学过量子力学的读者可能会进一步问： 如果一个量子体系的基态是简并的， 那么体系的物理基态难道不应该是这些简并态的某种量子叠加吗？ 这种量子叠加——如我们在量子力学中所见到的——往往不仅会破除原有的基态简并性， 并且使真正的基态具有与原先简并基态的集合相同的对称性。 在这种情况下， 对称性自发破缺岂不是不存在了？ 这是一个非常好的问题， 答案是： 对于有限体系来说情况确实会如此 (除非有什么原因——比如对称性——禁止简并基态间的相互耦合)。 但在量子场论中通常假定体系的空间体积趋于无穷， 这时不同真空态之间的相互耦合趋于零， 严格的对称性自发破缺只发生在这种情形下。
"，解释各种符号时的自由度变小了。量子电动力学和量子色动力学的方程形成了一个封闭的逻辑体系：它们告诉你什么样的物体会出现，同时能预先规范它们的行为，它们支配着你的测量设备，和你本身"
[PDF]公式中的力从哪来？ Frank Wilczek - 中国科学院物理研究所
[PDF]质量的起源 - 卢昌海个人主页
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2009年6月3日 - 质量的起源. (http://www.changhai.org/ articles/science/physics/origin_of_mass/). 考虑到本人今后仍有可能对上述文章进行修订(增加注释、 纠正 ...
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质量的起源(一)
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质量的起源——作者弗朗克·韦尔切克（Frank Wilczek） 谢国芳 ...
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聊点我关心的物理----- 质量起源机制简介（科普版）_物理吧_ ...
tieba.baidu.com/p/978120696
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上帝粒子与质量起源之谜| 死理性派小组| 果壳网科技有意思
www.guokr.com/post/520898/
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科学网—静质量的起源- 田云川的博文 - 科学网—博客
blog.sciencenet.cn/blog-531273-801391.html
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质量的起源到底是希格斯凝聚还是夸克禁闭？ - 物理学- 知乎
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TeV物理新时代：探索质量起源和新物理规律[《科学》杂志]
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质量的起源 (一)
物理学是一门试图在最基本的层次上理解自然的古老科学， 她的早期曾经是哲学的一部分。 在那个时期， 物理学所关心的是一些有关世界本原的问题。 那些问题看似朴素， 却极为困难。 在后来的漫长岁月里， 物理学曾经一次次地回到那些问题上来， 就像远行的水手一次次地回望灯塔。 “质量的起源” 便是一个有关世界本原的问题。
我们首先来界定一下所要讨论的质量究竟是什么东西的质量。 这在以前是不言而喻的， 现在的情况却有了变化， 因此有必要加以界定。 众所周知， 过去十年里观测宇宙学所取得的一个令人瞩目的成就， 就是以较高的精度测定了宇宙物质的组成， 从而使我们在宇宙学的历史上第一次可以谈论所谓的 “精密宇宙学” (precision cosmology)。
