Thursday, December 19, 2013

plank01 普朗克常數~與作用量有相同之量綱 利用微積分費馬證明了這條由正弦定律所決定的路徑, 正是使得光線由P點到Q點所需時

費馬證條由正所決, 正是使PQ

, Hero 1600, 似且同重要

學傳351, pp. 15-28

小作



To move or not to move, that is a question!
 

§1 小作:

為止我經驗使充分理由相, 然是出來的數概念之實。』

—Albert Einstein (1879 –1955) —代以來, 求數學上然知原動力。其中

物當然, 個學派提出兩個信: 第一、大然是據數學原

, 第二數的, 們就然的

聖經: : 於是了光。對求應是重要件事。

第一個利用極理推出光的物理亞力Hero 明的

, 例如水時, () v1要變(v2),

的方向也要變, W. Snell(1580–626) 學家(R. Descarte;

1596–650) 發現, 的是路線, 使v1 v2 sin θ1

sin θ2費馬(P. Fermat; 1601–665) 在他去那一年提, 今天

費馬, 路線是所路線。光的是使

目的路線是有, 最有

費馬(Fermat’ principle) 何光學的成導人們, 力學也可以

, 有神學、導出? 案是, 是最小作(least

action principle), 形式與費馬不同。



15
 
16 學傳351期民1003

1. 費馬1601–665 2. Maupertuis 1698–759

小作理是由18的法物理學家(Pierre L. M. de Maupertuis; 1698–1759) 所提, 目的是想推廣費馬至一力學, 他仍然是從的理論著



『作用是質量, 然界的使這種,

和在學上, 小。』

Maupertuis從最小作, 功地到了各力學、光學定, 這一理是為

學信, 他並且稱這然界的, 存在

學家為的何學家身一變成為更

, 不單單是幾何學家, 更是都精通的數學大

3. Euler 1708-1783 4. Lagrange 1736–813

小作17

Maupertuis , L. Euler(1707–783) 持此分學() 力學

作了重要, Euler理的是單個質點運, Joseph-Louis Lagrange(1736–813)

多個質點用的, 為此標的概念且他的方法比Euler ,

Euler 展現, 整理的文置而Lagrange , 從此Lagrange

成為Euler , 們將他們導出來程稱Euler-Lagrange

他們Lagrange 統一了力學, 且如Hamilton 理成一首

個代作就《分力學》。

個好的理的生, 一種內在邏輯小作19

進一步的完善推廣, 其中重要的工是愛物理學家William Rowan Hamilton

(1805-1865), 他以比法力學發展成強調光學之。他的廣

Hamiltonian 並將Euler-Lagrange 聯立程組以他

Hamiltonian , 力學獲得並取的形式, 重要

百年後的子力學人們認識

5. Hamilton 1805-1865 6. Planck 1858–947

普朗(Max Karl Ernst Ludwig Planck; 18581947), 物理學家。他1900

導出了能量量子和

E = ~ν

入了以他名字命名然界的新常數~, 出了能量, 物理

的新時, 成為物理奠基。令人的是普朗常數~有相同之,

[~] = [E][ν] = ML2T2L1 = MLT2 = []

子力學可以小作, 使普朗成為個原理最

護者

18 學傳351期民1003

所有的力學依小作理或按, , 不多也不少。但是當

們對於物理認識力學, 小作理的

, 認識過程重要,且不受,過這個原加上對(symmetry)

使人們對恆律最深刻之認識然的

小作所有的, 展現了大性的一部, 人們

, 不少物理學家是從最小作理的

當發現然界的第一邏輯統一性時, 人們為由此所致明

性所陶醉,已真正出全的永思想。上的心

段式論證以圓平方的方式思想,

何。了刻卜勒;成正

增加, 光在; . . . 出了所有物,

了其變體; 當我們對進行發現時, 把握了上的心意

—William James(1842 –1910; Pragmatism, 1907) —§2 :

小作物理學定有最地位..... 且似著自然界

所有過程。』

—Max Planck (1845–918) —(action) 翻譯並不是很, 我建英英(), 如下


Action: the process of doing something in order to achieve a purpose.

