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测量不破坏ｓｕ（ｎ）对称性。自旋一直满足ｓｕ（２）代数（对1/2自旋），因为他的特徵根总是＋，－两个值。按ＱＭ，自旋是”内在”对称性，按ＱＦＴ，自旋是背景时空的拓朴性质决定的，都不可以被测量改变。
phymath999
Friday, August 3, 2012
对三维空间矢量，进行三维空间旋转变换，不改变两个矢量之间的内积大小（从而也不改变三维空间矢量的长度）。相应的变换是正交变换，即变换矩阵的转置，等于变换矩阵的逆
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白桦林 2011-12-10 14:35
自旋的相干性与对称性
用Z表象对一个电子的自旋进行测量时，这个测量操作破坏了自旋的量子相干性，同时也破缼了自旋的SU(2)对称性，自旋的相干性和对称性存在什么关系，是对称性保护自旋不退相干，还是相干性保护自旋的SU(2)对称性不自发破缼。
白桦林 2011-12-10 14:59
来客栈的第一个处女帖，希望有人回复。
Bennett 2011-12-10 22:06
[quote]原帖由 [i]白桦林[/i] 于 2011-12-10 14:35 发表 [url=http://www.fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=63359&ptid=7397][img]http://www.fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
用Z表象对一个电子的自旋进行测量时，这个测量操作破坏了自旋的量子相干性，同时也破缼了自旋的SU(2)对称性，自旋的相干性和对称性存在什么关系，是对称性保护自旋不退相干，还是相干性保护自旋的SU(2)对称性不自发破缼。 ... [/quote]
"是对称性保护自旋不退相干，还是相干性保护自旋的SU(2)对称性不自发破缼。"
看不出来。我觉得这两者没有什么关系。
用Z表象对一个电子的自旋进行测量时，这个测量操作破坏了自旋的量子相干性，同时也破缼了自旋的SU(2)对称性，自旋的相干性和对称性存在什么关系，是对称性保护自旋不退相干，还是相干性保护自旋的SU(2)对称性不自发破缼。 ... [/quote]
"是对称性保护自旋不退相干，还是相干性保护自旋的SU(2)对称性不自发破缼。"
看不出来。我觉得这两者没有什么关系。
白桦林 2011-12-10 22:16
回复3#
请问自旋的SU(2)对称性是怎么定义的？对此我有点迷糊。
请问自旋的SU(2)对称性是怎么定义的？对此我有点迷糊。
Bennett 2011-12-10 22:25
[quote]原帖由 [i]白桦林[/i] 于 2011-12-10 22:16 发表 [url=http://www.fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=63365&ptid=7397][img]http://www.fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
回复3#
请问自旋的SU(2)对称性是怎么定义的？对此我有点迷糊。 [/quote]
数学上，就是场的拉格朗日量在SU(2)群元素的操作下不变，物理上是什么含义，我不知道。
回复3#
请问自旋的SU(2)对称性是怎么定义的？对此我有点迷糊。 [/quote]
数学上，就是场的拉格朗日量在SU(2)群元素的操作下不变，物理上是什么含义，我不知道。
白桦林 2011-12-10 22:32
[quote]原帖由 [i]Bennett[/i] 于 2011-12-10 22:25 发表 [url=http://www.fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=63366&ptid=7397][img]http://www.fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
数学上，就是场的拉格朗日量在SU(2)群元素的操作下不变，物理上是什么含义，我不知道。 [/quote]
兄台是学数学的，请问SU(2)群是如何定义的？
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-10 22:41 编辑 [/i]]
数学上，就是场的拉格朗日量在SU(2)群元素的操作下不变，物理上是什么含义，我不知道。 [/quote]
兄台是学数学的，请问SU(2)群是如何定义的？
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-10 22:41 编辑 [/i]]
joyer01 2011-12-11 05:35
测量是投影过程。测量导致相干性失去是由於自旋与环境的交互作用。而且相干性也是可以恢复的。
例如，在ｚ向磁场中一个｜＋ｚ＞＋｜－ｚ＞叠加态，测量以後成为｜＋ｚ＞或｜－ｚ＞。接下来变换磁场方向到ｘ，他又是一个叠加态｜＋ｘ＞＋ｂ｜－ｘ＞（ｂ是相位因子，取决於之前是＋ｚ还是－ｚ）。可见相干性的失去是由於选择了特定的投影基底。如果说有”空间对称性的破坏”，那是发生在Ｈｉｌｂｅｒｔ状态空间。误解来自於将黎曼球画在普通空间中。
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测量不破坏ｓｕ（ｎ）对称性。自旋一直满足ｓｕ（２）代数（对1/2自旋），因为他的特徵根总是＋，－两个值。按ＱＭ，自旋是”内在”对称性，按ＱＦＴ，自旋是背景时空的拓朴性质决定的，都不可以被测量改变。测量是投影过程。测量导致相干性失去是由於自旋与环境的交互作用。而且相干性也是可以恢复的。
例如，在ｚ向磁场中一个｜＋ｚ＞＋｜－ｚ＞叠加态，测量以後成为｜＋ｚ＞或｜－ｚ＞。接下来变换磁场方向到ｘ，他又是一个叠加态｜＋ｘ＞＋ｂ｜－ｘ＞（ｂ是相位因子，取决於之前是＋ｚ还是－ｚ）。可见相干性的失去是由於选择了特定的投影基底。如果说有”空间对称性的破坏”，那是发生在Ｈｉｌｂｅｒｔ状态空间。误解来自於将黎曼球画在普通空间中。
白桦林 2011-12-11 08:19
回复7#
谢谢，终于引来了超一流高手，我太高兴了。请问自旋的SU(2)对称性和SU(n)对称性是如何定义的？只有最原始的定义搞清楚了，才好讨论它们是否破缼。
谢谢，终于引来了超一流高手，我太高兴了。请问自旋的SU(2)对称性和SU(n)对称性是如何定义的？只有最原始的定义搞清楚了，才好讨论它们是否破缼。
星空浩淼 2011-12-11 10:47
1）以旋转变换为例，SU(2)群可看作是三维空间旋转变换群SO(3)的旋量表示。同一个旋转变换操作，它作用的对象不同，其矩阵表示也不同（被作用的对象构成操作的表示空间），所以同一个操作变换群，在不同的表示空间，有不同的表示。
