初論微分幾何（differential geometry）的三一神學基礎
微分幾何是近代數學發展中與近代物理的發展具有高度關聯的學科，目前關于廣義相對論(general relativity)、量子場論(quantum field theory)、Yang-Mill equation、分數量子霍爾效應（fractional quantum Hall effect）、量子統計力學(quantum statistic mechanics)等領域，都與微分幾何上使用了陳氏（華裔數學家陳省生）纖維叢（Chern’s fiber bundle）乃至華裔數學家丘成桐、王慕道的貢獻。然而微分幾何也具有極為豐富的神學、哲學意涵，亟待探索，其哲學神學的意涵在于巧妙結合數學兩大分支的思考。本文分成三大部分來處理。
第一，數的極限化（limitization of number  ）：微分，或者說廣義上的微積分所內蘊的概念-無限小、無限大，在思想史上對應於在神哲學上對于上帝作為無限的絕對本體的世界觀–《西方的沒落》作者Spengler指出這是浮士德文明而與先前的希臘羅馬文明產生斷裂關係，本文則以為是受基督教世界觀影響的文明在西歐的發展的結果），這也就是微積分能夠在十七世紀為牛頓、萊布尼茲所率先發明的神學基礎。
西方科學史研究學者–十九世紀法國物理學家以及科學史和科學哲學研究者，虔心相信天主教的皮埃爾迪昂（Pierre Duhem），他肯定了西方中世紀晚期從十四世紀以來對于自然哲學、神學的探索，因此得出與科學革命史觀學派不同的結論–他認為西方科學在13世紀到17世紀之間的發展，具有不可被忽視的思想連續性，不能夠僅僅用科學革命論而把中世紀經院哲學的貢獻完全淡化忽視。科學史學界上的突破，也正好對應到教會史學界的突破，兩者目前都承認十三世紀到十七世紀之間具有不可忽略的連續性—從舊的經院主義到新經院主義之間的發展，以及綜合了唯名論、唯意志論，乃至柏拉圖主義的影響。近代科學雖然先後擺脫亞里士多德-阿奎那的經院主義系統，但是不能說兩者之間是完全斷裂的關係。
中世紀的經院主義乃是融合古希臘哲學（特別是亞里士多德）與基督教啟示性信仰的產物，因此，近代科學的發展既然是奠基在對經院哲學的秉承與突破，也就同時延續了古希臘哲學與基督教信仰的影響。中國的年輕科學史學者張卜天，延續此一傳統，專門研究經院哲學中的唯名論（nominalism）陣營的牛津學派以及巴黎學派的努力，而與十七世紀的科學突破息息相關。[1]其中關鍵的就是經院哲學體系下質與量的關係有了突破，質也能夠被賦予幾何性的量化關係—幅度，從而出現了加速度的概念。加速度乃是對於速度的時間性微分（在無限小的情況下，處理速度與時間的變化關係）
小結：無限小（與無限大）的概念無法從古希臘哲學來完整發展，必須經由基督教的上帝觀（無限）的影響，才能具體彰顯在數學領域。
第二，幾何的代數化、分析化、極限化。古希臘文化時代的畢達哥拉斯-歐幾里德幾何的重點在于形象化的思維，這是引導十六、七七世紀，哥白尼、開普勒、伽利略、牛頓所代表的西方數學以及天文學、物理學革命的關鍵工具。到牛頓為止，這些科學大師所賴以表達的工具是畢達哥拉斯-柏拉圖-歐幾里德(亞歷山大學派)的幾何工具，而不是以亞里斯多德哲學的邏輯作為工具。這也就是他們采用了柏拉圖主義-新柏拉圖主義-亞歷山大學派的幾何性世界觀，來取代亞里斯多德的邏輯與分類學。不僅如此，幾何本身還被進一步代數化，這就是笛卡爾發明的解析幾何（analytic geometry）他將幾何的空間賦予了代數學的含義，而使得空間具有代數性的坐標建構。幾何空間成為表達數與數之間關系的存有性空間。緊接著，不但是幾何被代數化，這是歸功于阿拉伯人對于代數的發明，而被歐洲人用到數學的更深層次。而且也被極限分析化，這是微積分的貢獻。
所謂的函數的一階導函數，就是幾何空間意義上的切線斜率。這就是微分幾何的開始。換言之，微積分成為孵育微分幾何的胚胎。微分幾何又稱為深化理解微積分的基礎。在微積分的基礎上，結合了幾何學與代數的進一步發展，於是微分幾何在十九世紀，經由高斯（Gauss）、黎曼（Riemann）的努力而取得重大突破發展，但是其首要關鍵，還是對于無限小量概念的深化理解，應用于幾何性的領域。
高斯的貢獻在於對幾何空間的分析化、微分化，具體而言，來自對于幾何曲線弧長的研究，在其關鍵文章“彎曲曲面的一般研究“，他建立了曲面的內在幾何學，曲面的內在性質包含：曲面上曲線的長度、兩條曲線的夾角、曲面上一區域的面積、測地線、測地曲率和總曲率等、換言之，對于幾何性的曲面，使用了極限微分的概念，來分析其局部性的性質。高斯得出曲面的三種基本形式。
 
 
定義法曲率：=II/I
