Friday, July 17, 2015

Atiyah-Singer指標定理 曲率跟拓擈的關係,從一維的曲線就開始了。對一個封閉曲線,從一點開始出發,它的切向量會繞著曲線轉360度的倍數再回到原點。。

gr  曲率大小的单位是“屈光度”(Dioptre),等于每米的弧度 riemann 只要空間每一可測量區域的有效曲率不是顯著地與零不同,則在每一點。曲率在三個方向上的測量都可具有任意值

"假如量度速度向量時不用歐氏度量,而是用隨點變動的內積 < >x,我們還是可以定義動能
 
  在空間每一點都可以變動的內積,即是說給出了黎曼度量,可以寫作一個張量  。"



知識天地
拓樸學簡介—從歐拉示性數談起
鄭日新研究員(數學研究所)
大家可能聽過簡單多面體的歐拉公式:V-E+F=2,其中V表頂點的個數,E表邊的個數,F表面的個數。這多面體的面可以是任意的多邊形。要點是簡單多面體的“簡單"是什麼意思? 圖一給個“非簡單"的多面體,大家再算一下它的點線面交錯和得到0,就不是2了。關鍵在哪呢?我們後來知道所附圖中的多面體有個穿過其身的“洞",這是造成它不同於 “簡單” 多面體的關鍵。用較嚴格的話說,簡單多面體就是可以連續變形(不能拉斷)為球面的多面體,所附圖中的多面體可以連續變形為輪胎面,輪胎面並不能連續變形為球面,拓樸學上說輪胎面與球面拓樸不同所以點線面交錯和V-E+F不同,一般拓樸相同(即可以相互連續變形)的多面體便會有相同的點線面交錯和V-E+F,我們叫此拓樸不變量為歐拉示性數。
大家可能聽過空間中有五種正多面體:正4,6,8,12,20面體。為什麼沒聽過其他的正多面體,如正10或16面體。因為其他的不能存在,證明就要用到簡單多面體的歐拉公式:V-E+F=2,這公式加上正多面體的頂邊個數,面邊個數關係給了正多面體的頂,邊,面數很大限制。
給一閉曲面(黏土),我們把它捏成(不能拉斷)一個任意的多面體,其歐拉示性數總是相同,事實上,對(可定向)閉曲面而言,歐拉示性數是唯一的拓樸不變量,就是說,兩個此種曲面拓樸相同(即可以相互連續變形)若且唯若其歐拉示性數相同。
閉曲面上若考慮切向量場,其為0之點叫奇點。(孤立)奇點個數之(某種代數)和,可證明即曲面的歐拉示性數,這是著名的Hopf標數定理,我們常說頭髮最多只有兩個”漩”,因為有Hopf標數定理且頭表面的歐拉示性數為2。