例如，对电子绕y轴旋转θ角的操作变换，可以用SU(2)群的群元exp(-iθσ_y/2)来描述，其中σ_y是Pauli矩阵的第二个矩阵。但是，如果描述光子绕y轴旋转θ角的操作变换，则是用通常的三维空间矢量绕y轴转θ角的那个变换矩阵来描述。
当然，在粒子物理和场论中，不仅仅要描述三维空间中的旋转变换，还要描述内部空间上的旋转变换，依据内部空间上的维数多少，一般地用SU(n)群来描述内部空间上的旋转变换。
2）所谓SU(n)群不变性，是物理系统指在SU(n)群的所有群元所描述的操作变换下，系统的作用量保持不变（通常刚好是拉格朗日密度保持不变，此时作用量当然更是不变），常常可以等价为系统的Hamiltonian保持不变，即系统的总能量在对称变换下保持不变。
3）我估计你说的问题，应该是这样的：当我们试图测量电子自旋时，需要沿某空间方向上加上一个磁场，测量电子沿该方向上的自旋投影取向（无非或者沿磁场正向，或者沿磁场反向，把其中一个定义为自旋向上，另一个就是自旋向下）。一旦加上磁场，自旋向上的电子与自旋向下的电子之间，就存在能量差异，此时电子系统在空间旋转变换下，不再是不变的，因此SU(2)对称破缺的（不过，如果旋转变换以外加磁场方向为旋转轴，则系统在这一特殊的旋转变换下，仍然保持不变。这些特殊变换，构成旋转变换群的一个子群，此时我们说系统从SU(2)破缺到SU(2)的一个子群。
4）你学凝聚态物理专业，群论（包括李群和李代数）应该是必须课。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-12-11 10:53 编辑 [/i]]
例如，对电子绕y轴旋转θ角的操作变换，可以用SU(2)群的群元exp(-iθσ_y/2)来描述，其中σ_y是Pauli矩阵的第二个矩阵。但是，如果描述光子绕y轴旋转θ角的操作变换，则是用通常的三维空间矢量绕y轴转θ角的那个变换矩阵来描述。
当然，在粒子物理和场论中，不仅仅要描述三维空间中的旋转变换，还要描述内部空间上的旋转变换，依据内部空间上的维数多少，一般地用SU(n)群来描述内部空间上的旋转变换。
2）所谓SU(n)群不变性，是物理系统指在SU(n)群的所有群元所描述的操作变换下，系统的作用量保持不变（通常刚好是拉格朗日密度保持不变，此时作用量当然更是不变），常常可以等价为系统的Hamiltonian保持不变，即系统的总能量在对称变换下保持不变。
3）我估计你说的问题，应该是这样的：当我们试图测量电子自旋时，需要沿某空间方向上加上一个磁场，测量电子沿该方向上的自旋投影取向（无非或者沿磁场正向，或者沿磁场反向，把其中一个定义为自旋向上，另一个就是自旋向下）。一旦加上磁场，自旋向上的电子与自旋向下的电子之间，就存在能量差异，此时电子系统在空间旋转变换下，不再是不变的，因此SU(2)对称破缺的（不过，如果旋转变换以外加磁场方向为旋转轴，则系统在这一特殊的旋转变换下，仍然保持不变。这些特殊变换，构成旋转变换群的一个子群，此时我们说系统从SU(2)破缺到SU(2)的一个子群。
4）你学凝聚态物理专业，群论（包括李群和李代数）应该是必须课。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-12-11 10:53 编辑 [/i]]
白桦林 2011-12-11 11:31
回复9#
谢谢星空老师，你说得太对了，凝聚态必须要群论，以前不觉得群论重要，最近看张首晟老师很早的一篇文章，他居然把高温超导的反铁磁相和超导相用一更大的群SO(5)群统一起来了，而且在Science发表了，我们知道反铁磁相是空间对称性，而超导相是规范对称，规范对称性与空间无关，两者怎能统一呢，真奇怪了。所以决定自学群论，并决定从最简单的自旋SU(2)群开始学，否则文献都看不懂了。但星空老师的定义我仍然看不懂，我们知道对称性是一种变换不变换性，对自旋来说就是对自旋波函数的变换不变性，自旋的SU(2)对称性有一个直观的数学或物理图像吗？
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-11 11:42 编辑 [/i]]
谢谢星空老师，你说得太对了，凝聚态必须要群论，以前不觉得群论重要，最近看张首晟老师很早的一篇文章，他居然把高温超导的反铁磁相和超导相用一更大的群SO(5)群统一起来了，而且在Science发表了，我们知道反铁磁相是空间对称性，而超导相是规范对称，规范对称性与空间无关，两者怎能统一呢，真奇怪了。所以决定自学群论，并决定从最简单的自旋SU(2)群开始学，否则文献都看不懂了。但星空老师的定义我仍然看不懂，我们知道对称性是一种变换不变换性，对自旋来说就是对自旋波函数的变换不变性，自旋的SU(2)对称性有一个直观的数学或物理图像吗？
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-11 11:42 编辑 [/i]]
sage 2011-12-11 12:12
=======================================
问题是什么样的图像对你来说才是直观的。
这里的图像别人已经解释清楚了。我不是很看得懂你到底想问什么。你这样问下去有谁也不知道你在问什么的危险。
也许你科可以把你自己想理解文章在这里描述一下。
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自旋的SU(2)对称性有一个直观的数学或物理图像吗？=======================================
问题是什么样的图像对你来说才是直观的。
这里的图像别人已经解释清楚了。我不是很看得懂你到底想问什么。你这样问下去有谁也不知道你在问什么的危险。
也许你科可以把你自己想理解文章在这里描述一下。
星空浩淼 2011-12-11 17:32
对自旋来说就是对自旋波函数的变换不变性
------------------------------
这个说法有问题。在一个变换群的群元所定义的变换下，波函数是要变化的，只是波函数满足的运动方程保持不变（从而物理规律保持不变）。运动方程可以由作用量根据变分原理得到，所以对称性又可以由作用量的变换不变性来定义。
如果你没有系统学过一点群论知识，别人就无法回答你有关群论知识的问题。所以你应该找一本浅显一点的群论教材，先系统地打一点基础。从最基本的概念开始学，不要试图直接从中间开始学，那样容易搞得个一知半解的夹生饭，结果更糟糕。
学习群论之前，大致复习一下线性代数和矩阵理论，效果会更好。
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这个说法有问题。在一个变换群的群元所定义的变换下，波函数是要变化的，只是波函数满足的运动方程保持不变（从而物理规律保持不变）。运动方程可以由作用量根据变分原理得到，所以对称性又可以由作用量的变换不变性来定义。
如果你没有系统学过一点群论知识，别人就无法回答你有关群论知识的问题。所以你应该找一本浅显一点的群论教材，先系统地打一点基础。从最基本的概念开始学，不要试图直接从中间开始学，那样容易搞得个一知半解的夹生饭，结果更糟糕。
