http://cai.wit.edu.cn/jpcourseware/pri/dxwl/course/wlkc/contentinfo.asp?c=164&a=151&todo=show
每个单独的分子原子个体都是在做无规则的运动，必须要有足够大的数量基数下才能体现处统计规律。
§20-2 量子力学的建立
一、氢原子的玻尔理论 1911年，新西兰物理学家卢瑟福（E.Rutherford,1871—1937年）提出了原子的行星模型。卢瑟福的行星模型假定，原子的质量基本上集中于原子核上，绕核旋转的电子所带负电正好与核所带的正电相等量，原子表现出电中性。根据经典的电磁理论，旋转的电子必定向外发射电磁波，从而损失能量，使电子最终落入原子核中。这样，卢瑟福的原子模型就是一个不稳定的模型。另外，经典电磁理论指出，原子的辐射谱应当是连续谱，而在早期的实验中人们观察到的原子光谱却是分立的线光谱。如观察到了氢原子光谱的多个谱线系，并且发现有如下关系：   =1/λ称为波数（wave number），R=1.096776×10-7m-1称为里德伯常量（Rydberg congstant），T(m)及T(n) 称作光谱项（spectrum item）。m不同对应不同的谱线系：m=1称作莱曼系（Lyman series）,该线系的谱线属于紫外光区；m=2称作巴耳末系（Balmer series）,该线系的谱线属于可见光区；m=3称作帕邢系（Paschen series）,该线系的谱线属于红外光区；m=4称作布拉开系（Brackett series）,m=5称作普丰德系（Pfund series）,这两个线系的谱线也都属于红外光区。原子光谱由确定的频率组成，这一事实曾使十九世纪未和二十世纪初的物理学家感到迷惑不解。为了解决这个问题，丹麦物理学家玻尔（N.Bohr,1885—1962）于 1913年提出了一个氢原子的模型理论，成功地解释了氢原子光谱。 他以实验为基础提出的基本假设如下： 动画五：玻尔理论
动画五 玻尔理论
（1）氢原子中的一个电子绕原子核作圆轨道运动；电子只能处于一些分立的轨道上，它在这些轨道上运动不会辐射电磁波，每一允许的轨道对应于一个确定的能量。换句话说，在氢原子中存在着一些具有确定能量的稳定态。 （2）当氢原子在两定态之间发生跃迁时，就要发射或吸收电磁波，其辐射的电磁波频率由下式给出：
En-Em=hv （20.2.2）
式中h是普朗克常量，En和Em是两定态的能量。（20.2.2）式称作玻尔频率条件（Bohr frequency condition）。（3）氢原子中的质量为me的电子以速率v绕核作半径为r的圆周运动的角动量取如下分立值：   
可见在量子数很大时，能级逐渐靠近，能量就成为连续的。
总之，玻尔理论在解释氢原子光谱上获得了很大的成功，是量子力学发展史的一个重要里程碑。但是玻尔理论作为对经典理论的变革来说，是不彻底的： （1）仍然保留了轨道观念，不自然地引进了量子化条件、“允许轨道”的稳定态不会辐射等假设； （2）玻尔理论不能计算辐射发生的几率大小； （3）将玻尔理论应用到多电子原子体系时，得到的结果与实验相差较大。 二、德布罗意波 如果承认光的“波粒二象性”，就是说承认原来以为只有波性的东西（如光）具有粒子性；反过来，原来认为只有粒子性的东西（如电子）为什么不可以具有波性？1924年，法国人德布罗意（Louis Broglie）认为即然自然界在许多方面是显著对称的，那么光有波粒二象性，实物粒子也具有波粒二象性，德布罗意提出，描述波动性物理量v、λ和描述粒子性物理量E、p的关系也为 
（20.2.9）、（20.2.10）式称作德布罗意公式（de Broglie formula）,（20.2.10）式中定义的波长称为德布罗意波长（de Broglie wavelength），相应的波称为物质波或德布罗意波（de Broglie wave）。
动画六 x射线衍射
动画七 汤姆逊实验 动画八 电子衍射
对于实物粒子来说，德布罗意波长是较小的，把地球当作经典粒子看待，它的质量是6×1024 ，环绕太阳的轨道速度是3×104米/秒，把这些数值代入（20.2.10）式得出地球的德布罗意波长为
