《简明量子场论》的笔记-第16页

dy (可以薦嘉客，奈何阻重深。)

读过简明量子场论

页码：第16页 2011-02-13 20:46:36

量子场论中的路径积分

量子力学中的研究对象是粒子，用坐标

描述，量子场论中的研究对象则是场。所谓“场”，其实是一个数学概念。给定一个流形...或者不用“流形”这样的名词，我们生活的这个宇宙，每一点都可以用时间-空间四维坐标

来描述。在每一个时空点之上都给定一个数

，就得到了一个标量场。（也可以在每一点上给定一个矢量

，得到矢量场；还可以得到张量场等等。）当然，在场论中研究的场，都是一些有物理意义的动力学函数。

给定一个场

，对不同的

，

不同，

对时间的偏导数是场的动能；对空间的不同点，

也不同，在场论中，

对空间坐标的偏导数也是场的动能。（其实应该是场的动量。但动能和动量实际上是同一四维矢量的分量。）总之，场的动能源于场在时空中的“变化”。

除此之外，场自身也有相互作用，称为势能。比较重要的势能项，有

，其大小和场的平方成正比，系数

表征这项作用的强弱。这项势能是场因为自身存在即具有的能量。因为能量即质量，可见

其实就是我们熟悉的[静]质量。还有一个重要的势能项是和

成正比的。玻色气体中，每两个气体原子之间具有相互作用，假设相互作用能量是

。对于有个

原子的玻色气体，总相互作用能量就是

，

很大时约等于

。考虑到

，玻色气体原子之间的相互作用其实就是

相互作用。

知道了场的动能和势能，就能写出拉格朗日量以及作用量，即P17的Eq.(5)。同样，可以算出这个场的几率幅。量子场论中的路径积分方法是：认为所有的场函数

都是可能出现的，计算出所有

的几率幅，把它们相加，得到一个总几率幅。

和量子力学中类似，如果

做微小变化，一般来说，会导致几率幅的剧烈振荡，使得“相邻”的

贡献的几率幅会相互抵消——除非在作用量取极值处。因此，在场论中，同样可以用最小作用量原理，求出“实际出现的”场。对于标量场，这个“实际出现的”场满足Klein-Gordon方程。