来自: cmp(const void*, const void*) 2013-06-28 14:00:35
另一些帖子的地址：
http://www.douban.co
O(3,1) 有四个连通分支，下面把包含单位元的那个称为Lorentz群，或SOe(3,1)，或proper orthochronous Lorentz群。
SOe(3,1)不是单连通的，它的覆盖群记为Spin(3,1)，同时也是通用覆盖群。这是同构于SL(2, C)的。SL(2, C)就是单连通的了。SL(2, C)和SOe(3,1)是2对1的同态。这很像SO(3)和SU(2)之间的关系。这中间有很多技术问题我都略去了，因为我也不 懂。
SL(2, C)的有限维线性复表示可标记为(m/2, n/2)，其中m和n是非负整数。当m或n是奇数时，称为旋量表示。旋量表示并不是SOe(3,1)的表示，比如说从单位元开始，绕z轴0转到2pi，SOe(3,1)的“旋量表示”并不变回去，而是差一个符号。要转过4pi才回去。但物理学家管这个叫双值表示，似乎更恰当的名称是射影(projective)表示。按照Weinberg在他的QTF vol 1 chap 2中的说法，射影表示是
U(g) U(h) = exp(i φ(g, h)) U(g h)
其中φ(g, h)是个实数。射影表示是差一个相位的表示。比如说SU(2)的旋量表示，就是SO(3)的双值表示，这似乎正是射影表示。
这中间有很多技术问题我都略去了，因为我也不懂。
Dirac旋量就是(1/2, 0)⊕(0, 1/2)的表示。这个在刘川老师的量子场论讲义，或者是Peskin and Schroeder等教材中都讲了。
我来提一些问题：下面假设我都用Weyl基或chiral基。
0. SU(2) 和 SL(2, C) 是什么关系？
1. so(3,1)的复化同构于sl(2, C)⊕sl(2, C)，为什么SOe(3,1)反而会被SL(2, C)盖住？
2. 所谓左手旋量和右手旋量，是不是分别对应(1/2, 0)和(0, 1/2)表示？它们对应的是表示（线性变换），而不是表示空间中的向量吗？
3. 这个表示是可约的，但为什么Dirac方程是耦合的，它会把左手旋量和右手旋量混合起来？
4. 如果第一问中，这些旋量对应的是线性变换，为什么它们不像别的线性变换那样写成矩阵的样子，而是写成两个数的样子？
5. 为什么不会把两个旋量加起来？如果他们是线性变换，似乎确实不能加起来，因为群元素只有乘法，群元素不会加起来。
6. 为什么两个旋量按照那个ψ† γ0 ψ的规则乘起来就成了“标量”？我自己去计算了一下，确实它会把左手旋量和右手旋量的分量混合地乘起来，并且还是一个实数。但我不理解为什么要这么凑起来。同样，为什么 ψ† γ0 γ0 γμ ψ 就成了一个像向量一样的东西？这些都可以验证出来，但是我不清楚这是为什么。
先这样。感谢你的阅读，如果你能回答，更加感激不尽！！
--
楼下补充了一个问题. 请ctrl + f "再问一个问题"
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SOe(3,1)不是单连通的，它的覆盖群记为Spin(3,1)，同时也是通用覆盖群。这是同构于SL(2, C)的。SL(2, C)就是单连通的了。SL(2, C)和SOe(3,1)是2对1的同态。这很像SO(3)和SU(2)之间的关系。这中间有很多技术问题我都略去了，因为我也不 懂。
SL(2, C)的有限维线性复表示可标记为(m/2, n/2)，其中m和n是非负整数。当m或n是奇数时，称为旋量表示。旋量表示并不是SOe(3,1)的表示，比如说从单位元开始，绕z轴0转到2pi，SOe(3,1)的“旋量表示”并不变回去，而是差一个符号。要转过4pi才回去。但物理学家管这个叫双值表示，似乎更恰当的名称是射影(projective)表示。按照Weinberg在他的QTF vol 1 chap 2中的说法，射影表示是
U(g) U(h) = exp(i φ(g, h)) U(g h)
其中φ(g, h)是个实数。射影表示是差一个相位的表示。比如说SU(2)的旋量表示，就是SO(3)的双值表示，这似乎正是射影表示。
这中间有很多技术问题我都略去了，因为我也不懂。
Dirac旋量就是(1/2, 0)⊕(0, 1/2)的表示。这个在刘川老师的量子场论讲义，或者是Peskin and Schroeder等教材中都讲了。
我来提一些问题：下面假设我都用Weyl基或chiral基。
0. SU(2) 和 SL(2, C) 是什么关系？
1. so(3,1)的复化同构于sl(2, C)⊕sl(2, C)，为什么SOe(3,1)反而会被SL(2, C)盖住？
2. 所谓左手旋量和右手旋量，是不是分别对应(1/2, 0)和(0, 1/2)表示？它们对应的是表示（线性变换），而不是表示空间中的向量吗？
3. 这个表示是可约的，但为什么Dirac方程是耦合的，它会把左手旋量和右手旋量混合起来？
4. 如果第一问中，这些旋量对应的是线性变换，为什么它们不像别的线性变换那样写成矩阵的样子，而是写成两个数的样子？
5. 为什么不会把两个旋量加起来？如果他们是线性变换，似乎确实不能加起来，因为群元素只有乘法，群元素不会加起来。
