、9完全等同于1、2、3。对两个玻色子来说，它们也不能被区分，但可以同住一间，所以便有1到6六种分配方法。
有的读者可能会问：“一间房是什么意思呢？是不是一个能级呢？”其实不是这样，这也是从能带图上看不出来的。更确切地说，一间房是指一个量子态。不同的量子态由不同的量子数来决定。同样的能量数值，还可以有多个量子态，因为还可以有诸如角动量、自旋等等的不同。
另外，这三种粒子，还有一个共同具有的有趣性质：大家都喜欢住在低处，即能量更小的地方。特别是在温度接近绝对零度左右时，这些小粒子们的运动几乎停止了，一个个疲惫不堪，苟延残喘，只要有可能，便都拼命想往低处靠，好像越低越保险似的。所以，经典粒子和玻色子在接近00T时，全部都挤在那个最底层的大房子里，就像无家可归者挤在难民营里一样，反正又没有什么‘泡利不相容原理’来限制它们。
这时，费米子倒显出一点骨气，它们仍然坚持自己要独居的风格，井井有条地一个一个排队入住到给它们打造的‘单间’量子态中。由于它们要遵循泡利不相容原理，所以就不可能所有的电子都住在底层，底层住满后便第1、2、……地排上去。粗略地说，最后那个电子入住的房间的高度（能量）的数值，便是费米能级。为什么这儿加上个‘粗略地说’呢，这是因为要精确地定义费米能级，是需要用点不怎么讨人喜欢的公式的。
总之，大家现在明白了，费米能级的概念的确很简单，不就是一个能量数值的标准吗。从刚才所说的意思，假设任何高度都连续地建有房间的话，那么，在这个标准之下，房间全被住满了；而在这个标准之上的房间则全部空着。
以上的理解完全正确。不过，刚才所说的是接近绝对零度时的情况。如果温度升高一些，情况则略有不同。温度升高了，电子的动能增加了，它们不像原来那么老实了，而是在房间里跳来跳去，也不太屑于那种要‘住得低一些’的老观念，而是四处窥探有无可乘之机！住在比较下面的电子伸头一看，周围房间上上下下全都住满了，太高的地方又跳不上去，所以，只好仍然规规矩矩地在原处待着，集聚更多的内力，等待温度再升高。而那些靠近费米能级、原来就住得比较高的电子就有所希望啦。它们有的已经蹦到比费米能级还高的地方去了。温度越高，电子上蹦成功的可能性就越大。
所以，当绝对温度T不为0的时候，费米能级并不是‘住了电子’，还是‘没住电子’的分界线。但是，对这种情况，物理学家费米和狄拉克，各自独立地导出了一个同样的公式。看，公式终于出现了，这就是我们现在称之为费米狄拉克统计分布的公式：
(10.1)
公式（10.1）中的EF就是费米能级，f（E）是占据能量为E量子态的电子数目。所以说，费米能级虽然只是一个数，但是，知道了这个数，就知道了在某一个温度下，电子入住各个房间的分配情况。这些房间的高度（E）可以低于费米能级，也可以高于费米能级，只是电子住或不住的几率有所不同而已。这儿的‘几率’便与表达式（10.1）有关。
综上所述，温度升高时，只有费米能级附近的电子才容易跳来蹦去，参与热跃迁，或产生电荷的输运过程。而这也正是固体表现导电或不导电，决定各种物理性质的机制所在。所以，在能带图中，我们感兴趣的也只是费米能级附近的能带结构，因为它们决定了电子（或空穴）的输运性质。
图10.2：费米能级在不同材料能带图中的位置
在上一节中我们描述了第一布里渊区，它是波矢空间中的一块区域。在波矢空间中还定义了另一个与费米能级有关的区域，叫做费米面。
又有点迷惑吧？费米能级不是一个数吗，怎么又变成一个面了呢？一个数变成一个面其实不难，比如说，给你一个数作为半径，你立刻可以在三维空间中画出一个球面来。费米面也是用这样类似方法画出来的，只不过不是在真实的三维坐标空间中画，而是在三维的波矢空间（k空间）里画的。换句话说，费米面是在k空间中的一个等能量面，这个面上的点的k值（kx,ky,kz）不同，但对应的能量数值却是相同的，等于费米能级与最低能量态的差别，或称‘费米能’。
这里需要提醒读者注意：我们从费米狄拉克统计规律（10.1），定义了‘费米能级（FermiLevel）’，刚才又提到‘费米能（Fermi Energy）’。这在某些场合，比如处理费米气体的情况，是相关但不完全相同的两个概念。不过在半导体文献中却经常被混淆地用作同义词。因此，我们也不严格区分它们，只不过一般只说‘费米能级’。
现在，考察一下第7节中讨论过的自由电子，也就是忽略晶格离子作用时，能带为抛物线的那种情况。这时，能量正比于k矢量绝对值的平方，因此，等能量面都是球面，自由电子的费米面没有例外，当然也是球面。既然自由电子的费米面是球面，也就有了费米球、费米海、费米半径之类的相应定义。
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