矩阵分析引论_百度百科
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线性代数 - 第 342 頁 - Google 圖書結果
https://books.google.com.hk/books?isbn=7302055343 - 轉為繁體網頁
2002 - Algebras, Linear
... 3 中讨论复内积空间(酉空间) · A · I 实内积空间欧氏空间在线性空间的定义中,集合是抽象的,两种线性运算也是抽象的,运算由性质来约定·因此在抽象的线性空间中, ...矩阵分析引论_互动百科
www.baike.com/wiki/矩阵分析引论
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《矩阵分析引论》罗家洪，方卫东编著_简介_书评_在线阅读 ...
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矩阵分析引论（第五版）/工科研究生教材·数学系列
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三民網路書店>矩陣理論與方法導引（簡體書）-劉建州
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《工科研究生教材，数学系列•矩阵分析引论》 罗家洪, 方卫东 ...
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1矩阵论_在线阅读_第1页-文库大全
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基础数学（泛函）
1. Convex Optimization 附录 A 是个很简洁易懂的参考。
2. Machine learning and pattern recognition 的附录
3. latex project / MyMathNote
4. 小本笔记本
泛函
空间是点的集合。
1.1 距离空间
距离满足：
定义了距离的空间为距离空间或度量空间。
若集合 X 中的每个基本列都收敛，则称 X 为完备的距离空间。
1.1.1 开集、闭集
这些都是距离空间中就可以定义的。
内点：存在邻域在集合内
开集：所有点都是内点。
聚点：x_0 的所有邻域都包含集合中不同于 x_0 的点
导集：全体聚点的集合
闭包：集合及其导集的并
闭集：聚点都在集合内
开集三性质：
1.2 {线性空间}
规定了线性运算的空间为线性空间或向量空间。线性运算的系数域为实数或者复数域。
1.3{线性赋范空间，巴拿赫空间}
范数的性质：
定义了范数的线性空间称为线性赋范空间。由范数可诱导距离，因此线性赋范空间是距离空间，
完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。
1.4 {内积空间，希尔伯特空间}
内积的性质
内积有一个重要性质，Cauchy-Schwarz 不等式。
定义了内积的线性空间称为内积空间。
有限维实内积空间称为欧式空间。有限维复内积空间称为酉空间。
完备的内积空间称为希尔伯特空间。
内积可以诱导范数，内积空间为线性赋范空间，由柯西不等式可推导三角不等式。
内积空间的标准正交系。格兰-施密特方法。
完全的标准正交系：不存在非零元素，使它和所有 $e^n$ 正交。
1.4.1 {等距变换}
等距变换是在内积空间中定义的，并且是线性变换。
等距变换等价于保持向量的长度。特别的，对于欧式空间，还等价于保持内积。（对于内积空间，保持内积必定保持距离）
酉空间中等距变换对应酉矩阵。欧式空间中，等距变换对应正交矩阵。
R^n 上的 Lp norm (p >= 1)
L1 范数
L2
L\infty 最大绝对值
R^n 上的所有范数都是凸的。
凸函数的两个判定
1. 一阶
2. 二阶 hessian 矩阵为半正定，这是充分必要条件，hessian 对应该点处的曲率
定义：
The inequality is tight 指 >= 在某些情况下，会出现等式 =
同样的表述还有 tight bound
哪些常见的函数是凸的？
2. Machine learning and pattern recognition 的附录
3. latex project / MyMathNote
4. 小本笔记本
泛函
空间是点的集合。
1.1 距离空间
距离满足：
- 非负性
- 对称性
- 三角不等式
定义了距离的空间为距离空间或度量空间。
若集合 X 中的每个基本列都收敛，则称 X 为完备的距离空间。
1.1.1 开集、闭集
这些都是距离空间中就可以定义的。
内点：存在邻域在集合内
开集：所有点都是内点。
聚点：x_0 的所有邻域都包含集合中不同于 x_0 的点
导集：全体聚点的集合
闭包：集合及其导集的并
闭集：聚点都在集合内
开集三性质：
- 空集和全集是开集
- 任意并
- 有限交
1.2 {线性空间}
规定了线性运算的空间为线性空间或向量空间。线性运算的系数域为实数或者复数域。
1.3{线性赋范空间，巴拿赫空间}
范数的性质：
- 非负
- 标量积,||ax|| = |a|*||x||
- 三角不等式
定义了范数的线性空间称为线性赋范空间。由范数可诱导距离，因此线性赋范空间是距离空间，
完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。
1.4 {内积空间，希尔伯特空间}
内积的性质
- 对称共轭
- 首项线性
- 非负
内积有一个重要性质，Cauchy-Schwarz 不等式。
定义了内积的线性空间称为内积空间。
有限维实内积空间称为欧式空间。有限维复内积空间称为酉空间。
完备的内积空间称为希尔伯特空间。
内积可以诱导范数，内积空间为线性赋范空间，由柯西不等式可推导三角不等式。
内积空间的标准正交系。格兰-施密特方法。
完全的标准正交系：不存在非零元素，使它和所有 $e^n$ 正交。
1.4.1 {等距变换}
等距变换是在内积空间中定义的，并且是线性变换。
等距变换等价于保持向量的长度。特别的，对于欧式空间，还等价于保持内积。（对于内积空间，保持内积必定保持距离）
酉空间中等距变换对应酉矩阵。欧式空间中，等距变换对应正交矩阵。
R^n 上的 Lp norm (p >= 1)
L1 范数
L2
L\infty 最大绝对值
R^n 上的所有范数都是凸的。
问题：L0 范数 - 非零元素个数
1. L0 不是一个真正的范数，范数定义中 scaling 的性质就不满足。
1. L0 不是一个真正的范数，范数定义中 scaling 的性质就不满足。
2. L0 范数不是凸的。
x = (0,0) y=(1,1)
l0(x)=0, l0(y)=2, 0.5 l0(x)+0.5 l0(y)=1
l0(0.5 x+0.5 y)=2
x = (0,0) y=(1,1)
l0(x)=0, l0(y)=2, 0.5 l0(x)+0.5 l0(y)=1
l0(0.5 x+0.5 y)=2
凸函数的两个判定
1. 一阶
2. 二阶 hessian 矩阵为半正定，这是充分必要条件，hessian 对应该点处的曲率
定义：
The inequality is tight 指 >= 在某些情况下，会出现等式 =
同样的表述还有 tight bound
哪些常见的函数是凸的？
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