6. 为什么两个旋量按照那个ψ† γ0 ψ的规则乘起来就成了“标量”？我自己去计算了一下，确实它会把左手旋量和右手旋量的分量混合地乘起来，并且还是一个实数。但我不理解为什么要这么凑起来。同样，为什么 ψ† γ0 γ0 γμ ψ 就成了一个像向量一样的东西？这些都可以验证出来，但是我不清楚这是为什么。
先这样。感谢你的阅读，如果你能回答，更加感激不尽！！
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![[已注销]](http://img3.douban.com/icon/u2628491-65.jpg)
希望下面的东西里面没有错误，有点久了。[已注销] (永远效忠女王兔兔) 2013-06-28 14:11:32
0 两个不同的群，非要说的话，SU(2)是compact的，SL(2,C)不是。
1. 这个要想一想，忘记了。
2 是的，在weyl（？）表象下，dirac spinor写成四分量的话，上面两个是（1/2,0），下面两个是（0,1/2）。spinor对应的是表示空间的矢量，他们在洛伦兹变换(SL(2,c))下面的变化，分别遵循上面的两个表示
3 没有为什么呀，非要说的话，我觉得是为了能够构造一个parity守恒的拉矢量。记得，在parity变换下（1/2,0）和（0,1/2）是互换的，参见weinberg
4参见回答。
5 这里的加是直和。两个表示的直和，因此狄拉克表示不是不可约表示。
6 well确实是算出来的。不过，如果算一种解释的话，由于群是 non compact的，不存在unitary的表示，因此，不能直接用ψ† ψ构造标量，必须在在中间加入一个γ0 。
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cmp (const void*, const void*) 2013-06-28 14:12:27
希望下面的东西里面没有错误，有点久了。 0 两个不同的群，非要说的话，SU(2)是compact的，S 希望下面的东西里面没有错误，有点久了。 0 两个不同的群，非要说的话，SU(2)是compact的，SL(2,C)不是。 1. 这个要想一想，忘记了。 2 是的，在weyl（？）表象下，dirac spinor写成四分量的话，上面两个是（1/2,0），下面两个是（0,1/2）。spinor对应的是表示空间的矢量，他们在洛伦兹变换(SL(2,c))下面的变化，分别遵循上面的两个表示 3 没有为什么呀，非要说的话，我觉得是为了能够构造一个parity守恒的拉矢量。记得，在parity变换下（1/2,0）和（0,1/2）是互换的，参见weinberg 4参见回答。 5 这里的加是直和。两个表示的直和，因此狄拉克表示不是不可约表示。 6 well确实是算出来的。不过，如果算一种解释的话，由于群是 non compact的，不存在unitary的表示，因此，不能直接用ψ† ψ构造标量，必须在在中间加入一个γ0 。 ... [已注销]物理上旋量应该是不能加的？不然一个态上就有两个费米子了？并且我确实没有见过旋量相加啊。
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- 0. 我觉得仔细考察定义就会发现 SU(2)和SL(2,C) 是不同的群
K (我将死而又死，以体会生之无穷) 2013-06-28 14:56:51
1. 我很naive地想复数化以后参数空间维数是增加一倍的，而直和正好也是参数空间维数增加一倍，这刚好反而说明SL(2,C)和SO（3,1)参数空间维数是一样的，维数一样的参数空间就才可以谈覆盖的问题。这两件事情是非常自恰的。
2. 没啥问题
3. Parity守恒的必须要是两个表示的直和表示，因此才要用四分量。
4-5 没啥comment
6. 这跟相对论性的费米子度规有关系，这里的gamma_0相当于新的度规，既然要考虑标量是要考虑Hilbert space上的内积的，费米子内积的度规就是gamma_0。更深的原因我猜是电荷共轭的反幺正性，由于相对论性，洛伦兹变换粒子可以变换成反粒子，而且必须要包括反粒子的空间，但是dagger以后反粒子的表现我猜需要个负号来找回来。后面是瞎猜，不喜欢可以忽略。
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cmp (const void*, const void*) 2013-06-28 21:33:44
好多人讨论啊~~ K的解答0-5都挺好的，我补充下 1.那个叫代数同构，覆盖是拓扑性质，就好像S 好多人讨论啊~~ K的解答0-5都挺好的，我补充下 1.那个叫代数同构，覆盖是拓扑性质，就好像SO（3）的代数同构与SU（2）一样，但是拓扑上他们只是同态。 6.因为gamma矩阵是和lorentz群的表示相关，实际上旋量表示就是用gamma矩阵的组合作为生成元的，所以lorentz变换会对gamma矩阵产生变换。实际上，你可以把gamma矩阵作为一个标架来理解，这样就很自然了。 ... Tabrisgamma矩阵是什么空间里的标架呢?