这个数值太小，任何现有的以及未来可能拥有的仪器都不可能记录下这么小的数值。一个原子的线度在10-10m范围，而这个波长在10-63m，因此我们不能看到地球的物质波是肯定的。
如果进入了微观粒子范围，情况就不同了，它的波长将可以与原子线度相比较，可通过实验来验证。 [例20-5]对于动能为100电子伏特的电子束，求德布罗意波长。 解：100电子伏特的电子属低能电子，速度不很大，其动能采用非相对论形式（如果是高速就要用相对论动能）： 
这个波长和原子的大小或固体中相邻两个原子平面间的距离具有相同数量级。
1926年爱尔赛色（Elsasser）指出，可用一束能量适当的电子束投射到晶体上产生衍射来验证电子的波动性。如果电子具有波动性就应该产生与 射线那样的衍射。在爱尔赛色的启发下，戴维孙（C•Darisson）和革末（L•Germer）做了电子束在晶体表面上的实验，观察到了和 射线衍射类似的电子衍射现象，证实了电子的波动性。同年汤姆逊（G•P•Thömson）做了电子束穿过多晶薄膜的衍射，与 射线通过多晶薄膜的衍射图象相似。1961年约恩逊（C•Jonsson）做了电子的单、双、三缝电子衍射实验，得出明暗相间的条纹更有力地说明了电子的波动性。其他粒子的波动性也陆续得以证实。在粒子的波动性问题中，普朗克常数是一个关键性的参数，它限制了较大的粒子的波动性，而微观粒子的波动性又相当显著，因此我们可以说：一切物质都有波动，一切微观粒子都具有波粒二象性。 [例20-6] 温度为25℃时，热中子的德布罗意波长等于多少？（若中子与给定温度的物质处于平衡状态，则称该中子为热中子，其平均动能就和同样温度下理想气体分子的平均动能相同）。  
此式表明物质波的相速度并不等于相应粒子的运动速度，这时的相速度大于真空中光速。
三、概率波 1.波函数 既然所有微观粒子具有波动性，我们就可以用波函数来描述微观粒子的运动状态。借鉴经典波的描述方法，对于一个动量为p能量为E沿x轴方向作匀速直线运动的微观自由粒子，其对应的物质波波函数为：  （20.2.11a）
在三维空间中运动的自由粒子对应的物质波波函数为：
 （20.2.11b）
2．波函数的玻恩解释
波函数ψ为复函数，实验无法直接观测，那么，波函数ψ的物理意义是什么？ψ是如何描述微观粒子的运动的？ 人们在初期对ψ的物理意义有过争议。1926年，玻恩（M，Born）提出了波函数的统计解释后来为大家普遍接受。波恩认为，物质波是概率波（probability wave），微观粒子在t时刻出现在  的概率与波函数的模的平方成正比，那么在 附近一个小体积元dV中t时刻粒子出现的概率为
可以用光子的概念来说明双缝衍射条纹的分布是光子的概率分布结果。光的双缝衍射形成明暗相间的条纹已在光学中给出。而且条纹的明暗是由光强不同所致。用光子概念来说明暗明条纹时，光子数的多少与光强成正比，因此认为条纹的明暗分布是光子达到屏上的光子数目的分布。明纹可以看成是光子“堆积”的结果。如果光源减弱，明暗条纹分布不变，但光强减小，也就是光子数减小，当光源很弱，弱到光子一个一个地发出的程度，衍射的结果也应该是明暗条纹。但一个光子通过一缝后应该落入屏上的何位置？这个光子并不知道前一个光子落入了何处，也不知道后一个光子将落入何处，但全部光子到位后一定形成明暗条纹分布，所以玻恩的想法是，光子落入那一点不确定，它只可能是以一定的概率落入屏上某一点，有的地方概率大，有的地方概率小，这个概率是由物质波决定的，物质波函数平方
 就是光子落入屏上某点的概率密度。因此，从光子的概念出发，光波（即与光子相联系的波）是概率波，它描述了光子到达空间各处的概率，对于其他实物微观粒子，与它的相联系的物质波也是概率波。玻恩关于波函数的解释是一种统计解释，可以概括为：波函数在空间中某一点强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的概率成正比，粒子的物质波是概率波。知道了波函数，就知道了粒子出现在空间的概率，利用统计方法可求粒子的各种性质，因此可以说波函数描写了粒子的量子状态（quantum state，简称量子态、状态或态）。 由于粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和等于1，因而粒子在空间各点出现的概率只取决于波函数在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大小。即有下式：  （20.2.14）
