窮人的微分幾何8 Gauss-Bonnet定理 Stoke定理的方法，把面積積分變成在它的邊界曲線上積分 曲率張量在面積上的積分，等於wij在邊界上的積分。但是wij是量測ei在ej方向的變化量，也就是旋轉角度的積分

1种十分重要的不变密度叫做运动密度


窮人的微分幾何8 Gauss-Bonnet定理

77讀書心得

曲率跟拓擈的關係，從一維的曲線就開始了。對一個封閉曲線，從一點開始出發，它的切向量會繞著曲線轉360度的倍數再回到原點。。切向量的旋轉角度可以用曲線的曲率來計算，曲線的曲率k=密切圓的半徑r的倒數，延著曲線前進一小段，切向量旋轉dt角，曲線長度則為ds=rdt。所以如果沿著曲線積分
Skds=S 1/r rdt=Sdt=t
正好是切向量的旋轉角度。所以我們得到
 
S 曲率 ds = 2 pi * 繞圈數
 
式子中，左邊是曲率，右邊是拓擈特性。
我們要問二維曲面也有類似的情況嗎？從上個式子的推測，就是把曲率張量對面積作積分。曲率張量的由來是
 
Ddei=Wijej
 
從上式可以推出
 
S Wijej dA = S ddei dA =S dei ds=S wijej ds
 
其中從第二式到第三式，用了Stoke定理的方法，把面積積分變成在它的邊界曲線上積分。
所以曲率張量在面積上的積分，等於wij在邊界上的積分。但是wij是量測ei在ej方向的變化量，也就是旋轉角度的積分，最後我們得到
 
S 曲率 dA = S 旋轉角 ds =切向量沿著曲線平移一圈後，回來與原向量的交角
 
如果曲面是裝在三維空間裡的，我們可以取ei是法向量，則wij量測的是法向量旋轉後所包含的立體角。這個式子的意涵不如一維空間那麼的直覺，我個人想到的一個說明如上圖所示，假設有一個球，它上面法向量所張的立體角為4pi，則不管我們怎麼亂壓這個球，擠壓會產生正曲率，但也同時產生負曲率(如圖上的綠箭頭)，它們互相對消，所以最後那些法向量所張的立體角總和仍會保持4pi，除非我們把球壓出一個洞來。從下圖可以看出，一個洞的產生，等於二個負曲率的半圓相消，所以應該會減少4pi的立體角。這就是所謂的Gauss-Bonnet定理：
 
S 曲率 dA = 4pi*(1-洞數)

 
同樣的，我們要問Gauss-Bonnet定理可不可以再往高維空間推廣？往高維推廣的一個主要障礙是因為曲率微分形式是2維的，在高維曲面上就不能直接對曲率積分，而是要積它的多項式。數學家從規範不變的理論下找到了這些多項式，它可以由對Det(tI+iW/2pi)展開後，求各階t的係數而得。這各階的曲率形式的多項式被稱為其纖維叢的特徵類。我所知的特徵類推導都是從代數拓擈方面而來，所以沒法在這裡用三言二語說明白，所以先暫時打住。



窮人的微分幾何7 Stoke定理與微分形式

94讀書心得

 
學過微積分的人都知道微積分基本定理，它說：一個函數的微分的積分，等於這個函數(加上一個常數)。寫成方程式就是F=SdF(這裡S是積分符號)。基本上這個公式好像沒講什麼，它只是說一個函數等於它自已細切的和。用圖形比較好說明，如果F是面積的話，那我們可以把它細切成dF，F就是dF加在一起，這就是所謂的積分，這裡dF顯然就是f乘上dx，而f是F在dx的改變量，也就是F的微分。真正來講，積分的值應該等於F(b)-F(a)。我們可以把F(x)想成是從某一固定點開始算到x的面積，則在線段ab上的積分，就是F(b)-F(a)。
這個想法其實可以推廣到高維空間去，我在旁邊畫了一個二維的情況。對一個定義在xy平面上的函數F，我們也可以細切成dF，從而有F(a)-F(b)=SdF的公式。只是現在的a與b被二維圖形的邊界取代。要得到這個推廣公式，只要作到二件事，一個就是找出dF的定義，另一個是找出F在邊界上的取值方法。

我們要找的dF，就是所謂的微分形式。從前面我們可以看出它應該有幾個特性：
1 它應該是某種微分，才會產生正確的面積公式。
2 它有維度，不同維度的面積要配上不同階的微分形式。
3 它的產生方式應該不要產生出dxdx這類項，同變數無法積分二次。
 