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cmp (const void*, const void*) 2013-06-28 21:46:34
第一个，SU(2)是SL(2,C)的子群。第二个，sl(2,C)作为实李代数是六维，复化后是三维并等同于su(2, 第一个，SU(2)是SL(2,C)的子群。第二个，sl(2,C)作为实李代数是六维，复化后是三维并等同于su(2,c)。第三，旋量是指旋量表示空间里的向量，不指表示矩阵。第四，狄拉克方程混合两个手征可以由parity在这个四分量的形式下是不变的去理解。第五，旋量可以相加。第六，那几个量是标量还是矢量就是数学上的结果，可以作有限或者无穷小的变换去验证，没有特别的意义。 ... 一切经音义谢谢! 我想再问一个问题.
我们知道Dirac方程可以做非相对论近似, 得到Pauli方程, 其中的两分量旋量是四分量Dirac旋量的线性组合中的"大分量".
能不能从代数的角度出发, 得到Dirac旋量与原来, 由SU(2)表示得到的两分量旋量之间的关系呢?
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K (我将死而又死，以体会生之无穷) 2013-06-28 22:17:58
谢谢! 我想再问一个问题. 我们知道Dirac方程可以做非相对论近似, 得到Pauli方程, 其中的两分 谢谢! 我想再问一个问题. 我们知道Dirac方程可以做非相对论近似, 得到Pauli方程, 其中的两分量旋量是四分量Dirac旋量的线性组合中的"大分量". 能不能从代数的角度出发, 得到Dirac旋量与原来, 由SU(2)表示得到的两分量旋量之间的关系呢? ... cmp你可以参考A.Zee书，当Dirac方程在静止系中动量为0，只有质量项的时候，Dirac方程是(gamma_0-1) psi=0，即1/2 (1-gamma_0) psi=0，而前面的矩阵正好是一个投影倒(gamm_0-1)本征值为1的空间投影算符，所以此时波函数振幅不为0的分量只有两个，这个子空间就是非相对论性理论自旋的子空间，低速时候，近似有在这个子空间的SU(2)对称性，其他子空间振幅很小。Dirac spinor是一个洛伦兹群四维的可约表示，满足Dirac方程后，Dirac方程把物理的自由度投影到了2维，这就是电子真正的physical自由度，在低速下，这两个physical自由度可以用su（2）自旋表示。
不知道什么样算是代数，但是我觉得这个问题其实只用简单的想法想就可以。
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cmp (const void*, const void*) 2013-06-30 11:37:45
你可以参考A.Zee书，当Dirac方程在静止系中动量为0，只有质量项的时候，Dirac方程是(gamma_0-1) 你可以参考A.Zee书，当Dirac方程在静止系中动量为0，只有质量项的时候，Dirac方程是(gamma_0-1) psi=0，即1/2 (1-gamma_0) psi=0，而前面的矩阵正好是一个投影倒(gamm_0-1)本征值为1的空间投影算符，所以此时波函数振幅不为0的分量只有两个，这个子空间就是非相对论性理论自旋的子空间，低速时候，近似有在这个子空间的SU(2)对称性，其他子空间振幅很小。Dirac spinor是一个洛伦兹群四维的可约表示，满足Dirac方程后，Dirac方程把物理的自由度投影到了2维，这就是电子真正的physical自由度，在低速下，这两个physical自由度可以用su（2）自旋表示。 不知道什么样算是代数，但是我觉得这个问题其实只用简单的想法想就可以。 ... K我从动力学方程的非相对论近似出发（见楼上），得到的结果和你的略有不同…有空我再研究一下。
我记得是你把poincare代数里面那个质量m趋于无穷大, 就会有一些operators脱藕...然后旋量表示就会变化, pauli的那些就应该能弄出来Loliphilia (Rock everything in dynamics) 2013-06-30 21:52:19
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一切经音义 (所巾) 2013-07-04 18:14:38
