闲论Atiyah-Singer指标定理（转载）
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开场白
闲论Atiyah-Singer指标定理（1）─引子
闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS的实质
闲论Atiyah-Singer指标定理（3）先声─Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern
闲论Atiyah-Singer指标定理（4）─黑话破解，主要概念介绍
闲论Atiyah-Singer指标定理（5）─奇径通峰，AS之证明
闲论Atiyah-Singer指标定理（6）─回味无穷，总结与教训
闲论Atiyah-Singer指标定理（1）
（此文系一位署名polik的牛人所作，我十二分的佩服这位兄台的功力，敬重之情，无以言表，特此转载其文于此，与众位学习分享。）
闲论Atiyah-Singer指标定理
Nowadays, mathematicians tend to over-abstract things that in fact cannot be further abstracted, which not only dilutes the essence of concepts but also drives away potential students and users, and eventually, if this pathological mood is not cured, will make a lot of mathematicians breadless. ---------Vladimir Igorevich Arnold
开场白
余观天下学数众才，体察愈久，遗憾益多。开始决定献身数学时，大家都是聪明、愉快、可爱、活泼的，也是被别人视为天赋才俊。但是随着时间推进，一些人开始变愚蠢了，一些人开始变苦闷了，一些人开始变得令人讨厌了，一些人开始变古怪了，一些人变虚弱了。
更过一些时间，一些人已经是白痴了，一些人已经自杀了，一些人已经是罪犯了，一些人已经是疯子了，一些人累死了。现在走在这条路上的或朝这条路上走的仍然是千千万万，各种悲剧天天发生。身是献了，但白献了。还搭上翘首期望的家人亲友以及一些无辜的关连者。
万幸偶有小成大成者，却同时也惹出一堆冤家对头，倾扎之惨烈，不亚于黑帮火并。暂时胜者担心报复，除时时努力固守城池以外，也终日疑神疑鬼，久而变态失常，最终众叛亲离者绝非鲜见；一时败者则卧薪尝胆，时时司机反扑，报得一箭之仇，然现实常常是仇难报，气难消，遂焦躁不安，怨天尤人，久而变得古怪，抑郁，甚至崩溃。
为何开始看起来的一桩好事会变得这样惨呢？主要是态度不对。古人练功修行讲的德字主要是就是讲态度要正确。现在很多人，由首先喜欢数学崇拜数学变成拿数学当商品工具谋名获利，并以所得多少作为衡量成功与否的标志，多数人因此走入歧途是必然的。正确的态度是你玩数学或你与数学玩。以玩得开心为最高宗旨。既不要想通过学数学抱得美人归，住
进黄金屋，做得人上人，也不要想去光宗耀祖，恩泽乡里，更不要想去当所谓英雄为民族争光，报效国家，这些人充其量也就是被权贵玩来摆去的宠物狗。如果一开始就是以正确的态度学数言数，玩数之人就会永远保持聪明、愉快、可爱、活泼。如果是这样，我们看到的数学文章着作也决不是现在这样以狗狗互相威聂的方式写成声明书。
本文题头引用的数学物理大师也是教育大师Arnold的话，反映本人对数学（物理）界悲剧的另一些观察是也没有错误的。数学生到大二左右，就开始幻想脱离俗家尘世，进入不食人间烟火的状态。先是与"土得掉渣，难以启齿"的具体数字和图形决裂，然后是大胆抛弃"半土不洋，肤浅得很"的运算和公式，匆匆穿上光鲜的水货衣服（半懂不懂的外文书），擦上廉价的胭脂（网上抄来的作业），配上借来的首饰（一知半解的老师讲义），端着身子急急溶入"豪华典雅，宛如仙境"的各种抽象定义引理定理建构的"上流社会"。但是，正如Arnold指出的，不必要的抽象不但害人，终将害己。与学武功的人类比，过分抽象等于过份强调虚力、意志和策略而忽视实力、环境和具体的战术，好多从数之人走向悲剧，不光做不出数学成果，最终连一份谋生的差事都做不来，重蹈邯郸学步覆辙，实属自取其果，如果一开始就加以注意，完全可以避免。
鉴于上面几点，本文的第一个主要目的当然是要向外行以草包大众喜闻乐见的方式介绍一些常人望而生畏的着名数学难题，作点破除迷信，奚落权威的事。旧时艰涩书中物，进入平常百姓心，翰林神道华山剑，屠狗之辈亦善玩。既向有数学兴趣的人展示绝大多数的抽象是不必要的害人之物，另外也顺便将一些所谓的"高度抽象"概念之唬人外表揭穿──世上无神鬼，都是人炒起也，跟着抽象起哄的数学家中真正懂得实质的人并不多，与江湖郎中一样。本文另一个主要目的之一是（向数学家们或数学家们to be）示范如何以正确态度学数学，如何以正确态度讲数学。看看我如何讲数学，如何理解数学，希望给学数同道树个榜样。希望你们读完此文以后，不光是具体知识增长了，学数教数的态度也变得积极正面一些，个人生活变得快乐一些，减少悲剧的发生。方老师多年来以通俗的语言向普罗大众介绍现代生医，教我们识别害人的巫医毒药，教我们保健养生，功德无量，不可磨灭，经济价值和社会意义，则更无法估价。我辈应以他为楷模。其实方老师作功德的同时，也对自己的生活品质的提高有很大的帮助，所谓助人者幸福，助人者天佑。我写此文也完全是本着渡人利己的原则，因此，看官倘有收获，不必说谢谢，我已经收获了大头在先。
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闲论Atiyah-Singer指标定理（1）─引子
闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS的实质
闲论Atiyah-Singer指标定理（3）先声─Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern
闲论Atiyah-Singer指标定理（4）─黑话破解，主要概念介绍
闲论Atiyah-Singer指标定理（5）─奇径通峰，AS之证明
闲论Atiyah-Singer指标定理（6）─回味无穷，总结与教训
闲论Atiyah-Singer指标定理（1）─引子
Atiyah-Singer指标定理，江湖黑话谓之AS。它集映射，流形，纤维丛，特征类，上同调，椭圆算子，Bott周期，范畴，K群等名草贵药于一丸，坊间流传，其外形神秘可畏，内在艰深难测。它作为一粒神丹，用得好，据说它能立解万毒，有还魂回阳之功；用得不好，七窍流血，凌迟而亡。另一方面，它又融微分几何，拓扑学，微分方程，代数几何等神刀鬼剑于一体，有幸亲眼目睹真身者皆曰：阴森冷峻，杀气腾腾。它作为一件兵器，使得好，所向披靡，固若金汤之城池不攻自破，平常骄王悍匪，纷纷挂表求降；使得不好，手抖脚颤，心慌意乱，迷魂丧智，以自宫了结。
西域数坛崇AS为20世纪数学的之里程碑，中土学数者则赞其为泰山颠峰，东海之底，景仰之情非科学者所能言表。数学科班出身者对之多谈虎色变，敬畏万分，偶被论及，或胡诌乱侃吓唬外人，或顾左右而言他。理论物理诸生则视其为峻岭奇峰，跃跃欲试以领略身临绝顶俯视众山之快感。然意欲登攀者，多数在此摔得身残心碎，从此一厥不振，消隐红尘，更悲者则是落得粉身碎骨，抱恨终天。少数登高而成吸得仙风获此宝器者，则耀武扬威，不可一世，每置对手于死地，更赖其奇功在江湖上呼风唤雨，坐定上排交椅。
如此神妙之仙丹，是谁炼成？如此威风之兵器，是谁铸就？倘真如上所述，则发明者功高胜天，非溢誉也。
抑或果真有所称之奇妙威风？无有明夸暗炒之嫌？
且看polik慢慢贴来。
（除第一、二两帖外，我争取以后每两天上一帖，约2─3页，以便看官有足够时间消化跟上，也希望有高人大师随时指点斧正，以利本坛众友共进。）
（我假定读者的门槛是修过一元多元微积分，如果还懂一点矩阵代数和简单微分方程的话就更好。）
闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS定理的实质
AS指标定理果真有所称之奇妙威风？无有夸大暗炒之嫌？
要回答这些问题，我们必须了解AS指标定理讲了些什么。
先让我们讲一个小故事。听鼓。
晨钟暮鼓，寺庙常规。据说，一般和尚都能够根据钟鼓之音得知钟鼓是否完好，有的高僧则可以由钟鼓之音得知气候演变进而推得
世道之走向，小则为善男信女解疑释惑，指点迷津，大则为皇室社稷消灾引福，护国安民。却说明朝初年，五台山因为助开国君朱元璋有功，获皇上特别褒扬恩赐，名号高出少林一等，住持乃率众弟子在练功场内，连日大作法事以庆祝之。场面异常壮观。仅大鼓黄钟就各有百余。一日，礼至中途，突然方丈大叫停止。发生何事？原来，老方丈听出其中有两面大鼓有破洞，其中一面有一个破洞在鼓底，另一面鼓则有两个破洞，一上一下。方丈高声叫停，缘自破鼓之音为寺庙之大忌，必得避之。仔细检视，小和尚果然在两面大鼓上找出了那
几个小小破洞。
高僧凭借鼓音，即可得知鼓面必有破洞数处，何也？
再来讲第二个小故事。听床。
