sr01 gr01 brain01 在一些必须把地球自转计算在内的问题中，如研究陀螺仪表的漂移时，可采用地球中心坐标系作为近似的惯性系，其原点与地球中心重合，轴指向所认定的恒星; 尺寸，比较起地球来说是太小了，我们感觉不到重力在身体不同部位产生的微小差异

  尺寸，比较起地球来说是太小了，我们感觉不到重力在身体不同部位产生的微小差异

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科氏惯性力对相对运动不作功，可从科氏惯性力恒和路径垂直看出。因此科氏惯性力不能用势函数表示

 

 

 

 

参考系统编辑

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参考系统，简称参考系（frame of reference），是与参考体固连的整个延伸空间。参考体是用来确定物体的位置和描述它的机械运动而选作标准的另一个物体。讨论物体的机械运动，即其位置的变化时，必须首先选定一个参考体，然后才能确定物体相对这个参考体的位置。选择不同的参考体，所观察到的物体运动也不相同，这就是运动的相对性。如在等速前进的车厢中垂直上抛并下落的小球，在地面上看来就不作直线运动，而作抛物线运动。为了能用数值表示物体的位置，还需在参考体上设置坐标系，称为参考坐标系。同一参考体上可设置不同的参考坐标系，同一物体的位置坐标在不同参考坐标系中虽然不同，但有确定的变换关系。通常按照问题的实际情况，选取适当的参考体，如在讨论跳水运动员的翻腾动作时，常取质心参考系，它是随运动员的质心在空间作平移运动的参考系。运动学的研究中各种参考系都是等价的，即在不同参考系中运动学的各种理论表述都相同。但在动力学的研究中，应区分惯性参考系与非惯性参考系^[1] 。

目录

1概述

2惯性参考系

3非惯性参考系

4参考系和相对性

5参考系和等效原理

1概述编辑

通常按照问题的实际情况选取适当的参考体。例如，当火箭从地球表面起飞时，宜用地球做参考体；当航天器成为绕太阳运动的人造行星时，宜用太阳做参考体。由此可见，一切力学现象只能相对于所选定的参考系进行观察、描述和研究。在同一参考系上可有不同的参考坐标系，它们对同一个物体的位置坐标的值虽然不同，但有确定的几何关系联系着。为了能对物体运动作定量描述，常直接引用参考坐标系。
　　按牛顿的观点，绝对运动是相对于绝对静止参考系而言的。这就是说，自然界中存在一绝对静止的空间，即绝对空间。根据近代的观点，绝对空间并无客观意义。19世纪的物理学家为了解释J.麦克斯韦的电磁理论与牛顿力学中相对性原理的矛盾，曾假设空间充满一种没有质量且不流动的弹性介质“以太”（ether），电磁波被看成“以太”的振动。相对于“以太”静止的参考系就代表绝对静止的参考系。在此参考系中的电磁现象具有特殊性质，从而导致惯性坐标系对于描述电磁现象是不均等的论点。1887年A.迈克耳孙和E.莫雷发表的著名的实验结果，表明“以太”效应是不能检测到的。此后其他一些实验也表明不能找到静止参考系。因此，爱因斯坦指出，绝对静止是根本没有的。
　　爱因斯坦在1905年发表的著名论文《论动体的电动力学》中提出了狭义相对论两条基本假设，即相对性原理和光速不变性。这两条假设是狭义相对论的基础，许多牛顿力学所不能解释的现象，可用狭义相对论精确地描述。爱因斯坦的相对性原理指出：包括力学、电动力学、光学等在内的物理学各定律，在所有惯性参考系中都是相同的。即惯性坐标系对描述物理现象是平等的，没有特殊的绝对静止的参考系，绝对空间是无意义的^[2] 。

2惯性参考系编辑

对惯性定律成立的参考系，简称惯性系。经典力学的相对性原理指出，一切力学规律在相互作匀速运动而无转动的参考系中都是相同的。在一个作匀速直线运动的密封座舱中的观察者，无法通过内部的力学实验来判断座舱相对于恒星是静止的还是在作匀速运动的，只有朝窗外看才能知道，但仍然无法判断究竟是座舱还是恒星在运动。另一方面，参考系在力学上的这种等效，并非对任意运动的参考系都成立。在颠簸运行的火车里和在作匀速运动的火车里，力学运动并不服从同样的定律。在精确地相对于地球运动时，运动方程必须考虑地球的转动。一个参考系，如果自由质点在其中作非加速运动，就称为惯性参考系或伽利略参考系，所有相互作非加速运动而无转动的参考系都是惯性参考系。