按照这种 “精密宇宙学” 为我们绘出的图景， 在宇宙目前的能量密度中暗能量 (dark energy) 约占 68%， 暗物质 (dark matter) 约占 27%， 而我们熟悉的所谓 “可见物质” (visible matter) 或 “普通物质” (ordinary matter) 只占可怜兮兮的 5% (参阅拙作 宇宙学常数、超对称及膜宇宙论)。 在这些组成部分中， 对暗能量与暗物质的研究目前还处于很初级的阶段， 尚未建立起足够具体且有实验基础的理论。 因此本文对之不做讨论。
除去了暗能量与暗物质， 剩下的就是可见物质了。 可见物质在宇宙能量密度中所占的比例虽小， 却是我们所熟知的物质世界的主体。 可观测宇宙中数以千亿计的星系， 每个星系中数以千亿计的恒星， 以及某个不起眼的恒星附近第三颗行星上数十亿的灵长类生物， 全都包含在了这小小的 5% 的可见物质之中[注一]。
本文要讨论的便是这可见物质。
与 “暗” 字打头的其余 95% 的能量密度相比， 我们对可见物质的研究与了解无疑要深入得多。 今天几乎每一位中学生都知道， 这部分物质主要是由质子、 中子、 电子等粒子组成的。 因此很明显， 要讨论质量的起源， 归根到底是要讨论这些粒子的质量起源。
对几乎所有受过现代教育的人来说， 最早接触质量这一物理概念都是在牛顿力学中。 在牛顿力学中， 质量是决定物体惯性和引力的基本物理量， 是一个不可约 (irreducible) 的概念。 我们知道， 在大约两百年的时间里， 牛顿力学被认为是描述物理世界的基本框架， 这就是所谓的机械观 (mechanical worldview)。 在那段时间里， 物理学家们曾经试图把物理学的各个分支尽可能地约化为力学。 很显然， 在那样一个以机械观为主导的时期里， 质量既然是力学中的不可约概念， 自然也就成为了整个物理学中的不可约概念。 不可约概念顾名思义， 就是不需要也不能够约化为更基本的概念的， 因此有关质量起源的研究在那个时期是基本不存在的[注二]。
但是到了 19 世纪末的时候， 试图把物理学的各个分支约化为力学的努力遭到了很大的挫折。 这种挫折首先来自于电磁理论。 大家知道， 电磁理论预言了电磁波。 按照机械观， 波的传播必然有相应的介质。 但电磁波是在什么介质中传播的呢？ 却是谁也不知道。 尽管如此， 物理学家们还是按照机械观的思路假设了这种介质的存在， 并称之为 “以太” (aether)。 但不幸的是， 所有试图为以太构筑机械模型的努力全都在实验面前遭遇了滑铁卢。 在那段最终催生了狭义相对论的物理学阵痛期里， 许多物理学家艰难地试图调和着实验与机械以太模型之间的矛盾。 但与那些挽救机械观的努力同时， 一种与机械观截然相反的思路也萌发了起来， 那便是电磁观 (electromagnetic worldview)。 电磁观的思路是： 物理学上并没有什么先验的理由要求我们用力学的框架来描述自然， 机械观的产生只不过是因为力学在很长一个时期里是发展最为成熟的物理学分支而已， 现在电磁理论也发展到了不亚于力学的成熟程度， 既然无法把电磁理论约化为力学， 那何不反过来把力学约化为电磁理论呢？
要想把力学约化为电磁理论， 一个很关键的步骤就是把力学中的不可约概念——质量——约化为电磁概念， 这是物理学家们研究质量起源的第一种定量尝试。 由于当时对物质的微观结构还知之甚少， 1897 年由 Joseph John Thomson (1856-1940) 所发现的电子是当时所知的唯一的基本粒子， 因此将质量约化为电磁概念的努力就集中体现在了对电子的研究上， 由此产生了物理史上昙花一现的经典电子论 (classical electron theory)。
