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-p_\mu p^\mu = E^2 - P^2. 跟薛定諤方式不同，每一個k在此都對應着兩個 \omega ，只有通過把頻率的正負部份分開，才能讓方程式描述到整個相對論形式的波函數。
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纪念徳布罗意
纪念徳布罗意
德布罗意的伟大，在于他敢想，他有一种从矛盾的事物中谋求统一的偏执。如果上帝和终极物理定律同时存在的话，
上帝一定会奖赏那个最敢想的人。
文：BO ZENG
(德布罗意物质波式例［0］）
在数百年来对物理世界的漫漫探索中，人们发现有一个很奇妙的事情，就是一种统一的，简单的理论，似乎总是存在的。一些简单的的，谋求融合的逻辑，似乎总能把你带往正确的地方。
在这个世界上，我们经常看到各种各样五彩斑斓的现象：热，电，磁，光，引力，放射性，运动等等，表面上看，它们千差万别，各自都有各自的一套规律，但其实这些“不同”的规律本身，又只是某个更高层次规律在不同条件下的展现。热就是分子的运动；磁就是电的相对论效应。光子就是电磁场［1］，从引力到放射性，任何尺度下的运动始终满足动量定律。在已有知识不断合并的过程中，我们也始终在发现新的东西：我们发现了统计力学；我们发现了电磁的场方程；我们发现了相对论；我们发现了波动力学和量子理论；他们的结合又让我们发现了场论，直到色动力学和弦（后者严格意义上说还不能是一种物理理论）。
作为这些理论揭示者的物理现象，早就在那，只是我们想的太慢。在宇宙这个物理定律的黑盒之中，我们从自身的直接经验出发，猜测，不断试错，才能不断的接近那个准确的“真理”。而伟大的猜测［2］，往往能给我们对规律的认识带来跨越性的进展。
伟大的猜测，背后往往都是简单的动机。
本篇主要介绍德布罗意对波动力学的伟大贡献。波动力学所蕴涵对物理的深邃洞见似乎已经被无处不在的量子力学成功所掩盖。然而1）非相对论量子力学中的薛定鄂方称，就是波动力学的直接产物。2）至今波粒2相性，仍然是一个量子力学无法解释的谜题。费曼说，要想了解当今量子力学最根本的困难，双缝干涉足矣［3］。
德布罗意所处的时代，风云变幻。普朗克提出了能量子的见解，解决了辐射的紫外灾难；爱因斯坦随即提出了光子的见解，成功解释了光电效应。注意，实验能给出具体的方向，但见解上的突破，本质上还是依赖合理猜测。能量的离散化，并不是完全不能理解，只是在人们的日常生活中，没有直接经验，所以要试错罢了。既然能量的离散化是合理，那么光作为辐射的一种，携带离散能量，作为所谓“光子”，也就顺其自然［4］。然而物理的量子化并未到此结束。普朗克解决的是辐射的量子化，爱因斯坦解释的也是辐射的量子化（E=hv），它们本质上是一件事。那么释放辐射的物质本身，是不是也是量子化的呢？
我们不知道德布罗意的出发点，是不是如本文作者所想的那样。但德布罗意锲而不舍的思考，让他发现首先注意到相对论和量子理论在粒子领域内在的一个重要“矛盾”。相对论和量子理论的统一，可以说是从德布罗意开始的［5］。
注意到爱因斯坦给出的相对论质能方程：
，
m为观察者参考系中物体的相对论质量。
又注意到量子化假设：
/miu为观察者参考系中，物体内秉“摆动”的频率（of whatsoever）。注意不要将其与速度v混淆。
因此应恒有：
现又假定物体按恒定速度v朝着某一方向运动，按狭义相对论质量膨胀，则有：
而因为狭义相对论的时延效应，物体内秉摆动的“周期”会延长，频率减小。频率的关系为：
一方面，能量的增加，要求我们提高内秉频率；另一方面，因为时延效应［6］，我们又必须降低内秉频率。如果相对论和量子理论同时成立的话，问题究竟出在哪里？
在德布罗意之前，（虽然只有不到10年的时间），从来没有人发现相对论和量子理论之间的矛盾。这是因为大自然给我们的第一任量子启示，辐射，本身就是相对论的［7］。既然量子理论和相对论最终都被证明物质上有效［8］，为什么它们却出现了互相抵触的矛盾呢？
这里我们不妨停一会，暂时想5分钟，之后看看和德布罗意的想法是否一样。
德布罗意凭借他大胆的猜测，用波的语境解决了这一矛盾［9］。然而不幸的是，这一段连接量子力学和波动场论的重要历史往往被各类物理教材所忽略。如今就让我们来揭开这一尘封多年的历史：
德布罗伊首先注意到，上述所求的2个频率，并非同一频率。就好比波动之中，存在相位速度和群速度一般。相位速度可远大于群速度，而它们的乘积固定。这一行为和上述2频率之间相反的变化相同。因此德布罗意假设，存在一列相位波，此波和粒子的内秉震动相对应。
后面我们将看到，这两个行为相反的频率，一个对应着波相位的时间偏微，一个对应着波相位的时间全微。
在粒子内部，此内秉震动表述为相位：
在观察者参考系中，由狭义相对论，我们有：
代入（5），转换该振动到观察者参考系中：
注意到，这个单纯的本地内秉振动，在运动之后，变成了观察者所看到的波动。波动频率为（令x=常数）：
