phymath999: 电荷集中在一个小区域内的情况。在处理这种问题时，作为初级近似，我们可以把原来的电荷体系集中起来看作是一个点电荷，但当体系的总电荷为零，或考虑某些进一步的效应需要更高的精确度时，就必须考虑到体系的电偶极矩，同样在体系的电偶极矩为零,或需要更高的精确度时，就要引入电四极矩或更高的极矩。

Tuesday, August 26, 2014

电荷集中在一个小区域内的情况。在处理这种问题时，作为初级近似，我们可以把原来的电荷体系集中起来看作是一个点电荷，但当体系的总电荷为零，或考虑某些进一步的效应需要更高的精确度时，就必须考虑到体系的电偶极矩，同样在体系的电偶极矩为零,或需要更高的精确度时，就要引入电四极矩或更高的极矩。

求解静电场的方法是引入电势，电势的求解是一个经典问题[1]。解法较多，诸如分离变量法、电象法、格林函数法、有限差分法、电势多极展开法等等[2]。用电势多极展开法求解电势时，电势的多极展开式中，出现了包括电单极子在内的电多极子。这些电多极子是数学推演的结果，而非真实存在。原本是一定空间范围内的电荷系统(体系)在远处所激发(产生)的电势，却被想象中的电多极子激发同样电势所取代，对此，许多教材只言“等效”而不涉及等效的模型或物理图象。
Constantino Grosse 对电势的多极展开进行了分析研究[3]
。兰州师范高等专科学校
的蒋德翰给出了电势多极展开的物理图象[4]。
在用电势的多极展开法解决实际问题时，经常会遇到电荷集中在一个小区域内的情况。在处理这种问题时，作为初级近似，我们可以把原来的电荷体系集中起来看作是一个点电荷，但当体系的总电荷为零，或考虑某些进一步的效应需要更高的精确度时，就必须考虑到体系的电偶极矩，同样在体系的电偶极矩为零,或需要更高的精确度时，就要引入电四极矩或更高的极矩。当然,在引入更高极矩的同时，给计算带来了很大的麻烦，传统的电动力学求解方法比较困难。所以, 衡阳师范学院物理与电子信息科学系的陈秋成尝试利用数学物理方法的理论来求解，即用分离变量法求出电多极子所满足的拉普拉斯方程,导出勒让德多项式,从而解出电多极子所处的电场的电势[5]。青岛建筑工程学院基础课教学二部的孙瑛，又做了进一步的工作，将电势的多极展开式与用分离变量法解拉普拉斯方程所得的通解进行比较，得出通解中各项的物理意义，加深了对电多极子的场的理解[6]

矢势A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任意曲面的磁通量。只有A的环量才有物理意义，而每点上的A（x）至没有直接的物理意义。

第二章电磁场的标势和矢势(3)

§2.3 矢势及其微分方程

我们考察恒定电流分布所激发的静磁场。在给定的传导电流附近可能存在一些磁性物质，在电流的磁场作用下，物质磁化而出现磁化电流，它反过来又激发附加的磁场。磁化电流和磁场是互相制约的。因此解决这类问题的方法也象解静电学问题一样，即求微分方程边值问题的解。下面我们先引入磁场的矢势，然后导出矢势所满足的微分方程。

1. 矢势恒定电流磁场的基本方程是

（1.1）

                          （1.2）
式是J是自由电流密度.（1.1）和（1.2）式结合物质的电磁性质方程是解磁场问题的基础。
    磁场的特点和电场不同。静电场是有源无旋场,电场线从正电荷出发而止于负电荷,静电场线永不闭合。静磁场则是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线。由于特性上的显著差异，描述磁场和电场的方法就有所不同。静电场由于其无旋性,可以引入标势来描述。磁场由于其有旋性，一般不能引入一个标势来描述，但是由于磁场的无源性，我们可以引入，另一个矢量来描述它。根据矢量分析的定理（附录Ⅰ.17式）, 若

则 B 可表为另一矢量的旋度

（1.3）
A称为磁场的矢势。为了看出矢势A的意义，我们考察（1.3）的积分形式。把B对任一个以回路L为边界的曲面S积分，得

（1.4）
式中左边是通过曲面S的磁通量。由上式，通过一个曲面的磁通量只和这曲面的边界L有关，而和曲面的具体形状无关。如图3-1，设S1和S2矢量个共同边界L的曲面，则

这正是B的无源性的表示，因为B是无源的，在S1和S2所包围的区域内没有磁感应线发出，也没有磁感应线终止，B线连续地通过该区域，因而通过曲面S1的磁通量必须等于通过曲面S2的磁通量。这磁通量由矢势A对S1或S2的边界L的环量表示。

因此，矢势A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任意曲面的磁通量。只有A的环量才有物理意义，而每点上的A（x）至没有直接的物理意义。