判断一个特定参考系是否惯性系，取决于能以多大的精确度去测出这个参考系的微小加速度效应。在地面上的一般工程动力学中，由于地球的自转角速度较小，地面上一点的向心加速度很小，可取与地球固连的坐标系作为惯性系。在一些必须把地球自转计算在内的问题中，如研究陀螺仪表的漂移时，可采用地球中心坐标系作为近似的惯性系，其原点与地球中心重合，轴指向所认定的恒星。天文学中则采用黄道坐标系或银道坐标系作为惯性系。地球表面赤道上一点的向心加速度为3.4cm/s²，地球绕太阳公转的向心加速度为0.6cm/s²，太阳绕银河系中心转动的向心加速度约为3×10^－8cm/s²。从以上数据可看出所选取的惯性系的近似程度^[2] 。

3非惯性参考系编辑

对惯性参考系作加速运动或转动的参考系，简称非惯性系。对惯性系以不变的加速度a在运动的非惯性系，称为加速运动参考系。在此参考系中静止的物体必有力F=ma作用着。在引力场中，物体都受引力作用，因此对引力场中惯性系静止的物体也受引力作用。若另有一非惯性系，它对惯性系的加速度和这引力产生的加速度相同，则在此非惯性系中的观察者并不觉得有引力场，也不知自己有加速运动，这就是爱因斯坦的“升降机”，说明引力场和非惯性系是等效的。

对惯性参考系转动的参考系称为转动参考系。假定惯性系静止，则与转动参考系固连的刚体运动，就是转动参考系对惯性系的运动。对转动参考系以速度v_r和加速度a_r运动的质点，按照点的复合运动公式，得质点对惯性参考系中的坐标系的加速度：

a=a₀+a_r+2ω×v_r+ε×r′+ω×(ω×r)_，

式中a₀为转动坐标原点的加速度；a_r为质点相对于转动参考系的加速度；ω和ε分别为转动坐标系的角速度和角加速度；r和r′分别为质点对惯性坐标系的原点和转动坐标系的原点的矢径。质点的相对运动方程可以表示为：

ma_r=F+(－2mω×v_r)+[－mω×(ω×r)] +(－ma₀－mε×r′)　 (1)

上式右边第二项是科里奥利惯性力（简称科氏力）；后三项是牵连惯性力，其中－mω×(ω×r)是离心惯性力。科氏惯性力对相对运动不作功，可从科氏惯性力恒和路径垂直看出。因此科氏惯性力不能用势函数表示。若转动坐标原点不动（a₀=0），并以等角速度ω(ε=0)绕Z轴转动，选Z′轴与Z轴重合，则式（1）成为：

ma_r=F+(－2mω×v_r)+[－mω×(ω×r)] (2)

在研究地球自转对地面邻近物体运动的影响时，常用赤道坐标系。因地球绕太阳公转角速度是地球自转角速度的1/365，故可略去。选定Oxyz为惯性坐标系，Z轴与地球自转轴重合，Oxy平面重合于赤道，X轴指向遥远的恒星。地球自转一周需23小时56分4.1秒，即86164.1太阳秒，故ω=2π/86164.1s^－1=7.2921×10^－5s^－1。研究太阳系各行星的运动要用黄道坐标系。为研究天体现象与观察者位置的相互关系还可引入地平坐标系，即Z轴指向观察者的天顶。Oxy即地平面，X轴可选指向南，Y轴向东。研究星系力学和星系结构则须采用以银河系平均平面为基本面的银道坐标系^[2] 。

4参考系和相对性编辑

经典力学相对性原理是：一切力学定律在一切惯性系中都是相同的。各惯性坐标系是用伽利略变换联系起来的^[2] 。设有两个参考系S(Oxyz)及S'(O'x'y'z')，坐标轴相互平行且轴x与轴x'重合，S'相对S沿x轴以u做等速直线运动，且S系与S'系中各处有结构完全相同的时钟，记录的时刻为t与t'，并以两坐标原点O及O'重合时刻为计时起点，则可得某质点m的运动在两参考系中的时空变换关系：

x'=x－ut　y'=y　z'=z　t'=t

上式即为伽利略（坐标）变换。如果将各式对时间求导，则得速度变换式：

v_x'=v_x－u　v_y'=v_y　v_z'=v_z

因此，如果S是惯性系，即不受外力作用的物体在其中做等速直线运动，则根据上式，它在S'中也一定做等速直线运动，所以S'也是惯性系。如果将各式再一次对时间求导，则得加速度变换关系式：

a_x'=a_x　a_y'=a_y　a_z'=a_z

亦即a'=a。因此如果S是惯性系，即在其中F=ma成立，则在S'中也有F=ma'，所以S'也是惯性系^[3] 。伽利略变换表明，加速度是不变量。此外，在经典力学中的力F和质量m都是不变量。因此，牛顿定律对伽利略变换是不变的，即一切力学定律在以伽利略变换联系起来的两个惯性系中都是相同的，这就是经典力学的相对性原理。