经典电子论最著名的人物是荷兰物理学家 Hendrik Lorentz (1853-1928)， 他是一位经典物理学的大师。 在相对论诞生之前的那几年里， Lorentz 虽已年届半百， 却依然才思敏捷。 1904 年， Lorentz 发表了一篇题为 “任意亚光速运动系统中的电磁现象” (Electromagnetic Phenomena in a System Moving with Any Velocity Less than that of Light) 的文章。 在这篇文章中他运用自己此前几年在研究运动系统的电磁理论时所提出的包括长度收缩 (length contraction)、 局域时间 (local time) 在内的一系列假设， 计算了具有均匀面电荷分布的运动电子的电磁动量， 由此得到电子的横质量 mT 与纵质量 mL 分别为 (这里用的是 Gauss 单位制)[注三]：
mT = (2/3)(e2/Rc2)γ； mL = (2/3)(e2/Rc2)γ3
其中 e 为电子的电荷， R 为电子在静止参照系中的半径， c 为光速， γ=(1-v2/c2)-1/2。 撇开系数不论， Lorentz 这两个结果所包含的质量与速度的关系与后来的狭义相对论完全相同。
但 Lorentz 的文章刚一发表就遭到了经典电子论的另一位主要人物 Max Abraham (1875-1922) 的批评。 Abraham 指出， 质量除了象 Lorentz 那样通过动量来定义， 还应该可以通过能量来定义。 比方说纵质量可以定义为 mL=(1/v)(dE/dv)[注四]。 但简单的计算表明， 用这种方法得到的质量与 Lorentz 的结果完全不同。 这说明 Lorentz 的电子论是有缺陷的。 那么缺陷在哪里呢？ Abraham 认为是 Lorentz 的计算忽略了为平衡电子内部各电荷元之间的相互排斥所必需的张力。 没有那样的张力， Lorentz 的电子会在各电荷元的相互排斥下土崩瓦解[注五]。 除 Abraham 外， 另一位经典物理学大师 Henri Poincaré (1854-1912) 也注意到了 Lorentz 电子论的这一问题。 Poincaré 与 Lorentz 是 Einstein 之前在定量结果上最接近狭义相对论的物理学家。 不过比较而言， Lorentz 的工作更为直接， 为了调和以太理论与实验的矛盾， 他提出了许多具体的假设， 而 Poincaré 往往是在从美学与哲学角度审视 Lorentz 及其他人的工作时对那些工作进行修饰及完善。 这也很符合这两人的特点， Lorentz 是一位第一流的工作型物理学家 (working physicist)， 而 Poincaré 既是第一流的数学及物理学家， 又是第一流的科学哲学家。 在 1904 至 1906 年间， Poincaré 亲自对 Lorentz 电子论进行了研究， 并定量地引进了为维持电荷平衡所需的张力， 这种张力因此而被称为了 Poincaré 张力 (Poincaré stress)。 在 Poincaré 工作的基础上， 1911 年 (即在 Einstein 与 Minkowski 建立了狭义相对论的数学框架之后)， 德国物理学家 Max von Laue (1879-1960) 证明了带有 Poincaré 张力的电子的能量动量具有正确的 Lorentz 变换规律。
下面我们用现代语言来简单叙述一下经典电子论有关电子结构的这些主要结果。 按照狭义相对论中最常用的约定， 我们引进两个惯性参照系： S 与 S'， S' 相对于 S 沿 x 轴以速度 v 运动。 假定电子在 S 系中静止， 则在 S' 系中电子的动量为：
p'μ = ∫t'=0T'0μ(x'ξ)d3x' = L0αLμβ∫Tαβ(xξ)d3x'
其中 T 为电子的总能量动量张量， L 为 Lorentz 变换矩阵。 由于 S 系中 Tαβ 与 t 无关， 考虑到：
∫Tαβ(xξ)d3x' = ∫Tαβ(γx', y', z')d3x' = γ-1∫Tαβ(xξ)d3x
上式可改写为：
p'μ = γ-1L0αLμβ∫Tαβ(xξ)d3x
由此得到电子的能量与动量分别为 (有兴趣的读者可试着自行证明一下)：
E = p'0 = γm + γ-1L0iL0j∫Tij(xξ)d3x
p = p'1 = γvm + γ-1L0iL1j∫Tij(xξ)d3x