可以得到極為巧妙的高斯定理：主曲率的乘積，就是總曲率K與曲面的任何彎曲無關，保持不變。
為何總曲率與曲面的任何部分完全無關？這是采用以微積分的局部分析方法，而進一步發展的微分幾何所得到底美妙結果。如果沒有局部分析的利器來量化幾何曲率，就不可能得到這種極為奇妙的總曲率不變性。
在數學上，這是代數、分析、與幾何的有機性整體性（organic whole）關係，而展現了數學領域自身的統一性與不可被化約性，進而反映出上帝創造的每一個modality（number、arithmetic、kinematic、physical、biotic、psychic、lingual、economic、legal、ethical、historical、pistic）等的不可化約的整體性（irreducible whole）。在聖經上的內在架構也是如此，好比馬太福音、馬可福音、路加福音，對于耶穌基督的重點性認識各有不同，卻是展現出救贖主基督的內在有機統一性，而新舊約的關係也是構成有機性的整體，以救贖歷史來展現。
進而言之，物理學上的各種不變量-質能量守恒、動量守恒等，是否都是可以使用微分幾何的曲率內在不變性來解釋？這也是微分幾何如何運用到近代物理學而出現了對於對稱性與不變性（守恆性）之間的幾何性處理，這也成為當代string theory發展的基礎。
其中本文要指出的是其背後神學性預設的必須：上帝代表一種無限的整體統一性，因此，數學與物理，乃至其他學科具有內在統一性，而反映出被造層次的整體統一性—就是整全性的安息（Salom）–其中萬物各有其規律為恆常性與變化性所展現，如同挪亞之約所提到的四季日夜等。
例如：不變性（invariance），既然具有其在微分幾何上的涵義，指向總曲率的不變性，則也必然與其他學科產生關聯，因為不變性本身，包含各色各樣的不變性：相對論所預設的Lorenz invariance, 古典力學所預設的伽利略不變性（Galileo invariance）等，而這是一種對于測地線（ds2,  geodestic line）長度的不變性的反映。不變性可以反映在數學上的代數性表示、幾何學表示、分析性表示，以及其他可能的邏輯性表示。如上述的三種形式的曲面關系，彼此之間也存在內嵌的不變性，可以用一階、二階偏微分性的量來處理，乃至多階層的微分關系。
終極而言，數學上的不變性與變化性就是反映了希臘哲學處境的一與多（the one and the many）的關係，然而當代基督教哲學家Dooyeweerd已經指出兩者之間的關係無法從希臘哲學的基本動機（ground motive）-形式與質聊（form and matter）所能解釋，也無法從中古經院哲學的基本動機—綜合希臘哲學與基督教信仰而形成了自然與恩典（nature and grace）的二元分立，也無法從近代哲學的基本動機—本性與自由（nature and freedom）取得解決，只能夠在三一上帝的統一性與多元性是終極同時存在的互相滲透（perichoresis）而才能被適當解釋。
第三，碎形化（標度不變性）與弦論、量子力學、相對論：所謂的“卡拉比-丘空間流形“（Calabi-Yau manifold）就是代表弦論中的十度空間中看不見而卷曲的六度空間，而被限制在普朗克尺度之內，弦可以在卡拉比-丘空間中自由振蕩。弦論成為超越主流物理學夸克概念的標準模型（standard model）的另一種選擇，然而如此的神秘性空間之所以能夠在數學上存在的基礎與必須與微分幾何的概念密切關聯，並且又導致量子幾何學（quantum geometry）的發展。丘成桐博士相信這種空間在物理上也是存在的。換言之，古典牛頓力學的絕對性、平滑性、均質性空間的預設已經被打破。
首先，這與量子力學領域–海森堡的測不準原理，與費曼的最小作用量原理–路徑積分有關。兩者都蘊含空間的碎形化（分形化，fractalization），因為在量子的空間尺度，量子的空間行為是隨機的、不可被微分的但卻又是真實的存在，這就是碎形性幾何的領域。法國理論科學家 Laurent Nottale提倡這種將量子力學、廣義相對論以及複雜性科學領域三者的整合—就是標度性統一，而發展了尺度性的物理學（scale physics）。[2]對量子力學的空間而言，這不再是經典的歐幾里德空間（Euclidean space），也不是線性化的三度空間或者線性化的四度明考斯基空間（Minkowski space）（狹義相對論），而是具有連續性卻是不可被微分性的碎形空間（fractal space），這是費曼首先意識到的，而在其路徑積分架構的量子力學展現出來。
