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科学网大家公认的高人二傻在《您知道自己是谁吗? （增补版）》中就哲学---定义、赋值与属于；物理---质量、能量与时空发表了一番惊世赅俗却又无比正确的奇谈怪论。特别是他死死揪住 “科学中的 “鬼” --- 无穷小和无穷大问题”这条小辫子不放，并进一步指出对A系统全面有效的定义，在B系统中必然是定义不准确的!所以，“由"定义"或"赋值"或"属于"所带来的矛盾是必然的!可怕的是: 人们已经完全忽视了这种必然的矛盾...在黑白之间,晕乎乎地飞呀,飞呀...忘了自己曾经是A, 后来被"定义"或"赋值"或"属于"B...然后以为自己就是B, 继续晕乎乎地飞呀,飞呀..飞在花丛中啊！但内心里，总隐隐约约感觉到A的影子。。。于是,更晕了! ”
二傻这番奇谈怪论深得我心。本人大呆是属于那种见高人一定要就上去请教一番的，这次也不能拉下空。经过与二傻几番来回交流，感到受益匪浅，特将相关讨论的内容摘录如下：
二傻这番奇谈怪论深得我心。本人大呆是属于那种见高人一定要就上去请教一番的，这次也不能拉下空。经过与二傻几番来回交流，感到受益匪浅，特将相关讨论的内容摘录如下：
大呆留言：我在飞，大家都在飞，飞到最后都不知道自己是我了。嘿嘿, 二傻不傻，大呆真呆，...二傻回复：也许，“温度趋近于无穷”与“温度等于无穷”确实不是一回事？（3D-ISING）
大呆留言：二傻的后记高明得很。谢谢二傻的答复"也许，“温度趋近于无穷”与“温度等于无穷”确实不是一回事？（3D-ISING）"。所见略同, 至理相通。
二傻回复：谢谢！在渐进理论体系中，可能T等于无穷是没有良好定义的，只能定义T趋于无穷（代数）；在整体拓扑体系中，可能T等于无穷反而是定义良好的（几何）。所谓3D-ISING之无穷温度处的“相变”，可能不是一般意义上的相变，而是不同理论体系之间的“跳变”？（瞎说有理！哈哈！）
大呆留言：二傻能不能将在渐进理论体系中和在整体拓扑体系中为什么定义不同再详细地阐述一下. 以及各自定义无限大温度的出发点是什么? 不同理论体系之间的“跳变”是指代数与几何间的吗? 这两者不应该有一一对应的关系吗?
二傻回复：答志东兄: 二傻试图以下面两个例子来表达想说的, 您自己看在3D猜想中是否有类似问题?
(1). 以“割圆法”计算PAI为例: 我们可以用很多等腰三角形来逼近一个圆, 当等腰三角形的底边趋近于无穷小时, 这些等腰三角形底边的连线就无限趋近于圆周, 但永远无法达到真正的圆周! WHY? 因为当等腰三角形的个数趋于无穷大时, 这些等腰三角形底边的连线虽然看上去很象一个圆, 但实际上根本不是圆, 而是一种处处不可导的“类圆曲线”….直到等腰三角形的个数是真正的无穷大时, 才成为一个真正的圆---一种处处可导的光滑曲线!趋于无穷和等于无穷, 将发生质的突变!(一个是处处不可导的类圆曲线, 一个是处处光滑可导的圆)。
(2). 以“量子拓扑效应”为例: 您可能知道量子理论中的“基本群效应”, 讲的是多连通位形空间上的波函数的特殊性质(如: 如DIRAC的磁单极、Aharonov-Bohm效应, 全同粒子系统的费米-玻色统计, 分数统计和非阿贝尔统计等, 前些年依此对高温超导理论也做了不少探索, 如文小刚等人). 所谓“基本群”是描述多连通空间的基本拓扑性质的. 比如一个平面, 其基本群是平庸的, 因为平面上所有的环都能连续变换到其它任何一个环; 但是, 如果一个平面上被挖掉一个窟窿, 这个带窟窿的准平面的基本群就不平庸了, 因为绕着窟窿的环永远无法变换到没有绕着窟窿的环, 于是其基本群至少有两类元素! 这就是说: “平面”上的量子力学与“带一个窟窿的准平面”上的量子力学是有本质上的区别的! 好! 现在让我们来设想一下: 如果我们让“准平面”里的那个窟窿越来越小, 无限趋近于无穷小…它能达到真正的平面吗? 否!!! 只要这个窟窿不是真正的“等于无穷小”(就是不存在了!), 这个准平面还一直是准平面, 哪怕那个引起非平庸基本群的窟窿已经趋于无穷小了, 由于其基本群还是同样的非平庸群, 所以和真正的平面一直有着本质的区别!趋于无穷和等于无穷, 将发生质的突变!(一个是拓扑非平庸的准平面, 一种是拓扑平庸的平面)。
=========希望以上两个比“1/3 vs 0.333~”更具体的例子能够起到“抛砖引玉”的作用! 哈哈!