却说华北地域，短江学者老家，民风淳朴，某些方面却也相当开放。听床就是一个例子。说得直白一点，就是在夜晚躲在别人家墙根、窗下，偷听别人做爱。此种习俗源自何时，无从考证，但依该地史志，历代从无明令禁绝，（唯在某朝恐怖时期，听床是流氓罪可能判死刑，但犯案被逮者鲜见──谢谢LXS老师指出此点）。听床不光没有官家法律之束，那些能够经常播出爱事特别报导而又从未被逮的高手们反而会被当地人民视为楷模备享尊荣。近一段时间，骄人的听床经验甚至是某"先锋队员"的一个隐含的考项，因为听床高手既要牺牲睡眠，还要不怕夜深人静，更要定力足够在关键时刻不出声不失控；而这绝非易事，因为做爱者往往在猜到有人偷听时，会故意弄出特别撩人之声音以刺激偷听者，迫其失控而自曝其踪。对于听床失控者的惩罚相当严厉，轻则遭被听者逮住猛揍，不得还手，日后常常遭到街坊老小公开奚落，甚至终身受人戏谑，重则被当地人视为做事不牢，信用全无。听床高手每每会将新近故事添油加醋细细道来，既博得烧酒一壶，还乘机用淫语骚扰纯情女孩，或藉此与淫妇打情骂俏，更以其定力之高，扬名立万于社区。据说，有能"听"清床垫缺几根弹簧的高手，有的还能指出所缺弹簧之前后左右位置，更有甚者，可以判断出前夜因爱事力度过猛而失效的弹簧，事后乡邻率众到主家翻床验证，竟然完全相符。
每当如此场合，街坊如同过节，真笑声杂合假骂声，响彻邻里，和谐社会模范单位之锦旗，势在必得，听床师则荣加一等，气宇轩昂，旁的人也大拍手掌，作雀跃状。
偷窥者或听床师从嗤呀之声，即可得知床垫弹簧少了数根，何也？
法鼓破一个洞，声音不同，床垫少一根弹簧，嗤呀之声改变。列位看官可能未曾料到，上面这两个小故事，简单明了，妇孺皆懂，却道尽了AS指标定理之全部精义。
原来，不论是鼓面的振动，还是床垫的嗤呀，都满足一个微分方程，我们听到的声音就是这个微分方程的解。解不同，声音就不同，翻译成黑话就是边界条件不同，微分方程的解或曰微分算子的谱就会改变。边界条件包括鼓面，床垫的几何形状，更包括它们的拓扑结构 （如洞的数目）。AS就是说，从听到的鼓音或床垫的嗤呀声就知道鼓面的几何以及上面的破洞数，或床垫的形状以及弹簧少了几根。看到这，学过高中物理的人可能觉得一点都不怪：我们不就是从原子分子的光谱得知原子分子结构的吗？这里不就是将通名报姓者从原子分子换成鼓号或床垫而已？其实这离正确答案真的只差一点点了！再想一想，你说不定就此悟出一条更大的真理呢。
对，polik在这里公布自己一个难以启齿的毛病。在下能从声音准确听出女孩子的容貌来，已经屡试不爽，一度很担心自己是不是有色狼基因，问过一些医师。因此，我看到AS定理以后，心理共鸣可想而知，马上就作了一个推广。
不过我得承认我的推广有些中医风格了。至于郎中听出怀孕、疾病的鬼话则已众所周知纯属骗术。（后面将更详细解释）
数坛人士就是一群无聊的好事者，专门将一些简单得不能再简单的事实用一些大家都摸不着头脑的句子表达出来。听鼓听床的事，到数学家那里就被弄成如下鬼话式的诀语：（某些）微分方程的解（的数目）由定义该微分方程的空间的几何拓扑特征全部决定。或更简单地讲，一个空间中某些行为好的微分方程的解的数目是一个拓扑不变量。
这就是指标定理的全部内容。
可见，列位看官其实都已经知道AS，更懂得利用AS，因此AS不光不神秘，简直就是BS。
闲论Atiyah-Singer指标定理（3）─初次见面，要你记得我
列位看官已经知道AS不光不神秘，简直就是BS。
这时，恐有人跳将出来，大呼"亵渎亵渎！"，"浅薄浅薄！"，"狂妄狂妄！"。
在下今天不光要说，AS的表达一点不难，还要说它的证明也不难。一不做，二不休，坚持浅薄不动摇，将亵渎进行到底，狂妄后面乾脆再麻烦您加上透顶二字！
尊重江湖规矩，用黑话表达AS：
记纤维丛E(F,M,π,G）的截面s(E,F) 与s(E,F＇)间映射D，则其解析指标，即其零频解的数目dim ker D - dim coker D等于其拓扑指标
Topo_Ind (D) = Int_[i_m ~ ch(σ)]
其中I_M是微分形式，由在其上面定义方程的流形M的曲率所确定，项ch(σ)为得自方程的象征的微分形式,int代表积分。或者用另一种更明确的表达式：
Topo_Ind(D) = (-1)^n < ch (s(D)) ~ td (TCM) , [m] >
其中n是流形M的维度，s(D)是微分算子D的像征，ch 代表陈特征，TCM 是流形M的复化切丛，td 代表Todd类，~ 是上积或杯积，[m]是流形M的基本类 , <-,-> 是Kronecker配对。
如有人在此受到惊吓或愤怒，则正好达到了本人目的。但请列位看官莫要惊慌，更不要埋怨，且等在下花上三言两语，上面那些黑话撩起的迷雾必会顷刻消散。数学江湖以艰涩隐晦为荣尊，化简为繁，变浅为深，是为至高皈依，谁将一件最简单的事说得最复杂以致普天下无人能懂，则可被崇为天宗。想当初，高斯常常宣布一些惊人结果而又不给出证明，遂得王子头衔。罗素写出<<数学原理>>两本天书，无人能读，被奉成数学之神。格罗腾迪克出版<<代数几何基础>>洋洋万页，页页难过天书，令所有数学家无地自容，立得数学之无极大王称号（他老人家面对如此荣耀一时竟受不了，从此精神崩溃，家破人亡。阿弥陀佛！）。一时间，大小玩数者，竞相仿效，环顾数国，一片乌烟瘴气。可怜天下百姓闻数丧胆，唯恐避之不及。在下深知众生历受大小数霸之欺何其苦也，故尊天意反其道而行之，以简为尊，以易为荣，以最平白文字讲述最深刻真理而不失严谨，解放天下数残理痴。将数学贵族才能享受的佳肴美酒搬上平民百姓的饭桌，是为吾宗。
先容在下将一些唬我看官的名词表列出来以便一一驯服，记有
1. 映射
核，余核，伴随算子，椭圆算子，Fredholm 算子，象征
2. 纤维丛
纤维，截面，结构群，切丛
3. 微分形式
（上）同调类
4. 特征类
陈类
Todd类
基本类
杯积
Kroneker 配对
5. K群，范畴
也就是四、五组十来个术语。平常这些玩意个个如凶神恶煞，动不动要占上专著数部，洋洋逾千页，一般学子几年苦修方得一知半解，云里雾里。今天诸君只要浏览三五页版面约几支香功夫即可大体完成，唯一要求是心中反覆默念本师之名，直至开悟。
这些概念今天肯定讲不完，但不要急，我们今天会见到一个真正的指标定理。
映射是最基本也是最抽象的数学操作之一，将两个集合的元素关连起来。我们不妨叫第一个集合叫原物（妻集），映射到第二个集合里生成的集体叫像（夫集）。数学家男的多，因此，多（妻）对一（夫）是可能的，但一（妻）对多（夫）是绝对禁止的。如果物国里每个女人都有（一个）仅属于自己的男人作丈夫，即女人不共夫，则是一（妻）对一（夫），即所谓的一一映射（注意这个名词只讲一妻必有一夫，但并不暗含每夫必有一妻，要看老婆够不够多）。
如果像国里每个男人都有（至少一个）老婆，男人当然满意，故称满射。
如果既是满射又是一一映射的话，那就是乌托邦里的一夫一妻制，一妻必有一夫，一妻仅有一夫，荆倌互忠，既不共夫亦不共妻，即所谓的双射，或许双双满意？
能够建立双射映射的两个集合，在抽象意义下，物像没有区分，谁为物，谁为像，见仁见智，公婆不分，故名同构。还有变态的自映射，镜中人是你，你也是镜中人，这个后面还要提的。
函数是映射的最简单例子。算子是稍微"高级"一点的映射。
如果映射将一个集合的一些元素全部映射到"单位"元素（加法的零或乘法的一），则这些元素形成一个叫核（ker）的子集合。原物集合中的ker之所以重要，被单独列出，归根到底还是因为像集合里的"单位"元素独特。他跟本集合内任何一个元素作用（例如相乘）还是该元素本身。因此核内任何一个元素与本集合内任何非核元素相乘所得结果必在核外，否则他会被映到单位素。原来ker乃初中之国，独立王国是也。因此，每一个核外元素与全体核内元素可以产生一共同类，是为等价类。可以通过与核内元素建立关连的元素属于同一等价类。由此立得不同等价类的元素必不相同。整个集合就可以按等价类拆分，因而集合元素是核内元素之整数倍。
显然，同一个集合的核是可变的因为核与映射有关。改变映射，核的元素会变。这个核，随集合对应物改变而有很多别名，正则子空间，理想，不变子空间，正则子群，不变子群等等，看官且留意他们是亲姊妹。他也是投影或射影的最一般描述。投影空间（商空间）即为原空间对某个（正则）子空间取商的结果。
集合到本身的映射，即自映射，有一个特例：他给出两个元素经过映射成另一个元素，凡夫俗子称这种映射为运算，加减乘除之类。配有乘法的集合叫群，配有乘法（半群─即没有相应的除法）和加法（群）的叫环，若进一步配有加乘皆为群（即有加减乘除）的集合叫体（或域）。（比较怪异的运算是所谓求模运算以及交换运算。因此，还有一些特别的集合如模空间，配有交换关系一个集合的叫一个代数。）
群这个字值得稍微多花一点笔墨。他是只配有一种运算（乘法）的集合，因而最简单，研究得最彻底，但应用也最广。数霸喜欢谈抽象群，就是只谈元素和乘法，而我们数学贫民
喜欢知道具体的元素是啥，乘法到底是怎样做的。把元素和乘法具体化，抽象群就会灵魂附体，现出原形，即所谓的群表示。具体化需要一个场所，即表示空间。我讲一下，"表示"这个词是误用，"表演"才反映真意。但现在没办法改了。
我们看一个三正角形的对称性。表演空间是我们通常的二维欧氏空间，元素就是转动，相乘就是两个转动接续进行。穿越三角形重心与三角形平面垂直的轴为转动轴。转120度，240度都会回到原样。可见正三角形的对称群的三个元素表现为：不动（单位素），转120度，转240度。如果将二维空间写成二维向量空间，上述三个转动可以用矩阵表现出来，即三个特殊的转动矩阵。这种元素数目有限的群叫有限群。将群元素当作空间的一点，群本身又成为一个空间。正三角形的对称群空间为三个点（位于圆周上）形成的离散空间。
显然可以有无限群，甚至还有连续群。假如将上述正三角形换成圆盘，转动群就变成连续群了，可以用角度做参数化，用离散化的李代数表示。此时群空间（整个圆周）也是连续的。
群可以用元素加上"乘法或操作"构成，此处"乘法/操作"是广义的二元运算，这个刚才讲了，其实此处"元素"也可以是广义的，这就冒出一些初听起来怪异恐怖的新群，像同伦群，同调群，它们是以等价类为元素构造的的群，也就是说同一类元素（可能有无限多个！）只算一个元素。这个先提个醒，后面还要讲。
线性映射是最简单的，也是最重要的：f(aA+bB)＝af(A)+bf(B)。
