Thursday, March 26, 2015

如果拉格朗日函数中不出现某一个广义坐标aq,则该坐标称为循环坐标(即具有坐标变换的不变性

物理学中的对称性与守恒律

如果拉格朗日函数中不出现某一个广义坐标aq,则该坐标称为循环坐标(即具有坐标变换的不变性


由诺特定理推广,可以得到如下结论:如果运动定律在某一变换下具有不变性,必然有一相应的守恒定律.例如,有一保守的力学体系,其动力学方程可以用拉格朗日方程是0
aaqLqLdtd
, (a一1,2,„,S)来表示.其中,拉格朗日函数
tq
qLLaa,,,是广义坐标aq、广义速度aq和时间t的函数.如果拉格朗日函数中不出现某一个广义坐标aq,则该坐标称为循环坐标(即具有坐标变换的不变性),此时
0aqL
,拉格朗日方程变为0aqLdtd。由此得到广义动量a
aqLp常数,即在坐标变换不变的情况下,力学体系的动量守恒.当为aq直角坐标时,对应的ap为线动量,“ap常数”表征了动量守恒定律;当为角坐标时,对应的为角动量,“ap常数”表征了角动量守恒定律.


此处用变分而不用微分d,是因为PE完全来自坐标平移,而不是系统的真实运动,因而r可取任意值,且0r,有因为x,y,z互相独立,



机械能对空间坐标系转动的对称性与角动量守恒
上述质点组的总机械能函数对空间坐标系旋动的对称性(即是空间各向同性),将导致角动量守恒。令质点1位于坐标原点且保持静止,质点2的质量为m,位于运动状态且不受其他力作用。现对空间坐标系实施一无穷小角位移,实质上相当于系统沿相反方向转过无穷小角位移(无穷小角位移为矢量)。显然质点2的位置矢量r与速度矢量v均转过,由此可得其相应的增量,,vvrr机械能对坐标实施旋转操作的不变性意味着下式成立,


dt
dE
'
,仍可得出上述结果。
若外力场是非稳定力场,则上述对称性不能成立,我们可用其它方法消除这种不对称性因素,从而使其具有更多对称性,在此就不再深入讨论了。
具体地说,如果物理系统具有某种对称性,那么这个系统必有相应的守恒量。例如,经典系统由拉格朗日函数描述.且此函数遵循拉格朗日方程。当此函数具有空间平移、空间转动对称性时,必定导致动量、角动量守恒;当此函数具有时间平移不变性时,必定导致能量守恒。又如, 量子系统由波函数描述,整体规范变换是波函数的一种相角变换,在这种变换下若波函数仍然满足同一个薛定谔方程,则可得出电荷守恒。



面积分是对包围面积V的封闭面S进行的。(3)式左边表示单位时间内体积V中几率的增加,右边是J在体积V的边界面S上法向分量的面积分。因而很自然的把 J解释为几率流密度矢量,它在S面上的法向分量表示单位时间内流过S面上单位面积的几率。(3)式说明单位时间内体积V中增加的几率,等于从体积V外部穿过V的边界面S而流进V内的几率,如果波函数的无限远处为零,我们可以把积分区域V扩展到整个空间,这时(3)右边的面积分显然为零,即在整个空间内找到粒子的几率与时间无关,如果波函数是归一的,波函数将保持归一的性质而不随时间改变。
[PDF]第八章Mathematica在量子力学中的应用举例(马)
www.bb.ustc.edu.cn/jpkc/xiaoji/jswl/ch81.pdf 轉為繁體網頁
一个重要特征是角动量守恒。由此可以得到2. ˆ. L (角动. 量的平方)也是守恒量。 ... 其中在球坐标中的角动量平方算符可以表示为:. ⎭ ..... 将拉普拉斯算子(Laplacian).
  • [PDF]第八章Mathematica 在量子力学中的应用举例

    www.bb.ustc.edu.cn/jpkc/xiaoji/jswl/skja/chapter8-1.pdf 轉為繁體網頁
    所以角动量是守恒量,即在中心. 力场中运动粒子的一个重要特征是角动量守恒。由此可以得到 ..... 此时在径向中心力场势情况下可采用拉普拉斯算子形式. 为. 0. = dr d.
  • phymath999: 广义相对论;角动量守恒

    phymath999.blogspot.com/2013/12/blog-post_9648.html 轉為繁體網頁
    2013年12月29日 - 关键词:广义相对论;角动量守恒;自旋守恒;广义守恒;最小作用量原理. ...... 拉普拉斯算子作用在某个函数f(x,y,z)上(拿三维举个例子),就是将这个 ...
  • 類氫原子- 維基百科,自由的百科全書 - Wikipedia

    zh.wikipedia.org/zh-hk/類氫原子
    類氫原子波函數是單電子角動量算符 L 與其z- ... 由於哈密頓量的球對稱性,一個原子的角動量 L 守恆。許多數值程序,開始於單電子算符 L^2 ... 將拉普拉斯算子展開:.
  • Mathematica在量子物理中的应用举例_百度文库

    wenku.baidu.com/view/d8c03e8e84868762caaed5c5.html 轉為繁體網頁
    2012年4月26日 - 可以证明[ L , 所以角动量L? 是守恒量,即在中心力场中运动粒子的一个 ..... 此时在径向中心力场势情况下可采用拉普拉斯算子形式为Δ ≡ ?2 = d2 2 ...
  • 为什么空间二阶导(拉普拉斯算子)这么重要? - 物理学- 知乎

    www.zhihu.com/question/26822364 轉為繁體網頁
    常见的current都正比于空间一阶导数,在各项同性空间中密度守恒方程就是时间一阶导数加上current的 ... 位形空间下的拉普拉斯算子就是动量空间中的动量模平方,
  • 拉普拉斯星云说_好搜问答 - 奇虎

    wenda.haosou.com/search/?q=拉普拉斯星云说 轉為繁體網頁
    这是由它们的生成方式决定的,在恒星诞生前的原始弥散星云阶段,其空间形状是任意的。当它收缩到原来的几百分之一时,角速度大大增加(角动量守恒),强大的离心力 ...
  • 康德和拉普拉斯星云说,Kant and Laplace nebular hypothesis ...

    www.dictall.com › 词典 轉為繁體網頁
    杰拉德·霍普金斯 拉普拉斯算符,拉普拉斯算子,调和算子 ... 因为角动量守恒,收缩使转动速度加快,在中心引力和离心力的共同作用下,星云逐渐变为扁平的盘状。
  • 拉普拉斯| 成长吧啊

    www.czbaa.com › 百科词条 轉為繁體網頁
    测有天文经、纬度和方向角的大地点称拉普拉斯点;由此而算出的大地方位角称为拉普 ... (1)拉普拉斯算子. ...... 最后都可以自洽,仍用动量角动量及它们的守恒定律.
  • [DOC]第二章流体静力学

    166.111.92.10/data/jpkc65/slxkczl/slx1/keypoint4.doc 轉為繁體網頁
    动量守恒定律用于恒定总流得到恒定总流的动量方程。 §4—1运动 .... 这就是不可压粘性流体的N-S方程,式中 是拉普拉斯算子,表示对变量求调和量。  不可压 ...
  • "

    为什么 空间二阶导(拉普拉斯算子)这么重要?修改


    《数理方程》课上讲的三类基本方程,方程的一边都是拉普拉斯算符,另一边分别是时间二阶导、一阶导和0,为什么空间二阶导这么重要?它有什么样的数学和物理意义?修改
    按投票排序按时间排序

    12 个回答

    No comments:

    Post a Comment