学习群论之前，大致复习一下线性代数和矩阵理论，效果会更好。
星空浩淼 2011-12-11 17:58
自旋的SU(2)对称性有一个直观的数学或物理图像吗？
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我们知道，自旋为1/2的粒子自转，无法用机械自转来想象（电子的g因子为2，而任何机械自转的带电粒子，g因子为1）。与此相关地，旋量不直接对应可观测量，一对彼此厄米共轭的旋量乘积，才有可能对应可观测量。尽管如此，人们对SU(2)群所描述的转动，尽量给出一些直观的描述图像。但是如果你没有足够的群论基础，这些直观图像你看不明白（有些“图像”涉及群流形，例如SU(2)群的群流形是一个三维的球面——注意地球表面是二维的球面，这就同时涉及微分几何知识了）。一个比方性的说明，是借用莫比乌斯带来描述：一个矢量沿莫比乌斯带平移一周（从而在外部空间转了360度），矢量方向要颠倒，即要旋转180度，可借此说明旋量的反对易特征（如果不是180度，而是推广到一般角度，那就是任意子理论了。例如AB效应中，规范势的存在，让这个“矢量”产生额外的“旋转”，就不是180度了。这里的莫比乌斯带和绕之平移的“矢量”，都是打比方性而引入的工具）。还有就是Bloch球描述，在量子光学和量子信息理论中常常会用到。
我只能说这么多。凝聚态物理博大精深，几乎占据物理学的半壁江山，与量子场论也有着千丝万缕的关系。群论与微分几何知识，同样也是深入学习凝聚态物理的数学基础。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-12-11 18:03 编辑 [/i]]
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我们知道，自旋为1/2的粒子自转，无法用机械自转来想象（电子的g因子为2，而任何机械自转的带电粒子，g因子为1）。与此相关地，旋量不直接对应可观测量，一对彼此厄米共轭的旋量乘积，才有可能对应可观测量。尽管如此，人们对SU(2)群所描述的转动，尽量给出一些直观的描述图像。但是如果你没有足够的群论基础，这些直观图像你看不明白（有些“图像”涉及群流形，例如SU(2)群的群流形是一个三维的球面——注意地球表面是二维的球面，这就同时涉及微分几何知识了）。一个比方性的说明，是借用莫比乌斯带来描述：一个矢量沿莫比乌斯带平移一周（从而在外部空间转了360度），矢量方向要颠倒，即要旋转180度，可借此说明旋量的反对易特征（如果不是180度，而是推广到一般角度，那就是任意子理论了。例如AB效应中，规范势的存在，让这个“矢量”产生额外的“旋转”，就不是180度了。这里的莫比乌斯带和绕之平移的“矢量”，都是打比方性而引入的工具）。还有就是Bloch球描述，在量子光学和量子信息理论中常常会用到。
我只能说这么多。凝聚态物理博大精深，几乎占据物理学的半壁江山，与量子场论也有着千丝万缕的关系。群论与微分几何知识，同样也是深入学习凝聚态物理的数学基础。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-12-11 18:03 编辑 [/i]]
白桦林 2011-12-11 19:20
谢谢Sage老师和星空老师，其实我的要求一点都不高，就是想知道自旋SU(2)对称性的原始定义和直观图像。使劲想了一个下午，我把我的初步理解描述如下: 我们知道量子力学的对称性分为动力学对称性(哈密顿量的变换不变性)和量子系统本身的对称性(波函数的变换不变性)，对于单个自旋系统来说，并没有相应薛定谔方程，也就是说没有相应的哈密顿量，谈不上动力学对称性，因此SU(2)对称性不可能是动力学对称性，只能是自旋系统本身的对称性，即自旋波函数的变换不变性(由于找不到自旋的薛定谔方程，也不可能定义为方程的变换不变性)。
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-12 07:26 编辑 [/i]]
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-12 07:26 编辑 [/i]]
白桦林 2011-12-11 19:38
接着14楼描述：经过思辨，SU(2)对称性只能定义为自旋波函数的变换不变性，那么施加在自旋波函数上的变换一定是2×2复数方矩阵，因为自旋表象中波函数是2×1列矩阵，好像思路对了。如果这些2×2复数方矩阵满足么正和么模条件，它们刚好构成一个SU(2)矩阵群。哈哈，想通了。
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-12 07:31 编辑 [/i]]
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-12 07:31 编辑 [/i]]
白桦林 2011-12-11 19:51
接着描述：也就是说，自旋的SU(2)对称性定义为自旋波函数在SU(2)矩阵群群元变换下的不变性。当群元矩阵作用在自旋波函数上，虽然波函数展开式中的系数变了，但自旋矢量并没有转出二维的希尔伯特空间，自旋矢量的模仍然为1。直观来想，单个自旋又对应于三维实空间中的半径为1的bloch球, SU(2)变换就是让bloch球整体转动了一下，球的形状并没有变。结论：自旋SU(2)对称性———自旋波函数在二维的幺模幺正矩阵变换下具有不变性，这些矩阵的集合刚好构成了SU(2)群，故称为SU(2)对称性，是二维希尔伯特空间的对称性。S代表幺模，U代表幺正，括号中的2代表二维。
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-11 21:40 编辑 [/i]]
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-11 21:40 编辑 [/i]]
白桦林 2011-12-11 20:36
Sage老师，我14，15，16楼的理解是否对？如果不对，请指出错误之处，拜托了。如果对，也要告诉我，我好继续往下描述我个人理解的自弦相干性与对称性的关系。
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-12 07:38 编辑 [/i]]
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-12 07:38 编辑 [/i]]
sage 2011-12-12 14:36
If a Halmiltonian is rotationally invariant, it's eigenstates are also irreducible representations of rotational group (which is labelled by the total angular momentum and its component along z direction).