举例：向量空间V，W之间的映射f：V-->W。则dim V = dim (ker f) + dim (im f). dim就是空间的维度。这个结果，虽说平淡，却异常重要。
对偶空间：V-->V*, W-->W*
"内积"： g(v1,v2) , G(w1,w2)
伴随映射f^： G(w,fv) = g(v,f^w)
有一简单但重要的结论，线性映射与其伴随映射的像空间之维度相等：
dim im f = dim im f^
至此，我们能够给出一个儿童版的指标定理及完整证明：
对向量空间之间的线性映射f: V-->W，V中元素按ker f作为不变子空间分成等价类，im f 必定与商集V/ker f同构。自然得到：dim V = dim (ker f) + dim (im f)。 同样，我们可以引入余核： coker = W/im f，即W空间中依im f作为不变子空间分出的等价类，显然有：dim W = dim (coker f) + dim (im f). 于是，我们立得：dim (ker f) - dim (coker f) ＝ dim V - dim W。
由于dim (coker f) = dim (ker f^) 故上式亦可写成dim (ker f) - dim (ker f^) ＝ dim V - dim W。
这个简单事实意味深长：左边每项都是非常依赖于f的具体细节，但右边却只与整体性质，即V和W的维度之差有关，它显然是一个拓扑不变量，因而它告诉我们：尽管左边每项都是非常依赖于f的具体定义，但其差dim (ker f) - dim (coker f)却与f没有关系！这一简单结果可以理解为玩具级的指标定理：算子f的解析指标（左边）等于其作用流形的拓扑指标（右边）。
今天礼拜天，多写一点。下个贴看来至少要到星期二。
闲论Atiyah-Singer指标定理（3A）
闲论Atiyah-Singer指标定理（3A）─椭圆算子与纤维丛
至少有些响应。感谢Berkeley狼，xj等人释疑，你们今年必有好运。
人终究是自利的。越写越觉得是娱己胜于娱人，以致有些地方突然变成自言自语。还有就是，虽然我做了一些努力，一些术语的使用还是不符合中文数学文献之规范。这些只能请看官多包涵。今后有空有兴再贴个修改版。
一开始提了，本讲座不是写给娃娃的童话，而是以领略数学颠峰奇景为目的，专门撩拨数学里的超级成人话题，极黄极暴力。看官倘若没有疑虑、心跳、罪恶感以及愤怒的话，阁下必定是数学狂魔，而且是绝代混蛋，数界的陈冠希们会上门跪拜求教。不过看官放心，多数疑问到后面会慢慢澄清，到达顿悟是突然的，不可预测的，但只要稍有耐心它又是必然的。
那就继续讲集合、算子。
一类研究得比较充分的线性映像是线性微分算子。简单而言，线性微分算子就是一阶，二阶，...导数拼凑成的算子多项式：a_(n) f^(n) + a_(n-1) f^(n-1) +...bf
这里a_(i),i=1,2,...,n以及b都是x的多项式。看官可以验证一下，它满足线性映像条件。
假如f是多个变量，x_1,x_2,...,x_n的函数，则上述方程推广成n元微分算子多项式方程，显然这种微分算子包含对单个变量x_i,i=1,2,...n的（1,2,...阶）导数，也包含对不同变量的交叉导数，而每个导数的系数，写成一般的表达式为：a_(i_1,i_2,i_3,...), i_1+i_2+i_3+...=1,2,...,n,它们都是x_1,x_2,...x_n的多项式。
正如代数多项式的根是代数学的基本问题一样，算子多项式的"根"，即给定空间上的微分方程之零频解问题，是微分拓扑学里的基本问题，简单地说也就是一般空间上的偏微分方程（PDE）求解问题。
正如一元二次方程ax^2+bx+c=0按判别式b^2-4ac＝正、负、零分别对应两实根、两复根、重根的情况一样，PDE也依系数之关系决定解的差异，因而有抛物算子、椭圆算子、双曲算子等之分。PDE的判别式由通过叫象征的东西给出：简单而言，就是将要解的PDE转成其富里叶形式，
a_(jn) ξ_j^(n) + a_(n-1 k) ξ_k^(n-1) +...bξ
将其按x和ξ的幂次之和归并，最高次微分项最重要，故用其系数a_(jn)拼凑出n×n主象征（矩阵）。主象征矩阵是对称的。比如二次PDE的主象征矩阵是2×2，三次PDE的主象征矩阵是3×3...依主象征矩阵之正定，零和负定分别给出椭圆，抛物和双曲微分算子。
因此，椭圆算子定义为：如果微分算子主象征矩阵之行列式非零（主象征矩阵有逆矩阵），则为椭圆算子。
我们做几个小练习。df/dx-df/dy=0和df/dx-idf/dy=0是两个看上去相当像的微分方程，但它们的解的性质却大相径庭。第一个解是平庸的，第二个解是解析函数，拥有极丰富的内涵。从它们的（主）象征：ia – ib 与 ia + b看，很清楚。第一个方程的象征在a=b时都会为零， 而第二个仅在a=b=0时才会为零，故第二个方程是椭圆型的，而且只有一个解，其解空间是一维的（椭圆偏微分方程拥有有限维的解空间）。
看官可以亲自验证，通常向量分析里的梯度，散度和旋度算子都不是椭圆算子。
同理，也可以判断出物理上常用的拉普拉斯算子（Laplacian）是椭圆算子，因为其象征为- a^2 - b^2，而另一个常用的达朗贝尔算子（D＇Alambertian）必须限制在光锥外才是椭圆算子。
我们考虑紧致流形，紧致大体就是有限的意思。泛函分析可以给出简单的定理：紧致流形上的椭圆算子之ker和coker都是有限维的，即所谓Fredholm的。前面讲过，对于算子或映射D: V --> W，coker = W / im D。dim coker不等于零就说明存在D不能映到的地方，也就
是说在W上存在额外的限制条件或约束条件。所以，对紧流形，椭圆算子自动暗含它就是Fredholm算子。一般解析指标：ind_ana = dim ker D – dim coker D.
至此，可以解释所谓"微分算子解析指标是个拓扑不变量"是什么意思了。就是指算子里的主象征矩阵元作连续变化时上述解析指标ind_ana不会改变。或者说，有无限多个PDE的解析指标相等（虽然他们的解的具体形式会有差异）。AS定理告诉你这个值是该微分算子作用的流形的拓扑性质所决定（难怪与主象征参数变化无关！）。AS定理也告诉你如何具体算出这个指标的值，也就是说到底是流形的哪个拓扑不变量对应那些（无限多个）椭圆算子的解析指标。
好，集合与映像联合王国的基础概念就暂时介绍到这，其实也没有太多别的啦。如果到此你还没有产生恐惧感，我认为你绝对有起码的数学天赋，品尝几口21世纪数学饭馆的酒菜还是受得了的，甚至能够尽情玩乐享受一番。下面讲一个具体的集合的例子，跟本主题有关的空间，即纤维丛。
描写变化的函数，如车辆飞机的路线，股票的涨落，影音讯号，都是用平面曲线记录的，因此，X-Y坐标系人人会读，人人要用。其实带坐标系的二维平面就是一个纤维丛。我们可以想象整个平面是一根Y向直线横扫X空间而形成的。被横扫的空间（这里是X）叫底空间，那根直线就是纤维。
从另一个角度看，我们也可以将XY平面当作一个乘积空间，即每一个X点可以与Y的每一点相乘得到一条直线。
当然这是一个太平庸的例子，但一般意义的纤维丛确实是乘积空间的推广。"推广"了什么？刚才的例子之所以叫平庸，是因为他每个地方的乘法完全一样，不同X的地方的Y直线毫无差异，就像红朝人民的脑袋，万众一心，平庸得可怕。总而言之，一张四平八板的纸片确实有点无聊。不过，稍微变一下就可以别开生面，例如，将纸带扭一圈或几圈以后对接，形成Mobius带子。哈！你没办法用简单的坐标系或通用的乘法了。局部看来，小人度腹，依然是个"平面方形"，直线段尚在，依然可以用乘积空间描写，但稍微走远一点就发现，原来的"Y直线"整条都是直的而且对得很齐但现在"弯掉了"，不对齐了。跳出三界，来个全观，则发现，相邻的弯掉的直线之间的关系（转换函数或联络）与扭曲的程度有关。
简言之，底空间各个地点各有各的纤维空间，就是非平庸丛了。
为了对阁下负责，对底空间，要做点补充。
第一是底空间无须平直，可以弯折。这个不奇怪，地球表面，阁下的俊脸贵体，都是弯曲空间。不弯还不行。没有曲线美。问题就大了。
第二，空间的长度单位（标准尺）可以随位置甚至时间而变，即，各个地方的长度单位还不一样（上海的1尺是广州的9寸）。这就是最通用的黎曼空间了。黎曼提出这种空间60余年以后，爱因斯坦找到了一个物理实例（使之成为最伟大的科学家），也就是阁下所在的宇宙，其实就是一个黎曼空间。真是不识庐山真面目，只缘身在此山中。当然阁下想看到尺子钟表不一样，或者看到时空之弯曲，您得稍微走高一点看才行，例如走100万光年回头看。藉助现代仪器如原子钟，地面与卫星轨道的时间差异就可以量出来。这里终于搭上了短江兄的GR话题。
这有个休息亭，好，歇一会：一些人觉得像流形、非欧空间或弯曲空间难以捉摸，这里试着从一种特别的角度解释一下。我们回顾一下微积分干了什么。依我看，其实就是用古希腊数学家们关于线段、长方形和长方体的已知结果（长度、面积和体积）用来量度一般曲线、
曲面和曲体的长度、面积和体积。其中用到的一个基本假设就是，不管多么"弯曲"的东西，总可以找到一个足够小的尺度，在此尺度下一切都是平直的。故可以用大量的微小线段、微长方形或微长方体为"尺子"拼凑出任意的形状或体系。微分几何的大部分也就是告诉你如何用微小的平直空间来建造一个"任意的"流形，所以基本思想还就是那一点东西在兜来兜去。
