几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （21）黑洞
21.0 史瓦西半径
前面讲了引力红移的道理，这和时间膨胀是一回事。一个有趣的问题是，史瓦西解的时空中 度量结构在时间方向的变系数 会不会随着径向距离的减少 而降为0？答案是肯定的。在某个半径处变系数的确会变为0，这叫做 史瓦西半径。 然而在地球周边我们不会体验到这一半径，因为它小于地球自身半径。别忘了上一节的史瓦西解 只描述地球外的时空（无物质的真空），对这部分时空爱因斯坦方程的右边的物质量是0（真空嘛）。在地球内部，物质量当然不是0，于是方程就变了。我们得根据地球物质的性质 写一个描述它们的物质量 并重新解方程。最后再把两个时空解在地球边界处拼接起来 得到描述全时空的解。这样我们就遇不到 史瓦西半径了
。
21.1 无限红移和事件视界
然而我们忍不住去考虑 如果没有地球占据一个3维实心球体，我们一直沿着径向走到史瓦西半径，会发生什么？
如果你还记得引力和弯曲时空是一回事，那你就会抗议：没有地球的话，根本就没有引力，哪来的时空弯曲
？对不起，抗议无效
。因为你的意识还是牛顿引力论的意识：引力的唯一来源是物质（的质量）。
难道不对吗？还真是不对
。别忘了现在是爱因斯坦方程主导的世界了。爱因斯坦方程说：因为4维的时候弯曲的花样比较多，所以即使没有物质（方程两边都等于0），也不意味着时空没有弯曲（我在（17）已经讲过了）
。物理上我们说 引力的来源除了物质还可以是引力自己，或者用等价的但更玄乎的话说：时空的内在弯曲 可以纯粹是由自身引起的。
那么真空中的爱因斯坦方程的解是怎样的呢？解 太多了
。不过如果我们假设 这个解是静态的 且有球对称性， 那么我们就得到 史瓦西解。 事实上即使上一篇在讨论地球周边的时空（引力）时，我们也是这么解的（只不过这个解只在地球半径外有效）。
好了。现在我们知道在没有物质的情况下，史瓦西解 可以一直朝径向推进到（至少）史瓦西半径。这下就有意思了。史瓦西半径处 度量结构在时间方向的变系数 降为0，而按照上一篇的分析 这就是说当一个静止观察者A无限靠近 史瓦西半径的时候，他的时间流逝 和离开史瓦西半径有一段距离的静止观察者B（称为 远处观察者）比起来 无限的放缓。而接近史瓦西半径的观察者A 向远处观察者B发来的信号，频率越来越小，波长越来越大，携带的能量来越来越少（光子的能量和频率成正比）。若有另一个观察者C沿着径向自由的 从史瓦西半径外 朝史瓦西半径运动（这样的世界线是测地线），我们让一系列逐步靠近趋向史瓦西半径的静止观察者 在观察者C经过他们的时候 用光信号向远处观察者B 汇报 观察者C的位置。由于时间的无限膨胀和光波的无限红移 在远处观察者B看来，C需要无限长时间才能抵达史瓦西半径， 而且随着对史瓦西半径的接近，远处观察者B 看到的光也无限的暗淡下去
。
位于史瓦西半径处的球面，即半径为史瓦西半径的2维球面（更准确的说 是该球面沿时间方向运动而在4维时空中扫出的3维流形）叫做事件视界。
21.2 穿越 事件视界
我们已经知道 远处观察者B看来 任何东西都需要无限长的时间才能抵达 事件视界。 可观察者C的时间体验却不同。观察者C的时间体验（原时）就是从 从史瓦西半径外某一处到事件视界的测地线的长度。经计算，这是有限的。于是在观察者C看来，他在有限时间内就可以抵达事件视界。 接下去他就可以穿越事件视界
。
穿越事件视界时 观察者C会有什么奇特感觉吗？只要限制在自身周边的很小局部内，就不会。因为此种情况下，时空近似地是闵可夫斯基时空。
21.3 再看广义协变性
前两节告诉我们不同观察者的时空体验可以极为不同。再回头看 广义协变性: 时空与爱因斯坦方程不依赖于坐标系（观察者）的选取。这时你应能体会到 这条语不惊人的性质是多么的不平凡
。
21.4 事件视界之内
好了，我们知道观察者C 可以自由穿越事件视界。接下来会怎样呢？这时会发生一件惊人的事：如果我们依然用我们一直用的坐标系（即（19）中对史瓦西解的描述），事件视界之内 时空交换