Whether a particular system is at a particular eigenstate or not does not depend on the Hamiltonian. It depends on how the system is prepared. IT can be an eigenstate of rotation or it is a superposition of some of them.
It is not clear what one means by whether an eigenstate is rotationally invariant, since it can be transformed into other states in the same irreducible representation.
Your question has nothing to do with spontaneous symmetry breaking, since it is not a choice of a vacuum state.
Quantum measurement and decoherence is in principle a totally different subject, which has nothing to do with the original symmetry of the Hamiltonian. It collapses the wavefunction of a single particle or particles.
And by the way, there is a perfectly well defined Hamiltonian for fermions.
Again, it is probably better you just describe the problem or paper you try to understand so that at least people know what you are asking.
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SU(2) (I assume you are talking about the spacetime SU(2), which is the same as rotational symmetry) is referring to a symmetry of Hamiltonian (or Lagrangian). A particular system can have this symmetry if it is rotationally invariant, or not (for example, if there is a preferred direction). SU(2) is more convenient than SO(3) since spinors are conveniently described by 2 component complex vectors.If a Halmiltonian is rotationally invariant, it's eigenstates are also irreducible representations of rotational group (which is labelled by the total angular momentum and its component along z direction).
Whether a particular system is at a particular eigenstate or not does not depend on the Hamiltonian. It depends on how the system is prepared. IT can be an eigenstate of rotation or it is a superposition of some of them.
It is not clear what one means by whether an eigenstate is rotationally invariant, since it can be transformed into other states in the same irreducible representation.
Your question has nothing to do with spontaneous symmetry breaking, since it is not a choice of a vacuum state.
Quantum measurement and decoherence is in principle a totally different subject, which has nothing to do with the original symmetry of the Hamiltonian. It collapses the wavefunction of a single particle or particles.
And by the way, there is a perfectly well defined Hamiltonian for fermions.
Again, it is probably better you just describe the problem or paper you try to understand so that at least people know what you are asking.
白桦林 2011-12-12 18:16
谢谢Sage老师，但Sage老师18楼的英语我似懂非慬，星空老师能帮忙翻译一下吗？
星空浩淼 2011-12-12 19:22
我当年大学英语四级考了四次才过，一直考到大四，把我自学理论物理的计划完全破坏了，所以我是进企业工作几年之后才开始自学的；如果不是英语太差，我很可能也早就在国外呆着。
你看不明白18楼所言，只怕不是英语的问题。如果你没有足够的背景知识，翻译过来之后，你还是看不明白，比如群的不可约表示。
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呵呵，这个忙我不能帮:lol我当年大学英语四级考了四次才过，一直考到大四，把我自学理论物理的计划完全破坏了，所以我是进企业工作几年之后才开始自学的；如果不是英语太差，我很可能也早就在国外呆着。
你看不明白18楼所言，只怕不是英语的问题。如果你没有足够的背景知识，翻译过来之后，你还是看不明白，比如群的不可约表示。
白桦林 2011-12-13 07:40
回复18#
Sage老师，反复看了您18楼的英语回复。(1) 我讨论的自旋SU(2)对称性确实是二维希尔伯特空间的转动对称性，不是SU(2)规范对称性。(2)我把SU(2)转动对称性定义为自旋波函数的转动不变性，如果您把自旋SU(2)转动对称性定义为哈密顿量的转动不变性，请问自旋的哈密顿量是什么？
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-13 07:50 编辑 [/i]]
Sage老师，反复看了您18楼的英语回复。(1) 我讨论的自旋SU(2)对称性确实是二维希尔伯特空间的转动对称性，不是SU(2)规范对称性。(2)我把SU(2)转动对称性定义为自旋波函数的转动不变性，如果您把自旋SU(2)转动对称性定义为哈密顿量的转动不变性，请问自旋的哈密顿量是什么？
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-13 07:50 编辑 [/i]]
flyingpig 2011-12-13 09:34
我不知道理解的对不对：
楼主想说的是这样一件事情，比如考虑空间维数为2的顺磁相，具有SU（2）对称性。具体来说，在每个格点上自旋在-z到+z方向连续等几率分布。如果你对每一个电子自旋进行一次测量，那么电子自旋要么+z，要么-z，系统不再具有SU（2）对称性。
对称性保护自旋不退相干
-------------------------------------------------
这个显然是不对的，你拿一个电子来讨论，没有SU（2）对称性，但它可以一直是叠加态，只要你不测量。
楼主想说的是这样一件事情，比如考虑空间维数为2的顺磁相，具有SU（2）对称性。具体来说，在每个格点上自旋在-z到+z方向连续等几率分布。如果你对每一个电子自旋进行一次测量，那么电子自旋要么+z，要么-z，系统不再具有SU（2）对称性。
对称性保护自旋不退相干
-------------------------------------------------
这个显然是不对的，你拿一个电子来讨论，没有SU（2）对称性，但它可以一直是叠加态，只要你不测量。
白桦林 2011-12-13 10:02
回复22#
飞兄，还是你理解我，握手。
你说拿一个电子来讨论，没有SU(2)对称性，我不太赞同。一个电子如果我不去测量它的自旋，我就不知道它的自旋方向，即它的自旋可以在+Z和-Z之间等概率连续分布，波函数具有SU(2)转动对称性，如果我让这个电子通过沿Z方向放置的非均匀磁场，则马上知道它是+Z或者是-Z，即波函数的SU(2)转动对称性破缼了，是测量使它破缼的，测量同时也破坏了叠加态。
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-13 10:13 编辑 [/i]]
飞兄，还是你理解我，握手。
你说拿一个电子来讨论，没有SU(2)对称性，我不太赞同。一个电子如果我不去测量它的自旋，我就不知道它的自旋方向，即它的自旋可以在+Z和-Z之间等概率连续分布，波函数具有SU(2)转动对称性，如果我让这个电子通过沿Z方向放置的非均匀磁场，则马上知道它是+Z或者是-Z，即波函数的SU(2)转动对称性破缼了，是测量使它破缼的，测量同时也破坏了叠加态。
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-13 10:13 编辑 [/i]]
flyingpig 2011-12-13 11:33
关于对称性，是指一个变换，在经典意义上保持作用量/运动方程不变。在量子次层次上保持路径积分不变。对于单个电子，相当于一个激发态，与体系真空没有关系。不涉及到对称性破缺的问题。只有当涉及真空的选择，才会有对称性破却，比如顺磁到铁磁过程。Sage老师已经说的很清楚了。
另外：在两维是U(1)吧，上面我应该写错了。
另外：在两维是U(1)吧，上面我应该写错了。
sage 2011-12-13 11:58
I am saying the Hamiltonian is SU(2) invariant. It can be a global symmetry, not a gauge symmetry.