谢谢! 我想再问一个问题. 我们知道Dirac方程可以做非相对论近似, 得到Pauli方程, 其中的两分 谢谢! 我想再问一个问题. 我们知道Dirac方程可以做非相对论近似, 得到Pauli方程, 其中的两分量旋量是四分量Dirac旋量的线性组合中的"大分量". 能不能从代数的角度出发, 得到Dirac旋量与原来, 由SU(2)表示得到的两分量旋量之间的关系呢? ... cmp两个SL（2，C）指数上那个boost部分跟beta成正比，这个beta正比于1/c，因此非相时这一项忽略不计就是1，boost部分只对相对论修正有贡献效应，洛仑兹群去掉boost那不就是su(2)了吗。至于轨道部分也就是波函数里的时空变量则是成了对x t的伽利略变换，这里之所以保留了v是因为v/c 跟ct两个c抵消了。
上面所说的狄拉克方程的解的上面或者下面或者组合是小量跟这个其实并不是一回事，管你消不消掉Sl（2，C）变换的非相近似实际上就是把boost部分的参数视为小量而舍弃，因此肯定是退化成SU(2)的。
关于相对论，洛伦兹群里面的lorentz boost到底是什...
来自: A·Babilonia 2014-02-16 04:58:58
| 标题：关于相对论，洛伦兹群里面的lorentz boost到底是什么东西 | ||
还有那个洛伦兹rotation是什么
最后一个，为什么洛伦兹变换可以用双曲函数来表示？
哪个好心点的大神帮忙推导一下
最后一个，为什么洛伦兹变换可以用双曲函数来表示？
哪个好心点的大神帮忙推导一下
最赞回应
Lorentz变换是转动变换的扩展。vampireking 2014-02-16 15:48:51
3维空间独立的转动变换有3个，每一个都是在从(x,y,z) 坐标中任取两个坐标组成的平面内的转动，也就是C_3^2=3。
对于4维时空，独立的转动数目为 C_4^2=6，多出来的三个转动分别在 (t,x) (t,y) (t,z)平面内进行，这3个转动叫做沿着三个方向的Lorentz boost(增速)变换。
又因为时间轴特殊，如果要和3维时候的转动一致，那么坐标应该写为 (i t, x, y, z)，对应的转动角度变成纯虚的角度，sin(i Y)=-i sinh(Y), cos(i Y)=cosh(Y), 这样3维空间转动涉及的正弦余弦变成了双曲正弦余弦函数。
3维空间中在同一平面内转动两次theta_1, theta_2，等价于转动 theta_1 + theta_2 角度。
对应的，同一个方向增速变换 Y_1, Y_2, 等价于增速变换 Y_1+Y_2。
用快度表示的Lorentz boost 变换，比用速度表示的变换要简单的多，原因就在于此。
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cmp (const void*, const void*) 2014-02-16 17:49:22
Lorentz变换是转动变换的扩展。 3维空间独立的转动变换有3个，每一个都是在从(x,y,z) 坐标中 Lorentz变换是转动变换的扩展。 3维空间独立的转动变换有3个，每一个都是在从(x,y,z) 坐标中任取两个坐标组成的平面内的转动，也就是C_3^2=3。 对于4维时空，独立的转动数目为 C_4^2=6，多出来的三个转动分别在 (t,x) (t,y) (t,z)平面内进行，这3个转动叫做沿着三个方向的Lorentz boost(增速)变换。 又因为时间轴特殊，如果要和3维时候的转动一致，那么坐标应该写为 (i t, x, y, z)，对应的转动角度变成纯虚的角度，sin(i Y)=-i sinh(Y), cos(i Y)=cosh(Y), 这样3维空间转动涉及的正弦余弦变成了双曲正弦余弦函数。 3维空间中在同一平面内转动两次theta_1, theta_2，等价于转动 theta_1 + theta_2 角度。 对应的，同一个方向增速变换 Y_1, Y_2, 等价于增速变换 Y_1+Y_2。 用快度表示的Lorentz boost 变换，比用速度表示的变换要简单的多，原因就在于此。 ... vampireking那如果不用虚数，而用向量和对偶向量，又怎么解释呢？
参考
http://www.douban.com/group/topic/471922 11/