狭义相对性原理可表述为：一切物理定律在以洛伦兹变换联系起来的两个惯性系中具有不变性。这个原理比伽利略不变性更为普遍，它把力学定律、电磁和光的定律以及原子物理的定律等都包括在内。洛伦兹变换式为：

式中γ=[1－(v/c)²]^－1/2，c为真空中的光速，v为惯性系S'(O'x'y'z')相对于S(Oxyz)的速度值，其方向沿X轴，大小与光速可以比拟。这里的时间t′既是坐标x也是时间t的函数。因此，时间不能认为是对一切观察者都相等的绝对量，而是依赖于观察者位置和速度的相对量。这里的空间、时间都是相对的，时间与空间紧密相关。洛伦兹变换中的这种时空关系导致了“四维时空”的概念，其中x、y、z和t起着类似而不尽相同的作用。至此历史上麦克斯韦电磁场方程和伽利略不变性之间的矛盾便被狭义相对论圆满地解决了。

广义相对性原理认为所有参考系，不论是惯性系还是非惯性系，都同样适合表达自然界定律，但需要用协变张量计算，把自然界定律表示成一个在任意坐标变换下保持不变的数学形式，这条原理又称广义协变性原理。据此，物理定律对洛伦兹变换也是协变的。在广义相对论中，为了包括万有引力，时间流逝的速度不仅与物体的运动速度有关，而且还与物体所受到的引力场有关。在引力场较大的地方，如在太阳附近，时间的流逝速度将变慢^[2] 。

5参考系和等效原理编辑

惯性质量与引力质量的相等称为等效原理。这个原理导致一个结论：一个存在着引力场的惯性系和另一个作加速运动的非惯性系是等效的，即内部的物理实验不能区分这两种参考系，这就是爱因斯坦等效原理。以爱因斯坦“升降机”为例，若升降机在1g的均匀引力场中静止；另外，又在自由空间中以9.81m/s²的加速度向上作匀加速运动，由于惯性质量和引力质量相等，在上述两种情况中所作的同样的内部物理实验结果相同。里面的观察者既可认为升降机静止，且机厢内存在引力场；又可认为机厢内不存在引力场，只是升降机以9.81m/s²的加速度向上运动。

惯性质量和引力质量的等效导致另一种情况。若一物体在均匀引力场中自由下落，其中的质点，由于惯性质量和引力质量相等，其惯性力和引力平衡。因此，同均匀引力场中自由降落的物体相固结的非旋转参考系和自由空间的惯性系是等效的。在环绕地球飞行的宇宙飞船中，“失重”现象就是由于引力和离心惯性力平衡所引起的。
　　惯性质量和引力质量的相等常称为弱等效原理，爱因斯坦的等效原理则称为强等效原理。等效原理是广义相对论的基础^[2] 。


相对论与黎曼几何-11-等效原理 精选

已有 2980 次阅读 2014-10-16 07:37 |个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦|关键词:相对论 等效原理 惯性质量

11. 等效原理

上帝经常和人类开玩笑。他早早地派来一个牛顿，点亮了科学殿堂角上的一个小火把，却让无数多个大门紧锁的房屋，仍然隐藏于深邃的黑暗之中。牛顿之后将近两百年，人类在其火把的照耀下忙乎了一阵子，看清楚了周围不少景观，将牛顿的物理及数学方面的理论发扬光大，同时也发展了多项技术、掀起了工业革命，正兴致勃勃地试图初建文明社会。然而，上帝总想在人类科学殿堂上玩点儿什么花招。于是，来了个数学家黎曼，他造出了一把精妙绝伦的钥匙，将它交给人类后，年纪轻轻便潇洒地驾鹤西去。可是，谁也不知道这个精美的钥匙有何用途？能开启殿堂中的哪扇大门呢？时光荏苒，又过了半个世纪……

 

