原子
的偶極距p = −ex，x 是其電荷在電場中受力-eE 而產生的位移。此式符合虎克定律
時，恢復力會正比於其位移，故P 正比於E，所以介質是線性的。然而當電場E 太
大的時候，恢復力會變成電場E 的非線性函數，則介質必然是非線性的
雄中學報第九期
95 年7 月1 日
*高雄中學教師 －87－
非線性光學與光孤子簡介
(nonlinear optics & soliton)
盧政良*
目 錄一、非線性光學簡介
二、光孤子(soliton)簡介
一、非線性光學簡介
光學在物理學的發展中已有相當長久的歷史，然而直到最近，科學家仍是認為
光介質是線性的（linear optical media），而對於光介質為線性的假設可得到相當
廣泛的結論：
■ 光學性質，如：折射率與吸收係數(absorption coefficient)，與光的強度無關。
■ 疊加原理(The principle of superposition)，古典光學的基礎法則。
■ 光通過介質後其頻率不會改變
■ 光與光不會有相互作用(interact)；兩道光在同一介質中時不會相互作用。即光不
能用來控制光。
1960 年代雷射(laser)的發明，使我們有能力觀測高強度的光在介質中的行為。
許多實驗使我門看清楚光在介質中的行為事實上卻是非線性的(nonlinear
behavior)，可由以下的觀測為例：
■ 介質的折射率以及介質中的光速必然地與光的強度有關。
■ 疊加原理的失敗(violated)。
■ 當光通過非線性介質時可能改變其頻率（如：由紅光變藍光!!）
■ 光可以用來控制另一道光；光子是會交互作用的。
非線性光學領域展現了許多迷人的現象。
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然而線性或非線性是指光通過介質時的性質，而不是光本身的性質。非線性的
行為是不可能在真空中發生的。光與光的相互作用是憑藉著其介質而發生的。光改
變了介質的性質，而介質又改變了另一道光或甚至改變了原來的那道光。
我們知道介電介質中一電磁波( 光波) 的進行可以完全表示為極化強度
(polarization density) P(r,t) 與電場強度(electric-field vector) E(r,t) 之關係式。一般將
P(r,t) 與 E(r,t)視為系統的輸出與輸入。而P(r,t) 與 E(r,t)之間的數學關係決定了此
系統(介質)的特性。若數學關係為非線性，則此物體即稱為非線性介質。
非線性光學介質
線性介質的特徵是其極化強度與電場強度間的線性關係，P ε χE 0 = ，其中0 ε 為
真空中的介電常數，而χ 則為介質中的磁化率。非線性介質的特徵即為P 與E 的非
線性關係 (如下圖)。
非線性的發生可能是由於微觀或巨觀的原因。極化強度P = Np是由個別的偶極
距p 與數量密度(number density)N 相乘，而偶極距p 是感應其電場而來的。所以
非線性行為就可能是p 或N 造成的。
當E 很小的時候，p 與E 的關係是線性，而當E 的大小與原子間電場(一般而言
約105~108 V/m)則會變成非線性之關係。這一點可由簡單的勞侖茲模型解釋，原子
的偶極距p = −ex，x 是其電荷在電場中受力-eE 而產生的位移。此式符合虎克定律
時，恢復力會正比於其位移，故P 正比於E，所以介質是線性的。然而當電場E 太
大的時候，恢復力會變成電場E 的非線性函數，則介質必然是非線性的。
另一個光介質的非線性反應可能的原因則是光場是與數量密度(number
P
E
(a)線性介質
E
P
(b)非線性介質
非線性光學與光孤子簡介
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density)N 有關。例如一雷射介質之佔有能階原子的數目與吸收即放出光有關即和
光本身的強度有關的。
非線性波動方程式
光在非線性介質中的傳播是由波動方程式(Wave equation)所控制的，而波動方程
式則是由任意同質介電介質的馬克士威方程式(Maxwell’s equation)推出，
2
2
2 0
2
2
0
2 1
t
P