这里 i, j 的取值范围为空间指标 1, 2, 3， m=∫T00(xξ)d3x， 为了简化结果， 我们取 c=1。 显然， 由这两个式子的第一项所给出的能量动量是狭义相对论所需要的， 而 Lorentz 电子论的问题就在于当 Tμν 只包含纯电磁能量动量张量 TEMμν 时这两个式子的第二项非零[注六]。
那么 Poincaré 张力为什么能避免 Lorentz 电子论的这一问题呢？ 关键在于引进 Poincaré 张力后电子才成为一个满足力密度 fμ=∂νTμν=0 的孤立平衡体系。 在电子静止系 S 中 Tμν 不含时间， 因此 ∂jTij=0。 由此可以得到一个很有用的关系式 (请读者自行证明)： ∂k(Tikxj)=Tij。 对这个式子做体积分， 注意到左边的积分为零， 便可得到：
∫Tij(xξ)d3x =0
这个结果被称为 von Laue 定理 (von Laue's theorem)， 它表明我们上面给出的电子能量动量表达式中的第二项为零。 因此 Poincaré 张力的引进非常漂亮地保证了电子能量动量的协变性。
至此， 经过 Lorentz， Poincaré， Laue 等人的工作， 经典电子论似乎达到了一个颇为优美的境界， 既维持了电子的稳定性， 又满足了能量动量的协变性。 但事实上， 在这一系列工作完成时经典电子论对电子结构的描述已经处在了一个看似完善， 实则没落的境地。 这其中的一个原因便是那个 “非常漂亮地” 保证了电子能量动量协变性的 Poincaré 张力。 这个张力究竟是什么？ 我们几乎一无所知。 更糟糕的是， 若真的完全一无所知倒也罢了， 我们却偏偏还知道一点， 那就是 Poincaré 张力必须是非电磁起源的 (因为它的作用是抗衡电磁相互作用)， 而这恰恰是对电磁观的一个沉重打击。 就这样， 试图把质量约化为纯电磁概念的努力由于必须引进非电磁起源的 Poincaré 张力而化为了泡影。 但这对于很快到来的经典电子论及电磁观的整体没落来说还只是一个很次要的原因。
- 当然， 这一说法并不严格， 在星系所占据的空间范围内也有数量可观的暗物质及暗能量， 我们这里指的只是光学观测意义上的星系。
- 这里有一个著名的例外是 Ernst Mach (1838-1916)， 他对 Newton 绝对时空观的批判性思考启示了这样一种观念， 那就是一个物体的质量 (惯性) 起源于宇宙中其它星体的作用。 Mach 的想法曾对 Einstein 产生过影响， 并且直到现在还有一些物理学家在研究， 但它与广义相对论的定量结果及对惯性各向异性的测量结果并不相符。 因此我们不把它列为有关质量起源的具体理论。
- Lorentz 所用的质量定义是 m(dv/dt)=dp/dt， “横质量” 与 “纵质量” 分别对应于 v 与 dv/dt 垂直及平行这两种特殊情况。
- 当时还没有 Einstein 的质能关系式， Abraham 的这一关系式是一个简单的力学关系式， 读者不妨自行推导一下。
- 如上所述， Abraham 也是经典电子论的代表人物， 有读者可能会问， 他自己的电子模型又如何呢？ 与 Lorentz 不同， Abraham 所用的是一个绝对刚性的电子模型， 因此在他的模型中不需要引进对能量有贡献的张力。 他的模型一度曾被认为比 Lorentz 的模型更符合实验， 但那实验——即德国物理学家 Walter Kaufmann (1871-1947) 的实验——后来被证实是有缺陷的。
- 有兴趣的读者可以进一步证明这样一些结果： 1. 对于球对称均匀面电荷分布， ∫TEM00(xξ)d3x = (1/2)e2/R； 2. 对于任意球对称电荷分布， ∫TEMii(xξ)d3x = (1/3)∫TEM00(xξ)d3x； 3. 由 1 和 2 证明 Lorentz 有关 mT 与 mL 的公式； 4. 证实 Abraham 对 Lorentz 的批评， 即用 mL=(1/v)(dE/dv) 定义的质量与 Lorentz 的结果不同。
保证了电子能量动量协变性的 Poincaré 张力。 这个张力究竟是什么？ 我们几