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据说是这样的。虚空深处的小喵 (喵) 2014-02-16 20:29:41
一个矢量场会有积分曲线，把点沿着先移动就可以看成一个变换，如果每一个点都制定一种变换方式，就出一个映射。可以用一个参数来表示沿线以多少，每一个参数对应着一个变换，堆在一起就形成了群。在微分几何里面就是一个单参微分同胚群（或者他的局部群）。
微分同胚映射可以很特殊。如果这个映射诱导出的推前映射使得度规张量不变的话，那么就称一个等度规映射。如果一个矢量场诱导出的单参微分同胚群的每一个群元都是等度规的，那么这个矢量场称为killing vector field。
如果说空间是Minkowski的话，那么其中有一种等度规映射所对应的killing vector field是
x(偏/偏t)^a+t(偏/偏x)^a
这种等度规就称为boost。
至于双曲，是因为前面说了矢量场诱导出的微分同胚映射实际上就是沿线移动一下，所以要把它的积分曲线求出来。这个实际上就相当于解微分方程，就是：
dx/ds = t, dt/ds = x(s是曲线的参数）
然后解出来就是
x = a ch(s)+b sh(s),t = a sh(s) + b ch (s)
接下来就是映射作用到点上，把它“往前移动一个n”，对应的坐标就是：
x' = a ch(s+n) + b sh(s+n), t' =a sh(s+n) + b ch(s+n)
然后用双曲的性质一堆化简：
x' = x ch(n) + t sh(n), t' = t ch(n) + x sh(n)
然后另 gamma = ch(n), v = sh(n)（改个记号方便看）
x' = gamma(x+vt), t' = gamma (t+vx)
然后就是洛伦茨变换了（只不过是用了几何单位制，光速全变1没有了，Lz自行补上就更明显了。。。。）
更加详细的可以看梁老师的那本微分几何和广义相对论
单参微分同胚群在第2章，讲boost在第四章
亲们我真的不是故意不用tex的。。。
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虚空深处的小喵 (喵) 2014-02-16 22:47:03
据说是这样的。 一个矢量场会有积分曲线，把点沿着先移动就可以看成一个变换，如果每一个点都 据说是这样的。 一个矢量场会有积分曲线，把点沿着先移动就可以看成一个变换，如果每一个点都制定一种变换方式，就出一个映射。可以用一个参数来表示沿线以多少，每一个参数对应着一个变换，堆在一起就形成了群。在微分几何里面就是一个单参微分同胚群（或者他的局部群）。 微分同胚映射可以很特殊。如果这个映射诱导出的推前映射使得度规张量不变的话，那么就称一个等度规映射。如果一个矢量场诱导出的单参微分同胚群的每一个群元都是等度规的，那么这个矢量场称为killing vector field。 如果说空间是Minkowski的话，那么其中有一种等度规映射所对应的killing vector field是 x(偏/偏t)^a+t(偏/偏x)^a 这种等度规就称为boost。 至于双曲，是因为前面说了矢量场诱导出的微分同胚映射实际上就是沿线移动一下，所以要把它的积分曲线求出来。这个实际上就相当于解微分方程，就是： dx/ds = t, dt/ds = x(s是曲线的参数） 然后解出来就是 x = a ch(s)+b sh(s),t = a sh(s) + b ch (s) 接下来就是映射作用到点上，把它“往前移动一个n”，对应的坐标就是： x' = a ch(s+n) + b sh(s+n), t' =a sh(s+n) + b ch(s+n) 然后用双曲的性质一堆化简： x' = x ch(n) + t sh(n), t' = t ch(n) + x sh(n) 然后另 gamma = ch(n), v = sh(n)（改个记号方便看） x' = gamma(x+vt), t' = gamma (t+vx) 然后就是洛伦茨变换了（只不过是用了几何单位制，光速全变1没有了，Lz自行补上就更明显了。。。。） 更加详细的可以看梁老师的那本微分几何和广义相对论 单参微分同胚群在第2章，讲boost在第四章 亲们我真的不是故意不用tex的。。。 ... 虚空深处的小喵手残打错了，应该是v＝th(n)。。。
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