非欧空间简单讲就是一个到处充满奸商政痞地头蛇的国度，尺度和时间或物价等标准（数学家叫度规）由这些地头蛇制订。经历千万年演化，这些地头蛇现在都成了蛇精，变态已极，弄得流形上每一点都有其自己的度规标准，成语"点化成精"得改成"精化成点"。对于一个生活在这个国度的人而言，弄清各个地头蛇之度量时间标准之兑换率是至关重要的，这个兑换率就叫做联络（系数）。有人可能会讲，度规确定联络系数，简直是一句废话，纽约（N）一美元是波士顿（B）的95美分，联络系数当然是L_{NB}=1.05或L_{BN}＝0.95。大体没错。 不过，你们可能还不知道这些地头蛇有多么无耻变态，原来，"上海的1尺是广州的9寸"只是一个大体的说法。地头蛇说，真正的兑换率还要看你的尺子是朝南北方向量，还是沿东西方向量，还是朝民主街方向量，还是朝自由大道方向量....也就是度规还与方向有关。还有比这更黑心变态的地头蛇吗？那种国度最后被上帝警告惩罚，地头蛇稍有收敛，将同一位置不同方向的度规兑换率用一个简单函数约束。只要知道三个互相垂直方向的两两兑换率（对三维流形总共是9个，对吧？）就可以知道任意方向的兑换率。这9个值就是度规张量。不同地方的度规张量之间的转换（联络系数）也可以决定：度规-->联络-->曲率（后面细讲）。
这里我们也看到一个数学与物理、化学和生物的范式对应：线段、长方形和长方体就是数学里的原子、分子和微晶，由此堆集出千千万万的流形（包括纤维丛）。
休息完，继续爬。
底流形上的转换函数之非平庸由结构群描述。例如，Mobius带，我们注意到平面与弯折纸带可能有整体的差异。这是什么意思呢？从纸带上垂直于纸面放一根铅笔，当他沿纸带走一圈回来时，平庸情形没有变化，但在扭曲带上走时会反向。的结构群为{1,-1}，-1出现在反向黏贴的那个地方。
类似地，纤维也有"转换函数"的对应物，由叫和乐群的东西描述。再看Mobius带。现在，不同于平庸情形的"相邻直线或纤维完全等价"，相邻"直线"满足特定的转换关系（这就是称为"局部规范变换"的东西）。和乐群归根到底由结构群决定。
对于一个普通的黎曼流形而言，休息时提了，流形的度规张量完全决定联络系数。而对于一个纤维丛而言，底流形的度规张量加上纤维的holonomy群才能决定联络。底流形上完成一个循环时纤维空间可能没有回归原状，和乐群是指纤维变化的变换群。
细心的朋友可能会说，你讲的所谓整体差异还不是那些局部差异（规范变换）积累起来的吗？铅笔指向在扭曲带上走一圈出现倒向还不是他在走的过程中慢慢逐步积累起来的？
太对了。把这句话将得更清楚一点，就是给一批大师赢来功名利禄的东西。包括陈大师省身先生。即所谓的"将整体不变量用某些局部性质的积分表示"。别急，这个东西我们后面也要把他弄得清清楚楚明明白白。至此，看官自己就可以给纤维丛下定义了。需要的东西为：底空间，纤维空间，转换映像，还有结构群，或简记为E（F,M,π,G）。看官看看时间，您花了多久到这里？数学系本科生四年下来能到达这一步的，罕也，Princeton，Oxford不例外。
好，现在讲一讲切丛，他是最常见的也是最重要的纤维丛。过底空间上每一点可以画出无限多条切线，构成切平面。因此可以将切平面当作纤维与底空间合成一个纤维丛，故名切丛。每个切空间也是一个向量空间，故切丛也是向量丛。
于是，我们知道所谓纤维丛的截面就是每一根纤维上拿一点（一个值）来拼出来的东西。是平面曲线y=f(x)的推广。
以二维球面为底空间的切丛上的一个截面就是该球面上的一个向量场。
古典微积分中导数是函数的变化除以自变量的变化，推广到纤维丛就是截面的变化（平
行移动）对底流形参数的变化，这就是联络（一般有多个分量）。直感上可以猜到，纤维丛的联络由底流形和纤维二者共同决定。
阁下有一个天生的纤维丛。脑袋表面是底空间，上面长的头发就是纤维，转换函数依赖于阁下梳头的风格，结构群为平庸（不是吗？）。梳梳头，你得到纤维丛一个不同的截面。
前已述，群本身也是一个空间，因而我们可以将结构群的群空间就当作纤维空间，这种特殊的纤维丛叫主丛。既然主丛的纤维与结构群同一，只需标出底空间和结构群即可，故主丛记为P(M，G)。一个抽象群的元素都可以通过一些具体动作（操作）表现出来，叫群表示。 李群，平移群，点群，等等天上神仙客都可以来个投胎下凡，即具体化。具体化就是选定群元素作用的场所，即表示空间。神迹在地球上表现。地球就是神的表示空间。看官可以看到，"表示空间"是多么地误导。当初要是叫表演空间多好。既然表演空间也是空间，我们假如将此表演空间当作纤维，也可以构成纤维丛，叫主丛诱导的伴侣丛，简称伴丛，记为PxVg，x指直乘，Vg是结构群G的表演空间，他是一个向量空间，故伴丛也叫伴向量丛。
下面是插曲，看官尽管可以略过。
令人惊心动魄的是这些看似灵界仙境才有的东西刚好是我们描述自然界的最可靠工具。现在物理学家认同所有的相互作用都是规范场刻画，而规范场在数学上与纤维丛完全是一回事。吴大俊和杨振宁证明规范势是纤维丛（主丛）上的联络，而规范场强是纤维丛（主丛底空间）的曲率。朗朗乾坤其实只是纤维丛世界之投影，像在我们世界扮演重要角色的电子似乎生活在三维空间，但实际上他的波函数是生活在以三维空间为底的纤维丛中。量子粒子由波函数描述，通常包含内部自由度。内部自由度对应的波函数可以当作纤维，底空间可以是普通的三维欧氏世界，也可以是（能量算子的）某个参数空间。因此，按纤维丛术语，体系的波函数就是丛截面。相位部分有动力学部分，几何部分和拓扑部分，其中后两种由和乐群描写。微观体系的很多＂古怪＂行为全因于此，例如成键机制，超导，量子霍尔效应等等。
插曲完了。
到此，我们完成至少70％了。迷雾渐散，人心趋定。
作为中国知识分子声音的一个子集，海外中文论坛上总是一片吵骂声，包括新语丝读书论坛上也有那么多缺乏起码教养的，连说话的basic manners都没有，一上来就是要干架，死活就是要"讲赢"，还有那么多志愿的政府宣传员和党工。凭我的第八感，可以看得到那些人血液里流动的毒素和他们精神里的恶瘤。相比之下，短兄和湘女既是正直的热心人，兼具绅士/淑女风度和义士精神。短兄湘女精神境界令人赞赏，心理健康值得敬佩。因此，谨以今天这篇拙文献给短江和湘女。中土这面大鼓，除盛产狼孩这种bad解以外，也还有polik，短兄和湘女这样的良解，这面鼓或许还有一点点可能性予以修补
闲论Atiyah-Singer指标定理（4）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern
学习要反覆，无规的反覆，易易难难，难难易易，易难难易.......今天来点轻松的。
从鼓音、听床联系到原子分子结构和光谱，从平直空间到非欧几何，从单一流形到纤维丛，我们可以看到数学是统领科学和一般生活的最乾净、最经济的思维方式。但实际上，数学家并不像我们通常想像的那样厉害。前面提到的那些看起来很怪异的数学概念，每一个都有漫长的历史。数学书中每一句话都是历经无数人千锤百链共同努力的结果。
我们今天更要凸显一个事实：绝大多数数学概念都可以以形象为基础来理解，也就是说绝大部分数学是符合直觉的。不靠推导，不靠计算，光凭思考，可以学到（至少可以理解）绝大部分数学。
我们今天从AS定理的远祖开始来考察一下AS定理的世系演化。
平面三角形的内角和等于180度这一定理，不能算是AS定理最早的祖先，但算得是一个好的祖先代表。这个简单例子让我们看到了几何体上有代数，三对边夹角之和是个常数。因此，我们知道无穷多个三角形之所以能归为一类，用边数为3或角数为3来判断都不够好，而是因为有一个共同的不变量π。这个不变量是几何不变量。
三角形还有别的不变量吗？当然有。大家可以验算一下：边数-顶点数＝0对所有三角形也成立（不许笑！），而且与几何不变量π没有关系。
这个不变数对任意多边形（平面的或立体的）都成立：边数-顶点数＝0。有一点点意思了吧。敏感的同学可能马上看到这个不变数0是由于任意多边形都是一个闭合的东东。
更多一点意思的是，推广到无穷多边形也是成立的，特别是对圆周也成立，虽然边和顶点已经难以看出来了。
于是我们发现这个不变数0原来是不仅是三角形的，也不仅是多边形的，也不仅是圆周的，而是任意封闭曲线的性质。任意封闭曲线有一个不变数0。这就是封闭曲线的所谓拓扑不变量。到这时，我们看不到这个0与边数或顶点数之类的关系，边、顶点、形状、长度、面积等几何量此时都不是本质性的东西。这说明几何之外，还有更一般的不变数，就是拓扑。拓扑不变量更有包容性，能够对更多的东西声明主权：xxxx自古以来就是我的领土。
任意封闭曲线有一个不变数对应，据说在古希腊就有人提到，但直到18世纪大数学家欧拉才真正认真对付。欧拉推广了上述不变数。他首先发现任意多面体的表面，存在关系：面数-边数+顶点数＝2。仿照上述例子，可以轻易地推广到无穷多面体表面，推广到任意封闭体表面，如球面。可见这个数2是所有二维封闭曲面的拓扑不变量，叫欧拉示性数。想想欧拉活在18世纪末，这种今天小孩子都知道的关系也才200年左右的历史。因此，必定还存在一些简单美丽的数学结果等待我们去发现。
欧拉解决封闭曲面的示性数以后，又进一步处理了带洞的曲面，他发现（你也可以轻易验证），带洞曲面的示性数等于无洞封闭曲面的示性数减去洞数。例如，篮球表面挖个洞以后，其示性数就变成1，它拓扑等价于一个圆盘或一张纸。轮胎面，也叫环面，如自行车内胎，也可以想像是一个实心多面体先从中间挖掉一块（也是多面体），再淘空剩下的环体而得，故有两个洞，由此可得其示性数为0。
前面讲过，数学里的一个很重要的事就是分类，因为要统一，要抽象，就必须知道哪些是同一类。数学上的分类与别的领域的分类之基本原则并无两样─就是以共性为基础。 看到欧拉示性数，自然会想，它能不能用来做某种分类呢？答案是: you bet!实际上，二维曲面的分类仅靠欧拉示性数就够了。
任意封闭连通曲面必与下面之一同胚：（1）球面，（2）有限个环面连通和，（3）带交叉帽（Mobius柄）球面。交叉帽（cross-cap），可以想像为变肥的Mobius带，但在倒向处有交线。见图：也就是说二维曲面就只有这几个球面，环面和交叉帽这几个基本类。它们就是二维封闭连通曲面世界的全部"元素"。（三维曲面的"元素"数目由Thurston猜出，由Perelman证明，这是另外的故事了）