The invariance of the Hilbert space is a consequence of the invariance of the Hamiltonian. As I have already said, if the Hamiltonian is rotational invariant, the eigenstates (which forms the complete basis of the Hilbert space), are also irreducible representations of the rotational group. Notice that this does not mean a single vector in the Hilbert space is invariant.
(2)我把SU(2)转动对称性定义为自旋波函数的转动不变性，
This is a strange definition. A wave-function can either be a particular state from the irreducible representation, or a superposition of many of them.
如果您把自旋SU(2)转动对称性定义为哈密顿量的转动不变性，请问自旋的哈密顿量是什么？
In the non-relativistic case, it is not different from ordinary Schrodinger equation, just with two component wave functions. Ising model is another example.
In the relativistic case, it can constructed using creation and annihilation operators acting on Fock space. You can look it up in any quantum field theory book.
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(1) 我讨论的自旋SU(2)对称性确实是二维希尔伯特空间的转动对称性，不是SU(2)规范对称性。I am saying the Hamiltonian is SU(2) invariant. It can be a global symmetry, not a gauge symmetry.
The invariance of the Hilbert space is a consequence of the invariance of the Hamiltonian. As I have already said, if the Hamiltonian is rotational invariant, the eigenstates (which forms the complete basis of the Hilbert space), are also irreducible representations of the rotational group. Notice that this does not mean a single vector in the Hilbert space is invariant.
(2)我把SU(2)转动对称性定义为自旋波函数的转动不变性，
This is a strange definition. A wave-function can either be a particular state from the irreducible representation, or a superposition of many of them.
如果您把自旋SU(2)转动对称性定义为哈密顿量的转动不变性，请问自旋的哈密顿量是什么？
In the non-relativistic case, it is not different from ordinary Schrodinger equation, just with two component wave functions. Ising model is another example.
In the relativistic case, it can constructed using creation and annihilation operators acting on Fock space. You can look it up in any quantum field theory book.
白桦林 2011-12-13 12:14
回复24#
谢谢飞兄对Sage老师的翻译，原来你们谈论的是真空的对称性。可是我问的不是真空的对称性，我问的是自旋空间的对称性，自旋空间作为电子的一个内部抽象子空间，应该具有均匀性或各向同性，这就是我定义的自旋SU(2)对称性。按量子力学的对称性定义是哈密顿量的变换不变性，对于一个自旋子空间，你叫我上哪找哈密顿量，所以只好拿叠加态的自旋波函数的转动不变性来定义，难道我定义错了吗？
谢谢飞兄对Sage老师的翻译，原来你们谈论的是真空的对称性。可是我问的不是真空的对称性，我问的是自旋空间的对称性，自旋空间作为电子的一个内部抽象子空间，应该具有均匀性或各向同性，这就是我定义的自旋SU(2)对称性。按量子力学的对称性定义是哈密顿量的变换不变性，对于一个自旋子空间，你叫我上哪找哈密顿量，所以只好拿叠加态的自旋波函数的转动不变性来定义，难道我定义错了吗？
白桦林 2011-12-13 13:27
再回复24#
飞兄你说的顺磁向铁磁的转变，我能听懂，对于某些系统，当改变某一参数时，铁磁相的能量会更低，在某个临界点会发相变，同时伴随对称性的破缼，如果是基态发生的相变，则类似于场论中真空态的选择。对于电子的自旋子空间，如果加上非均匀磁场，也许会使得自旋子空间不再保持各向同性，自旋子空间的转动对称性就破缼了，类似于场论中的真空相变。
飞兄你说的顺磁向铁磁的转变，我能听懂，对于某些系统，当改变某一参数时，铁磁相的能量会更低，在某个临界点会发相变，同时伴随对称性的破缼，如果是基态发生的相变，则类似于场论中真空态的选择。对于电子的自旋子空间，如果加上非均匀磁场，也许会使得自旋子空间不再保持各向同性，自旋子空间的转动对称性就破缼了，类似于场论中的真空相变。
flyingpig 2011-12-13 15:36
你看看这个对你会不会有帮助：
[url]http://www.fxkz.net/viewthread.php?tid=5962&highlight=%E8%87%AA%E6%97%8B[/url]
