要知道更多。這些屬性可以由每⼀一點的曲率
表達出來，這便是幾何了
曲率與基本群的關係
作為拓撲空間，球面的基本群
是平凡的，在它上面的任何閉曲
線，都可以透過連續的變動而縮
成⼀一點。但輪胎面則否，在它上
面可以找到某些閉曲線，無論如
何連續地變動都不會縮成⼀一點。
由此可見，球面和輪胎面具有不
同的拓撲
負曲率空
間的基本群受到曲率強烈的約束
"
老爱狭义相对论简明科普：场论从电磁场开始
1. 为什么现代物理学要讲场论?
类似半导体里的"非本征吸收" :当光子穿过半导体材料时 , 禁带中杂质能级束缚的电子、空穴吸收光子跃迁到高能态 , 这就是杂质吸收。这种吸收具有选择性 , 不同杂质具有不同的红外吸收峰, 等等. 同理, 电子从激发态返回时，去掉杂质，就是蓝光了，比较纯的场至发光, "LED", 为什么叫“场致发光”？凝聚态(半导体)物理其实是一个非相对论性的量子场论（二次量子化）模型，所以说"场致发光".
场论重要.
2. 现代物理学场论从电磁场开始
如果只考虑静电场，库仑电场，所谓库仑规范或经典物理学力学，比如牛顿平方反比力及其度量（比如矢量坐标系，平行四边形等唯象模型），基本可以管用一阵子了。
但电场和磁场“偶合”相互作用成电磁场以后，问题就出来了，比如电场有源而磁场源，矢量坐标系于是有原点选择问题
洛仑次
爱因斯坦曾写道：
我们在这里只讨论纯引力场的方程。
这些方程的奇特性一方面在于它们的复杂构
造，特别是方程对于场变量和它们的微商的非线
性特征；另一方面在于这些复杂的场定律在很大
程度上几乎完全被变换群所确定。(见参考文献
[7]，第75页)
真实的自然定律不可能是线性的，也不可能
从线性方程中导出。(见参考文献[7]，第
光度距離- 维基百科，自由的百科全书
https://zh.wikipedia.org/zh-hk/光度距離
對遙遠的物體，例如超出銀河之外的類星體，這種關係就不是很明確了，因為視星等受到時空曲率、紅移、和時間膨脹等的嚴重影響。計算光度距離和之間的關係，例如 ...宇宙学原理_百度百科
baike.baidu.com/view/443941.htm
轉為繁體網頁
它的含意是：①在宇宙学尺度上，空间任一点和任一点的任一方向,在物理上是不可分辨的,即无论其密度、压强、曲率、红移都是完全相同的。但同一点,在不同时刻,其各 ...轉為繁體網頁
把宇宙学原理用在负曲率或零曲率宇宙的边缘,能得出什么结论 ...
zuoye.baidu.com/.../1f39607bb19fe021c25015fcc4db362... - 轉為繁體網頁
①在宇宙学尺度上，空间任一点和任一点的任一方向,在物理上是不可分辨的,即无论其密度、压强、曲率、红移都是完全相同的。但同一点,在不同时刻,其各种物理量却 ...宇宙学原理(转载)_学术中国_天涯论坛
bbs.tianya.cn › 学术中国
轉為繁體網頁
2014年4月28日 - 它的含意是：①在宇宙学尺度上，空间任一点和任一点的任一方向,在物理上是不可分辨的,即无论其密度、压强、曲率、红移都是完全相同的。但同一点 ...轉為繁體網頁
转载：宇宙学原理(转载)_学术中国_天涯论坛
bbs.tianya.cn › 学术中国 - 轉為繁體網頁
2014年5月23日 - 它的含意是：①在宇宙学尺度上，空间任一点和任一点的任一方向,在物理上是不可分辨的,即无论其密度、压强、曲率、红移都是完全相同的。但同一点 ...About: Distance de luminosité - DBpedia
fr.dbpedia.org/page/Distance_de_luminosité
對遙遠的物體，例如超出銀河之外的類星體，這種關係就不是很明確了，因為視星等受到時空曲率、紅移、和時間膨脹等的嚴重影響。計算光度距離和之間的關係，例如 ...[PDF]天体和宇宙
jy.52jyw.com/ebook/电子图书/NBVCXZSA/P.../3048500881390584.pdf
1976年3月8日 - 无论其密度、压强、曲率、红移. 都是完全相同的。但同一点，. 不同时刻可以不同；万维论坛- 安逸123：也谈宇宙中心 - 万维读者网
m.creaders.net/bbs/education/bbsviewer.php?trd_id...