。确切地说 原来的时间方向上的系数变成了正的，而径向方向的系数变成了负的（另外两方向 即球面经纬方向 不变）。由于“三正一负”式的 “勾股定理”中，“一负”的方向应该是时间方向，所以在事件视界之内 事件视界之外认为的（空间的）径向变成了时间方向，事件视界之外认为的时间方向变成了空间方向。这就是有的科普里说的：尺子变成了钟，钟变成了尺子
。
不必为这件事感到困扰。这里其实没有任何神秘。数学上讲，该坐标系在事件视界处就已经失效了（事实上有个变系数成了无穷大）。但这不意味着度量结构有什么问题，因为度量结构不依赖于坐标系。我需要的无非是选另一个坐标系。物理上讲，我们原先用的坐标系和时空分解 是远处静止观察者的坐标系和时空分解。 但在远处静止观察者看来，任何东西都不能抵达事件视界 更不用说到事件视界之内了。所以在事件视界之内再用这种坐标系和时空分解 可能是不妥的。这里的要点是：我们不仅要区分不同观察者的时空体验，还要明白 某个观察者原则上可以体验到的时空 与时空本身 是不同的（在这个例子中，远处静止观察者（通过信息交换）原则上可以体验到的时空 只是时空的一部分：事件视界之外）。
当然为了比较事件视界之外和事件视界之内的时空，采用同一坐标系是方便的。因此下面我们还是用这坐标系（即（19）的坐标系）。
那么观察者C 在事件视界之内有何体验呢？他的世界线是类时的 向时间的未来方向（根据史瓦西解这个时空的时间定向 而定的未来方向，见（14））延伸的，它发出的光信号是类光的 向时间的未来方向延伸的。由于时空互换，从我们用的描述史瓦西解的坐标系角度看，观察者C（或光）沿对他而言的时间方向 向未来运动 等同于 沿减少径向距离的方式（但不必一定沿着径向）靠近（我们用的球坐标的）球心。这意味着 哪怕光也只能越来越接近球心。也就是说一旦进入事件视界，任何信号都不能从事件视界之内来到事件视界之外。 于是我们说这是一个（史瓦西）黑洞。
注意 这里的光不能逃出事件视界的机制是：如果能的话，对发出光信号的观察者而言 就意味着光在向（时间上的）过去传播。
另一个后果就是：事件视界之内无静止。（观察者C）时间的流逝 意味着在我们的坐标系下 径向距离变小。所以 此时我们说的 在我们用的坐标系中空间上静止 对C而言是时间上静止 而这是不可能的：时间方向上是无法静止的。
更有意思的是到达球心的原时（测地线长度）也是有限的，所以一切进入事件视界的东西必然在自身看来的有限时间内 坠入球心。
21.5 奇点
球心就是著名的黑洞奇点
。广义相对论要求一切进入事件视界的东西坠入奇点（更准确的说 是在自己世界线的时间方向上流逝到奇点）。但在奇点处会发生什么 广义相对论却回答不了。这是因为接近奇点时，时空弯曲量趋于无穷大，广义相对论失效了。
一般认为，很靠近奇点时，必须使用（尚未确立的）量子引力理论。
21.6 质量/能量
作为真空中爱因斯坦方程的解，由于没有物质，是不是所有的史瓦西解都一样呢？ 事实上，在解方程的过程中会出现一个未定的常数，只有这个常数确定了，史瓦西解才完全确定。常数越大，史瓦西半径越大。
通过分析 史瓦西解对无穷远处观察者的影响，学者们指出这个常数应该解释为史瓦西解的总质量。这是储存在弯曲时空中的总质量，或者等价的说 是引力场的总质量
。
狭义相对论中，时间间隔与空间间隔被联系了起来（见（11）），质量和能量也被联系了起来（著名的爱因斯坦质能关系：能量等于 质量乘以光速平方）。我虽然没讲 质量/能量 联系的机制，但我想指出其基础，就和 时间间隔/空间间隔的联系一样，归根到底是 时空是闵可夫斯基时空。我们之所以通过分析史瓦西解对无穷远处观察者的影响 来定义总质量，就是利用了 史瓦西解是渐近平直的（在无穷远处趋向闵可夫斯基时空）。这也告诉我们（由质能关系），我们得到了 史瓦西解的总能量。