爱因斯坦来到了这个世界，他最感兴趣的事就是探索上帝的思想和意图，想了解上帝到底在开些什么玩笑？玩点什么花招？尽管爱因斯坦小时候不像是个神童，但后来也并非“大器晚成”，他26岁就以研究光电效应和建立狭义相对论而一鸣惊人。

 

狭义相对论是基于爱因斯坦认为最重要、最具普适性的两个基本原理：相对性原理和光速不变原理而建立的，它用洛伦茨变换，将麦克斯韦的电磁理论，天衣无缝地编织进新的时空理论中。

 

根据狭义相对论，时间和空间不再是独立而绝对的，闵可夫斯基的四维时空将它们联系在一起。在这个理论框架里，所有相对作匀速运动的惯性参考系都是平权的，物理定律在任何惯性参考系中都具有相同的形式。这点似乎完美地满足了爱因斯坦的相对性观念。但是，仔细想想问题又来了，除了惯性参考系之外，还有非惯性参考系呢，比如说在一个加速参考系中的物理规律，是否也应该与惯性参考系中物理规律形式一致呢？

上帝不应该只是偏爱那些被挑选出来称之为“惯性参考系”的系统吧，况且，哪些参考系就有优先权作为“惯性参考系”呢？既然对惯性参考系而言，速度只有相对的意义，难道还有理由把加速度当作绝对概念吗？爱因斯坦建立了狭义相对论之后，立即意识到这些问题。这种“狭义”的相对性原理，似乎仍然没有真正摆脱“绝对参考系”的困惑，只不过是用了多个“绝对”替代了原来的一个而已。因此，这个“狭义”的概念必须推广。此外，爱因斯坦也经常思考“引力”的问题：如何才能将万有引力也包括到相对论的框架中？

 

最简单的非惯性参考系是相对惯性系统作直线匀加速运动的参考系。从最基本的原理、最简单的情形出发来思考问题，从来就是爱因斯坦的特点。

 

科学研究最重要的原动力是什么？不是对功成名就的向往，不是对物质利益的追求，也不是出于对大师前辈的膜拜，或者想要出人头地的愿望。就爱因斯坦而言，最重要的是他对大自然始终保持着的那颗如孩童般纯真的好奇心。不可否认，光电效应的理论探索带给他荣誉；狭义相对论和广义相对论的建立带给他满足，但只有这种始终如一的好奇心，才能支持他后半生持续钻研统一理论四十年如一日终究未成正果却无怨无悔。也许，这才是爱因斯坦“天才”的奥秘所在。

 

回到非惯性参考系和引力。凡是有一点点物理知识的人，都知道意大利的比萨斜塔，在物理上因为伽利略在那儿做的“自由落体”实验而著名。伽利略的实验证明了，地表引力场中一切自由落体都具有同样的加速度。也就是说，不管你往下丢的是铁球还是木球，都将同时到达地面。后来又有一种看法，说伽利略本人并未做过此斜塔实验，但这点并不重要，斜塔实验所证明的物理规律是公认的。后人进行过多次类似的实验，还不仅仅在地球上，1971年阿波罗15号的宇航员大卫·斯科特，在月球表面上将一把锤子和一根羽毛同时扔出，两样东西同时落“月”之后，他兴奋地对地球上的数万电视观众喊道：“你们知道吗？伽利略先生是正确的！”

 

无论如何，爱因斯坦先生认识到这条定律的重要性，因为它首先可以被表述为“惯性质量等于引力质量”，继而又进一步地推论到加速度与引力间的等效原理。对此原理，爱因斯坦曾经如是说：

 

“我为它的存在感到极为惊奇，并且猜想其中必有可以更深入了解惯性和引力的关键。”

 

何谓惯性质量，又何谓引力质量呢？简言之，牛顿第二定律F=ma中的m是惯性质量，它表征物体的惯性，即抵抗速度变化的能力，而引力质量则是决定作用在物体上引力（如重力）大小的一个参数。在伽利略的自由落体实验中，与引力质量成正比的地球引力，克服惯性质量而引起了物体的加速度。这个加速度应该正比于两个质量的比值。正如实验所证实的，下落加速度对所有物体都一样，那么两个质量的比值也对所有物体都一样。既然对所有物体都相同，两者的比例系数便可以选为1，说明这两个质量实际上是同一个东西。这个看起来平淡无奇的结论却激发了爱因斯塔的好奇心，他认为其中也许深藏着惯性和引力之间的奥秘。

 