轉為繁體網頁
2010年3月22日 - ... 无论你现在把这个奇点拉大到多大，这个有限的宇宙总会有一个中心，无论按空间曲率红移，还是引力红移，从中心来的天体光线就总会有一个蓝 ...轉為繁體網頁
Bravenet Web Services
www.hkshp.org/oldforum2/9936608.htm
宇宙的各向同性〞在宇宙中任何一點的不同方向，在物理學上是不可分辨，其密度、几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （17） [ changshou ] 于:2012-02-17 08:31:14 复:3659016
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （17）引力和广义协变性
17.1 不需要谈引力
有质量的东西会产生引力， 引力作用于任何物体。它的作用就是 影响物体运动。所以一个 有质量的东西 会影响其他物质的运动。
根据爱因斯坦方程， 有质量的东西会导致时空弯曲， 时空弯曲 影响物体运动。所以一个 有质量的东西 会影响其他物质的运动。
广义相对论的再一个基本观点是: 上面两段话说的就是一回事（所谓的“等效原理” 说的就是这件事）
。引力就是时空弯曲。 所以不必再说什么 地球产生引力以及这引力是怎样的话了， 直接说 地球弯曲了时空以及是怎样弯曲的。
17.2 爱因斯坦方程的来历
虽然在我的科普中不需要谈引力， 但我要指出历史上 爱因斯坦方程的导出 是研究引力的结果。大体上说 是通过分析引力的一些特性 意识到用弯曲时空的几何语言来描述 是很好的选择， 然后比照着场论的一些方法 以及 在弱引力场的情况下应该化为牛顿引力的要求 凑出一个结果（但是不对）。 然后对这个结果进行修补， 消除一些明显不合理的地方。 最终 制约时空的基本方程：爱因斯坦方程就诞生了。
17.3 爱因斯坦方程有多种导出法
我知道的导出法就有七八种。有看起来比17.2 更自然的方法。 而且不少并不需要先分析引力
。 这其实是一件很深刻的尚未被人类吃透的事情（比如弦理论的一个惊人之处 就是它可以从一个与引力和动力学的时空毫不相关的出发点 导出爱因斯坦方程）。
17.4 在广义相对论中 爱因斯坦方程是基本假设
因为所谓的导出，实际上总要用一些不能从纯粹逻辑推出的假设（过程是数学推理， 但用什么数学从何推起 不是由纯数学决定的）。因此我要强调这一点。
17.5 广义协变性
这是广义相对论中 重要性可与“时空是动力学的” 这一观点相并列的要点
。 广义协变性 指的是 爱因斯坦方程中左边的几何量 只依赖于 度量结构本身而不依赖于坐标。 还有 右边的物质量 也不依赖于坐标。
这为什么是一件重要的事呢？ 回想一下 坐标系的物理意义。每一个时空中的观察者 都带有自己的坐标系（自己的标记时空中点的方式）。他们 可以在自己时空经历中（世界线）的任意一点使用任意的坐标系 并随时转用不同的任意的坐标系。每一个坐标系都带有不同的时空分解方式。不同坐标系之间，不同观察者之间对于时间空间的看法有极大的差异
。 而且坐标系还只是局部的。这是一个多么混乱的世界啊。这时，广义协变性要求，时空的性质 物质的分布 和制约他们的规律 是不依赖于 坐标系和观察者的。这就为 纷乱的 时空体验 建立了一个基本组织原则。
在狭义相对论中，我们有一组特殊的整体坐标系（惯性参照系）。 当我们用它们来定义 度量结构后，只有特殊的坐标变换（洛伦兹变换）能保持物理规律的形式。但在广义相对论中 广义协变性要求 任何的坐标变换都不改变我们的方程。这就是 广义相对论中“广义”一词的由来。（这里有一个重要的区别，狭义相对论中我们用整体坐标系定义度量结构， 这其实是很不自然的观点（见（8））。在广义相对论中，我们再也不能这么做了，我们只能用局部坐标系描述度量结构（8）。）
广义协变性 是很强的对称性要求。 它限制了 要在弯曲的动力学的时空中描述物质运动的规律 所能采用的形式。 为了能成为一般的时空中 也能成立的规律，传统的电磁场论，流体力学等都必须作改造 以满足广义协变性（已经改造过了）。
17.6 规律 和 规律的规律
广义相对论描述引力，从这个意义上讲，他是物理规律，即它描述 一种物质的相互作用。