再者，第二種更為細密的方法是弦論（string theory），其關鍵就是以卡拉比-丘流形的卷曲性六度空間來處理，關鍵的思考在於是否分形性的空間流形與卡拉比-丘流形具有某種內在的關聯，因此可以被統一？物理學家 Dean Rickles指出卡拉比-丘流形建立於對于T對偶性（T-duality）的廣義化-鏡像對稱（ mirror symmetry），而具有同胚性流形（Homeomorphic manifields）的T對偶性有等價於海森堡的測不準原理：
“ Physical sense can be made of this by viewing T-duality through the lens of the uncertainty principle ; the attempt to localize a close string at a very small scale increases its energy-momentum. This increase in energy as one localizes to smaller and smaller length scales increase the size of the string” (emphasis mine).[3]
此處，為何會使用到標度不變性的幾何也就是碎形幾何學呢？因為 Rickle也看出在測不準原理和 T對偶性之間的共同點：就是在位置與動量之間的內在互相制約性；數學上，這就是形成共軛關系，而T對偶性也指出 String theory on R is isomorphic with String theory on
此處可以看見 R（緊致圓的半徑）與具有對偶緊致圓的，兩者之間是互相牽制的，如同位置與動量互相牽制，位置漲落如果太多，則動量漲落就很小（精確）；而如果位置漲落很小（精確），則動量漲落就很大。
而這互相種牽制性是可以標度的不變性來表示，這也就是回到複變函數（complex variable）的微分幾何處理機制–保角共形映射（conformal mapping）；具體應用的一個實例，就是古典電磁學的電荷鏡像映射。對弦論而言，這是在大半徑與經由標度變換之后的小半徑，兩者之間具有共形的等價關系；正如同以位置空間來表征波函數，與以動量空間來表征波函數，兩者之間的關系也是等價的，而其關聯就是傅立葉變換（Fourier transformation）。
本文綜合以上處理，提出以下的數學性-物理性-哲學性-神學性命題：
（1）                       命題一：弦論的關鍵是卡比拉-丘流形
（2）                      命題二：卡比拉-丘流形建立於T對偶性
（3）                      命題三：T對偶性屬于某類的標度不變性（ scale invariance）
（4）                      命題四：海森堡測不準原理以及T對偶性乃是數學同構
（5）                      命題五：費曼路徑積分蘊含尺度不變性
（6）                      命題六：費曼路徑積分建立於雙狹縫實驗的直觀
（7）                      命題七：費曼路徑積分也成為量子力學與量子場論的關鍵基礎。
（8）                      命題八：雙狹縫實驗以及費曼路徑積分的神學基礎是三一神：全智全能全在。
（9）                      命題九：弦論以及T對偶性、卡拉比-丘流形可用三一本體神學解釋。
費曼的立場：“The important path for a quantum-mechanical particle are not those which have a definite slope(or velocity) everywhere, but are instead irregular on a very fine scale.” “Typical paths of a quantum-mechanical particle are highly irregular on a fine scale, as shown in the sketch. Thus, although a mean velocity can be defined, no mean square velocity exists at any point. In other words, the paths are non-differentiable.”[4]