(1). 以“割圆法”计算PAI为例: 我们可以用很多等腰三角形来逼近一个圆, 当等腰三角形的底边趋近于无穷小时, 这些等腰三角形底边的连线就无限趋近于圆周, 但永远无法达到真正的圆周! WHY? 因为当等腰三角形的个数趋于无穷大时, 这些等腰三角形底边的连线虽然看上去很象一个圆, 但实际上根本不是圆, 而是一种处处不可导的“类圆曲线”….直到等腰三角形的个数是真正的无穷大时, 才成为一个真正的圆---一种处处可导的光滑曲线!趋于无穷和等于无穷, 将发生质的突变!(一个是处处不可导的类圆曲线, 一个是处处光滑可导的圆)。
(2). 以“量子拓扑效应”为例: 您可能知道量子理论中的“基本群效应”, 讲的是多连通位形空间上的波函数的特殊性质(如: 如DIRAC的磁单极、Aharonov-Bohm效应, 全同粒子系统的费米-玻色统计, 分数统计和非阿贝尔统计等, 前些年依此对高温超导理论也做了不少探索, 如文小刚等人). 所谓“基本群”是描述多连通空间的基本拓扑性质的. 比如一个平面, 其基本群是平庸的, 因为平面上所有的环都能连续变换到其它任何一个环; 但是, 如果一个平面上被挖掉一个窟窿, 这个带窟窿的准平面的基本群就不平庸了, 因为绕着窟窿的环永远无法变换到没有绕着窟窿的环, 于是其基本群至少有两类元素! 这就是说: “平面”上的量子力学与“带一个窟窿的准平面”上的量子力学是有本质上的区别的! 好! 现在让我们来设想一下: 如果我们让“准平面”里的那个窟窿越来越小, 无限趋近于无穷小…它能达到真正的平面吗? 否!!! 只要这个窟窿不是真正的“等于无穷小”(就是不存在了!), 这个准平面还一直是准平面, 哪怕那个引起非平庸基本群的窟窿已经趋于无穷小了, 由于其基本群还是同样的非平庸群, 所以和真正的平面一直有着本质的区别!趋于无穷和等于无穷, 将发生质的突变!(一个是拓扑非平庸的准平面, 一种是拓扑平庸的平面)。
=========希望以上两个比“1/3 vs 0.333~”更具体的例子能够起到“抛砖引玉”的作用! 哈哈!
二傻留言：借此机会，还想顺便说说“维数”：
空间的维数是最重要的几何拓扑性质，不好随便增加或减少维数的！
您将4维空间的某一维无限趋近于无穷小，是无法让其变成3维空间的...重要的物理例子是：
3维空间中的N个全同粒子系统的位形空间的基本群是置换群Sn，所以只有Feimi和Bose两种统计；
2维平面上的N全同粒子系统的位形空间的基本群是辫子群Bn，所以将有连续的“Theta-统计”（其中自然包括所有的分数统计）。
志东兄在3D-Ising的黄金解中采用扩维计算技术时，是否注意到这类问题呢？
这类问题是否与温度趋于无穷和等于无穷的本质区别有联系呢？。。。
========
BLAH BLAH BLAH...老鲍解牛，板门弄斧的啦！哈哈！
空间的维数是最重要的几何拓扑性质，不好随便增加或减少维数的！
您将4维空间的某一维无限趋近于无穷小，是无法让其变成3维空间的...重要的物理例子是：
3维空间中的N个全同粒子系统的位形空间的基本群是置换群Sn，所以只有Feimi和Bose两种统计；
2维平面上的N全同粒子系统的位形空间的基本群是辫子群Bn，所以将有连续的“Theta-统计”（其中自然包括所有的分数统计）。
志东兄在3D-Ising的黄金解中采用扩维计算技术时，是否注意到这类问题呢？
这类问题是否与温度趋于无穷和等于无穷的本质区别有联系呢？。。。
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BLAH BLAH BLAH...老鲍解牛，板门弄斧的啦！哈哈！
大呆留言：趋于无穷和等于无穷, 将发生质的突变!(一个是拓扑非平庸的准平面, 一种是拓扑平庸的平面)" 非常感谢二傻的指教。 也就是说, 从温度等于无穷到趋于无穷肯定会有一个拓扑学意义上的"相变"(质的突变). 那我还真蒙对了! 哈哈哈, 真是指点迷津, 醍醐灌顶呀. 我增加一维是没有办法的办法, 因为在3维存在非平庸的拓扑纽结, 无法解, 需要通过加一维的办法使它变得平庸才能解。当然, 这个过程能不能严格地进行,严格地相等需要证明. 你先说说从道理上讲不讲得通?再请教一下:4维空间中的N个全同粒子系统的位形空间的基本群是什么?
二傻回复：（1）看来“趋于无穷和等于无穷”在拓扑学意义上的"相变"(质的突变)是一定的！
（2）靠“扩维计算手段”，确实可以将一些问题平庸化，但感觉上总有些怪怪的？
---平庸化之后的解反而能解决非平庸问题？
---四色定理也能在三维空间中得到简单的证明？（俺不知）
问题很可能出现在将4维结果投影回3维空间时，您所采用的投影方式具有很大的任意性?
---这种投影的数学定义严格吗？
---这种投影是唯一的吗？为何是唯一的？
---如果不是唯一的，您所采用的具体投影方式是如何选出来的？
---是否黄金解正是自己“选”出来的一种投影方式的自然结果？
（二傻只会讲大道理，请见谅！如果您有具体想法，请一定教教我哦？）
（3）4维空间中的N个全同粒子系统的位形空间的基本群仍然是置换群Sn。
（2）靠“扩维计算手段”，确实可以将一些问题平庸化，但感觉上总有些怪怪的？
---平庸化之后的解反而能解决非平庸问题？
---四色定理也能在三维空间中得到简单的证明？（俺不知）
问题很可能出现在将4维结果投影回3维空间时，您所采用的投影方式具有很大的任意性?