然而广义相对论本质上 又是时空的理论。时空的理论 难免要制约 任何物质的相互作用。 从这个意义上讲， 它是规律的规律
。
作个比较好了。电磁场理论描述电磁场，是规律。 电磁场理论对万有引力的规律能说什么？ 什么也不能。根本不关他的事。牛顿引力理论描述万有引力，是规律。牛顿引力理论对电磁场的规律能说什么？ 什么也不能。根本不关他的事。
广义相对论则不然。 本来他不是研究电磁场论，流体力学或者其他物质规律的。 可一旦问世， 就逼得电磁场理论，流体力学和其他规律非接受改造不可（17.5）。为啥这么霸道？因为这理论控制了时空。广义相对论 规定了其他物理规律需要满足的一些条件（主要是广义协变性 ）。 这就是 规律的规律。 狭义相对论也是 规律的规律，但他是广义相对论的特例和近似。
还有一个 像广义相对论一样霸道的 规律的规律， 他叫量子力学。
规律的规律 碰上 规律的规律 会怎样？量子力学和狭义相对论 相撞，最后结合起来了，叫做量子场论。 量子场论 加上一个叫规范场论的规律， 给出了当代描述基本粒子的理论：量子规范场论。量子力学和广义相对论的结合还没有实现，这是当代物理的一个基本问题。
17.7 更高维（或更低维）的时空
广义相对论的模式不需要假定空间是三维的。 爱因斯坦方程 在任意维都可以写。 只要假设时间还是一维的，以上讲的各种概念（如光锥等）也都可以用。不过低维数时弯曲的花样比高维数时要少
。比如 如果我们让 爱因斯坦方程右边等于0（没有物质），我们就得到 描述弯曲的数学量（左边）也是0。你可能以为 这意味着时空是平直的。 其实有很多控制内在弯曲的数学量，爱因斯坦方程用的只有中等控制力。 从4维（时空）开始 爱因斯坦方程用的描述弯曲的数学量（左边）为0 不能保证 时空是平直的（闵可夫斯基时空）。 也就是说 从4维（时空）开始 广义相对论允许 空的（没有物质） 弯曲的 时空
。
有一些前沿理论（如超弦理论）对时空维数有限制，是有广义相对论之外的其它原因。不过即便如此， 在这些理论中 给定维数的时空 在能量不是极高的情况下（以至于要考虑量子引力），仍然是由 广义相对论描述的。
待续
弦論和宇宙隱維的幾何
弦論和宇宙隱維的幾何
丘成桐
哈佛大學與台灣大學
二零⼀一⼀一年八月五日
今天要講的，是數學
和物理如何互動互利，這種關
係在 Calabi-Yau 空間和弦論的
研究中尤為突出。
這個題目非出偶然，它正是
我和 Steve Nadis 的新書《內
空間的形狀》的主旨。書中描
述了這些空間背後的故事，個
人的經歷和幾何的歷史。
我寫這本書，是希望讀者透過它，了
解數學家是如何看這世界的。數學並非⼀一門
不食人間煙火的抽象學問，相反地，它是我
們認識物理世界不可或缺的工具。
現在，就讓我們沿着時間－或更確切
地、沿着時空－從頭說起。
I. 黎曼幾何學
1969 年，我到了 Berkeley 唸研究
院。在那裏我了解到，十九世紀幾何學在高
斯和黎曼的手上經歷了⼀一塲翻天覆地的變化。
黎曼的創見，顛覆了前人對空間的看法，給
數學開闢了新途徑。
高斯
黎曼
幾何的對像，從此不再局限於
平坦而線性的歐幾里德空間內的物體。黎
曼引進了更抽象的、具有任何維數的空間。
在這些空間裏，距離和曲率都具意義。此
外，在它們上面還可以建立⼀一套適用的微
積分。
大約五十年後，愛因斯坦發覺包含彎
曲空間的這種幾何學，剛好用來统⼀一牛頓的
重力理論和狹義相對論，沿着新路邁進，他
終於完成了著名的廣義相對論。
爱因斯坦
在研究院的第⼀一年，我唸了黎曼幾何
學。它與我在香港時學的古典幾何不⼀一樣，
過去我們只會討論在線性空間裏的曲線和曲
面。在 Berkeley，我修了 Spanier 的代數拓
撲、 Lawson 的黎曼幾何、Morrey 的偏微分
方程。此外，我還旁聽了包括廣義相對論在
內的幾門課，我如飢似渴地盡力去吸收知識。
課餘的時間都呆在圖
書館，它簡直成了我的辨公室。
我孜孜不倦地找尋有興趣的材
料來看。聖誔到了，別人都回
去和家人團聚。我卻在讀《微
分幾何學報》上 John Milnor
的⼀一篇論文, 它闡述了空間裏
曲率與基本群的關係。我既驚
且喜，因為它用到了我剛剛學
過的東西。
John Milnor
Milnor 的文筆是如此流暢，我通讀此文
毫不費力。他文中提及 Preissman 的另⼀一論
文，我也極感興趣。
從這些文章中可以見到，負曲率空