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星空浩淼 2011-12-13 18:03
楼主前边的理解，有点混乱。我大致明白楼主的症结在哪里，但是要详细回复起来，实在是有点费工夫。我这里只是简单说几句，但是楼主要想真正弄明白，前提是要有相应的基础，否则你需要的答案，只怕不是靠提问题能解决的。
1）我们知道，对三维空间矢量，进行三维空间旋转变换，不改变两个矢量之间的内积大小（从而也不改变三维空间矢量的长度）。相应的变换是正交变换，即变换矩阵的转置，等于变换矩阵的逆。
2）类似地，Hilbert空间中的矢量旋转变换，不改变两个状态矢量之间的内积（从而也不改变状态矢量的模）。相应的变换也是一种正交变换——但这里涉及到复数矩阵，不再称之为正交变换，而是酉变换，即变换矩阵的共轭转置，等于变换矩阵的逆。酉变换不改变两个状态矢量之间的内积，从而在这种变换下，能让概率不变（态矢量对应概率福），进而也让其他一些可观察量保持不变，因而是物理学中非常重要的一种变换。例如，一个物理体系的量子力学状态，随时间的演化，可以用时间演化算子来描述（等价于Schrodinger方程描述），该算子就是一个酉算子，使得概率守恒成立（BTW，所谓黑洞信息丢失之谜，就是物质掉进黑洞和从黑洞中蒸发出来，在现有理论框架下，整个过程之间难以用单一的酉演化算子来描述）。物理学中存在许多的守恒定律，使得酉变换在物理学中非常重要。量子物理可以兼容经典物理，后者是前者的近似。而量子物理系统的全部信息，就包含在系统的状态矢量之中，状态矢量的集合张成系统的Hilbert空间。系统的演化和许多对称变换，就由Hilbert空间上的酉变换来描述。一个合理的量子场论，描述散射时的跃迁矩阵，必须是酉的。
3）n维Hilbert空间上的酉变换集合，可构成一个酉群U(n)，群的每一个元素称之为群元，每个群元对应一个具体的酉变换。同一个酉变换，对不同的对象进行变换，得到的变换矩阵也不同（变换矩阵可称之为群的表示，因此同一个酉群，在不同Hilbert空间中有不同的表示）。
4）有一类特殊的酉群U(n)，用矩阵表示它的群元时，矩阵的行列式等于1，这种特殊的酉群，表达为SU(n)
5）对一个物理系统进行某种变换时，系统不同的量，都会作相应变换。特别地，系统状态矢量也要作相应的变换。而所有的酉变换，恰好就相当于对状态矢量在其所在的Hilbert空间中进行旋转的变换。当系统的某个变换操作，在系统的Hilbert空间中表现为酉变换时，我们就说这个变换存在酉表示——注意，并不是任何物理变换都存在酉表示。例如，Lorentz变换（构成Lorentz群），就不存在有限维的酉表示。但是Lorentz群的子群——三维空间转动变换形成的群SO(3)，就存在酉表示。例如，对电子体系进行三维空间转动，那么该转动变换，对电子系统的状态矢量所产生的作用，相当于令状态矢量在其Hilbert空间中旋转(这是抽象空间中的旋转)。状态矢量的这种旋转变换形成的群，是SU(2)群，此时，我们说SU(2)群是三维空间转动群SO(3)的旋量表示。
6）但是要注意，同一个群，可以描述物理意义完全不同的物理变换。描述状态矢量在其Hilbert空间中旋转的变换群，例如SU(2)群，反过来不一定对应三维空间转动群SO(3)的旋量表示。换句话说，物理系统的其他许多对称变换，同样可能让系统的状态矢量在其Hilbert空间中产生旋转变换。例如那些对旋量进行的规范变换，就是Hilbert空间中的旋转变换（即规范变换群的旋量表示，也是SU(n)群。例如，一些物理体系由等价量子双态构成，把一个态类比为“自旋向上”，另一个态类比为“自旋向下”，把系统的一个态与另一个态互换，得到的系统，与原来的系统不可区分，于是系统具有SU(2)对称性。事实上，早先在描述弱相互作用时，可把质子与中子看成是同一个粒子的两种状态，为了与两种自旋状态类比，就说它们是同一种粒子的两种“同位旋”状态，例如质子的同位旋为1/2，中子的同位旋为-1/2，弱相互作用在同位旋空间的旋转变换下是对称的，从而具有SU(2)对称性，即在SU(2)的变换下，其作用量保持不变。
同样一个SU(n)群，如果它对应规范变换的旋量表示，那么在SU(n)群作用下，旋量波函数（或场算子）本身作SU(n)群所定义的变换，但是时空位置保持不变。但是，如果SU(n)群对应时空中的某种变换的旋量表示，那么在SU(n)群作用下，除了旋量波函数（或场算子）本身要作SU(n)群所定义的变换之外，时空坐标也要作相应变换。
同一个SU(n)群，可以表示不同的物理变换。由Noether定理，相应的对称性背后，就有着不同的守恒荷。即：同一个群描述不同的物理变换时，群的生成元就代表不同的荷。所有李群的生成元，它们的对易子形成一个李代数（但是，同一个李代数，可以对应不同的李群，因为不同的群流形，在局域是可以微分同胚的）。
本人发此贴，耽误了本人下午的学习计划。本人在此楼的发言到此为止。匆忙之中，凭借记忆难免有错漏之处，其他人可纠正。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-12-13 19:07 编辑 [/i]]
1）我们知道，对三维空间矢量，进行三维空间旋转变换，不改变两个矢量之间的内积大小（从而也不改变三维空间矢量的长度）。相应的变换是正交变换，即变换矩阵的转置，等于变换矩阵的逆。
2）类似地，Hilbert空间中的矢量旋转变换，不改变两个状态矢量之间的内积（从而也不改变状态矢量的模）。相应的变换也是一种正交变换——但这里涉及到复数矩阵，不再称之为正交变换，而是酉变换，即变换矩阵的共轭转置，等于变换矩阵的逆。酉变换不改变两个状态矢量之间的内积，从而在这种变换下，能让概率不变（态矢量对应概率福），进而也让其他一些可观察量保持不变，因而是物理学中非常重要的一种变换。例如，一个物理体系的量子力学状态，随时间的演化，可以用时间演化算子来描述（等价于Schrodinger方程描述），该算子就是一个酉算子，使得概率守恒成立（BTW，所谓黑洞信息丢失之谜，就是物质掉进黑洞和从黑洞中蒸发出来，在现有理论框架下，整个过程之间难以用单一的酉演化算子来描述）。物理学中存在许多的守恒定律，使得酉变换在物理学中非常重要。量子物理可以兼容经典物理，后者是前者的近似。而量子物理系统的全部信息，就包含在系统的状态矢量之中，状态矢量的集合张成系统的Hilbert空间。系统的演化和许多对称变换，就由Hilbert空间上的酉变换来描述。一个合理的量子场论，描述散射时的跃迁矩阵，必须是酉的。
3）n维Hilbert空间上的酉变换集合，可构成一个酉群U(n)，群的每一个元素称之为群元，每个群元对应一个具体的酉变换。同一个酉变换，对不同的对象进行变换，得到的变换矩阵也不同（变换矩阵可称之为群的表示，因此同一个酉群，在不同Hilbert空间中有不同的表示）。
4）有一类特殊的酉群U(n)，用矩阵表示它的群元时，矩阵的行列式等于1，这种特殊的酉群，表达为SU(n)