高维曲面的欧拉示性数可以很直接了当地推得，而且结果堪称最美妙的数学方程序：
对n维闭多面体，欧拉示性数等于顶点数-边数+面数-3维体数+...χ＝ [(-1)^{i}a_{i}]，对i求和。
也就是说，欧拉示性数是各维子流形之数目之加/减。因此，也有人把欧拉示性数念成交错和。
欧拉交错和之意义无论如何强调都不会过份：事实上已经发现至少有10种类似的交错和，如Betti数，还有后面要讲的上同调等，而每一个这种交错和的发现都是数学史上的大事！每一个这样的交错和都导致新的惊人发现！
我们这里来看一个从示性数引发新思想的小例子。
咋一看封闭线面的这类欧拉示性数，看官可能会觉得有些神秘。但稍微想一想，就可以看出门道。对平面封闭曲线而言，你可能猜想这个0应该与曲线上的点绕一个中心点跑了一圈以后回到基点有关。似乎是切线斜率将所有值扫瞄一次。更仔细的分析表明，那个0是曲联机对每一点的曲率求和的结果。
后来更发现，这一思想可以推广到封闭曲面─即欧拉示性数是曲面上曲率对整个曲面积分。
什么是曲率？微积分里讲过曲线的曲率，就是二阶导数。（一阶导数是斜率，没有忘吧。）推广到高维是直接了当的：经过曲面（体）上每一点可以画很多（无限多）条曲线，因此应该有很多（无限多）个曲率，分别对应沿（无限多个）不同方向的曲线的弯曲程度。一个点处有无限多个曲率值，你可能会觉得是个麻烦，但实际上这些曲率并不都是独立的。例如，对于二维曲面上的点，曲率顶多有9个独立分量，也就是说，知道沿9个方向的曲率值，其他任何方向的曲率可以推算出来。这9个值构成所谓的曲率张量。
欧拉示性数能表示成曲率对几何对象的积分。这是几何/拓扑近100多来的一个很热的主题，可以说它直接催生了AS定理及其后裔。欧拉示性数能给出流形的洞数描述，但洞可以有不同维度。系统记录各维洞的数目及分布，有一个工具叫同伦群。从图像看很清楚。假如流形上有一些洞，如何标记它们呢？最简单的方法就是把每个洞画个圈，表示"内为陷阱，禁止进入"。一维洞，用一维圈围住，二维洞，得用二维洞才能围住，依此类推。总而言之，我们总可以用环绕每个洞的闭合流形将各维洞包围起来。同伦群的最基本元素就是这样的包围圈。
我们来看这些包围圈为何能形成群。事实上对于每一个洞，我们可以用无限多个可能的包围圈将其包住，这些包围圈之间的差异只是形状上的，它们都是等价的，叫同伦等价，因此同伦群元素是以类为"单位"的。同伦类形成群的理由则简单得无法形容：对每个洞，我们不光可以包围一次，也可以包围任意多次，可见包围n圈相当于是加法：围一圈，再围一圈，再围一圈...。而且我们容易注意到包围次数不受次序的影响，因此同伦群是可交换的，即Abel的。更进一步，我们不光可以一次只围一个洞，也可以一次围几个洞，形成不同的同伦类。看官想得出来，同伦类的数目决定了同伦群的＂自由元素＂数目，也就是秩。由于不同维度的洞由不同维度的围道包围，故不同维度的同伦群互相独立，也就是说，不同维度的同伦群（的元素）不会搅到一起。
作为一个例子，我们计算环面的同伦群。零阶同伦群为零，因为没有一维洞。一阶同伦群有三个元素（三种不同的同伦类）：环面上平庸围道（可以收缩成一点），它们不影响同伦群。环面上的非平庸围道有两种：一种是围绕大环的，一种是围绕小环的。两种非平庸围道都服从整数的加法而成群，是为Z群（整数群）。因此环面的一阶同伦群为：Z Z。环面的所有高阶同伦群（大于等于2阶）均为平庸（仅含单位）。
看官不妨算一下中间挖掉两个小圆的三角板的一阶同伦群。
每本拓扑学书都有一大章讲同伦群，一般要花几十页篇幅。凭我的经验，学习效果都远远不如我5到10分钟的解释。写成文字就是上面几行。
很多学生学完拓扑学还是不知道算简单形状的同伦群，就是因为教材上的那种写法是以最错乱的方式写的。休息亭：基本群。它就是一阶同伦群。也就是以一维围道为同伦类构成的群。基本群之所以重要，除它能描述二维洞以外，它与Poincare猜想之关连可能是最重要
的原因。Poincare猜想是說，与球面S^{n}同伦的 n 维拓扑流形一定同胚于 S^{n} 。对三维流形（Poincare猜想原始版的流形），可以表成：如果一个三维流形的基本群与三维球面的一样，则这个三维流形就是一个三维球面（拓扑等价或同胚）。很奇怪这个如此"地道的拓扑学"猜想最后竟然不是用拓扑学方法证明的。
同伦群直观，又是Abel的，是流形分析的一个好工具，也有一些美丽的定理帮我们减少计算。例如，Bott的一个伟大发现是，正交群的同伦群有周期性。这个我们后面还要比较仔细地讲。但一般而言，流形的同伦群计算并没有一个可以依循的通用演算步骤，因而可能很复杂甚至没办法算。像一般n维球面的同伦群问题还没有解决。因此，为了描述流形的组成，还需要别的工具。
欧拉示性数催生的另一个伟大概念是同调群。现在同调已是一个容易导致混乱的词，因为有十几种不一样的东东都打着同调这个旗号。当然从本质上讲，所有的同调有一些共性：就是都对应一个叫同调群的Abel群。基本元素为链，闭链，边缘链（与之对偶的为上链，上闭链，上边缘链）。实际情况中，我们一般通过上下文可以得知用的是哪种同调。
我们这里先讲讲最简单的同调群，后面再讲别的，AS定理至少涉及到四种同调，我们当然都要解释。由欧拉示性数得知，一个一般的流形可以由一些简单的＂元素＂拼成：顶点，边，面，体...不同维度的子流形。链的概念就是这些小流形的各种组合，如一些顶点加一些连接线，一些面拼成的多面形。当拼出的流形封闭时，就叫闭链，如三角形的三条边，长方体上表面的四条边，长方体的的六个面，都形成闭链。看官容易看出，流形的边缘是特殊的闭链，例如三角形的三条边，圆盘的边缘，球体的表面...所以边缘链必为闭链，反之闭链不一定是边缘链。
对于给定的流形，我们可以形式地用边缘算子来求得其边缘。例如，球体在边缘算子作用以后成球面。边缘的边缘为零或边缘没有边缘的事实可以说成边缘算子作用在边缘链上为零。
因此当我们得到一些闭链时，为了将其中的边缘链区分出来，可以用边缘算子去作用它们，剩下来的就是非边缘链。不断作用下去，就得到流形的分解。
因此仅相差边缘链的闭链可以当作是同一等价类，即同调类。也就是说，可以将闭链按边缘链作为商得到的群来表示一个流形的分解。这就是同调群。
其实，同调有两种等价的说法，即所谓的上同调和（下）同调，前者是由低维往高维走，后者是由高维往低维走。你知道，这种分法必然没有本质差异，因此可以不管它。
同调群的计算比同伦群来得可操作多了，在流形上人为画些边，面，得到闭链，即可依固定程序算得同调群。实际上，由于我们知道，同调群闭链的差异其实也是在各维洞附近表现特别，故由洞数以及洞之分布，可以帮助我们（猜）得到同调群。
作为本讲的结束，请看官留意欧拉示性数有一个非常优美的同调群语言表述：χ＝ [(-1)^{i}dim h_{i}]，对i求和。即欧拉示性数等于各阶同调群的维数（也就是Betti数）之交错和。再次以交错和来表达拓扑不变量！
写到这里，我突然看到诗兴盎然的短江兄，于是也跟着诗兴发作，特贴出来与看官分享，并请短江兄修改。
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颂不变量（polik自由诗体）
啊，伟大的不变量！
你是思维的灯塔，
你是黑夜的星光。
有你就有共同点，
有你就有恒等式，
有你就有准绳和皈依。
你是法律，你是指南，
你是地图，你是基石。
啊，伟大的不变量！
你是科学的生命，
你是文明的灵魂。
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将不变量换成荆，周末可骗得美餐一顿。
不难理解，寻找不变量是数学（物理）的一个永恒主题。一方面是追求不变量，另一方面是从完全不同的角度看待几何或拓扑。
我们下面得分开成平行的两讲（4A）和（4B），然后才回到正题（4C）。各节题目预告如下：
闲论Atiyah-Singer指标定理（4A）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：微分形式，（上）同调
闲论Atiyah-Singer指标定理（4B）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：Morse理论
闲论Atiyah-Singer指标定理（4C）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：RR定理及其推广
论Atiyah-Singer指标定理（4A）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：微分形式，de Rham（上）同调
上同调类有十几种，名字也混乱。数学家里变态的多，有些人喜欢迷雾好混水摸鱼，有些人则专门制造迷雾。我在这里引带你们躲过那些害人的东西，直奔要点。我会在不久的将来另文彻底清算数学上的各类同调理论。到时你会发现，同调湖里的浑水是多么的污浊，而又多么不应该。
中学微积分知识告诉我们，对于一条曲线，一阶导数即切线代表倾斜程度，即斜率，二阶导数代表弯曲程度，即曲率。推广到高维情形，依然成立，只是方向多了些，斜率需要多个独立分量（＝流形维度），而曲率就更多了，是一个张量。以二维曲面为例。每点的切线（无限条）构成一个切平面，一个平面可由一个二维向量空间代表。又由于过每一点可以画无限多条曲线，故曲率也很多（无限多），他们的大小满足从基点到一个椭球表面的距离，因此可以用一个椭球面来描写二维曲面某一点的曲率，椭球的三个轴和椭球的方位总共对应6个独立值，叫做曲率张量的6个分量：
d^2/dx^2,d^2/dxdy, d^2/dxdz,d^2/dy^2,d^2/dydz, d^2/dz^2.