---这种投影的数学定义严格吗？
---这种投影是唯一的吗？为何是唯一的？
---如果不是唯一的，您所采用的具体投影方式是如何选出来的？
---是否黄金解正是自己“选”出来的一种投影方式的自然结果？
（二傻只会讲大道理，请见谅！如果您有具体想法，请一定教教我哦？）
（3）4维空间中的N个全同粒子系统的位形空间的基本群仍然是置换群Sn。
大呆留言：现就你的回复逐条回复：
（1）肯定. 非常欣慰能得到二傻一致的意见.（2）靠“扩维计算手段”，确实可以将一些问题平庸化，但感觉上总有些怪怪的？
---平庸化之后的解反而能解决非平庸问题？
答: 也许. 但是,在3维伊辛的情况,非平庸可能被保留在拓扑相因子中了. 所以, 问题仍然是非平庸的. 如何理解拓扑相因子的作用成为关键。
（1）肯定. 非常欣慰能得到二傻一致的意见.（2）靠“扩维计算手段”，确实可以将一些问题平庸化，但感觉上总有些怪怪的？
---平庸化之后的解反而能解决非平庸问题？
答: 也许. 但是,在3维伊辛的情况,非平庸可能被保留在拓扑相因子中了. 所以, 问题仍然是非平庸的. 如何理解拓扑相因子的作用成为关键。
---四色定理也能在三维空间中得到简单的证明？（俺不知）
答: 也许, 求解3维伊辛的过程也许会对四色定理的证明有帮助. 但我对四色定理不熟悉, 不好枉加评论。
问题很可能出现在将4维结果投影回3维空间时，您所采用的投影方式具有很大的任意性? 答: 我所采用的投影方式取决于权重因子(拓扑相因子)的确定, 任意性可能也在于此。
---这种投影的数学定义严格吗？答: 需要严格证明。
---这种投影是唯一的吗？为何是唯一的？答: 我个人认为投影可能不是唯一的,但是正确的投影是唯一的。当然其唯一性也需要严格证明。
---如果不是唯一的，您所采用的具体投影方式是如何选出来的？答: 无可奉告。
---是否黄金解正是自己“选”出来的一种投影方式的自然结果？答: 在解是未知的情况下, 美应该是一种评价标准. 我相信大自然是简单和美丽的, 她一定会选择一种自然\简单\美丽的生活方式活着。
答: 也许, 求解3维伊辛的过程也许会对四色定理的证明有帮助. 但我对四色定理不熟悉, 不好枉加评论。
问题很可能出现在将4维结果投影回3维空间时，您所采用的投影方式具有很大的任意性? 答: 我所采用的投影方式取决于权重因子(拓扑相因子)的确定, 任意性可能也在于此。
---这种投影的数学定义严格吗？答: 需要严格证明。
---这种投影是唯一的吗？为何是唯一的？答: 我个人认为投影可能不是唯一的,但是正确的投影是唯一的。当然其唯一性也需要严格证明。
---如果不是唯一的，您所采用的具体投影方式是如何选出来的？答: 无可奉告。
---是否黄金解正是自己“选”出来的一种投影方式的自然结果？答: 在解是未知的情况下, 美应该是一种评价标准. 我相信大自然是简单和美丽的, 她一定会选择一种自然\简单\美丽的生活方式活着。
（3）4维空间中的N个全同粒子系统的位形空间的基本群仍然是置换群Sn。答: 谢谢二傻.
二傻回复：谢谢指教！二傻开始比较明白您的思路了。
大呆留言：我怎么觉得突变不在无限小到零处, 而在有限大到无限小处呢?二傻回复：窃以为这个疑问有两重意义：
（1）纯数学上的：为了表达方便，我让符号“@”代表无穷小量"Delta X”。
@本身是无穷小（也就是有限大！），不是零！但是，我们做微积分时，@*@等高次无穷小量却必须被当做零来处理。显然：从@到零，和从@*@到零，是不一样的意思！或者说：@ -> @*@ -> 0 可以被看作“有限大 -> 无限小 -> 零”。
（2）在物理应用上，如处理高温超导时，我们愿意将很薄的一层物质当做“2维平面”来处理，但是这在数学上是完全不严格的！无论多薄的纸，永远是3维的，永远不能成为2维。
所以，这种处理，物理上是近似的。于是，也容易产生疑问：这种近似，是发生在“有限大到零”还是发生在“无穷小到零”的过程中？
（1）纯数学上的：为了表达方便，我让符号“@”代表无穷小量"Delta X”。
@本身是无穷小（也就是有限大！），不是零！但是，我们做微积分时，@*@等高次无穷小量却必须被当做零来处理。显然：从@到零，和从@*@到零，是不一样的意思！或者说：@ -> @*@ -> 0 可以被看作“有限大 -> 无限小 -> 零”。
（2）在物理应用上，如处理高温超导时，我们愿意将很薄的一层物质当做“2维平面”来处理，但是这在数学上是完全不严格的！无论多薄的纸，永远是3维的，永远不能成为2维。
所以，这种处理，物理上是近似的。于是，也容易产生疑问：这种近似，是发生在“有限大到零”还是发生在“无穷小到零”的过程中？
大呆留言：那你是不是在偷换概念? 将低级无限小变成有限小, 将高阶无限小变成零?二傻回复：也许很多情况就是如此吧？俺的功力到此为止了---HILBERT说：“无穷是个永恒的迷！”
大呆留言：你说: "但是,所有的动力学体系都是"哈密顿体系"所能描述的吗? 答案当然为否!(所谓HELMHOLTZ条件)
---对于那些不能用"哈密顿体系"描述的动力系统,其"能量"概念还存在吗?"能不能详细讲讲HELMHOLTZ条件? 那些不能用"哈密顿体系"描述的动力系统,其"能量"概念的替代品会怎么样呢? 伊辛模型会不会是一种不能用"哈密顿体系"描述的动力学体系?二傻回复：哈哈！麻烦来了！让俺试试能否说清楚：
（1）具体例子：一个2维的动力系统，其运动方程为：
X.. + Y. = 0
Y.. + Y = 0 其中X..代表坐标X对时间的2阶导数，Y.代表坐标Y对时间的1阶导数。这个动力系统就不满足HELMHOLTZ条件，不存在哈氏量，也不存在拉氏量，所以没有“能量”的定义，也无法进行量子化（正则量子化需要哈氏量，路径积分量子化需要拉氏量！）。
（2）参考文献：
@ Dehai BAO & Z.Y.Zhu, "Quantization from Motion Equation", Int"l J. Theoretical Physics, 1993.08.