恰为能量所要求之值。波动传播速度为 ：
传播速度大于光速，因此为相速度。
同样，对于这样一个由内秉振动引起的波动，因：
在观察者看来，又等价于一个频率为
的减速后振动源。这和内秉频率在观察者参考系中的频率减速一致。
至此，相对论和量子理论引发的频率疑难由德布罗意的相位波解决。德布罗意继续将其推广，得到足以统一光学费马定理和力学最小作用量的稳定条件表达式，此举奠定了波动力学之基础。德布罗意远不仅是凭借父权勉强毕业的花花公子，其在物理上远见卓识让人敬佩。
既然粒子携带波（内秉振动），产生波动，分析此相位波的群速度：
由（6）：
群速度为：
由此，粒子所产生相位波的群速度就是粒子的运动速度。粒子本身则可被看作这一相位波的包络组成。诚如光子中电磁场包络一般［10］。
进一步的，我们可以把粒子的动量和相位波的波长联系起来
这样，相位波的频率和波长，和粒子的能量与动量完整联系起来。相位波的群速度，即为粒子的实际速度。因此相位波的包络，即表征粒子的位置［11］。
我们得到了德布罗意最为著名的公式：
这样的相位波称作德布罗意波，波长称为粒子的德布罗意波长。我们需要注意的是，德布罗意的波动理论，完全是量子力学和相对论结合的产物，其自然暗含了相对论和量子力学的双重特性。德布罗意能拥有这样大胆包容性的见解，在相对论诞生不到20年的时代，不能不让人惊叹。
由此关系，不难证明费马定理和最小作用量定理的等价性：
其等价性由（7）显然。
德布罗意更进一步用他的理论解释了当时困扰物理界的氢原子电子能级量子化稳定条件（Bohr-Sommerfeld 量子化定理）也即，氢原子电子的角动量必须是整数。显然，在一个封闭的轨迹上，波动应该满足单值性，周期不变性导致了波尔谜一样的量子条件。
德布罗意晚年的贡献还有：
光的中微子理论，光子和中微子的非零质量（虽然极小）结论，和隐藏热力学理论（即，体系的运动和热力学定律相关。德布罗意认为所有的力学都来源于热力学，打算统一力学和热力学）。
德布罗意的波动学说问世不久，关于电子的干涉条纹即得到实验物理学家验证。
1929年，德布罗意凭借他的粒子波动学说获得了当年的诺贝尔物理学奖。
德布罗意将粒子和波动，费马定理和最小作用原理结合所展现出来无畏而又严谨的想像，包括他将热力学和力学，光子和中微子相统一，却并未成功的努力，将永远的激励追寻大统一物理最终理解的人们。如果真的有最终物理和上帝，上帝会奖赏你。
－－－－
［0］http://www.davis-inc.com/physics/phasewav.gif 。由于作者能力和篇幅有限，本文无法完成帮助读者理解波粒2相性的任务。物质波和光波的统一需要读者自己反复思索体会方能成。
［1］一种尚不清楚的表现形式。
［2］和伟大的实验同样重要。任何理论都需要受到实验的证明。理论的缺陷也一般最主要由实验发现。实验是人与自然最直接的接触。
［3］在双缝实验中，一个惊人的事实是，一旦测量者知道光子沿着哪一个缝传播的具体信息，双缝条纹立即消失，这和测量仪器的干扰无关，只与测量者的“knowledge”有关。最近的实验结果验证了这一点，见quantum eraser（搜索wikipedia）。
［4］读者读到此处，是否会自然联想，既然能量是离散的，组成自然界的实体物质也具备能量，那么物质是不是也应该以一种离散的形式出现呢？读者如果能这样想，那也就算是走上了理论研究的正道。
［5］德布罗意作为波动力学的创始人，其工作直接激发了薛定鄂，klein-gordan，甚至dirac等人对相对论量子场论的研究。
［6］ 注意不是多普勒效应，多普勒效应是非相对论的。
［7］maxwell 方程本身具备洛伦茨不变性，这也就是说maxwell波动方程是最早的相对论方程，波动形式是相对论预言的一种解形式，那么只要物质满足相对论，物质就必然是波动解，或许这也是波动力学的建设动机。薛定鄂的第一个波动方程就是相对论的，因为未能考虑电子自选因此计算结果和实验不符，转而推出非相对论形式。相对论形式的波动方程最终被klein-gorden推得，波动方程最终孕育出dirac和后来的量子场论方程。
［8］量子理论成功解释了电子的氢原子能级；在回旋加速器中电子表现出显著的相对论效应。
［9］本文给出的推导和原论文中的方法略有不同。感兴趣的读者可参考：
The Wave Nature of the Electron
Louis De Broglie, 1929
Radiation Wave and Quanta.
Louis De Broglie,1923
［10］然而，实物粒子所对应的这个场，德布罗意并未给出。毕竟那是一个量子力学都没有完全建立的年代。实际上至今，也没有人能够正确理解物质的波动性，见［3］
［11］如果考虑到归一化，那么相位波包络的幅度的平方，就是粒子出现在空间任一位置的概率。这一点和量子力学的波函数等价，矩阵力学和波动力学的等价性由薛定鄂不完全给出
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