高维情形依然有切平面，但曲率张量的分量要多一些。
曲率张量的每个分量是一个二阶导数。曲率张量还是反对称的，即交换指标出现一个负号。这是要点。因此干脆将曲率张量的每个分量带上相应的dx_idx_j,i,j=1,2,...n. 并且规定dx_idx_j ＝ - dx_jdx_i，这当然与通常微分乘法不同，但体现交换反对称性质，叫外微分。这个看似简单的记号改变，外微分是一个巨大的创新，对简化计算至关重要，更重要的是，它是20世纪微分几何发展的一个主动力。现代微分几何都是用这套记号。很多人都不加"外"字了。这是最紧要的，建议看官在这里反覆几次。将二阶导数配上外微分，就得到了表达成外微分形式的曲率张量。
巧的是，如此定义微分，积分会得到巨大简化，高维积分与一维积分一样简便。更巧的是这样定义的微分形式按乘法构成群，叫 (de Rham)上同调群。外微分形式还有很多巧，暂先不谈。
我们知道，把张量分量当作一个矩阵（高维）的元素以后，张量就是矩阵。因此曲率张量就是曲率矩阵。微分形式的曲率张量就是微分形式构成的矩阵。用矩阵时，我们希望矩阵行为端正，例如不要奇异，即有反矩阵存在。否则我们就不理睬它。我们对待曲率矩阵也是如此，都假定它是a good guy。这样我们就可以找他的特征值（即曲率张量的主分量）。我想，如何求矩阵特征值就不用提了吧，归根到底就是解行列式而已：
｜Ω-Iλ｜=0
Ω是曲率矩阵，λ是特征值。与平常解矩阵特征值问题的唯一差异是，这里的特征值也是微分形式。
我们知道任何一个行列式可以展开，曲率矩阵对应的特征行列式做展开以后，按特征值的幂次表示出来：1 + c_1 λ + c_2 λ^2+....=0 （第一个系数总可令其为1，why?）其系数c_1,c_2就是第一陈式，第二陈式，....。他们分别是2i（1<i<n）次（闭）微分形式。陈就是陈省身。
陈式是微分形式，而且是用来表示纤维丛的拓扑不变量的最佳形式，这样表示的拓扑不变量就叫示性类，或特征类，即陈类。
陈式是闭微分形式，非常重要。代表d c_i =0, i=1,2,...表明局部"平"（流形）或"丛局部＝局部积"（丛），但其积分非零（整体拓扑非平庸流形/丛不等于流形简单乘积），即他们不是恰当微分形式，c_i不能（在整个流形上）写成全微分形式df_i。
[微积分里讲过，闭形式是指：w = fdx + gdy 满足 df/dy = dg/dx，因此dw=0, 但w本身不能写成某个形式的全微分dW，即f 不一定等于dW/dx，g也不一定等于dW/dy。]
与同伦群的元素为"类"一样，同调群的元素也为"类",即同调类。可以更清楚地写出明显形式：k维同调群 ＝ k维闭链群/k维边缘链群。同调群的秩或维由群元素数目决定，也即自由群部分的秩。同调群的扭分量是指交换群中的有限阶（非自由）元素。
微分形式组成的同调类叫de Rham上同调类，相应的群叫de Rham上同调群。同样，可以写出de Rham上同调群的明显形式：k维de Rham上同调群 ＝ k维闭形式群/k维正合形式群基础或基本（上同调）类就是n维体积元dx_1dx_2...dx_n，积分时往往要先将"被积函数"（微分形式）里提取出基本类来。Todd类其实就是陈类的某种重组（也有人叫Todd类为陈类的余类）。所以并非新东西，也是一些微分形式拼出来的。之所以特别引入Todd类，目的是他与所谓Betti数的关系更直接。[第4节讲了，betti数就是流形同调群（非扭部分）的维数（秩），其几何意义为将连通流形剖分时，最多可以切几次而不将其分成两片。有人直观但粗略地说，"bett数代表流形上各维洞的数目"，知道betti数可以算出洞数，但并不是指betti数就是洞数！例如，pretzel的一维betti数为6而不是洞数3。]
在最一般的意义下微分算子的作用可以理解为在流形间建立映射，对切场产生前向映射，对余切场（微分形式）产生拉回映射。与本题相关的是椭圆微分算子的作用在丛截面之间建
立映射，对余切场（微分形式）产生拉回映射。微分算子象征的陈类在积分时需要"乘以"Todd类。虽然de Rham上同调类是微分形式类，但多数人觉得它比很多别的（上）同调类反而来得直观友好。其实，微分形式与边缘的关系通过Stokes定理而表现得淋漓尽致。
用文字表达就是：对流形整体的积分可以化成对该流形边缘的积分，或更一般地，微分算子是边缘算子的伴随算子。所以de Rham上同调类与闭链同调类实如形影相伴。Stokes定理对任何维度都成立。这个公式不光美妙，更充满神秘。我相信任何初次接触这个公式的人与看到爱因斯坦的质能关系一样，会感受自己心灵的震颤！
短江兄谈到中国人服暴力不崇理性，十分中肯。这其实是所有落后民族社群的共同不变量。中国历史上产生了众多超级混混而受人膜拜，却从未能产生一个哪怕是玩具版的Stokes定理。再随便看看任何表现理性和需要深度的地方，中国人就得鸭蛋。八卦易经、宫廷狗斗、中医风水、算命相术，这些所谓中华文化的精髓就是蒙昧、荒诞及其滋生的暴力风格，所谓辉煌的中国历史就是愚民反覆被极少数看穿这些精髓的魔头所利用然后很快被烹宰的历史。方舟子老师批中医，据理据实，用心良苦，粪青叫痛早在预料之中，但还有那么多朝野"精英"人物来抵制方老师，难怪中国人最多也不可能产生一个哪怕只是形似Stokes定理的作品。
勒贝格的成名之作是他的论文《积分，长度，面积》（1902年）和两本专著《论三角级数》（1903年）、《积分与原函数的研究》（1904年）. 在《积分，长度，面积》中，第一次阐明了他关于测度和积分的思想. 他的工作使19世纪在这个领域的研究大为改观，特别是在博雷尔测度的基础上建立了“勒贝格测度”，并以此为基础对积分的概念作了最有意义的推广：即把被积函数f(x阿)定义的区间 分成若干个勒贝格可测集，然后同样作积分和，那么原来划分子区间方法的积分和如果不收敛，则现在划分为可测集的方法就有可能收敛. 于是按黎曼意义不可积的函数，在勒贝格意义下却变得可积.
[PDF]数学家蒲丰（Buffon，Georges Louis）(17071788)
是否一定解析，1904 年伯恩斯坦证明了一个变元的解析非线性椭圆型方程. 其解必定解析）和1908 年试解 ..... 帕斯卡认为：“一个人的美德决不能从他特别的努力来测度,而应该从他. 每天的行为来测度. ... 勒贝格（Lebesgue, Henri Leon）. (1875—
的零测度闭子集上退化,可积性满足通过单调算子的办法得到在f∈Lp(Ω),1; 【产品 ... the degeneracy set∑which has Lebesgue measure zero and satisfies By the ... 模糊关系方程解的唯一性及矩阵强正则性的研究 · 几类椭圆型方程边值问题的可解性 ...
主要内容有：集类与测度（特别是单调类定理）、可测映射与函数、积分与空间与概率 .... 实际问题中应用线性算子与线性泛函的一些著名结论，了解Lebesgue测度与积分。 ..... 课程内容包括：抛物型方程、椭圆型方程及双曲型方程的各种差分格式的建立；
一类椭圆型方程的解。 17. 泛函分析中的不变子 ... Lebesgue积分与Riemann积分的关系。 27. 重积分与累次积分 ... Lebesgue测度的相关概念。 32. 可测函数与连续 ...
根据不同方程所特有的性质和理论，偏微分方程可以分为椭圆型方程、双曲线方程、
May 15, 2014 - 89, 87, 10378090, 廖颖, Lebesgue控制收敛定理的两种推广, 郭先平, 良 ... 完备测度空间的生成和Lebesgue可测集全体与Lebesgue-Stieltjes可测集全体 .... 122, 120, 10350003, 王建国(双学位), 椭圆型及抛物型偏微分方程极值原理 ...