5）对一个物理系统进行某种变换时，系统不同的量，都会作相应变换。特别地，系统状态矢量也要作相应的变换。而所有的酉变换，恰好就相当于对状态矢量在其所在的Hilbert空间中进行旋转的变换。当系统的某个变换操作，在系统的Hilbert空间中表现为酉变换时，我们就说这个变换存在酉表示——注意，并不是任何物理变换都存在酉表示。例如，Lorentz变换（构成Lorentz群），就不存在有限维的酉表示。但是Lorentz群的子群——三维空间转动变换形成的群SO(3)，就存在酉表示。例如，对电子体系进行三维空间转动，那么该转动变换，对电子系统的状态矢量所产生的作用，相当于令状态矢量在其Hilbert空间中旋转(这是抽象空间中的旋转)。状态矢量的这种旋转变换形成的群，是SU(2)群，此时，我们说SU(2)群是三维空间转动群SO(3)的旋量表示。
6）但是要注意，同一个群，可以描述物理意义完全不同的物理变换。描述状态矢量在其Hilbert空间中旋转的变换群，例如SU(2)群，反过来不一定对应三维空间转动群SO(3)的旋量表示。换句话说，物理系统的其他许多对称变换，同样可能让系统的状态矢量在其Hilbert空间中产生旋转变换。例如那些对旋量进行的规范变换，就是Hilbert空间中的旋转变换（即规范变换群的旋量表示，也是SU(n)群。例如，一些物理体系由等价量子双态构成，把一个态类比为“自旋向上”，另一个态类比为“自旋向下”，把系统的一个态与另一个态互换，得到的系统，与原来的系统不可区分，于是系统具有SU(2)对称性。事实上，早先在描述弱相互作用时，可把质子与中子看成是同一个粒子的两种状态，为了与两种自旋状态类比，就说它们是同一种粒子的两种“同位旋”状态，例如质子的同位旋为1/2，中子的同位旋为-1/2，弱相互作用在同位旋空间的旋转变换下是对称的，从而具有SU(2)对称性，即在SU(2)的变换下，其作用量保持不变。
同样一个SU(n)群，如果它对应规范变换的旋量表示，那么在SU(n)群作用下，旋量波函数（或场算子）本身作SU(n)群所定义的变换，但是时空位置保持不变。但是，如果SU(n)群对应时空中的某种变换的旋量表示，那么在SU(n)群作用下，除了旋量波函数（或场算子）本身要作SU(n)群所定义的变换之外，时空坐标也要作相应变换。
同一个SU(n)群，可以表示不同的物理变换。由Noether定理，相应的对称性背后，就有着不同的守恒荷。即：同一个群描述不同的物理变换时，群的生成元就代表不同的荷。所有李群的生成元，它们的对易子形成一个李代数（但是，同一个李代数，可以对应不同的李群，因为不同的群流形，在局域是可以微分同胚的）。
本人发此贴，耽误了本人下午的学习计划。本人在此楼的发言到此为止。匆忙之中，凭借记忆难免有错漏之处，其他人可纠正。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-12-13 19:07 编辑 [/i]]
星空浩淼 2011-12-13 18:22
(2)转动对称性定义为哈密顿量的转动不变性，请问自旋的哈密顿量是什么？
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补充回复一下：Dirac场的哈密顿量中，自动包含了自旋的贡献（自旋的信息隐藏在Dirac矩阵中）。
在相互作用场情形，来自自旋的贡献，可能会与来自其他的贡献之间，存在相互转换，守恒的是总量。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-12-13 19:04 编辑 [/i]]
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补充回复一下：Dirac场的哈密顿量中，自动包含了自旋的贡献（自旋的信息隐藏在Dirac矩阵中）。
在相互作用场情形，来自自旋的贡献，可能会与来自其他的贡献之间，存在相互转换，守恒的是总量。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-12-13 19:04 编辑 [/i]]
白桦林 2011-12-13 18:26
回复28#
原来飞兄也问过类似的问题，谢谢你给的链接，看了半天那个帖子，也没看得很明白，主要是我的功力还没达到那个层次。我目前最想弄明白的是：(1)单个电子的自旋子空间究竟有没有SU(2)转动不变性。(2)如果有，怎么定义。(3)SU(2)群怎么定义。(4)SU(2)群不可约表示的基是否对应自旋表象的基矢。(5)SU(2)群的生成元是否对应Sx,Sy,Sz算符，卡当算符是否是Sz，开西米尔算符是否是S平方算符，卡当算符与开西米尔算符一起是否构成SU(2)群的第一类完全集。
以上这些问题是那么的简单和基本，以至于高手都不屑于回答我。自已找书来看，都是讲群表示论的，和物理一点都对不上，郁闷啊。
原来飞兄也问过类似的问题，谢谢你给的链接，看了半天那个帖子，也没看得很明白，主要是我的功力还没达到那个层次。我目前最想弄明白的是：(1)单个电子的自旋子空间究竟有没有SU(2)转动不变性。(2)如果有，怎么定义。(3)SU(2)群怎么定义。(4)SU(2)群不可约表示的基是否对应自旋表象的基矢。(5)SU(2)群的生成元是否对应Sx,Sy,Sz算符，卡当算符是否是Sz，开西米尔算符是否是S平方算符，卡当算符与开西米尔算符一起是否构成SU(2)群的第一类完全集。
以上这些问题是那么的简单和基本，以至于高手都不屑于回答我。自已找书来看，都是讲群表示论的，和物理一点都对不上，郁闷啊。
星空浩淼 2011-12-13 18:36
-----------------------------------------------------
不是别人不屑于回答你，大家都已经很清楚地回答你了，有些问题都还是反复地讲过，只是你自己接受不了而已。
而且你的有些问题，连问题的提法都有问题，例如什么叫做“单个电子的自旋子空间”？别人看不懂你的问题，叫人家怎么回答你？
(5)SU(2)群的生成元是否对应Sx,Sy,Sz算符，卡当算符是否是Sz，开西米尔算符是否是S平方算符，卡当算符与开西米尔算符一起是否构成SU(2)群的第一类完全集。
----------------------------------
尽量不要问那种一翻书就能找到答案的问题。有些只是基本定义而已。论坛上不是课堂上，再好的网友，也不可能整本书从头到尾地给你讲授。论坛不是这样定位的。
（BTW, Sx,Sy,Sz算符作为SU(2)群的生成元，可代表不同的物理意义，相应地，SU(2)群也就代表不同的物理变换。例如，当SU(2)描述三维空间转动下旋量的变换时，Sx,Sy,Sz算符这三个生成元，就代表三个自旋角动量算符。当体系具有旋转变换不变性时，这三个自旋角动量就是三个守恒的荷；这三个算符满足的对易关系，形成SU(2)群的李代数。如果SU(2)描述同位旋空间中的转动，则Sx,Sy,Sz算符这三个生成元代表同位旋荷，不再是自旋角动量了）