@ S.A.Hojman and L.C.Shepley, J.Math.Phys.32(1991)142
@ H.Helmholtz, J.fur die reine und angewandte Mathematik, Berlin.100(1887)137;
(3)那些不能用"哈密顿体系"描述的动力系统,其"能量"概念的替代品会怎么样呢?
--问得好！好问题！
--您问我，我问谁？
--也许是非哈密顿体系下的另一种新的守恒量（更广义地说应该是：一种新的对称形式？！）
(4)伊辛模型会不会是一种不能用"哈密顿体系"描述的动力学体系?
--问得好！好问题！
--俺不知！！！
--不过伊辛模型确实存在很多对称性，并没有传统或经典的对应概念。
（1）具体例子：一个2维的动力系统，其运动方程为：
X.. + Y. = 0
Y.. + Y = 0 其中X..代表坐标X对时间的2阶导数，Y.代表坐标Y对时间的1阶导数。这个动力系统就不满足HELMHOLTZ条件，不存在哈氏量，也不存在拉氏量，所以没有“能量”的定义，也无法进行量子化（正则量子化需要哈氏量，路径积分量子化需要拉氏量！）。
（2）参考文献：
@ Dehai BAO & Z.Y.Zhu, "Quantization from Motion Equation", Int"l J. Theoretical Physics, 1993.08.
@ S.A.Hojman and L.C.Shepley, J.Math.Phys.32(1991)142
@ H.Helmholtz, J.fur die reine und angewandte Mathematik, Berlin.100(1887)137;
(3)那些不能用"哈密顿体系"描述的动力系统,其"能量"概念的替代品会怎么样呢?
--问得好！好问题！
--您问我，我问谁？
--也许是非哈密顿体系下的另一种新的守恒量（更广义地说应该是：一种新的对称形式？！）
(4)伊辛模型会不会是一种不能用"哈密顿体系"描述的动力学体系?
--问得好！好问题！
--俺不知！！！
--不过伊辛模型确实存在很多对称性，并没有传统或经典的对应概念。
大呆留言：3维和4维空间中的N个全同粒子系统的位形空间的基本群是置换群Sn, 是不是意味着加一维没有改变其群的性质?
2维平面上的N全同粒子系统的位形空间的基本群是辫子群Bn，说明2维与3维有本质的不同?二傻回复：哇塞！真想知道天狼星秘密啊？：-）
（1）3D和4D上的全同粒子系统的位形空间的基本群是一样的，但是其高阶拓扑群不一样！
---基本群是针对“园环”的，高阶群是针对“球面”的。。。
---所以，2D、3D、4D都是本质上很不一样的。
（2）但是，由于物理上的“点粒子”模型，所以只有点粒子的路径有物理意义（路径积分），所以好象只有“基本群”有明确的物理效应？在这个意义上，2D和3D的区别确实在物理上比较大！
（3）2D空间的最重要性质是：“四色定理”（4）3D空间的最重要性质是： "只存在五种正多面体"。。。（嘿嘿！）
2维平面上的N全同粒子系统的位形空间的基本群是辫子群Bn，说明2维与3维有本质的不同?二傻回复：哇塞！真想知道天狼星秘密啊？：-）
（1）3D和4D上的全同粒子系统的位形空间的基本群是一样的，但是其高阶拓扑群不一样！
---基本群是针对“园环”的，高阶群是针对“球面”的。。。
---所以，2D、3D、4D都是本质上很不一样的。
（2）但是，由于物理上的“点粒子”模型，所以只有点粒子的路径有物理意义（路径积分），所以好象只有“基本群”有明确的物理效应？在这个意义上，2D和3D的区别确实在物理上比较大！
（3）2D空间的最重要性质是：“四色定理”（4）3D空间的最重要性质是： "只存在五种正多面体"。。。（嘿嘿！）
我的博文贴出后，全慧兄加入讨论，发表了一通高见，也一并收录如下：
全慧留言：在统计物理中，最低温度是0+，最高温度是0-!大呆回复：那大家怎么从一个定义范围外的状态出发做微扰呢?另外, 从你的意见看, 你也不反对趋近于无限大不等于无限大, 对吧?