間的基本群受到曲率強烈的約束，必須具備
某些性質。基本群是拓撲上的概念。
雖然，拓撲也是⼀一種研究空間的學
問，但它不涉及距離。從這角度來看，拓撲
所描繪的空間並沒有幾何所描繪的那樣精細。
幾何要量度兩點間的距離，對空間的屬性
要知道更多。這些屬性可以由每⼀一點的曲率
表達出來，這便是幾何了。
舉例而言，甜甜圈和咖
啡杯具有截然不同的幾何，但它
們的拓撲卻無二樣。同樣，球面
和橢球面幾何迥異但拓撲相同。
作為拓撲空間，球面的基本群
是平凡的，在它上面的任何閉曲
線，都可以透過連續的變動而縮
成⼀一點。但輪胎面則否，在它上
面可以找到某些閉曲線，無論如
何連續地變動都不會縮成⼀一點。
由此可見，球面和輪胎面具有不
同的拓撲。
Preissman 定理討論了幾何 (曲率) 如何影
響拓撲 (基本群)，我作了點推廣。在影印這
些札記時，⼀一位數學物理的博士後 Arthur
Fisher 嚷着要知道我幹了甚麽。他看了那些
札記後，說任何把曲率與拓撲扯上關係的結
果，都會在物理學中用上。這句話在我心中
留下烙印，至今不忘。
II. 廣義相對論
狹義相對論告訢我們，時間和空間渾
為⼀一體，形成時空，不可分割。愛因斯坦進
⼀一步探究重力的本質，他的友人 Marcel
Grossman 是數學家，愛氏透過他認識到黎曼
和 Ricci 的工作。
黎曼引進了抽象空間的概念，並且討
論了其上的距離和曲率。愛因斯坦利用這種
空間，作為他研究重力的舞臺。
愛因斯坦也引用了 Ricci 的工作，
以他創造的曲率來描述物質在時空的分布。
Ricci 曲率乃是曲率張量的迹，是曲率的某
種平均值。它滿足的比安奇恆等式，奇妙地
可以看成⼀一條守恆律。愛因斯坦利用了這條
守恆律來把重力幾何化，從此我們不再視重
力為物體之間的吸引力。
新的觀點是，物體的存在使空間產生了曲
率，重力應當看作是這種曲率的表現。
對歷史有興趣的讀者，愛因斯坦的
自家說辭更具說服力。他說：「這套理論
指出重力塲由物質的分佈决定，並隨之而
演化，正如黎曼所猜測的那樣，空間並不
是絕對的，它的結構與物理不能分割。我
們宇宙的幾何絕不像歐氏幾何那樣孤立自
足。」
講到自己的成就時，愛因斯坦寫道：
「就學問本身而言，這些理論的推導是如此
行雲流水，⼀一氣呵成，聰明的人花點力氣就
能掌握它。然而，多年來的探索，苦心孤詣，
時而得意，時而氣餒，到事竟成，其中甘苦，
實在不足為外人道。」
愛因斯坦研究重力的經歷，固然令
人神往，他的創獲更是驚天動地。但是黎曼
幾何學在其中發揮的根本作用，也是昭昭然
不可抹殺的。
半個多世紀後，我研習愛因斯坦方程
組，發現物質只能决定時空的部分曲率，為
此心生困惑，自問能否找到⼀一個真空，即沒
有物質的時空，但其曲率不平凡，即其重力
為零。
當然，著名愛因斯坦方程 Schwarzschild 解
具有這些性質。它描述的乃是非旋轉的黑洞，
這是個真空，但奇怪地，異常的重力產生了
質量。然而這個解具有⼀一個奇點，在那裏所
有物理的定律都不適用。
我要找的時空不似 Schwarzschild 解
所描繪的那樣是開放無垠的，反之，它是光
滑不帶奇點，並且是緊而封閉的。即是說，
有沒有⼀一個緊而不含物質的空問－即封閉的
真空宇宙－其上的重力卻不平凡？
這問題在我心中揮之不去，我認為這種空
間並不存在。如果能從數學上加以論証，這
會是幾何學上的⼀一條美妙的定理。
III. Calabi 猜想
從上世紀七十年代開始，我便在考
慮這個問題。當時，我並不知道幾何學家
Eugenio Calabi 早已提出差不多同樣的問題。
他的提問透過頗為複雜的數學語言來表述，
其中牽涉及 Kaehler 流形、Ricci 曲率、陳類
等等，看起來跟物理沾不上邊。事實上，
Calabi 抽象的猜想也可以翻過來，變為廣義
相對論裏的⼀一個問題。
新的內容乃是要求要找的時空具有某
種內在的對稱性，這種對稱物理學家稱之為
超對稱。於是上述的問題便變成這樣：能否
找到⼀一個緊而不帶物質的超對稱空間，其中
的曲率非零 (即具有重力)？
與 Calabi 教授（2004）
我與其他人⼀一起試圖証明 Calabi 猜
想所描述的空間並不存在，花了差不多三
年。這猜想不僅指出封閉而具重力的真空
的存在性，而且還給出系统地大量構造這
類空間的途徑，大家都認為世間那有這樣
便宜的東西可撿。可是，縱然不乏懷疑
