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舉個例子(戶口調查映射(logistic map)):
所謂解一個遞迴關係式,也就是求其解析解,即關於n的非遞迴函數。
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[隐藏]常係數線性齊次遞迴關係式[编辑]
線性字眼的意思是序列的每一項目是被定義為前一項的一種線性函數。係數和常數可能視 n 而定,甚至是非線性地。一種特別的情況是當係數並不依照 n 而定。
齊次意思為关系的常數項為零。
為了要得到線性遞迴唯一的解,必須有一些起始條件,就是序列的第一個數字無法依照該序列的其他數字而定時,且必須設定為某些數值。
解線性遞迴關係式[编辑]
遞迴關係式的解通常是由系統的方法中找出來,通常藉由使用生成函數(形式冪級數)或藉由觀察rn是一種對r的特定數值之解的事實。二階遞迴關係式的形式:
換句話說,將這種形式的方程式,用 2 代入 n 後,就得到上述的。常數 "C" 和 "D" 可以從 "邊界條件(side conditions)" 中得到,通常會像是「已知, 」。
範例:斐波那契数(Fibonacci Number)[编辑]
斐波那契数是使用一種線性遞迴關係式來定義:- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ...
常系数非齐次线性递推关系[编辑]
对于常系数非齐次线性递推关系,我们可以用待定系数法来求出它的一个特解,而它的通解就是这个特解与对应的齐次递推关系的通解的和。也可以使用迭代法求解,但只能得到确切的数值解,不能直接以解析式作答,该方法可利用计算机求解。时域经典法求解[编辑]
一般情况下,常系数线性差分方程可以写作:一般情况,当激励函数x(n)代入方程。
方程右方出现的形式,则特解选择
当a不是特征根时
例子[编辑]
我们用待定系数法来解以下的常系数非齐次线性递推关系:與差分方程的關係[编辑]
数值求解常微分方程时,经常会遇到递归关系。例如,求解如下初值问题时參考[编辑]
外部連結[编辑]
- Difference and Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld - The World of Mathematical Equations.
- Difference and Functional Equations: Methods at EqWorld - The World of Mathematical Equations.
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