t
E
c
E
∂
= ∂
∂
∇ −∂ μ
我門可以將P 寫成較方便的形式，包含線性部分與非線性部分，
NL P =ε χE + P 0
P = 2dE2 + 4 (3)E3 + ⋅⋅⋅NL χ
利用n2 = 1+ χ ， 1/ 2
0 0
0 ( )
1
c = μ ε ，以及c c / n 0 = 的關係，可以將上式寫成
S
t
E
c
E = −∂
∇ −∂ 2
2
2
2 1
2
2
0 t
P
S NL
∂
∂
= −μ 非線性介質的波動方程式
將2
2
0 t
P
S NL
∂
∂
= −μ 的部份看成一光源在折射率n 的線性介質中的行為是很有用的。因
為NL P (以及S)是E 的非線性函數，所以S
t
E
c
E = −∂
∇ −∂ 2
2
2
2 1 是E 的非線性偏微分方
程式。這是非線性光學相當基本的方程式。
光學克爾效應(Optical Kerr Effect)
光學克爾效應是相當熟為人知的非線性光學性質，在克爾效應材料中，介質折
射率的改變是正比於入射光強度，其折射率n n n I b 2 = + ，其中b n 是背景折射率， I
是入射光的強度，而2 n 大小通常則隨著介質的不同而有所差異。但由於2 n 通常很
小，所以早期光學介質的折射率視為是定值，也由於雷射的發明，提供了極大的光
強度，才得以觀察出此非線性的效應。
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自聚焦(self-Focusing)
另一種相當有趣的效應則是自聚焦的現象。當一道強烈的光束通過一光學克爾
效應介質時，由於介質折射率會隨光的強度正比改變，故光束的中心強度較強會有
較高的折射率，而外圍的光則會向折射率高的部份偏折，導致中心強度越高，而外
圍光束又更像中心聚集，所以我們稱為這個現象就是非線性光學的自聚焦效應。
self-focusing
二、光孤子(soliton)簡介
導 論
在1834 年，一個蘇格蘭的科學家John S.Russell 發現了一種”完整平滑且輪廓
清晰的水波”進行時”形式不會改變且速度不減”在又窄又淺的水道中傳播。而在
這水波的前後的水面是平靜的而不是波濤滾滾。Russell 把這個現象記在筆記本中並
稱之為”Solitary elevation”。過了五十年之後，Cortege 和de Vireos 發現當這種”
孤立波(solitary wave)”發生時，其振幅必定相當的大，這表示說這巨大的振幅造成
介質(水)發生這種不尋常的行為。也就是說，介質的這種行為是非線性的。同樣的，”
solitary wave”也可在不同的波散介質 (dispersive medium)中如電漿或固體觀察
到，其中不同頻率的波在這些介質中通常以不同速度前進。這種”solitary wave”看
非線性光學與光孤子簡介
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起來像是一個單獨的非擴散的波峰(spike) 或是像是由許多成分組成的自困
(self-trapped)的波包。到了1965 年，Zabusky 與Kruska 了解到這種自困的波包是某
種形式的非線性的形式，且當它們發生碰撞時保持其特性、功率以及原來的速度。
他們的結論是這些波包具有如同粒子一般的行為與交互作用，而命名為”
soliton”。大約在同時期，Chiao 和他的研究團隊提出－光束也許有能力防止其繞
射。這獲得了光的波動本質，當光束在非線性介質中以特定的強度與寬度行進。這
種光束就稱為”空間光孤子(optical spatial soliton)”。
光孤子
我們知道，當一道狹窄的光束在線性均勻的介質中傳播時，會因為繞射
(Diffraction)的作用而使得光束的大小自然變寬；而根據測不準原理(the Uncertainty
Principle)，我們同時知道在光束越狹窄的情況下，繞社的作用會更明顯。
在另一方面，科學家們發現某些材質具有非線性的光學性質，其折射率可以藉
著光的存在而有所改變，並進而使光束的傳導性質受到影響。例如在某些非線性光
學性質的材料中，較高的光強度會導致較高的折射率，因此若將一束光強度分佈為
