在点积运算中，第一个矢量投影到第二个矢量上（这里，矢量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。

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处理向量空间的徽积分用了两章= 第三章的微分和第六章的常微分方程基. 本理论. 此前的 ... 第五章包含了在内积空间中所遇到的额外结构的一个简短. 阐迷. 第七章 ...

在点积运算中，第一个矢量投影到第二个矢量上（这里，矢量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。

[转载]数量积（内积）

已有 1408 次阅读 2011-6-9 12:54 |系统分类:科研笔记

原文出处http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E9%87%8F%E7%A7%AF

数量积

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“内积”重定义至此，关于外代数上的内积，参见内乘。

在数学中，数量积（也称为标量积、点积、点乘或内积）是接受在实数R上的两个矢量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积
定义与例子 两个矢量a = [a₁, a₂,…, a_n]和b = [b₁, b₂,…, b_n]的点积定义为:
这里的Σ指示总和符号。
例如，两个三维矢量[1, 3, −5]和[4, −2, −1]的点积是
。 使用矩阵乘法并把（纵列）矢量当作n×1 矩阵，点积还可以写为:
， 这里的a^T指示矩阵a的转置。
使用上面的例子，将一个1×3矩阵（就是行矢量）乘以一个3×1矢量得到结果(通过矩阵乘法的优势得到1×1矩阵也就是标量):
。 几何解释

A·B = |A| |B| cos(θ). 

 

|A| cos(θ)是A到B的投影。

在欧几里得空间中，点积可以直观地定义为
, 这里 |x| 表示x的范数（长度），θ表示两个矢量之间的角度。
注意：点积的形式定义和这个定义不同；在形式定义中，a和b的夹角是通过上述等式定义的。
这样，两个互相垂直的矢量的点积总是零。若a和b都是单位矢量（长度为1），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两个矢量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：
这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个矢量投影到第二个矢量上（这里，矢量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。
需要注意的是，点积的几何解释通常只适用于 ()。在高维空间，其他的域或模中，点积只有一个定义，那就是
点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。
性质

• 点积满足交换律：

• 点积满足分配律:

• 点积是个双线性算子：

• 在乘以一个标量的时候点积满足:

(后两个性质从前两个得出)。
两个非零矢量a和b是垂直的，当且仅当a·b = 0。
如果b是单位矢量，则点积给出a在方向b上投影的大小，如果方向相反则带有负号。分解矢量对求矢量的和经常是有用的，比如在力学中计算合力。
不像普通数的乘法服从消去律，如果ab = ac，则b总是等于c除非a零。而对于点积:
如果a·b = a·c并且a ≠ 0: 则根据分配律可以得出: a· (b - c) = 0；进而: 如果a垂直于 (b - c)，则 (b - c) ≠ 0因而b ≠ c；否则b = c。  两种定义的等价性的证明 从定义
. 可以得到定理
为了证明后者是一个和前者等价的定义，需要证明后者也可以导出前者。
注意：这个证明采用三维矢量，但可以推广到n维的情形。
考虑矢量
. 重复使用勾股定理得到
. 而根据第二个定义
, 所以，矢量v和自身的点积就是其长度的平方。
引理1 现在，考虑两个从原点出发的矢量a和b，夹角θ。第三个矢量c定义为
, 构造以a，b，c为边的三角形，采用余弦定理，有
. 根据引理1，用点积代替矢量长度的平方，有
.                   （1） 同时，根据定义c ≡ a − b，有
, 根据分配律，得
.                       （2） 连接等式 （1）和 （2）有
. 简化等式即得
, Q.E.D.
 应用 物理学中力学的力做功的问题，经常用到点积计算。
计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。
矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一。