"假如量度速度向量時不用歐氏度量，而是用隨點變動的內積 < >x，我們還是可以定義動能
。
在空間每一點都可以變動的內積，即是說給出了黎曼度量，可以寫作一個張量 。"
知識天地
拓樸學簡介—從歐拉示性數談起
鄭日新研究員（數學研究所）
大家可能聽過簡單多面體的歐拉公式：V-E+F=2，其中V表頂點的個數，E表邊的個數，F表面的個數。這多面體的面可以是任意的多邊形。要點是簡單多面體的“簡單＂是什麼意思？ 圖一給個“非簡單＂的多面體，大家再算一下它的點線面交錯和得到0，就不是2了。關鍵在哪呢？我們後來知道所附圖中的多面體有個穿過其身的“洞＂，這是造成它不同於 “簡單” 多面體的關鍵。用較嚴格的話說，簡單多面體就是可以連續變形（不能拉斷）為球面的多面體，所附圖中的多面體可以連續變形為輪胎面，輪胎面並不能連續變形為球面，拓樸學上說輪胎面與球面拓樸不同所以點線面交錯和V-E+F不同，一般拓樸相同（即可以相互連續變形）的多面體便會有相同的點線面交錯和V-E+F，我們叫此拓樸不變量為歐拉示性數。
大家可能聽過空間中有五種正多面體：正4，6，8，12，20面體。為什麼沒聽過其他的正多面體，如正10或16面體。因為其他的不能存在，證明就要用到簡單多面體的歐拉公式：V-E+F=2，這公式加上正多面體的頂邊個數，面邊個數關係給了正多面體的頂，邊，面數很大限制。
給一閉曲面（黏土），我們把它捏成（不能拉斷）一個任意的多面體，其歐拉示性數總是相同，事實上，對（可定向）閉曲面而言，歐拉示性數是唯一的拓樸不變量，就是說，兩個此種曲面拓樸相同（即可以相互連續變形）若且唯若其歐拉示性數相同。
閉曲面上若考慮切向量場，其為0之點叫奇點。（孤立）奇點個數之（某種代數）和，可證明即曲面的歐拉示性數，這是著名的Hopf標數定理，我們常說頭髮最多只有兩個”漩”，因為有Hopf標數定理且頭表面的歐拉示性數為2。
閉曲面的歐拉示性數另有一積分表達式，把曲面上每一點的曲率（測度曲面彎曲程度的量）疊加起來取平均。這就是出名的Gauss-Bonnet定理。這是微分幾何中第一個漂亮的大域定理。西元1944年陳省身院士運用對聯絡巧妙的纖維叢理解給出一個內蘊的證明，他的方法同時重證了Hopf標數定理及Gauss-Bonnet定理。
歐拉示性數的進一步發展是理解成某個幾何型橢圓算子的指標，Atiyah-Singer指標定理以橢圓算子理論併入Gauss-Bonnet，Riemann-Roch等有名的定理為其特例。Atiyah-Singer指標定理將我們對大域微分幾何的了解推進到一個新的境界。不過，故事還沒完。隨著尖端量子物理的發展，場量子化已是理論的必需，其用來表達的語言是費因曼的路徑積分，同時，為了理論的圓滿，物理學家也引入了超對稱，超空間等的觀念。
歐拉示性數再度理解為重力場中運動自旋粒子量子化後基態─基態期望值（vacuum-vacuum expectation value）。這值可用超空間上的路徑積分表達。透過超空間上路徑積分的操作，我們事實上重證了Gauss-Bonnet定理。場量子化後基態─基態期望值的概念透過Witten的工作涵蓋了許多精細的拓樸不變量，發展出所謂的“拓樸場論＂。另一方面，為了回答四維時空上（nonabelian）規範場（當然是量子化後）的質量（mass gap）是什麼等基本問題，建立嚴格的費因曼積分理論乃是不能逃避的數學工作，時間好像回到Laurent Schwartz為了嚴格化δ 函數發展廣義函數理論之前的年代，誰會是下一個Laurent Schwartz呢？
“超對稱與指標定理＂參考資料：
1. L. Alvarez-Gaume, Supersymmetry and the Atiyah-Singer Index Theorem, Commun. Math. Phys. 90 (1983) 161-173.（物理式的證明）
2. A. Rogers, A superspace path integral proof of the Gauss-Bonnet-Chern theorem, JGP, Vol.4, no. 4, 1987（嚴格的證明， 須超空間費因曼－Kac公式）
“規範場的質量是什麼＂參考資料
1. E. Witten, Physical law and the quest for mathematical understanding, Bulletin of the A.M.S., Vol. 40, No.1, pp. 21-29, electronically published on Oct. 9, 2002.
2. 高涌泉，Bμ場的質量是什麼？數學傳播100，第25卷，第四期，頁21-25。
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窮人的微分幾何8 Gauss-Bonnet定理
曲率跟拓擈的關係，從一維的曲線就開始了。對一個封閉曲線，從一點開始出發，它的切向量會繞著曲線轉360度的倍數再回到原點。。切向量的旋轉角度可以用曲線的曲率來計算，曲線的曲率k=密切圓的半徑r的倒數，延著曲線前進一小段，切向量旋轉dt角，曲線長度則為ds=rdt。所以如果沿著曲線積分
Skds=S 1/r rdt=Sdt=t
正好是切向量的旋轉角度。所以我們得到
S 曲率 ds = 2 pi * 繞圈數
式子中，左邊是曲率，右邊是拓擈特性。
我們要問二維曲面也有類似的情況嗎？從上個式子的推測，就是把曲率張量對面積作積分。曲率張量的由來是
Ddei=Wijej
從上式可以推出
S Wijej dA = S ddei dA =S dei ds=S wijej ds
其中從第二式到第三式，用了Stoke定理的方法，把面積積分變成在它的邊界曲線上積分。
所以曲率張量在面積上的積分，等於wij在邊界上的積分。但是wij是量測ei在ej方向的變化量，也就是旋轉角度的積分，最後我們得到
S 曲率 dA = S 旋轉角 ds =切向量沿著曲線平移一圈後，回來與原向量的交角
如果曲面是裝在三維空間裡的，我們可以取ei是法向量，則wij量測的是法向量旋轉後所包含的立體角。這個式子的意涵不如一維空間那麼的直覺，我個人想到的一個說明如上圖所示，假設有一個球，它上面法向量所張的立體角為4pi，則不管我們怎麼亂壓這個球，擠壓會產生正曲率，但也同時產生負曲率(如圖上的綠箭頭)，它們互相對消，所以最後那些法向量所張的立體角總和仍會保持4pi，除非我們把球壓出一個洞來。從下圖可以看出，一個洞的產生，等於二個負曲率的半圓相消，所以應該會減少4pi的立體角。這就是所謂的Gauss-Bonnet定理：
S 曲率 dA = 4pi*(1-洞數)
同樣的，我們要問Gauss-Bonnet定理可不可以再往高維空間推廣？往高維推廣的一個主要障礙是因為曲率微分形式是2維的，在高維曲面上就不能直接對曲率積分，而是要積它的多項式。數學家從規範不變的理論下找到了這些多項式，它可以由對Det(tI+iW/2pi)展開後，求各階t的係數而得。這各階的曲率形式的多項式被稱為其纖維叢的特徵類。我所知的特徵類推導都是從代數拓擈方面而來，所以沒法在這裡用三言二語說明白，所以先暫時打住。
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