... target="_blank" href="/question/27322373/answer/36270788">发布于2015-01-
... 伯特第19问题（正则变分问题的解是否一定解析，1904年伯恩斯坦证明了一个变元的解析非线性椭圆型方程其解必定解析） ..... 数学家勒贝格（Lebesgue, Henri Leon）
《论人的伟大》（法）帕斯卡..的书评~~~急需~~(大约300字)
开场白
闲论Atiyah-Singer指标定理（1）─引子
闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS的实质
闲论Atiyah-Singer指标定理（3）先声─Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern
闲论Atiyah-Singer指标定理（4）─黑话破解，主要概念介绍
闲论Atiyah-Singer指标定理（5）─奇径通峰，AS之证明
闲论Atiyah-Singer指标定理（6）─回味无穷，总结与教训
闲论Atiyah-Singer指标定理（1）
（此文系一位署名polik的牛人所作，我十二分的佩服这位兄台的功力，敬重之情，无以言表，特此转载其文于此，与众位学习分享。）
闲论Atiyah-Singer指标定理
Nowadays, mathematicians tend to over-abstract things that in fact cannot be further abstracted, which not only dilutes the essence of concepts but also drives away potential students and users, and eventually, if this pathological mood is not cured, will make a lot of mathematicians breadless. ---------Vladimir Igorevich Arnold
开场白
余观天下学数众才，体察愈久，遗憾益多。开始决定献身数学时，大家都是聪明、愉快、可爱、活泼的，也是被别人视为天赋才俊。但是随着时间推进，一些人开始变愚蠢了，一些人开始变苦闷了，一些人开始变得令人讨厌了，一些人开始变古怪了，一些人变虚弱了。
更过一些时间，一些人已经是白痴了，一些人已经自杀了，一些人已经是罪犯了，一些人已经是疯子了，一些人累死了。现在走在这条路上的或朝这条路上走的仍然是千千万万，各种悲剧天天发生。身是献了，但白献了。还搭上翘首期望的家人亲友以及一些无辜的关连者。
万幸偶有小成大成者，却同时也惹出一堆冤家对头，倾扎之惨烈，不亚于黑帮火并。暂时胜者担心报复，除时时努力固守城池以外，也终日疑神疑鬼，久而变态失常，最终众叛亲离者绝非鲜见；一时败者则卧薪尝胆，时时司机反扑，报得一箭之仇，然现实常常是仇难报，气难消，遂焦躁不安，怨天尤人，久而变得古怪，抑郁，甚至崩溃。
为何开始看起来的一桩好事会变得这样惨呢？主要是态度不对。古人练功修行讲的德字主要是就是讲态度要正确。现在很多人，由首先喜欢数学崇拜数学变成拿数学当商品工具谋名获利，并以所得多少作为衡量成功与否的标志，多数人因此走入歧途是必然的。正确的态度是你玩数学或你与数学玩。以玩得开心为最高宗旨。既不要想通过学数学抱得美人归，住
进黄金屋，做得人上人，也不要想去光宗耀祖，恩泽乡里，更不要想去当所谓英雄为民族争光，报效国家，这些人充其量也就是被权贵玩来摆去的宠物狗。如果一开始就是以正确的态度学数言数，玩数之人就会永远保持聪明、愉快、可爱、活泼。如果是这样，我们看到的数学文章着作也决不是现在这样以狗狗互相威聂的方式写成声明书。
本文题头引用的数学物理大师也是教育大师Arnold的话，反映本人对数学（物理）界悲剧的另一些观察是也没有错误的。数学生到大二左右，就开始幻想脱离俗家尘世，进入不食人间烟火的状态。先是与"土得掉渣，难以启齿"的具体数字和图形决裂，然后是大胆抛弃"半土不洋，肤浅得很"的运算和公式，匆匆穿上光鲜的水货衣服（半懂不懂的外文书），擦上廉价的胭脂（网上抄来的作业），配上借来的首饰（一知半解的老师讲义），端着身子急急溶入"豪华典雅，宛如仙境"的各种抽象定义引理定理建构的"上流社会"。但是，正如Arnold指出的，不必要的抽象不但害人，终将害己。与学武功的人类比，过分抽象等于过份强调虚力、意志和策略而忽视实力、环境和具体的战术，好多从数之人走向悲剧，不光做不出数学成果，最终连一份谋生的差事都做不来，重蹈邯郸学步覆辙，实属自取其果，如果一开始就加以注意，完全可以避免。
鉴于上面几点，本文的第一个主要目的当然是要向外行以草包大众喜闻乐见的方式介绍一些常人望而生畏的着名数学难题，作点破除迷信，奚落权威的事。旧时艰涩书中物，进入平常百姓心，翰林神道华山剑，屠狗之辈亦善玩。既向有数学兴趣的人展示绝大多数的抽象是不必要的害人之物，另外也顺便将一些所谓的"高度抽象"概念之唬人外表揭穿──世上无神鬼，都是人炒起也，跟着抽象起哄的数学家中真正懂得实质的人并不多，与江湖郎中一样。本文另一个主要目的之一是（向数学家们或数学家们to be）示范如何以正确态度学数学，如何以正确态度讲数学。看看我如何讲数学，如何理解数学，希望给学数同道树个榜样。希望你们读完此文以后，不光是具体知识增长了，学数教数的态度也变得积极正面一些，个人生活变得快乐一些，减少悲剧的发生。方老师多年来以通俗的语言向普罗大众介绍现代生医，教我们识别害人的巫医毒药，教我们保健养生，功德无量，不可磨灭，经济价值和社会意义，则更无法估价。我辈应以他为楷模。其实方老师作功德的同时，也对自己的生活品质的提高有很大的帮助，所谓助人者幸福，助人者天佑。我写此文也完全是本着渡人利己的原则，因此，看官倘有收获，不必说谢谢，我已经收获了大头在先。
目录（subject to changes）
开场白
闲论Atiyah-Singer指标定理（1）─引子
闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS的实质
闲论Atiyah-Singer指标定理（3）先声─Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern
闲论Atiyah-Singer指标定理（4）─黑话破解，主要概念介绍
闲论Atiyah-Singer指标定理（5）─奇径通峰，AS之证明
闲论Atiyah-Singer指标定理（6）─回味无穷，总结与教训
闲论Atiyah-Singer指标定理（1）─引子
Atiyah-Singer指标定理，江湖黑话谓之AS。它集映射，流形，纤维丛，特征类，上同调，椭圆算子，Bott周期，范畴，K群等名草贵药于一丸，坊间流传，其外形神秘可畏，内在艰深难测。它作为一粒神丹，用得好，据说它能立解万毒，有还魂回阳之功；用得不好，七窍流血，凌迟而亡。另一方面，它又融微分几何，拓扑学，微分方程，代数几何等神刀鬼剑于一体，有幸亲眼目睹真身者皆曰：阴森冷峻，杀气腾腾。它作为一件兵器，使得好，所向披靡，固若金汤之城池不攻自破，平常骄王悍匪，纷纷挂表求降；使得不好，手抖脚颤，心慌意乱，迷魂丧智，以自宫了结。
西域数坛崇AS为20世纪数学的之里程碑，中土学数者则赞其为泰山颠峰，东海之底，景仰之情非科学者所能言表。数学科班出身者对之多谈虎色变，敬畏万分，偶被论及，或胡诌乱侃吓唬外人，或顾左右而言他。理论物理诸生则视其为峻岭奇峰，跃跃欲试以领略身临绝顶俯视众山之快感。然意欲登攀者，多数在此摔得身残心碎，从此一厥不振，消隐红尘，更悲者则是落得粉身碎骨，抱恨终天。少数登高而成吸得仙风获此宝器者，则耀武扬威，不可一世，每置对手于死地，更赖其奇功在江湖上呼风唤雨，坐定上排交椅。
如此神妙之仙丹，是谁炼成？如此威风之兵器，是谁铸就？倘真如上所述，则发明者功高胜天，非溢誉也。
抑或果真有所称之奇妙威风？无有明夸暗炒之嫌？
且看polik慢慢贴来。
（除第一、二两帖外，我争取以后每两天上一帖，约2─3页，以便看官有足够时间消化跟上，也希望有高人大师随时指点斧正，以利本坛众友共进。）
（我假定读者的门槛是修过一元多元微积分，如果还懂一点矩阵代数和简单微分方程的话就更好。）
闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS定理的实质
AS指标定理果真有所称之奇妙威风？无有夸大暗炒之嫌？
要回答这些问题，我们必须了解AS指标定理讲了些什么。
先让我们讲一个小故事。听鼓。
晨钟暮鼓，寺庙常规。据说，一般和尚都能够根据钟鼓之音得知钟鼓是否完好，有的高僧则可以由钟鼓之音得知气候演变进而推得
世道之走向，小则为善男信女解疑释惑，指点迷津，大则为皇室社稷消灾引福，护国安民。却说明朝初年，五台山因为助开国君朱元璋有功，获皇上特别褒扬恩赐，名号高出少林一等，住持乃率众弟子在练功场内，连日大作法事以庆祝之。场面异常壮观。仅大鼓黄钟就各有百余。一日，礼至中途，突然方丈大叫停止。发生何事？原来，老方丈听出其中有两面大鼓有破洞，其中一面有一个破洞在鼓底，另一面鼓则有两个破洞，一上一下。方丈高声叫停，缘自破鼓之音为寺庙之大忌，必得避之。仔细检视，小和尚果然在两面大鼓上找出了那
几个小小破洞。
高僧凭借鼓音，即可得知鼓面必有破洞数处，何也？
再来讲第二个小故事。听床。