全慧留言：在物理上“温度趋近于无穷”与“温度等于无穷”当然不是一回事！
"Michael Learns to Rock"是在太好听，使我不能集中精力。凑个热闹，瞎掺和掺和。如果大错，可是MLR的问题，哈哈!
1，很简单的例子就是在二阶微分方程中，判定无穷远点是否极(奇)点，要做一个变换1/x，然后看x->0的性质。但是点0-和点0的性质可能完全不同！这一点在极限的概念下很容易理解，太多的例子说明f(0) \not = f(0-)。例如平面上的有一个点电荷，它由singularity \delta(r)描述, 除了r=0外，你得到一个光滑的电荷分布。如何能理解这个荷? 我们需要积分形式的coulomb定律，也就是场的global描述。这个问题说起来简单，可是我看见不止一位教授在这个问题上出错，呵呵。
2，志东在讨论3d-ising模型时碰到的问题的复杂性可能在于，一定要了解配分函数的拓扑性质，但是，只有从模型的动力学本身出发，才能发现一些那个潜在的拓扑或者global性质的端倪。如果到了配分函数这个local的级数上，讨论拓扑或者global性质可能是缘木求鱼。
一个初等解释如下。我们有一个函数f(x),然后你给出它的Fourier级数，这个级数和原函数f(x)以比较，你就可以知道这个级数在什么意义上，在什么点上行为良好(或者说比较乖!)等等。但是，如果只有一个级数，你要去推测这个f(x)，问题就十分复杂。你不能根据这个函数本身的收敛，就去下结论它收敛的值就是那个潜在的f(x)的值. 例如，矩形波的Fourier级数的不同求法，给出的结果可以有gibbs现象，可以没有！
1，很简单的例子就是在二阶微分方程中，判定无穷远点是否极(奇)点，要做一个变换1/x，然后看x->0的性质。但是点0-和点0的性质可能完全不同！这一点在极限的概念下很容易理解，太多的例子说明f(0) \not = f(0-)。例如平面上的有一个点电荷，它由singularity \delta(r)描述, 除了r=0外，你得到一个光滑的电荷分布。如何能理解这个荷? 我们需要积分形式的coulomb定律，也就是场的global描述。这个问题说起来简单，可是我看见不止一位教授在这个问题上出错，呵呵。
2，志东在讨论3d-ising模型时碰到的问题的复杂性可能在于，一定要了解配分函数的拓扑性质，但是，只有从模型的动力学本身出发，才能发现一些那个潜在的拓扑或者global性质的端倪。如果到了配分函数这个local的级数上，讨论拓扑或者global性质可能是缘木求鱼。
一个初等解释如下。我们有一个函数f(x),然后你给出它的Fourier级数，这个级数和原函数f(x)以比较，你就可以知道这个级数在什么意义上，在什么点上行为良好(或者说比较乖!)等等。但是，如果只有一个级数，你要去推测这个f(x)，问题就十分复杂。你不能根据这个函数本身的收敛，就去下结论它收敛的值就是那个潜在的f(x)的值. 例如，矩形波的Fourier级数的不同求法，给出的结果可以有gibbs现象，可以没有！
大呆回复：全慧可以说是切中要害，一语点醒梦中人！正确理解这个点电荷需要积分形式的coulomb定律，也就是场的global描述。实际上就是要在高一维空间来理解，也就是说增加了一次积分，对吗？你有关“从模型的动力学本身出发”的论述正是我想要表达的意思，可是我又怕别人说“你改变了原来的热力学问题”，所以一直不好明确说出“从模型的动力学本身出发”这一句话。实际上，我一直强调需要引入时间一维以及要从头开始计算时间平均，让统计物理回归本原。关于不能从local的级数上讨论原函数的拓扑或者global性质，这也是我一直强调的，但我一直没有找到相关的文献来明确地讲明这一点，你知道相关文献吗？关于不能从级数的收敛反推收敛的值就是那个潜在的f(x)的值，你的话真是非常到位，我有被醍醐灌顶的感觉。我以前在文献中看到级数展开的学术大家Domb教授有类似的提醒，但一直不知道其所以然，也请推荐一下相关文献。非常感谢你的讨论！！！
讨论仍然在继续中，本文将随时更新中，。。。
http://blog.sciencenet.cn/blog-2344-229598.html
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发表评论 评论 (25 个评论)
- [25][游客]吴中祥
- 建议数学家带头搞起个[数学圈]！
数学家高斯说： “数学是自然科学的皇后”，笛卡尔也曾说：“数学的概念和证明，能够而且必须应用于一切世俗科学”， 兰 德尔还曾说：“科学产生于用数学解释自然这一信念。”，马克思也说过：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了完善的地步！”，实际上任何科学，甚至任何的日常生活，都
离不开数学。
这些都充分说明了“数学”的重要性。
[科学网]有不少数学家，许多博客也都有很精彩的数学博文，和相应的数学评论和讨论。
但是至今还未建立起个[数学圈]，不利于有关数学问题的科普和深入的讨论，和促进其创新与发展。
建议数学家带头搞起个[数学圈]！
博主回复：谢谢吴老师的好建议, 可能要让曹广福老师牵头了:-)
- [24]airenao
- 学习了！
科学网－中国的“哥本哈根”，有感觉了，哈哈。
博主回复：哈哈。
- [23]曹天德
- 从完全铁磁态出发研究问题与热力学系统到达绝对零度并不一样,前者是理论上，后者则因热传递的趋于终止而不可能。我们存在理解上的差区。请看看我的博文《物理概念--反映共性的模型》，例如，理想气体状态方程是实际气体的状态方程的“第一项”，这并不要求真的有理想气体、而只是一种“趋于”。
博主回复：谢谢你的指教!
