来自: A·Babilonia 2014-02-16 04:58:58
| 标题：关于相对论，洛伦兹群里面的lorentz boost到底是什么东西 | ||
还有那个洛伦兹rotation是什么
最后一个，为什么洛伦兹变换可以用双曲函数来表示？
哪个好心点的大神帮忙推导一下
最后一个，为什么洛伦兹变换可以用双曲函数来表示？
哪个好心点的大神帮忙推导一下
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Lorentz变换是转动变换的扩展。vampireking 2014-02-16 15:48:51
3维空间独立的转动变换有3个，每一个都是在从(x,y,z) 坐标中任取两个坐标组成的平面内的转动，也就是C_3^2=3。
对于4维时空，独立的转动数目为 C_4^2=6，多出来的三个转动分别在 (t,x) (t,y) (t,z)平面内进行，这3个转动叫做沿着三个方向的Lorentz boost(增速)变换。
又因为时间轴特殊，如果要和3维时候的转动一致，那么坐标应该写为 (i t, x, y, z)，对应的转动角度变成纯虚的角度，sin(i Y)=-i sinh(Y), cos(i Y)=cosh(Y), 这样3维空间转动涉及的正弦余弦变成了双曲正弦余弦函数。
3维空间中在同一平面内转动两次theta_1, theta_2，等价于转动 theta_1 + theta_2 角度。
对应的，同一个方向增速变换 Y_1, Y_2, 等价于增速变换 Y_1+Y_2。
用快度表示的Lorentz boost 变换，比用速度表示的变换要简单的多，原因就在于此。
cmp (const void*, const void*) 2014-02-16 17:49:22
Lorentz变换是转动变换的扩展。 3维空间独立的转动变换有3个，每一个都是在从(x,y,z) 坐标中 Lorentz变换是转动变换的扩展。 3维空间独立的转动变换有3个，每一个都是在从(x,y,z) 坐标中任取两个坐标组成的平面内的转动，也就是C_3^2=3。 对于4维时空，独立的转动数目为 C_4^2=6，多出来的三个转动分别在 (t,x) (t,y) (t,z)平面内进行，这3个转动叫做沿着三个方向的Lorentz boost(增速)变换。 又因为时间轴特殊，如果要和3维时候的转动一致，那么坐标应该写为 (i t, x, y, z)，对应的转动角度变成纯虚的角度，sin(i Y)=-i sinh(Y), cos(i Y)=cosh(Y), 这样3维空间转动涉及的正弦余弦变成了双曲正弦余弦函数。 3维空间中在同一平面内转动两次theta_1, theta_2，等价于转动 theta_1 + theta_2 角度。 对应的，同一个方向增速变换 Y_1, Y_2, 等价于增速变换 Y_1+Y_2。 用快度表示的Lorentz boost 变换，比用速度表示的变换要简单的多，原因就在于此。 ... vampireking那如果不用虚数，而用向量和对偶向量，又怎么解释呢？
参考
http://www.douban.com/group/topic/471922 11/
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据说是这样的。虚空深处的小喵 (喵) 2014-02-16 20:29:41
一个矢量场会有积分曲线，把点沿着先移动就可以看成一个变换，如果每一个点都制定一种变换方式，就出一个映射。可以用一个参数来表示沿线以多少，每一个参数对应着一个变换，堆在一起就形成了群。在微分几何里面就是一个单参微分同胚群（或者他的局部群）。
微分同胚映射可以很特殊。如果这个映射诱导出的推前映射使得度规张量不变的话，那么就称一个等度规映射。如果一个矢量场诱导出的单参微分同胚群的每一个群元都是等度规的，那么这个矢量场称为killing vector field。
如果说空间是Minkowski的话，那么其中有一种等度规映射所对应的killing vector field是
x(偏/偏t)^a+t(偏/偏x)^a
这种等度规就称为boost。
至于双曲，是因为前面说了矢量场诱导出的微分同胚映射实际上就是沿线移动一下，所以要把它的积分曲线求出来。这个实际上就相当于解微分方程，就是：
dx/ds = t, dt/ds = x(s是曲线的参数）
然后解出来就是
x = a ch(s)+b sh(s),t = a sh(s) + b ch (s)
接下来就是映射作用到点上，把它“往前移动一个n”，对应的坐标就是：
x' = a ch(s+n) + b sh(s+n), t' =a sh(s+n) + b ch(s+n)
然后用双曲的性质一堆化简：
x' = x ch(n) + t sh(n), t' = t ch(n) + x sh(n)
然后另 gamma = ch(n), v = sh(n)（改个记号方便看）
x' = gamma(x+vt), t' = gamma (t+vx)
然后就是洛伦茨变换了（只不过是用了几何单位制，光速全变1没有了，Lz自行补上就更明显了。。。。）
更加详细的可以看梁老师的那本微分几何和广义相对论
单参微分同胚群在第2章，讲boost在第四章
亲们我真的不是故意不用tex的。。。
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虚空深处的小喵 (喵) 2014-02-16 22:47:03
据说是这样的。 一个矢量场会有积分曲线，把点沿着先移动就可以看成一个变换，如果每一个点都 据说是这样的。 一个矢量场会有积分曲线，把点沿着先移动就可以看成一个变换，如果每一个点都制定一种变换方式，就出一个映射。可以用一个参数来表示沿线以多少，每一个参数对应着一个变换，堆在一起就形成了群。在微分几何里面就是一个单参微分同胚群（或者他的局部群）。 微分同胚映射可以很特殊。如果这个映射诱导出的推前映射使得度规张量不变的话，那么就称一个等度规映射。如果一个矢量场诱导出的单参微分同胚群的每一个群元都是等度规的，那么这个矢量场称为killing vector field。 如果说空间是Minkowski的话，那么其中有一种等度规映射所对应的killing vector field是 x(偏/偏t)^a+t(偏/偏x)^a 这种等度规就称为boost。 至于双曲，是因为前面说了矢量场诱导出的微分同胚映射实际上就是沿线移动一下，所以要把它的积分曲线求出来。这个实际上就相当于解微分方程，就是： dx/ds = t, dt/ds = x(s是曲线的参数） 然后解出来就是 x = a ch(s)+b sh(s),t = a sh(s) + b ch (s) 接下来就是映射作用到点上，把它“往前移动一个n”，对应的坐标就是： x' = a ch(s+n) + b sh(s+n), t' =a sh(s+n) + b ch(s+n) 然后用双曲的性质一堆化简： x' = x ch(n) + t sh(n), t' = t ch(n) + x sh(n) 然后另 gamma = ch(n), v = sh(n)（改个记号方便看） x' = gamma(x+vt), t' = gamma (t+vx) 然后就是洛伦茨变换了（只不过是用了几何单位制，光速全变1没有了，Lz自行补上就更明显了。。。。） 更加详细的可以看梁老师的那本微分几何和广义相对论 单参微分同胚群在第2章，讲boost在第四章 亲们我真的不是故意不用tex的。。。 ... 虚空深处的小喵手残打错了，应该是v＝th(n)。。。
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