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-12-13 19:28 编辑 [/i]]
回复 31# 的帖子
以上这些问题是那么的简单和基本，以至于高手都不屑于回答我-----------------------------------------------------
不是别人不屑于回答你，大家都已经很清楚地回答你了，有些问题都还是反复地讲过，只是你自己接受不了而已。
而且你的有些问题，连问题的提法都有问题，例如什么叫做“单个电子的自旋子空间”？别人看不懂你的问题，叫人家怎么回答你？
(5)SU(2)群的生成元是否对应Sx,Sy,Sz算符，卡当算符是否是Sz，开西米尔算符是否是S平方算符，卡当算符与开西米尔算符一起是否构成SU(2)群的第一类完全集。
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尽量不要问那种一翻书就能找到答案的问题。有些只是基本定义而已。论坛上不是课堂上，再好的网友，也不可能整本书从头到尾地给你讲授。论坛不是这样定位的。
（BTW, Sx,Sy,Sz算符作为SU(2)群的生成元，可代表不同的物理意义，相应地，SU(2)群也就代表不同的物理变换。例如，当SU(2)描述三维空间转动下旋量的变换时，Sx,Sy,Sz算符这三个生成元，就代表三个自旋角动量算符。当体系具有旋转变换不变性时，这三个自旋角动量就是三个守恒的荷；这三个算符满足的对易关系，形成SU(2)群的李代数。如果SU(2)描述同位旋空间中的转动，则Sx,Sy,Sz算符这三个生成元代表同位旋荷，不再是自旋角动量了）
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-12-13 19:28 编辑 [/i]]
白桦林 2011-12-13 18:58
回复32#
原来星空老师在29楼己经讲得很仔细，刚才31楼回帖时没看到，才发牢骚，罪过罪过，向星空老师赔礼道歉！客栈果然是个好论坛，热心人比较多。
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-13 19:00 编辑 [/i]]
原来星空老师在29楼己经讲得很仔细，刚才31楼回帖时没看到，才发牢骚，罪过罪过，向星空老师赔礼道歉！客栈果然是个好论坛，热心人比较多。
[[i] 本帖最后由 白桦林 于 2011-12-13 19:00 编辑 [/i]]
白桦林 2011-12-13 19:33
仔细看了29楼星空老师的回复，原来酉变换对应于希尔伯特空间的旋转变换，似乎找到点头绪了，还是星空老师比较了解初学者需要什么，再次向星空老师道歉，以后不再急躁。
星空浩淼 2011-12-13 19:49
我有些话说得不大好听，但都是作为过来人的肺腑之言
因为我自己靠自学出来的（硕士和博士学的仍然是工科，那些课程对我的研究工作没有任何帮助），有时更能明白疑问者的疑问所在。
我防止自己误解的办法，就是多用几种不同的教材，来印证自己的理解；还有就是，如果我学前面的内容时，能自己悟出一些后面即将讲到的内容，那多半说明我没有误解。如果学到后面有些理解困难，走不下去了，那多半是因为前面某些地方理解错了。自学跟课堂学习不同之处在于：课堂上有些内容如果没有接受到，只要最后考试过关了就行了。而自学不允许这样的事情发生，不掌握前边的，就无法继续学习后边的内容。同一个对象，往往同时存在多个不同角度的理解，这也是自学的好处——同时参考多个教材，得到更为立体的了解。生活中会遇到身边有些读死书的，你换一个角度跟他谈论某个东西，他就一口咬定必定是你理解错了，接下来听不进你的任何解释。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-12-13 19:51 编辑 [/i]]
回复 34# 的帖子
没有什么值得道歉的。我有些话说得不大好听，但都是作为过来人的肺腑之言
因为我自己靠自学出来的（硕士和博士学的仍然是工科，那些课程对我的研究工作没有任何帮助），有时更能明白疑问者的疑问所在。
我防止自己误解的办法，就是多用几种不同的教材，来印证自己的理解；还有就是，如果我学前面的内容时，能自己悟出一些后面即将讲到的内容，那多半说明我没有误解。如果学到后面有些理解困难，走不下去了，那多半是因为前面某些地方理解错了。自学跟课堂学习不同之处在于：课堂上有些内容如果没有接受到，只要最后考试过关了就行了。而自学不允许这样的事情发生，不掌握前边的，就无法继续学习后边的内容。同一个对象，往往同时存在多个不同角度的理解，这也是自学的好处——同时参考多个教材，得到更为立体的了解。生活中会遇到身边有些读死书的，你换一个角度跟他谈论某个东西，他就一口咬定必定是你理解错了，接下来听不进你的任何解释。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-12-13 19:51 编辑 [/i]]
白桦林 2011-12-13 21:04
回复35#
原来星空老师工科博士之后才转学物理的，佩服，如果本科就开始学物理，成就必定非凡。我仔细分析一下我的原因，主要是没有把酉变换和希尔伯特空间的转动对应起来，经星空老师29楼点拔一下，感觉好多知识点都联系起来了，也有图像了，虽然是抽象空间的图像，但毕竟是有图像了，没有图像我是学不懂物理和数学的，可能这是学凝聚态搞成的坏习惯。
原来星空老师工科博士之后才转学物理的，佩服，如果本科就开始学物理，成就必定非凡。我仔细分析一下我的原因，主要是没有把酉变换和希尔伯特空间的转动对应起来，经星空老师29楼点拔一下，感觉好多知识点都联系起来了，也有图像了，虽然是抽象空间的图像，但毕竟是有图像了，没有图像我是学不懂物理和数学的，可能这是学凝聚态搞成的坏习惯。
星空浩淼 2011-12-13 22:44
我前面谈到的一些经验，仅仅供自学者参考。我本人并非你口中的什么“高手”，我还差得太远。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-12-14 01:22 编辑 [/i]]
回复 36# 的帖子
我本科学工科，毕业之后在国企呆了十几年，这期间业余自学一些跟理论物理相关的知识，但那个年代很难弄到资料。后来重新回学校读研读博，但是仍然学工，这期间反倒把理论物理停了下来。这几年重新开始自学一些。就这样。我前面谈到的一些经验，仅仅供自学者参考。我本人并非你口中的什么“高手”，我还差得太远。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-12-14 01:22 编辑 [/i]]
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