乎一无所知。 更糟糕的是， 若真的完全一无所知倒也罢了， 我们却偏偏还知
道一点， 那就是 Poincaré 张力必须是非电磁起源的， 而这恰恰是对电磁观的
一种沉重打击。 就这样， 试图把质量约化为纯电磁概念的努力由于必须引进非
电磁起源的 Poincaré 张力而化为了泡影。 但这对于很快到来的经典电子论及
电磁观的整体没落来说还只是一个很次要的原因。
五. 量子电动力学
经典电子论的没落是物理学史上最富宿命色彩的事件。 这一宿命的由来是因为
电子发现得太晚， 而量子理论又出现得太早， 这就注定了夹在其间， 因 “电
子” 而始、 逢 “量子” 而终的经典电子论只能有一个昙花一现的命运8。 为
它陪葬而终还有建立在经典电动力学基础上的整个电磁观。
量子理论对经典物理学的冲击是全方位的， 足可写成一部壮丽的史诗。 就经典
电子论中有关电子结构的部分而言， 对这种冲击最简单的描述来自于不确定原
理。 如我们在上一节中看到的， 经典电子论给出的电子质量 - 除去一个与电
荷分布有关的数量级为 1 的因子 - 约为 e2/Rc2。 由此可以很容易地估算出
R~10-15 米 (感兴趣的读者请自行验证一下)。 这一数值被称为电子的经典半径。
但是从不确定原理的角度看， 对电子空间定位的精度只能达到电子的 Compton
波长 h/mc~R/α~10-12 米的量级 (其中 α≈1/137 为精细结构常数)， 把电子
视为经典电荷分布的做法只有在空间尺度远大于这一量级的情形下才适用。 由
于电子的经典半径远远小于这一尺度， 这表明经典电子论并不适用于描述电子
的结构。 建立在经典电子论基础上的电子质量计算也因此而失去了理论基础9。
但是经典电子论对电子质量的计算虽然随着量子理论的出现而丧失了理论基础，
那种计算所体现的自相互作用对电子质量产生贡献的思想却是合理的， 并在量
子理论中得到了保留。 这种贡献被称为电子自能。 在量子理论基础上对电子自
能的计算最早是由 I. Waller 于 1930 年在单电子 Dirac 理论的基础上给出
的， 结果随虚光子动量的平方而发散。 1934 年 V. Weisskopf (1908-2002) 计
算了 Dirac 空穴理论 (hole theory) 下的电子自能， 结果发现其发散速度比
Waller 给出的慢得多， 只随虚光子动量的对数而发散10。
按照现代量子场论， 相互作用对电子自能的贡献可以用对电子传播子产生贡献
的单粒子不可约图 (one-particle irreducible diagrams) 来描述， 其中主要
部分来自于由量子电动力学 (QED) 所描述的电磁自能， 而电磁自能中最简单的
贡献则来自于单圈图。 幸运的是， 由于量子电动力学的耦合常数在所有实验所
及的能区都很小， 因此这个最简单的单圈图的贡献在整个电子自能中占主要部
分11。
对这一单圈图的计算在任何一本量子场论教材中都有详细介绍， 其结果为
~ mln( /m) m δ α Λ ， 其中 m 为出现在量子电动力学 Lagrangian 中的电子质量
参数， 被称为裸质量， Λ 为虚光子动量的 cut-off。 如果我们把量子电动力
学的适用范围无限外推， 允许虚光子具有任意大的动量， 则 δm 将趋于无穷，
这便是自二十世纪三四十年代起困扰物理学界几十年之久的量子场论发散困难
的一个例子。
量子场论中的发散困难， 究其根本是由所谓的点粒子模型引起的。 这种发散具
有相当的普遍性， 不单单出现在量子场论中。 将经典电子论运用于点电子模型
同样会出现发散， 这一点从经典电子质量公式 m~e2/Rc2 中可以清楚地看到：
当电子半径 R 趋于零时质量 m 趋于无穷。 经典电子论通过引进电子的有限半
径 (从而放弃点粒子模型) 免除了这一发散， 但伴随而来的 Poincaré 张力、
电荷分布等概念却在很大程度上使电子丧失了基本粒子所应有的简单性12。 这种
简单性虽然没有先验的理由， 但毫无疑问是人们引进基本粒子这一概念时怀有
的一种美学上的期待， 正如 Dirac 所说： “电子太简单， 支配其结构的定律