- [22]曹天德
- 不，可能是我没有说清楚。人们考虑的是趋于零温和无限高温。但零温的情形要另做说明：低温展开是从完全铁磁态出发，这个出发态是能量最低的态（基态），讨论的并不是你理解的那种“到达绝对零度”，与能否到达是两码事。
博主回复：完全铁磁态是绝对零度的基态呀, 有什么问题吗?
- [21]刘全慧
- 在志东兄这里，我写的评论都是自说自话的，可能完全不对志东兄高深的3d ising问题。没有想到志东兄还很认真。弄的我很紧张，急忙跑到曹大侠广福兄那里搬点真经来。我在那里要成数学的语言，这里要用物理学的语言。下面一段对话的含义是：物理学中要非常慎重对待孤立的点、边界等，这和体系的拓扑性质有很大的关系。而志东兄的理论可能就绕不过这个问题。
本土著问“一个可以类比的数学问题：在古典的曲面的微分几何中，如果已知一个曲面，它的拓扑，mean 和gaussion曲率都好办。不过现在我有一个条件不足的反问题。曲面的mean 和gaussion曲率的Gauss-Codazzi方程，很好！但是这个方程在一个点(只有一个点)上没有定义。当然我无法决定这个曲面的拓扑(gaussion 曲率的面积分)。由于我是玩物理的，我就去附加一个假定：让这个点上的mean 和gaussion曲率都是连续的，那么万事大吉：这个曲面的拓扑也明白了。
问题是，如果不附加这个假定，我理解数学也没有什么高招去确定这个曲面的拓扑. True or false?"
大侠回复："哈哈,你怎么也学数学家们的那套花招?物理学家对数学家的不满之处就在于数学家总是做一些不符合实情的假定,我就要你就原来的问题做而不做任何假定.于是数学家懵了!无论是数学还是物理,很多时候的难点就在有奇点的时候,你的问题有本质上的困难,无论在数学上还是物理上做连续的假定恐怕没有多大意义,因为问题的本质变了.有一种方案或许可以试试,在某种较弱的拓扑下做逼近.因为在积分意义下,奇点有时可以被平均掉(只要能量积分可以控制)."
博主回复：哈哈, 没有必要搞的太紧张. 你的议论以及广福的点评对我很有启发性. 特别是如何从数学家的角度看奇点和积分以及加维的问题. 再谢:-)
- [20]吴中祥
- 圈子也不能是绝对封闭的！
二傻把他那篇“ 科学中的 “鬼” --- 无穷小和无穷大问题”推送到[物理圈]，并被圈主[ISING]博友列为了“推荐论文”。
但对其中主要论及他所感到是“鬼” 的具体数学例子：
无穷循环小数0．333……乘3=1，的问题，引起了热烈讨论。
圈主[ISING]博友就发帖二傻：批评该文“太过意识流，不知是在讲数学、哲学还是宗教？好像其中更是没有任何物理？怎么也敢自我推荐到物理圈？”。
接着，[科学网编辑部]发布公告。也批评，把大量与圈子无关的东西发到圈子里去的做法。
二傻在《您知道自己是谁吗? （增补版）》中对此的辩解说明，又因他所感
本文引用地址：http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=229730
博主回复：谢谢吴老师!
- [19]吴中祥
- 圈子也不能是绝对封闭的！
二傻把他那篇“ 科学中的 “鬼” --- 无穷小和无穷大问题”推送到[物理圈]，并被圈主[ISING]博友列为了“推荐论文”。
但对其中主要论及他所感到是“鬼” 的具体数学例子：
无穷循环小数0．333……乘3=1，的问题，引起了热烈讨论。
圈主[ISING]博友就发帖二傻：批评该文“太过意识流，不知是在讲数学、哲学还是宗教？好像其中更是没有任何物理？怎么也敢自我推荐到物理圈？”。
接着，[科学网编辑部]发布公告。也批评，把大量与圈子无关的东西发到圈子里去的做法。
二傻在《您知道自己是谁吗? （增补版）》中对此的辩解说明，又因他所感
本文引用地址：http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=229730
博主回复：谢谢吴老参与讨论!
- [18]刘全慧
- 刚才才读到了志东和得海二兄关于空间拓扑的讨论。这一点上，我支持得海。特别是加一个比较新的例子给如下评述“我们愿意将很薄的一层物质当做“2维平面”来处理，但是这在数学上是完全不严格的！无论多薄的纸，永远是3维的，永远不能成为2维。”
在量子力学中，我们有关于二维几何曲面的动能算符(old-exp)。但是物理不能这样，我们至少得说一个原子厚度，当然也可以说这个原子厚度和整个几何曲面的线度相比可以用几何面代替：但是一定要慢点慢点(长沙话叫踩一脚)! 这里多了一个几何项!不再是原来old-exp! 而是old-exp+geometrical term. 文献见：PRL 100, 230403 (2008)，Schro¨dinger Equation for a Particle on a Curved Surface...。(尽管是个PRL，但是这篇文章啥都没有，开创性的工作其实是1982年一个巴西人做的。"时无英雄使竖子成名"?”