Calabi 猜想的理由，但沒人能夠反証它。
⼀一九七三年我出席了在 Stanford 舉
行的國際幾何會議。這會議是由 Osserman
和陳省身老師組織的。或是由於我與兩人的
關係，我有幸作出兩次演講。在會議期間，
我告訴了⼀一些相識的朋友，說已經找到了
Calabi 猜想的反例。消息⼀一下子傳開了，徇
眾要求，當天晚上另作報告。那晚三十多位
幾何工作者聚集在數學大樓的三樓，其中包
括 Calabi，陳師和其他知名學者。我把如何
構造反例說了⼀一遍，大家似乎都非常滿意。
Calabi 還為我的構
造給出⼀一個解釋。大
會閉幕時，陳師說我
這個反例或可視為整
個大會最好的成果，
我聽後既感意外，又
與奮不已。
與陳師
可是，真理總是現實的。兩個月後我
收到 Calabi 的信，希望我釐清反例中⼀一些他
搞不清楚的細節。看見他的信，我馬上就知
道我犯了錯。
接着的兩個禮拜，我不眠不休，希望
重新構造反例，身心差不多要垮掉。每次以
為找到⼀一個反例，瞬即有微妙的理由把它打
掉。經過多次失敗後，我轉而相信這猜想是
對的。於是我便改變了方向，把全副精力放
在猜想的証明上。花了幾年工夫，終於在⼀一
九七六把猜想証明了。
在 Stanford 那個會
上，物理學家 Robert Geroch
在報告中談到廣義相對論中
的⼀一個重要課題－正質量猜
想。這猜想指出，在任何封
閉的物理系統中，總質量/能
量必須是正數。我和 Schoen
埋頭苦幹，利用了極小曲面，
終於把這猜想証明了。
Richard Schoen
這段日子的工作把我引到廣義相對
論，我們証明了幾條有關黑洞的定理。與相
對論學者交流的愉快經驗，使我更能開放懐
抱與物理學家合作。至於參與弦論的發展，
則是幾年之後的事了。
在証明 Calabi 猜想時，我引進
了⼀一個方案，用以尋找滿足 Calabi 方程的空
間，這些空間現在通稱為 Calabi-Yau 空間。
我深深地感到，我無心插柳，已經進入了⼀一
界數學高地。它必定與物理有關，並能揭開
自然界深深埋藏的隱秘。
然而，我並不知道這些想法在那裏會大派
用塲，事實上，當時我懂得的物理也不多。
IV. 弦論
1984 年，我接到物理學家 Gary
Horowitz 和 Andy Strominger 的電話。他們興
冲冲地談到有關宇宙真空狀態的⼀一個模型，
這模型是建基於⼀一套叫弦論的嶄新理論上的。
Gary Horowitz
Andy Strominger
弦論的基本假設是，所有最基本的粒
子都是由不斷振動的弦線所組成的，這些弦
線非常非常細小。某些弦論要跟量子力學相
容不排斥，時空必須容許某種超對稱性。同
時時空必須是十維的。
我在解决 Calabi 猜想時証明存在的
空間得到 Horowitz 和 Strominger 的喜愛。他
們相信這些空間會在弦論中擔當重要的角色，
原因是它們具有弦論所需的那種超對稱性。
他們希望知道這種看法對不對，我告訴他們，
那是對的。他們聽到後十分高興。
不久，Edward Witten 打
電話給我，我們是上⼀一年在
Princeton 相識的。他認為就
像當年量子力學剛剛面世那
樣，理論物理學最激動人心
的時刻來臨了。他說每⼀一位
對早期量子力學有貢獻的人，
都在物理學史上留名。
Edward Witten
早期弦學家如 Michael Green 和 John
Schwarz 等人的重要發現，有可能終究把所有
自然力統⼀一起來。愛因斯理在他的後半生花了
三十年致力於此，但至死也未竟全功。
Michael Green
John Schwarz
當時 Witten 正與 Candelas, Horowitz
和 Strominger ⼀一起，希望搞清楚弦論中那多
出來的六維空間的幾何形狀。他們認為這六
維捲縮成極小的空間，他們叫這空間為
Calabi-Yau 空間，因為它源於 Calabi 的猜想，
並由我証明其存在。
與 Candelas 教授（2001）
弦論認為時空的總數為 10。我們熟
悉的三維是空間，加上時間，那便是愛因斯
坦理論中的四維時空。此外的六維屬於
Calabi-Yau 空間，它獨立地暗藏於四維時空
的每⼀一點裏。我們看不見它，但弦論說它是
存在的。
這個添了維數的空間夠神奇了，但
弦理論並不止於此，它進⼀一步指出 Calabi-