費曼發現了量子存有運動路徑的不可被微分性，而以路徑積分（path integral）來解釋測不准原理，並建構整個量子力學、量子場論的基礎，這是其偉大的貢獻，但是這種洞見必須等待後來發展的分形（碎形）幾何才能被欣賞。Nottale的評論：“很顯然，雖然他并沒有使用這個詞，但由這公式、圖形和評論來看，費曼發現了量子路徑的碎形結構而與曼德布洛特在1975年的發現偶合。“It is clear from the formula, figure and comments that Feynman discovered the fractal structure of quantum paths, even though he did not use the word, which was coined by Mandelbrot in 1975 only.“[5]
量子路徑的碎形結構蘊含了測不準原理：Carlos Castro 指出：“由 Nottale所提倡的特殊標度相對論導出的對于海森堡測不準原理的延伸或修正，特別而言，對于弦性的測不準原理的一般化，可以藉由普朗克標度與宇宙的大小尺寸的界限而導出。基于二維的量子重力而內蘊而生的碎形結構，最近深受矚目，吾人猜測在弦論之后的基本原理應該是基于標度相對論原則的延伸-系統的動力性質與標度，兩者都是一體兩面。“Extensions (modifications) of the Heisenberg uncertainty principle are derived within the framework of the theory of special scale-relativity proposed by Nottale. In particular, generalizations of the stringy uncertainty principle are obtained where the size of the strings is bounded by the Planck scale and the size of the universe. Based on the fractal structures inherent with two dimensional quantum gravity, which has attracted considerable interest recently, we conjecture that the underlying fundamental principle behind string theory should be based on an extension of the scale relativity principle wherebothdynamics as well as scales are incorporated in the same footing.”[6]（1997）
 
更為深邃的數學洞見是T對偶性對稱指出：弦在極大的時刻尺度以及極小的時刻尺度都呈現相同的物理性質，這就是對于量子力學海森堡測不準原理的另外一種表示。兩者溝通的橋梁在于建立以Feymann-Nottale為主導架構的碎形性標度幾何與物理，所謂的物理學的量子性就是數學幾何的碎形性，因為，任何微觀的量子行為都必須以測不準原理來規范。而測不準原理可以被轉化為費曼路徑積分（path integral）的幾何：可微分但是卻又不連續的幾何空間路徑。量子的時空行為必然是碎形的，只有如此，才無法同時精確定位量子的位置以及動量。因此，碎形性是量子力學的幾何特點；不僅如此，碎形性也是相對論的幾何特性，這一點是經由 Nottale的貢獻而促成了量子力學以及相對論在幾何-碎形性的統一。進而，弦論的考量也是在于量子力學以及廣義相對論（重力論）的統一，其批評者以為弦論處于兩難：既然廣義相對論所主張重力乃是時空量度的反映，如果不對廣義相對論的時空進行量子化，又如何進行統一？則弦論所主張的重力子，既然是量子化的存有，為何與其極為關聯的時空卻是避開不談？轉而以十度的空間-六度的緊致化空間，四度的平坦化空間來取代。弦論避開這一問題，而以對于基本物質的存有進行弦化，來取代標準模型-夸克進路。解決此一難題可以引入 Nottale的標度不變性的碎形空間來在幾何意義上統一了量子力學以及相對論，如此可以為進一步的平坦化空間（非緊致性空間）與緊致性空間的關系來建立統一橋梁。因此，卡拉比-丘流形（六度的緊致性空間）既然建立於T對偶性（極大尺度與極小尺度的對偶，物理不變），則標度不變性的物理建構，就更為清楚的解釋了兩者統一的數學基礎：數學幾何上的碎形性。同時這也導致海森堡測不準原理（原先，只考慮極小尺度）的相對論性、碎形性的修正：同時考慮極小尺度以及極大尺度的物理行為。在極小尺度，位置不準量與動量不準量互相牽制、共軛，二者是成反比的關系；但是在極大尺度，位置不準量與動量不準量則是成正比關系。[7]