（20.2.14）式称为归一化条件（normalizing condition），满足（20.2.13）式的波函数ψ称为归一化波函数。
根据玻恩解释，由于粒子在空间任何点得概率密度必须式确定的、唯一的并且不是无限大的，故波函数ψ 必须是连续（continuous）、单值（single-value）和有限（limited）的函数，这个条件称为波函数的标准条件（standard condition）。
   
物理学史
量子理论的建立
导致量子论出现是一个经典热力学难题即黑体辐射问题。1900年，英国物理学家瑞利根据经典统计力学和电磁理论，推出了黑体辐射的能量分布公式。该理论在长波部分与实验比较符合，但在短波部分却出现了无穷值，而实验结果是趋于零。这部分严重的背离，被称之为“紫外灾难”（紫外指短波部分）。  1900年，德国物理学家普朗克采用拼凑的办法，得出了一个在长波和短波部分均与实验相吻合的公式，但该公式的理论依据尚不清楚。不久，普朗克发现，只要假定物体的辐射能不是连续变化，而是以一定的整数倍跳跃式地变化，就可以对该公式作出合理的解释。普朗克将最小的不可再分的能量单元称做“能量子”或“量子”。当年12月14日，他将这一假说报告了德国物理学会，宣告了量子论的诞生。普朗克由于提出量子思想而获得1918年诺贝尔物理学奖。 量子假说与物理学界几百年来信奉的“自然界无跳跃”直接矛盾。因此量子论出现之后，许多物理学家不予接受。普朗克本人也非常动摇，后悔当初的大胆举动，甚至放弃了量子论继续用能量的连续变化来解决辐射问题。但是，历史已经将量子论推上了物理学新纪元的开路先锋的位置，量子论的发展已是锐不可挡。 第一个意识到量子概念的普遍意义，并将其运用到其它问题上的是爱因斯坦。他建立了光量子论以解释光电效应中出现的新现象。光量子论的提出使光的的本性历史争论进入了一个新的阶段。  爱因斯坦在1900年3月发表题为《关于光的发生和转变的一个新观点》的论文，该文将德国物理学家普朗克在此之前提出的量子观点大胆推广，指出光是由一定能量的光量子组成，正是这些光量子激发了金属内部的电子，解释了光电效应。由于这篇论文，爱因斯坦获得了1921年的诺贝尔物理奖。自牛顿以来，光的微粒说和波动说此起彼伏，爱因斯坦的理论重新肯定了微粒说和波动说对于描述光的行为的意义，它们均反映了光的本质的一个侧面：光有时表现出波动性，有时表现出粒子性，但它既非经典的粒子也非经典的波，这就是光的波粒二象性。主要由于爱因斯坦的工作，使量子论在提出之后最初的十年中得以进一步地发展。 促使量子力学建立的另一方面是原子结构的研究。元素的放射性和电子的发现，促使人们去研究原子的内部结构。当时出现了不少原子结构模型，著名的有开尔文提出的布丁（即面包之中嵌有葡萄等物）模型，电子就像布丁之中的葡萄，此外还有土星环模型等。大约在1909年，实验表明布丁模型的某些理论预言与实验观测不符。1911年，新西兰物理学家卢瑟福（1871—1937）提出了原子的有核模型。次年，一系列α粒子对金箔的散射实验，完全证实了有核模型所提出的理论预言。卢瑟福因此而获1908年的诺贝尔化学奖。据说他对此不以为然，他认为他的伟大工作是一项物理学成就。 卢瑟福的有核模型表明，原子的质量基本上集中于核上，绕核旋转的电子所带负电正好与核所带的正电相  等，原子表现出电中性。根据经典的电磁理论，旋转的电子必定向外发射电磁波，从而损失能量，使电子最终落入原子核中。这样，卢瑟福的原子模型就是一个不稳定的模型。正在曼彻斯特卢瑟福的实验室里从事研究工作的丹麦物理学家玻尔解决了这一问题。玻尔本来想去剑桥的卡文迪许实验室随汤姆逊研究电子，但汤姆逊对电子已经不感兴趣，他才来到卢瑟福这里。他在曼彻斯特虽然只呆了四个月，但却做出了一生最重要的工作，即提出了一种量子化的原子结构理论。他认为，电子只在一些特定的圆轨道上绕核运动。在这些特定的轨道上运行时并不发射能量，只当它从一个较高能量的轨道上向一个较低能量的轨道跃迁时才发出辐射，反过来则吸收辐射能。