Yau 空間的幾何，决定了這個宇宙的性質和
物理定律。那種粒子能夠存在，質量是多少，
它們如何相亙作用，甚至自然界的⼀一些常數，
都取决於 Calabi-Yau 空間或本書所謂「內空
間」的形狀。
理論物理學家利用 Dirac 算子來研究
粒子的屬性。透過分析這個算子的譜，可以
估計能看到粒子的種類。時空具有十個維數，
是四維時空和六維 Calabi-Yau 空間的乘積。
因此，當我們運用分離變數法求解算子譜時，
它肯定會受 Calabi-Yau 空間所左右。
Calabi-Yau空間的直徑非常小，則非零譜變
得異常大。這類粒子應該不會觀測到，因為
它們只會在極度高能量的狀態下才會出現。
另⼀一方面，具有零譜的粒子是可能觀
測到的，它們取决於 Calabi-Yau 空間的拓撲。
由此可見，這細小的六維空間，其拓撲在物
理中是如何舉足輕重。
愛因斯坦過去指出，重力不過是時空
幾何的反映。弦學家更進⼀一步，大胆地說這
個宇宙的規律，都可以由 Calabi-Yau 空間的
幾何推演出來。這個六維空間究竟具有怎樣
的形狀，顯然就很重要了。弦學家正就此問
題廢寢忘餐，竭盡心力地研究。
Witten 很想知多⼀一點 Calabi-Yau 空間。他
從 Princeton 飛來 San Diego，與我討論如何
構造這些空間。他還希望知道究竟有多少個
Calabi-Yau 空間可供物理學家揀選。
原先，他們認為只有幾個－即少數拓撲類
－可作考慮，是以决定宇宙「內空間」的任
務不難完成。可是，我們不久便發現，
Calabi-Yau 空間比原來估計的來得多。⼀一九
八零年初，我想它只有數萬個，然而，其後
這數目不斷增加，迄今未止。
於是，决定內空間的任務⼀一下子變得
無比困難，假如稍後發現有無數 Calabi-Yau
空間的話，就更遙不可及了。當然，後者是
真是假還有待驗証，我⼀一直相信，任何維的
Calabi-Yau 空間都是有限的。
Calabi-Yau 空間的熱潮，始於 1984 年，
當時的物理學家，開始了解到這些複空間或
會用於新興的理論上。熱情持續了幾年，便
開始減退了。可是到了上世紀 80 年代末期，
Brian Greene、Ronen Plesser、Philip Candelas
等人開始研究「鏡象對稱」(mirror
symmetry) 時，Calabi-Yau 空間又重新成為
人們的焦點了。
鏡對稱乃是兩個具有不同拓撲的
Calabi-Yau 空間，看起來沒有甚麼共通點，
但卻擁有相同的物理定律。具有這樣關係的
兩個 Calabi-Yau 空間稱為「鏡象對」(mirror
pair)。
數學家把物理學家發現的鏡象關係搬
過來，成為數學上強而有力的工具。在某個
Calabi-Yau 空間上要解决的難題，可以放到
它的鏡象上去考慮，這種做法往往奏效。
⼀一個求解曲線數目的問題，懸空了差不多
⼀一個世紀，就是這樣破解的。它使數數幾何
學 (enumerative geometry) 這⼀一數學分枝，重
新煥發了青春。這些進展令數學家對物理學
家及弦論刮目相看。
鏡對稱是對偶性的⼀一個重要例子。
它就像⼀一面窗，讓我們窺見 Calabi-Yau 空間
的隱秘。利用它，我們確定了給定階數的有
理曲線在五次面 (⼀一個 Calabi-Yau 空間) 的
總數，這是⼀一個非常困難的問題。
這問題稱為 Schubert 問題。它源於
十九世紀，德國數學家 Hermann Schubert
首先証明，在五次面上共有 2,875 條⼀一階
有理曲線。到了 1986 年，Sheldon Katz 証
明了有 609,250 條二階曲線。1989 年前後，
兩位挪威數學家 Geir Ellingsrud 和 Stein
Stromme 利用代數幾何的技巧，⼀一下子找到
了 2,638,549,425 條三階曲線。
可是另⼀一方面，以 Candelas 為首的
⼀一組物理學家，卻利用弦論找到
317,206,375 條曲線。他們在尋找的過程中，
用了⼀一條並非由數學推導出來的適用於任意
階數曲線的公式。這公式的真確與否，還有
待數學家驗証。
1990 年 1 月，在 Isadore Singer 的
敦促下，我組織了弦學家和數學家首次的主
要會議。大會在 Berkeley 的數理科學研究
所舉行。會議上擁 Ellingsrud-Stromme 和擁