博主回复：谢谢!
- [17]曹天德
- 统计物理的成功表明，正确的结果应该从室温向两端延拓，企图从0K和无限高温去找依据的尝试是不可能有收获的。
博主回复：高温展开和低温展开就是从0K和无限高温的状态去做微扰展开的. 按照你的观点, 这种从0K和无限高温去找依据的尝试是不可能有收获的。对吧?
- [16]吴中祥
- 由 0.3331/3 vs
博主回复：:-)
- [15]刘全慧
- “一般说来，如果一个函数“不好”的话，其Fourier级数可能是不能收敛到该函数的，而只能用Fejer平均。这实际上是说，不能用系数固定的三角多项式逼近该函数（重构的级数关于三角函数已经不再是个级数）。正如连续函数可以用幂函数构成的多项式逼近，但多项式的系数不能固定，除非该函数有各阶导数，此时有Taylor多项式。这个问题其实很复杂，在上个世纪中期是个长期没有获得解决的问题，后来好像是鲁津首先举了个反例说明L^1中的函数不能用三角级数逼近。你可以参看陈建功的《三角级数》，或者Edwards的《Fourier Series》（I，II），Zygmund也有一本关于三角级数的书。通常给定一个级数，要判断其收敛性是个非常复杂的问题，把它放在一定的函数空间中利用再生核的手段做逼近可以在一定程度上解决问题。你提到的Fejer级数其实就是由再生核（Fejer核）造出来的。”
看来我的理解没有重大错误.
请细读“通常给定一个级数，要判断其收敛性是个非常复杂的问题，把它放在一定的函数空间中利用再生核的手段做逼近可以在一定程度上解决问题。你提到的Fejer级数其实就是由再生核（Fejer核）造出来的。”
试比较我的表述"一个无限级数，不可以用truncated Fourier级数去逼近，而要重构fejer级数去逼近? 或者用均方差级数...等去逼近? 问题是，我不知道矩形，只有级数本身，天告诉我，用什么办法重构级数，得到我希望得到的收敛值？"
- [14]刘全慧
- 志东和得海二位兄台的戏，我只是个观众啊。几句瞎议论是上不得台面的。
博主回复：观众的议论比演员的台词还精彩:-)
- [13]刘全慧
- >我以前在文献中看到级数展开的学术大家Domb教授有类似的提醒，...
我知道的只是一点点皮毛，不超过(北京大学)数学系<数学分析>或者Hilbert&Courant的书的难度。
给定一个矩形波的truncated Fourier级数（i.e.,保留到一项，两项，3项，...，n项，构成一个级数），看这个无穷级数收敛于什么东西(i.e.,n->\infinity)? 数学结果就有gibbs现象。但是这种现象在矩形波中完全没有。那么，我们数学上就用一种fejer平均的方法，就可以避免这个反常的gibbs现象！
这里就有“鬼”：一个无限级数，不可以用truncated Fourier级数去逼近，而要重构fejer级数去逼近? 或者用均方差级数...等去逼近? 问题是，我不知道矩形，只有级数本身，天告诉我，用什么办法重构级数，得到我希望得到的收敛值？
博主回复：谢谢你的解答以及提供的文献.
- [12]刘全慧
- >"最高温度是0-!" 是对理想磁顺磁盐而言的。
对理想顺磁固体(j=1/2，个数为N)，能量的基态对应的能量对应总磁矩J=-jN/2，温度是0+；J=0-，温度是+\infinity；J=0+，温度是-\infinity；继续增加磁矩到J=jN/2,温度是0-。
在这个体系中，\infinity 和0 (不是0+也不是0-)Kelvin都是无法达到的。
博主回复：从总磁矩J=-jN/2, 温度是0+；J=0-，温度是+\infinity；J=0+，温度是-\infinity；到J=jN/2,温度是0-变化的过程中跳过了J=0，温度是\infinity这一点。为什么这一点必须要跳过呢?
另外，对理想顺磁固体(j=1/2，个数为N)，单个自旋的j=1/2, 为什么总自旋磁矩能等于0-或0+? 是不是从相对于无限大的温度而言得到的?
- [11]王云平
- 您们几个进行了一场真正的学术讨论，赞一个。我想这也是科网所期望的。
用割圆法计算pi，实际上就是用有理数来近似无理数。刚刚从曹广福老师那里学了一点测度论皮毛，某一期间内有理数的测度总是为零。有理数之间间隔可以是无穷小，但这个无穷小再怎么小，都不可能使得有理数连续起来。
博主回复：是的,科网在学术讨论方面开风气之先, 功不可没!
趋近于和等于, 有理数于无理数, 无限大及无限小等问题是关联在一起的.
- [10]张志东
- 你说:"最高温度是0-!" 是从无限大温度绕回到小于绝对温度零度吗?
- [9]陈国文
- 建立节约型社会，从改变科学讨论方式开始。多好的建议！
博主回复：:D
- [8]陈国文
- 这样的讨论，省钱省时间，高效率。
博主回复：丫头怎么想到了省钱? 满脑子的经济:-)
- [7]刘锋
- 真正的科学讨论，本文及其评论证明了一个问题，博客其实是可以搞科研的。
1。通过博客可以宣传科学成果
2。通过博客获得学术上批评，指点，赞同
博主回复：你说得对! 本文及其评论(以及激辩猜想系列的博文和引发的讨论)均说明博客已经成为科研工作和学术讨论和成果介绍的一个新的载体.