數學家找到了可以滿足以上特性的dF產生方法：
1 如果F是一個普通函數，則dF=dF/dx dx + dF/dy dy + …. 　這裡的dF/dx是F對x的偏微分
2 如果F=Wdx，W可能是函數，也可能是一個微分形式，則dF= dW ^ dx。這裡定出一個微分形式的外積^，它有反對稱的特點 dx^dy= -dy^dx
 
至於在邊界的取值方法，從圖上可以看出一個大概，就是面的邊是線，線的邊是點，然後我們要把它加上一些正負號。至於如何取在線段上的值，就是所謂的Stoke定理，它說F在邊界的取值方法，就是F在邊界作積分。公式如下

 
其中dM指的是M的邊界。我們可以說Stoke定理是微積分基本定理在高階的推廣，也可以說微積分基本定理是Stoke在一維的特例。這個定理，很巧妙的連接了拓擈上面的邊界運算與分析上的微分運算。它告訴我們一些流形的拓擈特性，和流形上的微分形式會有所關聯，從而打開了微分形式在拓擈學上應用的大門。
 
一個有趣的結果，就是任何微分形式作二次d運算後會變成0，ddF=0。代入Stoke定理，我們得到任何空間作二次邊界運算後也會變成0。就是俗稱的「邊界的邊界是零」。

窮人的微分幾何6 流形與纖維叢

133讀書心得

 
流形(manifold)跟歐氏空間的關係可以用地球跟世界地圖的關係來比喻。我們知道一張世界地圖無法完全的描繪出地球的面貌，明顯的因為平面跟球面本身在拓擈上就有先天的差別。通常的世界地圖把北極畫成了一條線而不是一個點。對要飛航過北極的飛機而言，解決這個問題的最簡單的方法，就是帶很多張地圖，有的以台灣為中心區域，有的以北極為中心區域，每個地圖可適用於地球的某一部份，各地圖間則有一些地帶可以互相對照連接。這種用一組歐氏空間來描述的某個彎曲空間，就被稱為流形。通常我們希望地圖與地圖之間的變換函數能夠被微分，則稱為可微分流形。
纖維叢(fiber bundle)則是流形與乘積空間的推廣。所謂空間的乘法，實數線X乘上實數線Y就是二維實數(X，Y)平面，而實數平面再乘上實數線Z，就變成了三維xyz空間。如果將流形上的每一點都乘上某個空間(這個空間就被叫作纖維)，則這個乘積的結果就成了一個纖維叢。
一如二維平面上我們可以對每一個x定出一個y形成一個函數，在纖維叢裡也可對流形上每一個定出纖維上的一個值，這樣定出來的結構稱為此纖維叢之截面(section)。
微分幾何裡有二個纖維叢比較常被提及，一個是把流形任何一點上的所有切向量組成切向量空間，把這個切向量空間當成這點的纖維，形成所謂的切叢。切向量空間裡可以選用各種座標，各座標可以用座標變換運算互換，所有這些座標變換的運算本身也形成一個空間，通常是一個李氏群。以座標變換群為纖維所形成的纖維叢被稱為主叢(principal bundle)。
1 如果在主叢上定出一個section，則這個section將流形上各點間的不同座標變換相關連起來。如果我們規定這二點上被section所連接的不同座標是平行的，則主叢的section事實上就是connection的定義。
2 把整個主叢當成一個流形，再取這個section的切向量，這個切向量是這個主叢切向量空間裡的一個子空間，被稱為水平切空間H。選定了H，就是選定connection。
3 對主叢的切向量T，我們可以唯一把它分解成T=H+V -> V，V是一個李群的微分，也就是說，我們有一個微分形式，它會作用在T上，而得到李代數g的值。定義了這個g-值微分形式，也就等於定義了connection。
可以証明，以上三個方法，都可以當成connection的定義，它們之間是互等的。利用這種方法，我們可以脫離了原來的平行直覺，而定義出在廣義空間裡的connection。