Candelas 團隊的人分成兩派，壁壘分明，各
不相讓。這局面維持了幾個月，直到數學家
在他們的編碼程式中發現錯誤，經修正後，
結果竟與物理學家找到的數目完全吻合。經
此⼀一役，數學家對弦學家深刻的洞察力，不
由得肅然起敬。
這⼀一幕還說明了鏡象對稱自有其深
厚的數學基礎。人們花了好幾年，到了1990
中後期，鏡象對稱的嚴格數學証明，包括
Candelas 等人的公式，才由 Givental 和 Lian-
Liu-Yau 各自獨立地完成。
V. 結語
話說回來，我們必須緊記，弦「論」
畢竟是⼀一套理論而已，它還未給實驗所實証。
事實上，有關的實驗還沒有設計出來。弦論
是否真的與原來設想的那樣描述自然，還是
言之過早。
如果要給弦論打分的話，從好的方面
來說，弦論啓發了某些極之精妙而有力的數
學理論，從中獲得的數學式子已經有了嚴格
的証明，弦論的對錯與否，都不能改變其真
確性。弦論縱使還沒有為實驗所証實，它始
終是現存的唯⼀一能夠统⼀一各種自然力的完整
理論，而且它非常漂亮。試圖统⼀一各種自然
力的嘗試，竟然導至不同數學領域的融合，
這是從來沒有想過的。
現在要作總結還不是時候，過去二千
年間，幾何學屢經更替，最終形成今天的模
樣。而每次重要的轉變，都基於人類對大自
然的嶄新了解，這應當歸功於物理學的最新
進展。我們將親眼看到廿⼀一世紀的重要發展，
即量子幾何的面世，這門幾何把細小的量子
物理和大範圍的廣義相對論結合起來。
抽象的數學為何能夠揭露大自然如許
訊息，實在不可思議，令人驚歎不已，《內
空間的形狀》⼀一書的主旨乃在於此。不僅如
此，我們還希望透過本書，使讀者知道數學
家是如何進行研究的。他們不必是奇奇怪怪
的人，就像在電影《心靈捕手》(Good Will
Hunting) 中的清潔工般，⼀一面在打掃地板，
另⼀一面卻破解了懸空百年的數學難題。傑出
的數學家也不必如另⼀一部電影和小說描述的
那樣，是個精神異常、行為古怪的人。
數學家和做實驗的學者同樣研究自
然，但他們採用的觀點不同，前者更為抽象。
然而，無論數學家或物理學家，他們的工作
都以大自然的真和美為依歸。數學和物理互
動時迸發的火花，重要的想法如何相互滲透，
偉大的新學說如何誕生，如此種種，作者都
會在書中娓娓道來。
就弦論而言，我們看到幾何和物理
如何走在⼀一起，催生了美妙的數學、精深的
物理。這些數學是如此的美妙，影響了不同
的領域，使人們相信它在物理中必有用武之
地。
可以肯定的是，故事還會繼續下去。
本人能在其中擔當⼀一角色，與有榮焉。今後
並將傾盡心血，繼續努力。
謝謝！
17.1 不需要谈引力
有质量的东西会产生引力， 引力作用于任何物体。它的作用就是 影响物体运动。所以一个 有质量的东西 会影响其他物质的运动。
根据爱因斯坦方程， 有质量的东西会导致时空弯曲， 时空弯曲 影响物体运动。所以一个 有质量的东西 会影响其他物质的运动。
广义相对论的再一个基本观点是: 上面两段话说的就是一回事（所谓的“等效原理” 说的就是这件事）
。引力就是时空弯曲。 所以不必再说什么 地球产生引力以及这引力是怎样的话了， 直接说 地球弯曲了时空以及是怎样弯曲的。17.2 爱因斯坦方程的来历
虽然在我的科普中不需要谈引力， 但我要指出历史上 爱因斯坦方程的导出 是研究引力的结果。大体上说 是通过分析引力的一些特性 意识到用弯曲时空的几何语言来描述 是很好的选择， 然后比照着场论的一些方法 以及 在弱引力场的情况下应该化为牛顿引力的要求 凑出一个结果（但是不对）。 然后对这个结果进行修补， 消除一些明显不合理的地方。 最终 制约时空的基本方程：爱因斯坦方程就诞生了。
17.3 爱因斯坦方程有多种导出法
我知道的导出法就有七八种。有看起来比17.2 更自然的方法。 而且不少并不需要先分析引力
。 这其实是一件很深刻的尚未被人类吃透的事情（比如弦理论的一个惊人之处 就是它可以从一个与引力和动力学的时空毫不相关的出发点 导出爱因斯坦方程）。17.4 在广义相对论中 爱因斯坦方程是基本假设
因为所谓的导出，实际上总要用一些不能从纯粹逻辑推出的假设（过程是数学推理， 但用什么数学从何推起 不是由纯数学决定的）。因此我要强调这一点。
17.5 广义协变性
这是广义相对论中 重要性可与“时空是动力学的” 这一观点相并列的要点