然而我们有 总质量/总能量， 却没有局部的 质量/能量密度。这是因为任何合理的定义 应该使得 弯曲时空的质量/能量 和闵可夫斯基时空不同。这是因为 闵可夫斯基时空对应没有引力的情况，如果你希望定义弯曲时空（引力）的质量/能量，他们当然应不同于 没有引力的情况。 可是我们知道 闵可夫斯基时空 是任何弯曲时空的局部近似，局部区域越小， 近似越好。定义某种东西在某一点处的密度时，我们要让包含这一点的区域趋向于0，可这意味着我们回到了闵可夫斯基时空的情形。于是我们无法合理的定义弯曲时空（引力）的局部的 质量/能量密度。
普通的物质和场（如电磁场）都是既有 总质量/总能量， 又有局部的 质量/能量密度（一大块物质有质量，其中一小片物质也有；整个电磁场携带能量，一个小区域内的电磁场也携带能量）。 所以我们知道，不能把黑洞想象为一团隐藏在事件视界里的物质 或弥漫在时空中的场
。
广义相对论中的质量/能量问题是著名的理论难题。对渐近平直的时空 我们算是有较成熟的理论了。 可对于不是渐近平直的时空，比如宇宙，我们连如何定义 总质量/总能量 都不知道。因此在一般的弯曲时空中 能量守恒（如果有的话）是怎么一回事，目前尚属未知
。
21.7 大质量天体坍缩可能形成黑洞
天体物理学家已在宇宙间指出了不少天体，怀疑他们是黑洞。大质量天体坍缩可能形成黑洞。组成大质量天体的物质跑哪里去了? 计算表明， 一部分被抛射出去，一部分则在有限原时内坠入奇点，在奇点处发生什么则没人知道。不过我们讲的 史瓦西黑洞 不是理想的模型，因为它忽略了自转。旋转黑洞是更好的模型。
待续
Submitted by Tyler Durden on 07/11/2015 13:10 -0400
21.0 史瓦西半径
前面讲了引力红移的道理，这和时间膨胀是一回事。一个有趣的问题是，史瓦西解的时空中 度量结构在时间方向的变系数 会不会随着径向距离的减少 而降为0？答案是肯定的。在某个半径处变系数的确会变为0，这叫做 史瓦西半径。 然而在地球周边我们不会体验到这一半径，因为它小于地球自身半径。别忘了上一节的史瓦西解 只描述地球外的时空（无物质的真空），对这部分时空爱因斯坦方程的右边的物质量是0（真空嘛）。在地球内部，物质量当然不是0，于是方程就变了。我们得根据地球物质的性质 写一个描述它们的物质量 并重新解方程。最后再把两个时空解在地球边界处拼接起来 得到描述全时空的解。这样我们就遇不到 史瓦西半径了
。21.1 无限红移和事件视界
然而我们忍不住去考虑 如果没有地球占据一个3维实心球体，我们一直沿着径向走到史瓦西半径，会发生什么？
如果你还记得引力和弯曲时空是一回事，那你就会抗议：没有地球的话，根本就没有引力，哪来的时空弯曲
？对不起，抗议无效。因为你的意识还是牛顿引力论的意识：引力的唯一来源是物质（的质量）。难道不对吗？还真是不对
。别忘了现在是爱因斯坦方程主导的世界了。爱因斯坦方程说：因为4维的时候弯曲的花样比较多，所以即使没有物质（方程两边都等于0），也不意味着时空没有弯曲（我在（17）已经讲过了）。物理上我们说 引力的来源除了物质还可以是引力自己，或者用等价的但更玄乎的话说：时空的内在弯曲 可以纯粹是由自身引起的。那么真空中的爱因斯坦方程的解是怎样的呢？解 太多了
。不过如果我们假设 这个解是静态的 且有球对称性， 那么我们就得到 史瓦西解。 事实上即使上一篇在讨论地球周边的时空（引力）时，我们也是这么解的（只不过这个解只在地球半径外有效）。好了。现在我们知道在没有物质的情况下，史瓦西解 可以一直朝径向推进到（至少）史瓦西半径。这下就有意思了。史瓦西半径处 度量结构在时间方向的变系数 降为0，而按照上一篇的分析 这就是说当一个静止观察者A无限靠近 史瓦西半径的时候，他的时间流逝 和离开史瓦西半径有一段距离的静止观察者B（称为 远处观察者）比起来 无限的放缓。而接近史瓦西半径的观察者A 向远处观察者B发来的信号，频率越来越小，波长越来越大，携带的能量来越来越少（光子的能量和频率成正比）。若有另一个观察者C沿着径向自由的 从史瓦西半径外 朝史瓦西半径运动（这样的世界线是测地线），我们让一系列逐步靠近趋向史瓦西半径的静止观察者 在观察者C经过他们的时候 用光信号向远处观察者B 汇报 观察者C的位置。由于时间的无限膨胀和光波的无限红移 在远处观察者B看来，C需要无限长时间才能抵达史瓦西半径， 而且随着对史瓦西半径的接近，远处观察者B 看到的光也无限的暗淡下去