就哲學上而言，將碎形概念的引入到對廣義相對論的時空結構處理，在某種程度蘊含量子化的必然性，因為量子化的存有必須是具有在極小的尺度上，還是無法被固定、定位的空間特征，這也是費曼的直覺所洞察而經由 Nottale加以數學嚴密化，最後以碎形幾何來建構解釋。
費曼的直覺是建立與對於物理學最基本的原理–最小作用量原理（Principle of the Least Action）–的擴充性解釋，也是同時基于對光學上楊氏雙狹縫實驗（Young’s Double-Slit experiment）—也同樣應驗在量子力學的推論。換言之，單一個體的量子存有也具有本質上內在自我分化性，也就是潛能性、實現性、整體性，三者同時存在，這反映出基督教三一神學的本體上帝的神學基礎；因此，量子的自我分化性，在數學上這不僅無法以古典的歐幾里德線性空間表示，也無法以主流的希爾伯特空間（Hilbert space）的量子力學來適當陳述，而造成當今對於量子糾纏性（quantum entanglement）的爭論。
相比之下，碎形性的幾何空間則允許數學物件的自我複製（self-replication）：以大衛波姆的量子哲學來想，量子自我複製，在複製前（空間上對比於狹縫前）是隱含內卷的（implicit-involved）碎形空間，在複製后（空間是對比於狹縫后）則是外顯卷現（explicated-devolved）的碎形空間，然而兩者還是具有數學上的同構，而解釋了為何一個單量子，可以同時分裂成多量子，乃至無限多的量子，而在物理上可以費曼路徑積分來處理。
對古典物理而言，物體的存有潛能性已經假設完全轉化為存有實現性。對相對論領域而言，這指出重力存有的質量、能量、時空；電磁存有的電場、磁場會隨運動而改變，因此，重力與電磁存有的潛能性會因為運動而轉化為實現性，所以，古典物理只是相對論的特例。（光速趨于零）；古典物理也同時是量子物理的特例，（普朗克常數趨于零）。
哲學上，這指出本體上帝一與多必須在整體中同時共存的必須性，在量子物理，量子的存有潛能性（potentiality）、存有實現性（actuality）、存有的整體目的性（holistic-teleology），三者同時并存，而對應於上帝的全能、全在與全知。（待續）
[1] 張卜天著質的量化與運動的量化：14世紀經院自然哲學的運動學初探北京大學出版社北京 2010。
[2] “We shall attempt to convince the reader that these questions, in the quantum, cosmological and classical complexity domains, may actually be of a similar nature. They all turn around the problem of scales,” Laurent Nottale, Fractal Space-Time And Microphysics: Towards a Theory of Scale Relativity 8.
[3] Dean Rickles, “Mirror Symmetry and Other Miracles In Superstring Theory,” arxiv:1004.4491v1 [physics.hist-ph] 26 April 2010, 8.
[4] Quoted from Nottale, Fractal Space-Time And Microphysics, 90. See Richard Feynmann and A.R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals (MacGraw Hill, 2965)
[5] Nottales, Fractal Space-Time and Microphysics, 91.
[6]  Carlos Castro, “String Theory, Scale Relativity, and Generalized Uncertainty Principle,” Foundation of Physics Letters, Vol.10 No. 3, 1997:273-293
[7]而且極大尺度的項，同時又是和普朗克長度與弦長度兩者的比值平方有關。