图2-11-1：等效原理

爱因斯坦设计了一个思想实验来探索这个奥秘。下面的说法不见得完全等同于他原来的描述，但实验的基本思想是同样的。如图2-11-1所示，设想在没有重力的宇宙空间中，一个飞船以匀加速度g=9.8m/s²上升。也就是说，飞船的上升加速度与地面上的重力加速度相等。关在飞船中看不到外面的观察者，将会感到一个向下的力。这种效应和我们坐汽车时经历到的一样：如果汽车向前加速的话，车上乘客会感觉一个相反方向（向后）的作用力，反之亦然。因此，图2-11-1的图a和图b中的人，无法区分他是在以匀加速度上升的飞船中，还是在地面的引力场中。换言之，加速度和引力场是等效的。

 

再进一步考虑如果有光线从外面水平射进宇宙飞船时的情形，如图2-11-1a所示，因为飞船加速向上运动，原来水平方向的光线在到达飞船另一侧时应该射在更低一些的位置。因此，飞船中的观察者看到的光线是一条向下弯曲的抛物线。然后，既然图2-11-1b所示的引力场，是与图a等效的，那么，当光线通过引力场的时候，就也应该和飞船中的光线一样，呈向下弯曲的抛物线形状。也就是说，光线将由于引力的作用而弯曲。

 

光线在引力场中弯曲的现象也可以从另一个角度来理解，可以认为不是光线弯曲了，而是引力场使得它周围的空间弯曲了。或者更为准确地表达，沿用相对论的术语，是叫做“时空弯曲了”。光线仍然是按照最短的路径传播，只不过在弯曲的时空里的最短路径已经不是原来的直线而已。

 

从引力与加速度等效这点，还可以推论出另一个惊人的结论：引力可以通过选择一个适当的加速参考系来消除。比如说，一台突然断了缆绳的电梯，立即成为一个自由落体，将会以等于9.8m/s²的重力加速度g下降。在这个电梯中的人，会产生使你感觉极不舒服的“失重感”。不仅仅你自己有失重感觉，你也会看到别的物体没有了重量的现象。也就是说，电梯下落的加速度抵消了地球的引力，这其实是我们在如今的游乐场中经常能体会到的经历。爱因斯坦却从中看出了暗藏的引力奥秘：引力与其它的力（比如电力）大不一样。因为我们不可能用诸如加速度这样的东西来抵消电力！但为什么可以消除引力呢？也许引力根本可以不被当成一种力，就像前面一段所想象的那样，可以将它当成是弯曲时空本来就有的某种性质。这种将引力作为时空某种性质的奇思妙想，将爱因斯坦引向了广义相对论。

 

开始的时候，爱因斯坦只是企图按照上面的思路，企图将引力包括到狭义相对论的范畴中。不过，他很快就意识到碰到了大障碍。一个均匀的引力场的确可以等效于一个匀加速度参考系。但是，我们的宇宙中并不存在真正均匀的引力场。根据万有引力定律，引力与离引力源的距离成平方反比率。也就是说，地球施加在我们头顶的力比施加在双脚的力要小一些。并且，引力的方向总是指向引力源的中心。即作用在我们身体右侧和左侧的引力方向并不是完全平行的。我们在地球表面感到“重力处处一样”的现象只是一个近似，是因为我们个人的身体尺寸，比较起地球来说是太小了，我们感觉不到重力在身体不同部位产生的微小差异。然而，爱因斯坦需要建立宇宙中引力的物理数学模型，就必须考虑这点了。在大范围内，这种差异能产生明显的可见效应。比如说，我们所熟知的地球表面海洋的潮汐现象，就是因为月亮对地球的引力不是一个均匀引力场而形成的，见图2-11-2a。

 

图2-11-2：潮汐力、地球的引力

潮汐力的名词来源于地球上海洋的潮起潮落，但后来在广义相对论中，人们将由于引力不均匀而造成的现象都统称为潮汐力。

 

尽管“爱因斯坦电梯”的思想实验描述了如何用一个匀加速参考系来抵消一个均匀的引力场，但是实际上的引力场却是非均匀的，不可能使用任何参考系的变换来消除。图2-11-2b显示出地球的引力场，在四个方向需要四个不同的匀加速参考系来局部等效地近似描述。

 

这个问题困惑了爱因斯坦好几年，直到他后来得到他大学的同窗和好友、数学家格罗斯曼的帮助为止。根据格罗斯曼的介绍，爱因斯坦才惊奇地发现，原来早在半个世纪之前，黎曼等人就已经创造出了他正好需要的数学工具。黎曼几何这把精美的钥匙，就像是为爱因斯坦的理论定做的，有了它，爱因斯坦才顺利地开启了广义相对论的大门。