。位于史瓦西半径处的球面，即半径为史瓦西半径的2维球面（更准确的说 是该球面沿时间方向运动而在4维时空中扫出的3维流形）叫做事件视界。
21.2 穿越 事件视界
我们已经知道 远处观察者B看来 任何东西都需要无限长的时间才能抵达 事件视界。 可观察者C的时间体验却不同。观察者C的时间体验（原时）就是从 从史瓦西半径外某一处到事件视界的测地线的长度。经计算，这是有限的。于是在观察者C看来，他在有限时间内就可以抵达事件视界。 接下去他就可以穿越事件视界
。穿越事件视界时 观察者C会有什么奇特感觉吗？只要限制在自身周边的很小局部内，就不会。因为此种情况下，时空近似地是闵可夫斯基时空。
21.3 再看广义协变性
前两节告诉我们不同观察者的时空体验可以极为不同。再回头看 广义协变性: 时空与爱因斯坦方程不依赖于坐标系（观察者）的选取。这时你应能体会到 这条语不惊人的性质是多么的不平凡
。21.4 事件视界之内
好了，我们知道观察者C 可以自由穿越事件视界。接下来会怎样呢？这时会发生一件惊人的事：如果我们依然用我们一直用的坐标系（即（19）中对史瓦西解的描述），事件视界之内 时空交换
。确切地说 原来的时间方向上的系数变成了正的，而径向方向的系数变成了负的（另外两方向 即球面经纬方向 不变）。由于“三正一负”式的 “勾股定理”中，“一负”的方向应该是时间方向，所以在事件视界之内 事件视界之外认为的（空间的）径向变成了时间方向，事件视界之外认为的时间方向变成了空间方向。这就是有的科普里说的：尺子变成了钟，钟变成了尺子。不必为这件事感到困扰。这里其实没有任何神秘。数学上讲，该坐标系在事件视界处就已经失效了（事实上有个变系数成了无穷大）。但这不意味着度量结构有什么问题，因为度量结构不依赖于坐标系。我需要的无非是选另一个坐标系。物理上讲，我们原先用的坐标系和时空分解 是远处静止观察者的坐标系和时空分解。 但在远处静止观察者看来，任何东西都不能抵达事件视界 更不用说到事件视界之内了。所以在事件视界之内再用这种坐标系和时空分解 可能是不妥的。这里的要点是：我们不仅要区分不同观察者的时空体验，还要明白 某个观察者原则上可以体验到的时空 与时空本身 是不同的（在这个例子中，远处静止观察者（通过信息交换）原则上可以体验到的时空 只是时空的一部分：事件视界之外
）。当然为了比较事件视界之外和事件视界之内的时空，采用同一坐标系是方便的。因此下面我们还是用这坐标系（即（19）的坐标系）。
那么观察者C 在事件视界之内有何体验呢？他的世界线是类时的 向时间的未来方向（根据史瓦西解这个时空的时间定向 而定的未来方向，见（14））延伸的，它发出的光信号是类光的 向时间的未来方向延伸的。由于时空互换，从我们用的描述史瓦西解的坐标系角度看，观察者C（或光）沿对他而言的时间方向 向未来运动 等同于 沿减少径向距离的方式（但不必一定沿着径向）靠近（我们用的球坐标的）球心。这意味着 哪怕光也只能越来越接近球心。也就是说一旦进入事件视界，任何信号都不能从事件视界之内来到事件视界之外。 于是我们说这是一个（史瓦西）黑洞
。注意 这里的光不能逃出事件视界的机制是：如果能的话，对发出光信号的观察者而言 就意味着光在向（时间上的）过去传播
。另一个后果就是：事件视界之内无静止
。（观察者C）时间的流逝 意味着在我们的坐标系下 径向距离变小。所以 此时我们说的 在我们用的坐标系中空间上静止 对C而言是时间上静止 而这是不可能的：时间方向上是无法静止的。更有意思的是到达球心的原时（测地线长度）也是有限的，所以一切进入事件视界的东西必然在自身看来的有限时间内 坠入球心。
21.5 奇点
球心就是著名的黑洞奇点