高斯形式的光束(Gaussian Beam)射入這樣的材料中，會使得光束在越靠近中心的地
方有著越高的折射率，而使光束產生會聚的效應，這樣的效應稱為自聚焦效應
(Self-Focusig Effect)，而這樣的介質稱為自聚焦介質；然而在另一些自散焦
(Self-Defocusing)的介質中，則有相反的情況發生。
在一些特別的條件下，我們發現自聚焦效應確實能平衡繞射現象，而使得光束
在傳導的過程中，光束的大小會維持一定，而不會有繞射的情形發生，這樣的一到
光束便稱為空間光孤子(Optical Spatial Soliton)。
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應用
孤子（Soliton）又稱孤立波，是一種特殊形式的超短脈衝，或者說是一種在傳
播過程中形狀、幅度和速度都維持不變的脈衝狀行波。有人把孤子定義為：孤子與
其他同類孤立波相遇後，能維持其幅度、形狀和速度不變。
孤子這個名詞首先是在物理的流體力學中提出來的。1834 年，美國科學家約
翰·斯科特·羅素觀察到這樣一個現象：在一條窄河道中，迅速拉一條船前進，在
船突然停下時，在船頭形成的一個孤立的水波迅速離開船頭，以每小時14～15km
的速度前進，而波的形狀不變，前進了2～3km 才消失。他稱這個波為孤立波。
其後，1895 年，卡維特等人對此進行了進一步研究，人們對孤子有了更清楚的
認識，並先後發現了聲孤子、電孤子和光孤子等現象。從物理學的觀點來看，孤子
是物質非線性效應的一種特殊產物。從數學上看，它是某些非線性偏微分方程的一
類穩定的、能量有限的不彌散解。即是說，它能始終保持其波形和速度不變。孤立
波在互相碰撞後，仍能保持各自的形狀和速度不變，好像粒子一樣，故人們又把孤
立波稱為孤立子，簡稱孤子。
由於孤子具有這種特殊性質，因而它在等離子物理學、高能電磁學、流體力學
和非線性光學中得到廣泛的應用。
1973 年，孤立波的觀點開始引入到光纖傳輸中。在頻移時，由於折射率的非線
性變化與群色散效應相平衡，光脈衝會形成一種基本孤子，在反常色散區穩定傳輸。
由此，逐漸產生了新的電磁理論——光孤子理論，從而把通信引向非線性光纖孤子
傳輸系統這一新領域。光孤子（soliton）就是這種能在光纖中傳播的長時間保持形
非線性光學與光孤子簡介
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態、幅度和速度不變的光脈衝。利用光孤子特性可以實現超長距離、超大容量的光
通信。
References
[1] Saleh & Teich, Fundamentals of Photonics, (New York: John Wiley & Sons, 1991)
Ch19
[2] M. F. Shih, Ph. D. dissertation,Department of Electrical Engineering, Princeton
University, “hotorefractive Screening Solitons, Their Induced Waveguides and
Interactions”(Nov 1998)
[3] C. Y. Lin, Master Thesis, Department of Physics, Nation Taiwan University “tudy
on the Optical Instabilities in the Self-focusing Noninstantaneous Media”(Jun 2002)
[4] <部份非同調光孤子的同調性研究> 鄧雁卿，國立台灣大學物理學研究所碩士
論文 2002 年6 月
[5] Fowles, Introduction to Modern Optics(Holt, Rinehart and Winston, 1975) Ch6
[6] 《光學》張阜權、孫榮山、唐偉國編著 新竹：凡異出版社1995 年3 月初版
雄中學報第九期
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