閉曲面的歐拉示性數另有一積分表達式,把曲面上每一點的曲率(測度曲面彎曲程度的量)疊加起來取平均。這就是出名的Gauss-Bonnet定理。這是微分幾何中第一個漂亮的大域定理。西元1944年陳省身院士運用對聯絡巧妙的纖維叢理解給出一個內蘊的證明,他的方法同時重證了Hopf標數定理及Gauss-Bonnet定理。
歐拉示性數的進一步發展是理解成某個幾何型橢圓算子的指標,Atiyah-Singer指標定理以橢圓算子理論併入Gauss-Bonnet,Riemann-Roch等有名的定理為其特例。Atiyah-Singer指標定理將我們對大域微分幾何的了解推進到一個新的境界。不過,故事還沒完。隨著尖端量子物理的發展,場量子化已是理論的必需,其用來表達的語言是費因曼的路徑積分,同時,為了理論的圓滿,物理學家也引入了超對稱,超空間等的觀念。
歐拉示性數再度理解為重力場中運動自旋粒子量子化後基態─基態期望值(vacuum-vacuum expectation value)。這值可用超空間上的路徑積分表達。透過超空間上路徑積分的操作,我們事實上重證了Gauss-Bonnet定理。場量子化後基態─基態期望值的概念透過Witten的工作涵蓋了許多精細的拓樸不變量,發展出所謂的“拓樸場論"。另一方面,為了回答四維時空上(nonabelian)規範場(當然是量子化後)的質量(mass gap)是什麼等基本問題,建立嚴格的費因曼積分理論乃是不能逃避的數學工作,時間好像回到Laurent Schwartz為了嚴格化δ 函數發展廣義函數理論之前的年代,誰會是下一個Laurent Schwartz呢?
“超對稱與指標定理"參考資料:
1. L. Alvarez-Gaume, Supersymmetry and the Atiyah-Singer Index Theorem, Commun. Math. Phys. 90 (1983) 161-173.(物理式的證明)
2. A. Rogers, A superspace path integral proof of the Gauss-Bonnet-Chern theorem, JGP, Vol.4, no. 4, 1987(嚴格的證明, 須超空間費因曼-Kac公式)
“規範場的質量是什麼"參考資料
1. E. Witten, Physical law and the quest for mathematical understanding, Bulletin of the A.M.S., Vol. 40, No.1, pp. 21-29, electronically published on Oct. 9, 2002.
2. 高涌泉,Bμ場的質量是什麼?數學傳播100,第25卷,第四期,頁21-25。
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窮人的微分幾何8 Gauss-Bonnet定理





曲率跟拓擈的關係,從一維的曲線就開始了。對一個封閉曲線,從一點開始出發,它的切向量會繞著曲線轉360度的倍數再回到原點。。切向量的旋轉角度可以用曲線的曲率來計算,曲線的曲率k=密切圓的半徑r的倒數,延著曲線前進一小段,切向量旋轉dt角,曲線長度則為ds=rdt。所以如果沿著曲線積分
Skds=S 1/r rdt=Sdt=t
正好是切向量的旋轉角度。所以我們得到
 
S 曲率 ds = 2 pi * 繞圈數
 
式子中,左邊是曲率,右邊是拓擈特性。
我們要問二維曲面也有類似的情況嗎?從上個式子的推測,就是把曲率張量對面積作積分。曲率張量的由來是
 
Ddei=Wijej
 
從上式可以推出
 
S Wijej dA = S ddei dA =S dei ds=S wijej ds
 
其中從第二式到第三式,用了Stoke定理的方法,把面積積分變成在它的邊界曲線上積分。
所以曲率張量在面積上的積分,等於wij在邊界上的積分。但是wij是量測ei在ej方向的變化量,也就是旋轉角度的積分,最後我們得到
 
S 曲率 dA = S 旋轉角 ds =切向量沿著曲線平移一圈後,回來與原向量的交角
 
如果曲面是裝在三維空間裡的,我們可以取ei是法向量,則wij量測的是法向量旋轉後所包含的立體角。這個式子的意涵不如一維空間那麼的直覺,我個人想到的一個說明如上圖所示,假設有一個球,它上面法向量所張的立體角為4pi,則不管我們怎麼亂壓這個球,擠壓會產生正曲率,但也同時產生負曲率(如圖上的綠箭頭),它們互相對消,所以最後那些法向量所張的立體角總和仍會保持4pi,除非我們把球壓出一個洞來。從下圖可以看出,一個洞的產生,等於二個負曲率的半圓相消,所以應該會減少4pi的立體角。這就是所謂的Gauss-Bonnet定理:
 
S 曲率 dA = 4pi*(1-洞數)

 
同樣的,我們要問Gauss-Bonnet定理可不可以再往高維空間推廣?往高維推廣的一個主要障礙是因為曲率微分形式是2維的,在高維曲面上就不能直接對曲率積分,而是要積它的多項式。數學家從規範不變的理論下找到了這些多項式,它可以由對Det(tI+iW/2pi)展開後,求各階t的係數而得。這各階的曲率形式的多項式被稱為其纖維叢的特徵類。我所知的特徵類推導都是從代數拓擈方面而來,所以沒法在這裡用三言二語說明白,所以先暫時打住。

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