。广义相对论要求一切进入事件视界的东西坠入奇点（更准确的说 是在自己世界线的时间方向上流逝到奇点）。但在奇点处会发生什么 广义相对论却回答不了。这是因为接近奇点时，时空弯曲量趋于无穷大，广义相对论失效了。一般认为，很靠近奇点时，必须使用（尚未确立的）量子引力理论。
21.6 质量/能量
作为真空中爱因斯坦方程的解，由于没有物质，是不是所有的史瓦西解都一样呢？ 事实上，在解方程的过程中会出现一个未定的常数，只有这个常数确定了，史瓦西解才完全确定。常数越大，史瓦西半径越大。
通过分析 史瓦西解对无穷远处观察者的影响，学者们指出这个常数应该解释为史瓦西解的总质量。这是储存在弯曲时空中的总质量，或者等价的说 是引力场的总质量
。狭义相对论中，时间间隔与空间间隔被联系了起来（见（11）），质量和能量也被联系了起来（著名的爱因斯坦质能关系：能量等于 质量乘以光速平方）。我虽然没讲 质量/能量 联系的机制，但我想指出其基础，就和 时间间隔/空间间隔的联系一样，归根到底是 时空是闵可夫斯基时空。我们之所以通过分析史瓦西解对无穷远处观察者的影响 来定义总质量，就是利用了 史瓦西解是渐近平直的（在无穷远处趋向闵可夫斯基时空）。这也告诉我们（由质能关系），我们得到了 史瓦西解的总能量。
然而我们有 总质量/总能量， 却没有局部的 质量/能量密度
。这是因为任何合理的定义 应该使得 弯曲时空的质量/能量 和闵可夫斯基时空不同。这是因为 闵可夫斯基时空对应没有引力的情况，如果你希望定义弯曲时空（引力）的质量/能量，他们当然应不同于 没有引力的情况。 可是我们知道 闵可夫斯基时空 是任何弯曲时空的局部近似，局部区域越小， 近似越好。定义某种东西在某一点处的密度时，我们要让包含这一点的区域趋向于0，可这意味着我们回到了闵可夫斯基时空的情形。于是我们无法合理的定义弯曲时空（引力）的局部的 质量/能量密度。普通的物质和场（如电磁场）都是既有 总质量/总能量， 又有局部的 质量/能量密度（一大块物质有质量，其中一小片物质也有；整个电磁场携带能量，一个小区域内的电磁场也携带能量）。 所以我们知道，不能把黑洞想象为一团隐藏在事件视界里的物质 或弥漫在时空中的场
。广义相对论中的质量/能量问题是著名的理论难题。对渐近平直的时空 我们算是有较成熟的理论了。 可对于不是渐近平直的时空，比如宇宙，我们连如何定义 总质量/总能量 都不知道。因此在一般的弯曲时空中 能量守恒（如果有的话）是怎么一回事，目前尚属未知
。21.7 大质量天体坍缩可能形成黑洞
天体物理学家已在宇宙间指出了不少天体，怀疑他们是黑洞。大质量天体坍缩可能形成黑洞。组成大质量天体的物质跑哪里去了? 计算表明， 一部分被抛射出去，一部分则在有限原时内坠入奇点，在奇点处发生什么则没人知道。不过我们讲的 史瓦西黑洞 不是理想的模型，因为它忽略了自转。旋转黑洞是更好的模型。
待续
China's Margin Mania In Context, The "Striking" Comparison With The US And Japan
On Friday, in “China’s Margin Debt Is Easily The Highest In The History Of Global Equity Markets,” we reminded readers that despite the rapid unwind taking place in China’s backdoor margin lending channels, the deleveraging still has a long way to go. “There is a lot more margin debt unwinding yet to come which also explains the unprecedented panic by Chinese authorities to step in and prevent the ongoing market crash at all costs,” we said.