, 是指質點過程個初始刻到止時

力學而言, 心的是質點每時每刻之。作質點

第二F = ma , 質點置與速就可以出在下

置與速通過過程們可以質點在任何置與速, 過程

, 質點所有,

是從比較結性的度看

量經Leibniz(1646–716)MaupertuisEulerLagrange , 最後是愛

物理學家Hamilton 予如下之定, 量等再對:

= () ×

小作19

()

[] = ML2T1

、位以作們如何在動、得平。不同

量都不同, 此我的數學問出作

§3 費馬:

一點行至一點, 。』

費馬(Fermat: 1601–665) —費馬理直接便: P(a, b) 點經過第一種

一點X(x, 0) 第二種, Q(c, d) , 形成θ1θ2, 在兩個

中之分別v1v2, 則光P 經過X Q

T = T(x) =


p

(x a)2 + b2

v1


+
p

(c x)2 + d2

v2

()

T(x) = 0 =

x a

v1


p

(x a)2 + b2


=

c x

v2


p

(c x)2 + d2



sin θ1 =

x a p

(x a)2 + b2

, sin θ2 =

c x p

(c x)2 + d2


sin θ1

v1


=

sin θ2

v2


(3.1)

7.

20 學傳351期民1003

費馬證條由正所決, 正是使PQ

, Hero 1600, 似且同重要充。

, 就可以任何兩個郊爩larTh?,

外可以的是假使們去, 會發現比, ,

奇妙件事, 量而的是, 由於接

度比高空, 光在密度比高空,

的時會更, 此日出之, 所看到太路線

, 也就, 此時上位

費馬的是最, , 小作,

取代, 從此我們就將費馬為最小作理的特例。

§4 Euler-Lagrange :

質點個位該點, 然後沿著運軌跡

, 的數會比依實的真些。』

—Richard P. Feynman (1918-1988) —之動T、位U, 由時t1 t2 真正使

()

S =

Z t2

t1

L(x, x˙, t)dt, L = T U (4.1)

產生極

8.

部積們可以計算S (variation)

δS =

Z t2

t1

L(x + δx, x˙+ δx˙, t)dt Z t2

t1

L(x, x˙, t)dt


=

Z t2

t1



L +


∂L

∂x

δx +


∂L

∂x˙δx˙

dt Z t2

t1

L(x, x˙, t)dt

小作21



d

dt
∂L

∂x˙δx


=
∂L

∂x˙d


dt

(δx) +


d

dt
∂L

∂x˙


δx


δS =


∂L

∂x˙δx



t2

t1


+

Z t2

t1


∂L

∂x d


dt
∂L

∂x˙


δxdt

δx(t1) = δx(t2) = 0 也就: 所有的有相起點與終點

δS =

Z t2

t1


∂L

∂x d


dt
∂L

∂x˙

δxdt (4.2)

S 有最產生δS = 0, Euler–agrange


∂L

∂x d


dt
∂L

∂x˙


= 0 (4.3)

其中d



dt
 
部積。因Lagrangian L 能量[L] = ML2T2, 以作

S[S] = [L][t] = ML2T1, Euler-Lagrange (dimensional


balance)

[L]

[x]


=

1

[t]

[L]

[x]/[t]

分學剤€儉獊?學們也以作Sx分來Euler-Lagrange


δS

δx


∂L

∂x d


dt
∂L

∂x˙


= 0

們以Euler-Lagrange (面一Example!)

: , 重量與長量() 成正比:

F x =F = kx, [k] = MT2

負號, m質點質量第二運動定可以將示為


m¨x + kx = m¨x +


δ

δx
1

2

kx2


= 0

能與分別1

2mx˙21

2kx2, Lagrangian

L = T U =


1

2

mx˙2 1


2

kx2

22 學傳351期民1003

計算推得Euler-Lagrange

m¨x + kx =


d

dt
∂L

∂x˙

∂L


∂x
= 0

不多也不少。

結論, (4.2) (4.3)

Z t2

t1


∂L

∂x d


dt
∂L

∂x˙

δxdt = 0 =


∂L

∂x d


dt
∂L

∂x˙


= 0 (???)

第一的是Du Bois Reymond

Du Bois Reymond : 已知f 在區[a, b] 連續,

Z b



a
 
f(x)ϕ(x)dx = 0, ϕC[a, b]

ϕ(a) = ϕ(b) = 0, 性是f(x) = 0, x [a, b]

Du Bois Reymond 於廣數理有決性的,是研

解與空間利器。

§5 Hamilton :

Hamilton於甚西重要的有一種見解, 學家

見解, 所發現的力學形式重要百年後的子力學

人們認識。』

—Paul A. M. Dirac (1902–984) —一種處力學的方法—–Hamilton 力學, 是愛物理學家Hamilton

所提。在古力學考量, () p q = x ,

已知L(q, q˙, t) Lagrangian 則其Hamiltonian

H(p, q, t) =


∂L

∂q˙q˙L(q, q˙, t) = pq˙L(q, q˙, t) (5.1)