由矢势A可以确定磁场B，但是由磁场B并不能唯一确定矢势A。举一个简单的例子可以说明这点。设有沿z轴方向的均匀磁场

其中B0为常量。由（1.3）式

不难看出有解

还可以看出有另一解

除了这两解外，还存在其他解。事实上，因为任意函数ψ的梯度的旋度恒为零，故有

即 A +▽ψ与A对应于同一个磁场B。 A的这种任意性是由于只有A的环量才有物理意义，而每点上的A本身没有直接的物理意义。

由A的这种任意性，我们还可以对它加上一定的限制条件，由下面的推导可知，对A加上辅助条件

（1.5）
是特别方便的。我们先说明对A加上条件（1.5）时总是可以的，也就是说总可以找到一个A，满足（1.5）式。设由某一解A不满足（1.5）式，
我们另取一解

（1.6）
A ' 的散度为

取 φ 为泊松方程

的一个解，代入（1.6）式，所得的A ' 就满足 ▽· A ' = 0。对A所加的辅助条件称为规范条件。下面我们所取得A都满足规范条件 ▽· A = 0 。

2. 矢势微分方程在均匀线性介质内有 B = μH，把这关系和 B = ▽× A 代入（1.1）式，得矢势A的微分方程

（1.7）
由矢量分析公式（附录Ⅰ.25式），

若取A满足规范条件 ▽· A = 0 ，得矢势A的微分方程

（1.8）

A的每个直角分量 A i 满足泊松方程

这些方程和静电势 φ 的方程

有相同形式。对比静电势的解第二章（1.7）式可得矢势方程（1.8）式的特解

（1.9）
式中x '是源点，x是场点，r为由x ' 到x的距离。（1.9）是也就是我们在第一章中由毕奥-萨伐尔定律导出的公式（第一章2.15式，该处讨论真空情形，故 μ = μ0）。在第一章中我们已证明（1.9）式满足条件 ▽· A = 0 ，因此（1.9）式确实是矢势微分方程的解。

在第一章中，我们从毕奥-萨伐尔定律出发，导出磁场的微分方程，本届我们巴西场的散度和旋度作为基本规律，从微分方程出发，引入矢势A，由A的方程获得特解（1.9）式。求出A以后，取旋度即可求出B。

（1.10）
过渡到线电流情形，设I为导线上的电流强度，作代换 J dV ' → I dl 得

（1.11）
这就是毕奥-萨伐尔定律。

当全空间中电流分布J给定时，由（1.9）或（1.10）式可以计算磁场。对于电流和磁场互相制约的问题，则必须解矢势微分方程的边值关系。

3. 矢势边值关系由第一章（5.11）式，在两介质分解面上磁场的边值关系为

（1.12）

（1.13）

磁场边值关系可以化为矢势A的边值关系。对于非铁磁介质，矢势的边值关系为

（1.14）

（1.15）

边值关系（1.14）式也可以用较简单的形式代替。在分界面两侧取一狭长回路（见第一章图1-15），计算A对此狭长回路的积分。当回路短边长度趋于零时，

另一方面，由于回路面积分趋于零, 有

因此，

（1.16）
若取 ▽· A = 0 规范，仿照第一章 §5 关于法向矢量边值关系的推导，可得

（

）（1.17）
（1.16）和（1.17）式合起来得

（1.18）
即在两介质分界面上，矢势A是连续的，边值关系（1.18）式可以用来代替（1.14）式。

4.磁场的能量由第一章§6，磁场的总能量为

（1.19）
在静磁场中，可以用矢势和电流表示总能量。由 B = ▽× A ，及附录（Ⅰ.21）式，

将此式代入（1.19）式中，第一项可以化为无穷远界面上的积分而趋于零，因此

（1.20）
和静电情形一样，此式仅对总能量有意义，不能把 1 / 2A·J 看作能量密度，因为我们知道能量分布于磁场内，而不仅仅存在与电流分布区域内。

在（1.20）式中，矢势A式电流分布J本身激发的，如果我们沿计算某电流分布J在给定外磁场中的相互作用能量，以 Ae 表示外磁场的矢势， J e表示产生该外磁场的电流分布，则总电流分布为 J + J e ，总磁场矢势为 A + Ae ，磁场总能量为

此式减去J 和 J e 分别单独存在时的能量之后，得电流J在外场中的相互作用能

（1.21）
因为

（1.21）式中两项相等，因此电流J在外场 Ae 中的相互作用能量为

（1.22）

例1 无穷长直导线载电流I，求磁场的矢势和磁感应强度。

解如图3-2，取导线沿z轴，设P点到导线的垂直距离为R，电流元Idz 到P点的距离为（ R2 + z2 ）1/2，由（1.9）式得

积分式发散的，计算两点的矢势差值可以避免发散。若取 R0 点的矢势值为零，按照第二章§1例2同样的计算可得

（1.23）
取A的旋度得磁感应强度

（1.24）

例2 半径为a的导线圆环载电流I，求矢势和磁感应强度。

解线圈电流产生的矢势为

（1.25）

用球坐标（ R ，θ，φ），由对称性可知A只有φ分量， Aφ 只依赖于R，θ，而与φ无关。因为我们可以选定在xz面上的一点P来计算 Aφ ，在该点上 Aφ = A y 。取（1.25）式的y分量，由于