We also highlighted a note from Goldman in which the cephalopod remarked that “as of the beginning of June, the balance of margin financing outstanding was RMB2.2tn, an estimated 12% of the free float market cap of marginable stocks.”
While that was remarkable, JP Morgan notes that the figure was actually far higher for the SHCOMP, hitting nearly 18% as of July 3.
And while that figure has declined by nearly a third since, “the outstanding balance remains well above the 8% seen last November just before the big rally started, or the 2% seen only three years ago.”
JPM goes on to discuss how, consistent with the somewhat counterintuitive experience of the US, tougher margin requirements have led to an upsurge in volatility in China:
As the unwind continues, the social instability narrative is becoming more prevalent (see "Why China's Stock Collapse Could Lead To Revolution") as is the notion that the vaporization of trillions in paper gains will dent consumer sentiment and derail whatever economic momentum China has left. On that note we'll close with the following from JPM:
We also highlighted a note from Goldman in which the cephalopod remarked that “as of the beginning of June, the balance of margin financing outstanding was RMB2.2tn, an estimated 12% of the free float market cap of marginable stocks.”
While that was remarkable, JP Morgan notes that the figure was actually far higher for the SHCOMP, hitting nearly 18% as of July 3.
And while that figure has declined by nearly a third since, “the outstanding balance remains well above the 8% seen last November just before the big rally started, or the 2% seen only three years ago.”
JPM goes on to discuss how, consistent with the somewhat counterintuitive experience of the US, tougher margin requirements have led to an upsurge in volatility in China:
As for how China’s margin lending stacks up to the US and Japan (the only two large economies where reliable data are available), well, as you might have expected, there simply is no comparison:But consistent with past US experience, changes in Chinese margin requirements in recent months appear to have had the undesirable impact of increasing rather than lowering volatility and only had a temporary impact on the volume of margin transactions. This is shown in Figures 2. This figure shows the behavior of equity volatility around dates when announcements were made related to margin trading. This shows that these announcements caused more often an increase rather than decrease in equity volatility, perhaps inducing retail investors to shift to riskier stocks to achieve higher leverage.
Keep in mind that the figures shown above for China likely understate the case, as there really isn't a reliable way to measure the amount of leverage buried in the shadowy confines of umbrella trusts, structured funds, and other off-the-books vehicles.In terms of the amount of leverage, China stands well above the equivalent levels for the US or Japanese equity markets. Figure 4 shows the amount of NYSE margin debt as % of the free float of the US equity market. To make it comparable to that of China as shown in Figure 1 we have to multiply the 2.7% ratio of Figure 4 by two to transform it into transactions, i.e. we assume 50% leverage the maximum under Regulation T. So the ratio of margin transactions as % of market cap likely stands at around 5.5% in the US currently which is well below the 13.7% for the Chinese equity market. The comparison with Japan is even more striking at first glance as the ratio of margin transactions as % of market cap is less than 1.0% (Figure 5).
As the unwind continues, the social instability narrative is becoming more prevalent (see "Why China's Stock Collapse Could Lead To Revolution") as is the notion that the vaporization of trillions in paper gains will dent consumer sentiment and derail whatever economic momentum China has left. On that note we'll close with the following from JPM:
Ceteris paribus (e.g. for a given level of household equity ownership), this not only points to elevated volatility in Chinese equities relative to other markets, but also potentially higher transmission of equity market shocks to Chinese households.
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