Hamiltonian H(p, q, t) Lagrangian L(q, q˙, t)Legendre , 其中

p =


∂L

∂q˙(generalized momenta) (5.2)

小作23

p = ∂L

∂q˙是愛物理學家Hamilton 。其後理由可以

:

[p] =


∂L

∂q˙


=

ML2/T2

L/T

= MLT1 = []

常我以位, Hamilton Hamiltonian

H以動p、位q 自變數是完全合然的, pq


(action);

[pq] = MLT1L = [S] = []

話說: 物理以作, 個事實在Hamilton

Lagrangian

L(x, x˙, t) = L(q, q˙, t)


=
m
2

x˙2 U(x) ()


=
m
2

q˙2 U(q) (5.3)

此時Hamiltonian

H(p, q, t) =


∂L

∂x˙x˙L = px˙L

=mx˙2 m


2

x˙2 + U(x) (+ )


=

p2

2m

+ U(q) (5.4)

Hamilton(generalized momenta) p = ∂L

∂q˙, 並令F = ∂L



∂q
 
,

驗證F;

[F] =


∂L

∂q

= [L][q]1 = ML2T2L1 = MLT2

Euler-Lagrange 可以


d

dt
∂L

∂q˙


=
∂L

∂q ⇐⇒ ˙p =


∂L

∂q

= F (5.5)

式正是第二運動定, Hamilton 推廣力學Lagrange 力學之動


5.1. Euler-Lagrange程等Hamilton

p˙=


∂L

∂q

,

p =


∂L

∂q˙

⇐⇒ p˙= ∂H


∂q

, q˙=


∂H

∂p
(5.6)

24 學傳351期民1003

: H = H(p, q, t)

dH =


∂H

∂p

dp +


∂H

∂q

dq +


∂H

∂t

dt (5.7)

H = pq˙LL = L(q, q˙, t)

dH = d(pq˙L)

= q˙dp + pdq˙dL

= q˙dp + pdq˙∂L


∂q

dq ∂L

∂q˙dq˙∂L


∂t

dt

= q˙dp ∂L


∂q

dq ∂L


∂t

dt (5.8)

(5.7)(5.8) 式得()

q˙=


∂H

∂p

,

∂H

∂q

= ∂L


∂q

,

∂H

∂t

= ∂L


∂t


p˙=


∂L

∂q

= ∂H


∂q

Hamilton: 第一組如何間變, 一組

們位如何間變化。在任何, 是由置與所決定。Hamilton

透露重要(action)

p˙= ∂H


∂q

=

[p]

[t]


=

[H]

[q]

q˙=


∂H

∂p

=

[q]

[t]


=

[H]

[p]

: [] = [t][H] = [p][q], 們可以Hamilton

(負號而這可取例來驗證)

們再以

m¨x + kx = m¨q + kq = 0

則其Lagrangian Hamiltonian 分別

L(q, q˙ = T U =


m
2

q˙2 1


2

kq2,

H(p, q) = T + U =

p2

2m


+

1

2

kq2

小作25

正是原來p = ∂L

∂q˙= mx˙, 可以

mx¨ = kx =p˙= kx =


∂L

∂x

也就可以示為Hamilton

p˙= ∂H


∂q

= kq, q˙=


∂H

∂p
=
p

m

而言Euler-Lagrange q, Hamilton

qp聯立程組

Hamilton, 新的

u =


1

2

(q + ip), u=


1

2

(q ip)

Hamilton (5.6) 可以數形式的Hamilton


dp

dt

= ∂H


∂q

,

dq

dt
=
∂H

∂p ⇐⇒ i


du

dt
=
∂H

∂u(5.9)

§6 稱與恆律:

『假如件事做了些事(operation), 來和原來完全, 那麼

。』

—Hermann Weyl (1885–955) —小作理為人們恆律的新天地。以動(能量)

而言, 空間() 性有性是指空間()

不存在任何(), 以專術語空間()

物理意思是我們可以對物理表達物理的方式

些事, 果沒有任何。對稱說沒有改發生的, 以對是現物理

動力。在學中常常(invariance) Hermann Weyl :

的研真理與美統一起, 在兩之中, 常我都選。」

其實他當數應用物理時,斷的有效性最為學家在他們

, 受到概念形式的強烈期望所使, 是相當平常的Carl Jacobi (1804–851)