窮人的微分幾何5 座標變換與規範理論

43讀書心得

假設我們已經在曲面上的每一點定出一組座標ei，及它的聯絡 dei=wijej
座標軸的選定是很隨意的事情，我們可以選任何方向當我們的座標軸，假設我們現在換到另一組座標上面去Ei’=Tijej，我們要問原來的聯絡會變成什麼樣子。
 
dE=d(Te)=dTe+Tde=(dT+Tw)e=(dT+Tw)/ T E=WE
 
或是 W’= Tw/T+ dT/T
 
這是座標變換下的聯絡變換方式，事實上，如果每一點的座標向量並不是空間的切向量，而是一組(規範空間中)滿足某種特定座標轉換群的向量，則上式就是所謂的規範轉換。此聯絡所定出的曲率張量則滿足一般的張量轉換公式：
 
F’=dW+W^W=T(dw+w^w)/ T
 
對規範場而言，例如電磁場，w這個聯絡就是電磁學中之向量位能A，而電磁學中的規範轉換
 
A’=A+df
 
就是聯絡變換化簡後的樣子
 
A’= TA/T+ dT/T=A T/T + dT/T =A+df
 
而其曲率張量F，就是電磁學中之電場E與磁場B。
從量子力學的眼光來看，規範變換來自於波函數相角的選定。我們可以想像在每一個空間點上，有一個圓形的相角空間，而波函數在這個空間中選定了一個方向做相角的零點。不同點上零點的位置會不同，其由來可能因為座標的選定，也可能因為規範空間的彎曲，選定各零點間的相對位置也就是設定了一組聯絡。當粒子受到電磁場而在空間中轉向，可以想成是在規範空間中經過一個彎曲的地形而導至的轉向。利用這種方式，我們可以把所有的作用力場(強、弱、電磁、重力)，都當成是規範空間裡的曲率來處理。

窮人的微分幾何4 度規張量跟黎曼幾何

47讀書心得

 
在前面我們討論平行的時候，都沒有談到向量的交角跟大小與平行的關係，因為與平面幾何的相法不同，事實上在廣義的幾何裡，平行跟交角這二個概念是互不相關的。向量的大小與交角，就是所謂的內積，可以由定義一個度規張量而得：
 
gij=ei.ej
 
對上式作d運算，可得
 
D(gij)=dei.ej+ei.dej=wij+wji
 
注意其實ei.ei=gii，但gii與gjj的作用是改變i與j指標的上下位置，所以這裡的wij跟前面的wij指標位置略有不同，ij二個指標都是下指標。
把wij分解成Gijkdxk，再把dxk移到左邊當微分算子的分母，可得
 
 Dgij/dxk=Gijk+Gjik
 
所謂的黎曼幾何，就是假設平行聯絡與gij可以相容，而且空間扭量為0。
假設空間是torsion free(扭量為0), 再把上式對gik, gjk重寫一次，就可以發現
 
Gijk=(dgij/dxk+dgik/dxj-dgjk/dxi)/2
 
克里斯多符號可以由gij的微分唯一決定！
空間度規gij決定Gijk，Gijk決定曲率張量Rijkl。這是黎曼幾何的特點。
 

窮人的微分幾何3 扭量、協變微分、李括號

68讀書心得

 
這張圖是我的得意之作，它把微分幾何的這三個量用圖表示出來。

微分幾何探討的都是變曲的空間，而我們要用平面來表示它，唯一的方法，就是把區域縮成無窮小，這時曲面的作用就看不太出來。所以在這張圖裡面，所有的量都是無窮小的，我們可以假設它們都被乘上一個無窮小的參數dt。

協變微分DxY是將向量場Y在X方向作微分，但微分的動作不是Y(x+dx)-Y(x) /dx，而是Y(x+dx)-Y(平移) /dx，如圖上的紫色小箭頭所示。同理有DyX。

李括號 [X,Y] = XY-YX ，用分量表示就是 x dy/dx – y dx/dy，就是先X向前一步，再Y向前一步，與先Y向前一步，再X向前一步之差，如圖中所示，X向量場與Y向量場在無窮小區間內，所形成的四邊形的缺口，就是[X,Y]。

扭量(Torsion)的定義為
T(X,Y)=DxY-DyX-[X,Y]
依照這個定義，我們可以發現它就是圖上的綠色小箭頭。它還有一個更簡單的幾何意思，把X,Y二個向量沿著對方互相作一個小平移，應該會形成一個”平行”四邊形，如果這個平行四邊形有缺口，這缺口的量就是扭量。

在扭量的定義中，若令X=ei, Y=ej，則因[ei,ej]=0，T(i,j)=(Gijk-Gikj)dxk，故扭量為0之情況下，則Gijk之後二指標為對稱。這也是扭量為0的充分必要條件。