根本不应该成为问题”。 经典电子论将质量约化为电磁概念的努力即便在其它
方面都成功了， 其意义也将由于引进电子半径这一额外参数及 Poincaré 张力、
电荷分布等额外假设而大为失色。 从这一角度上讲， 量子电动力学在概念约化
上比经典电子论显得更为彻底， 因为在量子电动力学的 Lagrangian 中不含任
何与基本粒子结构有关的几何参数。 基本粒子在量子场论中是以点粒子的形式
出现的， 虽然这并不意味着它们不具有唯象意义上的等效结构， 但所有那些结
构都是作为理论的结果而不是如经典电子论中那样作为额外假设而出现的， 这
是除与狭义相对论及量子理论同时兼容， 与实验高度相符之外， 建立在点粒子
模型基础上的量子场论又一个明显优于经典电子论的地方
所谓对称性自发破缺， 指的是这样一种情形： 即一个物理体系的 Lagrangian
具有某种对称性， 而基态却不具有该对称性。 换句话说体系的基态破缺了运动
方程所具有的对称性。 这种对称性自发破缺的概念最早出现在凝聚态物理中，
二十世纪六十年代被 Y. Nambu (1921–) 与 G. Jona-Lasinio (1932-) 引进到
量子场论中。 在量子场论中， 体系的基态是真空态， 因此对称性自发破缺表
现为体系 Lagrangian 所具有的对称性被真空态所破缺。
有的读者可能会问： 一个物理体系的真空态是由 Lagrangian 所确定的， 为什
么会不具有 Lagrangian 所具有的对称性呢？ 这其中的奥秘在于许多物理体系
具有简并的真空态， 如果我们把所有这些简并的真空态视为一个集合， 它的确
与 Lagrangian 具有同样的对称性。 但物理体系的实际真空态只是该集合中的
一个态， 这个态往往不具有整个集合所具有的对称性， 这就造成了对称性的破
缺， 也就是我们所说的对称性自发破缺16。
由上式可以看到， 每一个 Δa(φ)≠0 的连续对称变换都对应于 (∂2V/∂φa∂φb)
的一个本征值为零的本征态， 从而也就对应于一个无质量标量粒子。 而
Δa(φ)≠0 的连续对称变换所对应的正是那些不能使真空态不变 - 从而被真
空态所破缺 (即自发破缺) - 的连续对称性。 这就证明了每一个自发破缺的整
体连续对称性都必然伴随一个无质量标量粒子， 即 Goldstone 粒子。 这正是
Goldstone 定理 (请读者思考一下， Goldstone 定理中的 “整体” 二字体现
在证明的什么地方？)17。 由于自发破缺的整体连续对称性的数目等于这些对称
性的生成元数目， 因此 Goldstone 定理表明 Goldstone 粒子的数目等于自发
破缺的整体连续对称性的生成元数目。 举个例子来说， SU(2) 对称性具有三个
生成元， 若完全破缺， 就会产生三个 Goldstone 粒子； 若破缺为 U(1)， 则
只产生两个 Goldstone 粒子 (因为有一个生成元未破缺)。 进一步的分析还表
明， Goldstone 粒子与那些自发破缺的整体连续对称性所对应的荷 (请读者回
忆一下 Noether 定理) 具有相同的宇称及内禀量子数。
严格地讲， 上面的证明只是在所谓经典层次上的证明， 没有考虑量子修正。 那
么考虑了量子修正后， Goldstone 定理是否还成立呢？ 答案是肯定的， 而且
证明也基本一样， 只需用包含量子修正的所谓量子有效势 Veff 取代经典
Lagrangian 中的势函数 V 即可18。
由 Goldstone 等人证明的这一结果为什么会对把近似对称性归因于对称性自发
破缺的想法造成致命打击呢？ 原因很简单， 那就是近似对称性中有一些正是整
体连续对称性 (比如同位旋对称性)， 如果它们果真来源于对称性自发破缺的
话， 那就应该存在相应的无质量标量粒子。 但我们从未在实验上观测到任何这
样的粒子。 因此对称性自发破缺的想法在粒子物理学中由于牵涉到无质量粒子
而陷入了困境。
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