。 广义协变性 指的是 爱因斯坦方程中左边的几何量 只依赖于 度量结构本身而不依赖于坐标。 还有 右边的物质量 也不依赖于坐标。这为什么是一件重要的事呢？ 回想一下 坐标系的物理意义。每一个时空中的观察者 都带有自己的坐标系（自己的标记时空中点的方式）。他们 可以在自己时空经历中（世界线）的任意一点使用任意的坐标系 并随时转用不同的任意的坐标系。每一个坐标系都带有不同的时空分解方式。不同坐标系之间，不同观察者之间对于时间空间的看法有极大的差异
。 而且坐标系还只是局部的。这是一个多么混乱的世界啊。这时，广义协变性要求，时空的性质 物质的分布 和制约他们的规律 是不依赖于 坐标系和观察者的。这就为 纷乱的 时空体验 建立了一个基本组织原则。在狭义相对论中，我们有一组特殊的整体坐标系（惯性参照系）。 当我们用它们来定义 度量结构后，只有特殊的坐标变换（洛伦兹变换）能保持物理规律的形式。但在广义相对论中 广义协变性要求 任何的坐标变换都不改变我们的方程。这就是 广义相对论中“广义”一词的由来
。（这里有一个重要的区别，狭义相对论中我们用整体坐标系定义度量结构， 这其实是很不自然的观点（见（8））。在广义相对论中，我们再也不能这么做了，我们只能用局部坐标系描述度量结构（8）。）广义协变性 是很强的对称性要求。 它限制了 要在弯曲的动力学的时空中描述物质运动的规律 所能采用的形式。 为了能成为一般的时空中 也能成立的规律，传统的电磁场论，流体力学等都必须作改造 以满足广义协变性（已经改造过了）。
17.6 规律 和 规律的规律
广义相对论描述引力，从这个意义上讲，他是物理规律，即它描述 一种物质的相互作用。
然而广义相对论本质上 又是时空的理论。时空的理论 难免要制约 任何物质的相互作用。 从这个意义上讲， 它是规律的规律
。作个比较好了。电磁场理论描述电磁场，是规律。 电磁场理论对万有引力的规律能说什么？ 什么也不能。根本不关他的事。牛顿引力理论描述万有引力，是规律。牛顿引力理论对电磁场的规律能说什么？ 什么也不能。根本不关他的事。
广义相对论则不然。 本来他不是研究电磁场论，流体力学或者其他物质规律的。 可一旦问世， 就逼得电磁场理论，流体力学和其他规律非接受改造不可（17.5）。为啥这么霸道？因为这理论控制了时空。广义相对论 规定了其他物理规律需要满足的一些条件（主要是广义协变性 ）。 这就是 规律的规律。 狭义相对论也是 规律的规律，但他是广义相对论的特例和近似。
还有一个 像广义相对论一样霸道的 规律的规律， 他叫量子力学。
规律的规律 碰上 规律的规律 会怎样？量子力学和狭义相对论 相撞，最后结合起来了，叫做量子场论。 量子场论 加上一个叫规范场论的规律， 给出了当代描述基本粒子的理论：量子规范场论。量子力学和广义相对论的结合还没有实现，这是当代物理的一个基本问题。
17.7 更高维（或更低维）的时空
广义相对论的模式不需要假定空间是三维的。 爱因斯坦方程 在任意维都可以写。 只要假设时间还是一维的，以上讲的各种概念（如光锥等）也都可以用。不过低维数时弯曲的花样比高维数时要少
。比如 如果我们让 爱因斯坦方程右边等于0（没有物质），我们就得到 描述弯曲的数学量（左边）也是0。你可能以为 这意味着时空是平直的。 其实有很多控制内在弯曲的数学量，爱因斯坦方程用的只有中等控制力。 从4维（时空）开始 爱因斯坦方程用的描述弯曲的数学量（左边）为0 不能保证 时空是平直的（闵可夫斯基时空）。 也就是说 从4维（时空）开始 广义相对论允许 空的（没有物质） 弯曲的 时空。有一些前沿理论（如超弦理论）对时空维数有限制，是有广义相对论之外的其它原因。不过即便如此， 在这些理论中 给定维数的时空 在能量不是极高的情况下（以至于要考虑量子引力），仍然是由 广义相对论描述的。
待续
這是 http://www.math.ntu.edu.tw/~shing_tung/PDF/presentation/The%20Shape%20of%20Inner%20Spaces.pdf 的 HTML 檔。
G o o g l e 在網路漫遊時會自動將檔案轉換成 HTML 網頁。
G o o g l e 在網路漫遊時會自動將檔案轉換成 HTML 網頁。
| Page 1 |
No comments:
Post a Comment