得

（1.26）
上式的积分可用椭圆积分表出。当

（1.27）
时，可以较简单地算出近似结果。把根式对2Ra sinθ cosφ ' /（R2 + z2）展开。在（1.26）式中，展开式的偶此项对φ' 积分为零，因此只需保留奇次项。若我们要计算B（R ，θ）到二级近似，则 Aφ 需要算到三级项。

（1.28）
此式的适用范围是 2Ra sinθ << R2 + z2 ，包括远场（R sinθ >> a）和近轴场（Rsinθ << a）。为确定起见，我们计算近轴场。这情况下用柱坐标（ ρ, φ, z ）较为方便。展开式（1.28）实际上是对 ρ 2/ （ z2+a2 ）的展开式。取至 ρ 3 项，有

（1.29）
取A的旋度，得

（1.30a）

（1.30b）
上式对任意z处的近轴场成立。若求近原点处的场（z，ρ << a），可把上式再对z/a展开，得

（1.31）

§3 磁多极矩

本节我们研究空间局部范围内的电流分布所激发的磁场在远处的展开式。与电多极矩对应，引入磁多极矩概念，并讨论这种电流分布在外磁场中的能量问题。

1. 矢势的多级展开给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为

（3.1）
如果电流分布于小区域V内，而场点x又距离该区域比较远，我们可以把A（x）作多级展开。取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式[第二章（6.2）式]代入（3.1）式得

（3.2）
展开式的第一项为

由恒定电流的连续性，可以把电流分为许多闭合的流管。对一个流管来说，

式中I为在该流管内流过的电流。因此有

（3.3）
此式表示和电场情形不同，磁场展开式不含磁单极项，即不含与点电荷对应的项。

展开式（3.2）的第二项为

（3.4）
由于恒定电流可以分成许多闭合流管，我们先就一个闭合线圈情形计算上式。若线圈电流为I，有

（3.5）
在被积式中， R /R3 为固定矢量，与积分变量无关。由于 x ' 为线圈上个点的坐标，因此 dx ' = dl ' 。利用全微分绕闭合回路的线积分等于零，即

因此，

A (1) 的表示式（3.5）可以写为

（3.6）
式中

（3.7）
称为电流线圈的磁矩。对体电流分布，把 Idl ' → JdV '，得磁矩

（3.8）
对于一个小线圈，设它所围的面元为 ΔS ，有

因此

（3.9）

2. 磁偶极矩的场和磁标势由（3.6）式可算出磁偶极矩的磁场

由于当R ≠ 0时有

因此，

（3.10）
在电流分布以外的空间中，磁场应该可以用标势描述，因此我们再把上式化为磁标势的梯度形式。由于m为常矢量，由附录（Ⅰ.23式），

（式中利用了R /R3 的无旋性）。最后我们得

（3.11）

（3.12）
与电偶极势[第二章（6.9）式]相比，可见磁偶极势形式上和电偶极势相似。一个小店流线圈可以看作由一对正负磁荷组成的磁偶极子，其磁偶极矩m由（3.9）式确定。载电流分布区域以外的空间中可以用磁标势 φ m 来描述磁场，这点是和上节所讨论的一般理论相符的。

一个任意电流线圈可以看作由它所围的一个曲面S上许多小电流线圈组合而成，因此它的总磁偶极矩为

（3.13）
式中S实现全所围的某一个曲面，这曲面不是唯一确定的。为使上式有意义，m应不依赖于曲面的选取。事实上，设S1和S2为两个以该线圈为边界的曲面，则S1和 −S2（负号表示取法线方向相反）和起来成为闭合曲面，因而有

即

因此，这两曲面该处相同的m值。

更高级的磁多极矩实际上较少用到，这里不再详细讨论。

3. 小区域内电流分布在外磁场中的能量设外磁场Be的矢势为 Ae，由（1.22）式，电流分布J（x）在外磁场中的相互作用能量为

（3.14）
载电流I的线圈在外磁场中的能量为

（3.15）
其中Φ e 为外磁场对线圈L的磁通量。取坐标系原点在线圈所在区域内适当点上。若区域线度远小于磁场发生显著变化的线度，则可以把 Be（x）在原点领域上展开，

代入（3.15）式得

（3.16）
其中m是电流线圈的磁偶极矩。和电偶极子在外电场中的能量 −p ·Ee 对比[第二章（6.25）式]，相差一个负号。这是否意味着磁偶极子收外磁场作用时将会倾向于与外磁场反向呢？实事不是这样。由为（3.16）式是在假设线圈上的电流I以及产生外磁场的电流都不变的条件下导出的。为了详细分析这一问题，我们设外场由另一带有电流 Ie 的线圈 Le 产生。把相互作用能写为形式[见（1.21）式]