窮人的微分幾何2 曲率張量

71讀書心得

對聯絡的定義式，再作一次微分

D(dei)=d(wijej)=d(wij)ej+wij(dej)
=d(wij)ej+wij(wjkek)
=(dwij+winwnj)ej
=Wijej

其中Wij=dwij+wikwkj
就是為曲率微分形式，它的幾何意思也可從它的定義式

Ddei=Wijej

看出來。是ei的二次微分在ej分向的投影量。
Wij是一個二次微分形式，把它用dxdy分解出來可得

Wij=Rijkldxkdxl
Rijkl就是一般的Riemannian曲率張量。因為它有四個指標，所以通常不太容易了解它的幾何意義。下面是我能想到的幾種說明：

1 Rijkl為ei平移差的k分量在l方向的微分後，在j方向產生的投影量。
2 Rijkl是ei對k及l作平移微分後的j方向分量。
3 Rijkl是Wij對dxkdxl的展開係數。

由於微分形式的反對稱，所以


Rijlk = - Rijlkl
對Riemann幾何而言，d(ei. ej) =0可導出 dei.ej=-dej.ei，或是wij = - wji，因此

Rijlk = - Rjilk

 張量之指標間可以收縮，如矩陣之求trace，但i與j，l與k之間為反對稱，其收縮為0。故對Riemanian張量而言，我們只能收縮ij與lk二組間之指標，對i與k求收縮，得

Rjl=Rijli

為Ricci張量。愛因斯坦廣義相對論中之無物質之場方程式即為 Rjl=0

窮人的微分幾何1 什麼是平行

41讀書心得

平行似乎是一個很簡單的直覺，任何人都可以很容易的畫出二條平行線。國中所教的幾何學是所謂的歐氏幾何。在歐氏幾何的幾個公設裡有一個是平行線公設，它說：
在直線外的任何一點上，必唯一存在一條平行線，它不會與原直線相交。
中古世紀的數學家，有很多人覺得這不應該是一個公設，而應該是一個定理，可以從其他的公設推出來，可是他們花了極多的力氣，還是無法提出証明，最後不得不承認它是一個必需存在的公設。
如果沒了這個公設，就會出現非歐幾何，在非歐幾何裡，經過線外一點，可以有很多條平行線，也可以沒半條。這聽起來很奇怪，但事實上是很正常的。一個明顯的例子，就是地球與世界地圖的關係。
在世界地圖上有經緯線，這些經緯線在地圖上是互相平行的。但在地球儀上面看，經線是會相交於南北極的。如果我們承認經線的切向量是互相平行的，則這些平行線是會相交的！更奇怪的是緯線，緯線在地圖上看起來是平行線，但所有的緯線，除了赤道之外，都不是大圓。在地球表面上，二點間最短的線段，會是一個以地心為中心點的圓弧，這個圓弧所在的圓，被稱為大圓。由於大圓是由二個間最短的距離所定義出來，它在某種意義上相當於平面幾何裡的直線。所以我們通常認為大圓上的切向量，是互相平行的。猶如直線上的切向量都互相平行一樣。事實上，找一條通過台灣的大圓畫在世界地圖上，首先我們會發現這個大圓會跟赤道相交。再來我們會發現，在世界地圖上，這個大圓的切向量，跟亦道的切向量不平行！
現在你會發現平行不再是個簡單的直覺了。從上面這個例子，我們可以發現，在世界地圖上平行的線，並不是真的平行線，而真的平行線，在世界地圖上，反而會指向看起來不平行的方向。這現像發生在所有非平面地形的地圖上，假設我們在地圖的一點上有一個向量，我們要問正另一點上，與這個向量平行的方向會是那個方向？答案是任何方向都有可能。要看原來的地形跟地圖製作的方法而定。
如果我們在地圖上每一點都給一組座標向量(e1,e2,..en),我們自然會問從一點移動到旁邊很接近的一點時，原來點上e1平行的向量會轉動多少？它可以寫成

de1=w1jej

de1是e1作平移的轉變量，ej是座標向量,wij是ei的平移轉動在ej軸上的投影量。由於平移發生在無窮接近的二點，wij是一個無窮小量，事實上，它是一個微分形式，一般稱為聯絡(connection)。以後會說明，從wij我們就可以決定這地形的曲率。我們可以把wij分解成座標無窮小量dx的線性組合

wij=Gijk dxk

Gijk就是所謂的克里斯多符號。以上公式內的ijk都是座標指標，而且使用愛氏求和習慣