这个理论不仅在卢瑟福模型基础上解决了原子的稳定性问题，而且用于氢原子时，与光谱分析所得实验结果完全符合，因此引起了物理学界的震动。  因为在此以前，光谱从来只有经验研究，而没有进行理论说明。玻尔的量子化的原子结构理论明显违背经典理论，同样遭致了许多科学家的不满，但它在解释光谱分布的经验规律方面意外的成功，使它赢得了很高的声誉，大大推动了量子理论的发展。不过玻尔的理论只能用于氢原子这样比较简单的情形，对于多电子的原子光谱便无法解释。以后，玻尔又想出了一些办法以弥补这些缺陷，但结果是使理论基础变得更加逻辑不一致，以致有人认为量子论也出现了危机。1922年玻尔获诺贝尔物理学奖。 早期量子论确实面临着困境，但不久就被突破。1923年，法国物理学家路易•德布罗意提出了物质波理论，德布罗意认为：一切实物粒子也具有被动性。将量子论发展到一个新的高度。德布罗意本来是学历史的，其兄是研究X射线的物理学家。受其兄长的影响，德布罗意大学毕业之后改学物理，并一起研究X射线问题。德布罗意在长期的思考之后，意识到爱因斯坦的光量子理论应该推广到一切物质粒子，特别是电子。1923年9月至10月，他连续发表了三篇论文，提出了电子也是一种波的理论。他还预言，电子束穿过小孔时也会发生衍射现象。  1924年，他写出博士论文“关于量子理论的研究”，更系统地阐述了物质波理论，爱因斯坦对此十分赞赏。不出几年，实验物理学家真的观测到了电子的衍射现象，证实了德布罗意物质波的存在。德布罗意1929年开创了以论文获诺贝尔物理学奖的先例。沿着物质波概念继续前进并创立了波动力学的，是奥地利物理学家薛定谔。当他从爱因斯坦的一篇报告中得知德布罗意的物质波概念时，正在研究热力学中的统计问题的他马上接受了物质波的观点并提出粒子不过是波动辐射上的泡沫。在一次讲课时，德国物理学家德拜（1884—1966）提出，如果电子是波，那么它将服从什么波动方程？薛定谔经过反复思考，于1925年推出了一个相对论的波动方程，但与实验不太符合。1926年，他改而处理非相对论的电子问题，得出的波动方程与实验证据非常吻合。波动力学就此诞生了。薛定谔与狄拉克一起分享了1933年诺贝尔物理学奖。 1925年，德国青年物理学家海森伯写出了以《关于运动学和力学关系的量子论的重新解释》为题的论文，创立了解决量子波动理论的矩阵方法。  它完全抛弃了玻尔理论中的电子轨道、运行周期这种经典的但却是不可观测的概念，代之以可观察量如辐射频率和强度。论文写出后，海森伯请他的老师玻恩（1882—1970）审查，玻恩发现海森伯的方法正是数学家早已创造出的矩阵运算。当年9月，玻恩与另一位物理学家约丹合作，将海森伯的思想发展成为系统的矩阵力学理论。在英国，另一位年轻的人狄拉克改进了矩阵力学的数学形式，使其成为一个概念完整、逻辑自洽的理论体系。海森伯1932年获得诺贝尔物理学奖。波动力学和矩阵力学的创始者们一开始还互相敌视，认为对方的理论有缺陷。到1926年3月，薛定谔发现这两种理论从数学上是完全等价的，方才消除了双方的敌意。从此以后，两大理论统称量子力学，而薛定谔的波动方程由于更易为物理学家掌握，成为量子力学的基本方程。 量子力学虽然建立了，但关于它的物理解释却众说纷纭，莫衷一是。  波动方程中的所谓波究竟是什么？薛定谔本人认为，它就是一种物质波，而其粒子性只是波的某种密集，即“波包”。玻恩则认为，电子的粒子性是基本的，它的波函数表征的是电子这种粒子在某时某地出现的概率。1927年，海森伯提出了微观领域里的测不准关系，即任何一个粒子的位置和动量不可能同时准确测量，要准确测量一个，另一个就完全测不准。海森伯称它为“测不准原理”或称“不确定原理”。玻尔敏锐地意识到它正表征了经典概念的局限性，因此以之为基础提出了“互补原理”。认为在量子领域里总是存在互相排斥的两套经典特征，正是它们的互补构成了量子力学的基本特征。玻尔的互补原理被称为正统的哥本哈根解释，但爱因斯坦不同意。他始终认为统计性的量子力学是不完备的，而互补原理是一种“绥靖哲学”。爱因斯坦与玻尔之间的争论持续了半个世纪，直到他们本人各自去世也没有完结。 |
No comments:
Post a Comment