第一發現恆律關聯, 早年「對、不及守

成形為愛發展廣是德國女性數學家Emmy Noether (1882-

1935)。在發展之初, 人們(表面) 四維空間, 能量不守

26 學傳351期民1003

, Noether 題解, 四維空

能量。對而言, 一起的理念是然的

⇐⇒ ⇐⇒ 恆律

Noether恆律, 美與真理間一

例。

6.1. 滿足能量

E(t) =


1

2

mx˙2 +


1

2

kx2 = C(常數) (6.1)

: 直接


dE

dt

=m


dx

dt

d2x

dt2 + kx


dx

dt
=
dx

dt
m

d2x

dt2 + kx


= 0

注意的是, 過程並不依,

密了。明的過程, 果直接dx

dt , 也可以能量恆律, 並且分別

T U


dx

dt
m

d2x

dt2 + kx


=
d

dt
1

2
m
dx

dt

2


+

1

2

kx2


=
d

dt

(T + U)

過程, 到動T是由, U


m

d2x

dt2 +


δ

δx
1

2

kx2


= 0
↓ ↓
T U

(6.1) 可以力學Hamilton-Jacobi , 能量之外,

恆律們可以將程經當的降階! 是更的是為

dx

dt ? 常深的物理意義與

6.2. ∂H/∂t = 0 (t 沒有明H 現式), H

小作27

: 直接t


dH

dt
=
∂H

∂t
+
∂H

∂p

p˙+


∂H

∂q

q˙=


∂H

∂p

p˙+


∂H

∂q

q˙= ∂H


∂p

∂H

∂q
+
∂H

∂q

∂H

∂p
= 0

∂H/∂t dH/dt , 一談。對



H(p, q) = T + U =

p2

2m


+

1

2

kq2

t , Hamiltonian H(p, q) 。但這還是無法



dx

dt
 

可以推得恆律? 到作

S[x] =

Z t2

t1

L(x, x˙)dt =

Z t2

t1


1

2

mx˙2 1


2

kx2


dt

Lagrangian L t , 以如慮時移變

x= x, t= t + ǫ 0 < ǫ<

可以驗證S 是時移變

S[x] =

Z t



2
 
t



1
 
"
1

2
m

dxdt 2

1


2

k(x)2


#

dt=

Z t2+ǫt1+ǫ


1

2

mx˙2 1


2

kx2


dt
=

Z t2

t1


1

2

mx˙2 1


2

kx2



dt = S[x]



lim

ǫ0

x(t) x(t)

ǫ= lim

ǫ0

x(t + ǫ) x(t)

ǫ= x˙這項稱為時移變infinitesimal generator, 正是方dx



dt
 
的理由, 導出對

之守恆律

Noether: S[u]所有的Tǫ, T0 = I, ǫ> 0

S[Tǫu] = S[u], ǫ> 0, u

28 學傳351期民1003

()

hδS[u],Mi = 0, M =

dTǫ

ǫ=0


= lim

ǫ0

TǫI

ǫ最後可以示為, 此是恆律

Noether們作的每一種連續個守恆律之對,

常深, 更深討論們就作。

本文是2009假在中學名及其事》第一

, 此特謝謝李志

考資

於最小作理的可以參《可(南出) 第七章,

外《統一(Hidden Unity in Natural Law) 第六章有比

討論

1. I. M. Gelfand and S. V. Fomin; Calculus of Variations, Prentice-Hall Inc., 1963.

2. R. K. Nesbet; Variational Principles and Methods in Theoretical Physics and Chemistry,



Cambridge University Press, 1995.
 
3. G. F. Simmons; Differential Equations with Applications and Historical Notes, 2nd Ed.,



McGraw-Hill, 1991.
 
4. J. C. Taylor; Hidden Unity in Natural’ Law, Cambridge University Press, 2001. (

: 統一; 北京理工大學出(中國), 2003)

5. W. Yourgrau; Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory, Dover books



on physics & chemistry, 1968.
 
6. A. Zee; Fearful Symmetry —The Search for Beauty in Modern Physics, Princeton

University Press, 1999. (: ; ; 南出, 2006)

7. 學之內容方法(),(),(),

8. ; 物理, 書的內容R.P. Feynman 1961–2

在加州理工的物理演為主。在其中一章(小作) 常感性

中學物理的經驗, 這一章音重, 闡述, 位了不

位優但不, 由最小作他對學之熱情, 年後, 位學

() 方法子力學, 去品

9. ; , Jensen Legendre , 學傳(中央究院), Vol. 76,

p.51–7(1995)

10. ; , 學傳(中央究院3,

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