- [6]刘全慧
- "Michael Learns to Rock"是在太好听，使我不能集中精力。凑个热闹，瞎掺和掺和。如果大错，可是MLR的问题，哈哈!
1，很简单的例子就是在二阶微分方程中，判定无穷远点是否极(奇)点，要做一个变换1/x，然后看x->0的性质。但是点0-和点0的性质可能完全不同！这一点在极限的概念下很容易理解，太多的例子说明f(0) \not = f(0-)。
例如平面上的有一个点电荷，它由singularity \delta(r)描述, 除了r=0外，你得到一个光滑的电荷分布。如何能理解这个荷? 我们需要积分形式的coulomb定律，也就是场的global描述。这个问题说起来简单，可是我看见不止一位教授在这个问题上出错，呵呵。
2，志东在讨论3d-ising模型时碰到的问题的复杂性可能在于，一定要了解配分函数的拓扑性质，但是，只有从模型的动力学本身出发，才能发现一些那个潜在的拓扑或者global性质的端倪。如果到了配分函数这个local的级数上，讨论拓扑或者global性质可能是缘木求鱼。
一个初等解释如下。我们有一个函数f(x),然后你给出它的Fourier级数，这个级数和原函数f(x)以比较，你就可以知道这个级数在什么意义上，在什么点上行为良好(或者说比较乖!)等等。但是，如果只有一个级数，你要去推测这个f(x)，问题就十分复杂。你不能根据这个函数本身的收敛，就去下结论它收敛的值就是那个潜在的f(x)的值. 例如，矩形波的Fourier级数的不同求法，给出的结果可以有gibbs现象，可以没有！
博主回复：全慧可以说是切中要害，一语点醒梦中人！正确理解这个点电荷需要积分形式的coulomb定律，也就是场的global描述。实际上就是要在高一维空间来理解，也就是说增加了一次积分，对吗？你有关“从模型的动力学本身出发”的论述正是我想要表达的意思，可是我又怕别人说“你改变了原来的热力学问题”，所以一直不好明确说出“从模型的动力学本身出发”这一句话。实际上，我一直强调需要引入时间一维以及要从头开始计算时间平均，让统计物理回归本原。关于不能从local的级数上讨论原函数的拓扑或者global性质，这也是我一直强调的，但我一直没有找到相关的文献来明确地讲明这一点，你知道相关文献吗？关于不能从级数的收敛反推收敛的值就是那个潜在的f(x)的值，你的话真是非常到位，我有被醍醐灌顶的感觉。我以前在文献中看到级数展开的学术大家Domb教授有类似的提醒，但一直不知道其所以然，也请推荐一下相关文献。非常感谢你的讨论！！！
- [5]陈湘明
- 数学、哲学及物理之间的关系确实奇妙。
博主回复：奇妙又微妙等于奥妙。
- [4]刘晓东
- “对A系统全面有效的定义，在B系统中必然是定义不准确的!“
高，就是高！
博主回复：是的, 高得很!
- [3]张志东
- [7] 标题：
发表评论人：隔壁家的二傻子 [2009-5-1 0:20:11]
曹大侠好！
刚好！二傻正在和志东兄讨论“趋于无穷”与“等于无穷”的本质区别，请您指教以下说法是否有理？或错得一塌糊涂？
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以“割圆法”计算PAI为例: 我们可以用很多等腰三角形来逼近一个圆, 当等腰三角形的底边趋近于无穷小时, 这些等腰三角形底边的连线就无限趋近于圆周, 但永远无法达到真正的圆周!
WHY? 因为当等腰三角形的个数趋于无穷大时, 这些等腰三角形底边的连线虽然看上去很象一个圆, 但实际上根本不是圆, 而是一种处处不可导的“类圆曲线”….直到等腰三角形的个数是真正的无穷大时, 才成为一个真正的圆---一种处处可导的光滑曲线!
趋于无穷和等于无穷, 将发生质的突变!
(一个是处处不可导的类圆曲线, 一个是处处光滑可导的圆)
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博主回复：呵呵,前面的话都是对的,但趋于无穷大与等于无穷不一样,就像趋于零(无穷小)与零不同一样.你只要把无穷大转换成无穷小就不难看清楚了,这也是微积分早期无穷小(无穷大)困扰人们的问题(无穷小是"幽灵").
- [2]刘全慧
- 在统计物理中，最低温度是0+，最高温度是0-!
博主回复：那大家怎么从一个定义范围外的状态出发做微扰呢?
另外, 从你的意见看, 你也不反对趋近于无限大不等于无限大, 对吧?
- [1]武夷山
- 北京一个中学生曾提问说：有最低温度（绝对温度零度），就该有最高温度吧？
从思辨角度说，他的猜想有可能是对的。也许存在着最高温度，只是目前我们尚不知道这个极限是多少。果如此，温度就不会趋于无穷，只会趋于这个极限。
博主回复：道理差不多, 物理上可以拒绝绝对温度零度或无限大温度的存在, 数学上不能. 另外, 即使物理上不承认其存在的可能, 但在实际应用时又要从绝对温度零度或无限大温度的状态做计算, 所以自相矛盾.
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