却说华北地域，短江学者老家，民风淳朴，某些方面却也相当开放。听床就是一个例子。说得直白一点，就是在夜晚躲在别人家墙根、窗下，偷听别人做爱。此种习俗源自何时，无从考证，但依该地史志，历代从无明令禁绝，（唯在某朝恐怖时期，听床是流氓罪可能判死刑，但犯案被逮者鲜见──谢谢LXS老师指出此点）。听床不光没有官家法律之束，那些能够经常播出爱事特别报导而又从未被逮的高手们反而会被当地人民视为楷模备享尊荣。近一段时间，骄人的听床经验甚至是某"先锋队员"的一个隐含的考项，因为听床高手既要牺牲睡眠，还要不怕夜深人静，更要定力足够在关键时刻不出声不失控；而这绝非易事，因为做爱者往往在猜到有人偷听时，会故意弄出特别撩人之声音以刺激偷听者，迫其失控而自曝其踪。对于听床失控者的惩罚相当严厉，轻则遭被听者逮住猛揍，不得还手，日后常常遭到街坊老小公开奚落，甚至终身受人戏谑，重则被当地人视为做事不牢，信用全无。听床高手每每会将新近故事添油加醋细细道来，既博得烧酒一壶，还乘机用淫语骚扰纯情女孩，或藉此与淫妇打情骂俏，更以其定力之高，扬名立万于社区。据说，有能"听"清床垫缺几根弹簧的高手，有的还能指出所缺弹簧之前后左右位置，更有甚者，可以判断出前夜因爱事力度过猛而失效的弹簧，事后乡邻率众到主家翻床验证，竟然完全相符。
每当如此场合，街坊如同过节，真笑声杂合假骂声，响彻邻里，和谐社会模范单位之锦旗，势在必得，听床师则荣加一等，气宇轩昂，旁的人也大拍手掌，作雀跃状。
偷窥者或听床师从嗤呀之声，即可得知床垫弹簧少了数根，何也？
法鼓破一个洞，声音不同，床垫少一根弹簧，嗤呀之声改变。列位看官可能未曾料到，上面这两个小故事，简单明了，妇孺皆懂，却道尽了AS指标定理之全部精义。
原来，不论是鼓面的振动，还是床垫的嗤呀，都满足一个微分方程，我们听到的声音就是这个微分方程的解。解不同，声音就不同，翻译成黑话就是边界条件不同，微分方程的解或曰微分算子的谱就会改变。边界条件包括鼓面，床垫的几何形状，更包括它们的拓扑结构 （如洞的数目）。AS就是说，从听到的鼓音或床垫的嗤呀声就知道鼓面的几何以及上面的破洞数，或床垫的形状以及弹簧少了几根。看到这，学过高中物理的人可能觉得一点都不怪：我们不就是从原子分子的光谱得知原子分子结构的吗？这里不就是将通名报姓者从原子分子换成鼓号或床垫而已？其实这离正确答案真的只差一点点了！再想一想，你说不定就此悟出一条更大的真理呢。
对，polik在这里公布自己一个难以启齿的毛病。在下能从声音准确听出女孩子的容貌来，已经屡试不爽，一度很担心自己是不是有色狼基因，问过一些医师。因此，我看到AS定理以后，心理共鸣可想而知，马上就作了一个推广。
不过我得承认我的推广有些中医风格了。至于郎中听出怀孕、疾病的鬼话则已众所周知纯属骗术。（后面将更详细解释）
数坛人士就是一群无聊的好事者，专门将一些简单得不能再简单的事实用一些大家都摸不着头脑的句子表达出来。听鼓听床的事，到数学家那里就被弄成如下鬼话式的诀语：（某些）微分方程的解（的数目）由定义该微分方程的空间的几何拓扑特征全部决定。或更简单地讲，一个空间中某些行为好的微分方程的解的数目是一个拓扑不变量。
这就是指标定理的全部内容。
可见，列位看官其实都已经知道AS，更懂得利用AS，因此AS不光不神秘，简直就是BS。
闲论Atiyah-Singer指标定理（3）─初次见面，要你记得我
列位看官已经知道AS不光不神秘，简直就是BS。
这时，恐有人跳将出来，大呼"亵渎亵渎！"，"浅薄浅薄！"，"狂妄狂妄！"。
在下今天不光要说，AS的表达一点不难，还要说它的证明也不难。一不做，二不休，坚持浅薄不动摇，将亵渎进行到底，狂妄后面乾脆再麻烦您加上透顶二字！
尊重江湖规矩，用黑话表达AS：
记纤维丛E(F,M,π,G）的截面s(E,F) 与s(E,F＇)间映射D，则其解析指标，即其零频解的数目dim ker D - dim coker D等于其拓扑指标
Topo_Ind (D) = Int_[i_m ~ ch(σ)]
其中I_M是微分形式，由在其上面定义方程的流形M的曲率所确定，项ch(σ)为得自方程的象征的微分形式,int代表积分。或者用另一种更明确的表达式：
Topo_Ind(D) = (-1)^n < ch (s(D)) ~ td (TCM) , [m] >
其中n是流形M的维度，s(D)是微分算子D的像征，ch 代表陈特征，TCM 是流形M的复化切丛，td 代表Todd类，~ 是上积或杯积，[m]是流形M的基本类 , <-,-> 是Kronecker配对。
如有人在此受到惊吓或愤怒，则正好达到了本人目的。但请列位看官莫要惊慌，更不要埋怨，且等在下花上三言两语，上面那些黑话撩起的迷雾必会顷刻消散。数学江湖以艰涩隐晦为荣尊，化简为繁，变浅为深，是为至高皈依，谁将一件最简单的事说得最复杂以致普天下无人能懂，则可被崇为天宗。想当初，高斯常常宣布一些惊人结果而又不给出证明，遂得王子头衔。罗素写出<<数学原理>>两本天书，无人能读，被奉成数学之神。格罗腾迪克出版<<代数几何基础>>洋洋万页，页页难过天书，令所有数学家无地自容，立得数学之无极大王称号（他老人家面对如此荣耀一时竟受不了，从此精神崩溃，家破人亡。阿弥陀佛！）。一时间，大小玩数者，竞相仿效，环顾数国，一片乌烟瘴气。可怜天下百姓闻数丧胆，唯恐避之不及。在下深知众生历受大小数霸之欺何其苦也，故尊天意反其道而行之，以简为尊，以易为荣，以最平白文字讲述最深刻真理而不失严谨，解放天下数残理痴。将数学贵族才能享受的佳肴美酒搬上平民百姓的饭桌，是为吾宗。
先容在下将一些唬我看官的名词表列出来以便一一驯服，记有
1. 映射
核，余核，伴随算子，椭圆算子，Fredholm 算子，象征
2. 纤维丛
纤维，截面，结构群，切丛
3. 微分形式
（上）同调类
4. 特征类
陈类
Todd类
基本类
杯积
Kroneker 配对
5. K群，范畴
也就是四、五组十来个术语。平常这些玩意个个如凶神恶煞，动不动要占上专著数部，洋洋逾千页，一般学子几年苦修方得一知半解，云里雾里。今天诸君只要浏览三五页版面约几支香功夫即可大体完成，唯一要求是心中反覆默念本师之名，直至开悟。
这些概念今天肯定讲不完，但不要急，我们今天会见到一个真正的指标定理。
映射是最基本也是最抽象的数学操作之一，将两个集合的元素关连起来。我们不妨叫第一个集合叫原物（妻集），映射到第二个集合里生成的集体叫像（夫集）。数学家男的多，因此，多（妻）对一（夫）是可能的，但一（妻）对多（夫）是绝对禁止的。如果物国里每个女人都有（一个）仅属于自己的男人作丈夫，即女人不共夫，则是一（妻）对一（夫），即所谓的一一映射（注意这个名词只讲一妻必有一夫，但并不暗含每夫必有一妻，要看老婆够不够多）。
如果像国里每个男人都有（至少一个）老婆，男人当然满意，故称满射。
如果既是满射又是一一映射的话，那就是乌托邦里的一夫一妻制，一妻必有一夫，一妻仅有一夫，荆倌互忠，既不共夫亦不共妻，即所谓的双射，或许双双满意？
能够建立双射映射的两个集合，在抽象意义下，物像没有区分，谁为物，谁为像，见仁见智，公婆不分，故名同构。还有变态的自映射，镜中人是你，你也是镜中人，这个后面还要提的。
函数是映射的最简单例子。算子是稍微"高级"一点的映射。
如果映射将一个集合的一些元素全部映射到"单位"元素（加法的零或乘法的一），则这些元素形成一个叫核（ker）的子集合。原物集合中的ker之所以重要，被单独列出，归根到底还是因为像集合里的"单位"元素独特。他跟本集合内任何一个元素作用（例如相乘）还是该元素本身。因此核内任何一个元素与本集合内任何非核元素相乘所得结果必在核外，否则他会被映到单位素。原来ker乃初中之国，独立王国是也。因此，每一个核外元素与全体核内元素可以产生一共同类，是为等价类。可以通过与核内元素建立关连的元素属于同一等价类。由此立得不同等价类的元素必不相同。整个集合就可以按等价类拆分，因而集合元素是核内元素之整数倍。
显然，同一个集合的核是可变的因为核与映射有关。改变映射，核的元素会变。这个核，随集合对应物改变而有很多别名，正则子空间，理想，不变子空间，正则子群，不变子群等等，看官且留意他们是亲姊妹。他也是投影或射影的最一般描述。投影空间（商空间）即为原空间对某个（正则）子空间取商的结果。
集合到本身的映射，即自映射，有一个特例：他给出两个元素经过映射成另一个元素，凡夫俗子称这种映射为运算，加减乘除之类。配有乘法的集合叫群，配有乘法（半群─即没有相应的除法）和加法（群）的叫环，若进一步配有加乘皆为群（即有加减乘除）的集合叫体（或域）。（比较怪异的运算是所谓求模运算以及交换运算。因此，还有一些特别的集合如模空间，配有交换关系一个集合的叫一个代数。）
群这个字值得稍微多花一点笔墨。他是只配有一种运算（乘法）的集合，因而最简单，研究得最彻底，但应用也最广。数霸喜欢谈抽象群，就是只谈元素和乘法，而我们数学贫民
喜欢知道具体的元素是啥，乘法到底是怎样做的。把元素和乘法具体化，抽象群就会灵魂附体，现出原形，即所谓的群表示。具体化需要一个场所，即表示空间。我讲一下，"表示"这个词是误用，"表演"才反映真意。但现在没办法改了。
我们看一个三正角形的对称性。表演空间是我们通常的二维欧氏空间，元素就是转动，相乘就是两个转动接续进行。穿越三角形重心与三角形平面垂直的轴为转动轴。转120度，240度都会回到原样。可见正三角形的对称群的三个元素表现为：不动（单位素），转120度，转240度。如果将二维空间写成二维向量空间，上述三个转动可以用矩阵表现出来，即三个特殊的转动矩阵。这种元素数目有限的群叫有限群。将群元素当作空间的一点，群本身又成为一个空间。正三角形的对称群空间为三个点（位于圆周上）形成的离散空间。
显然可以有无限群，甚至还有连续群。假如将上述正三角形换成圆盘，转动群就变成连续群了，可以用角度做参数化，用离散化的李代数表示。此时群空间（整个圆周）也是连续的。
群可以用元素加上"乘法或操作"构成，此处"乘法/操作"是广义的二元运算，这个刚才讲了，其实此处"元素"也可以是广义的，这就冒出一些初听起来怪异恐怖的新群，像同伦群，同调群，它们是以等价类为元素构造的的群，也就是说同一类元素（可能有无限多个！）只算一个元素。这个先提个醒，后面还要讲。
线性映射是最简单的，也是最重要的：f(aA+bB)＝af(A)+bf(B)。
举例：向量空间V，W之间的映射f：V-->W。则dim V = dim (ker f) + dim (im f). dim就是空间的维度。这个结果，虽说平淡，却异常重要。
对偶空间：V-->V*, W-->W*
"内积"： g(v1,v2) , G(w1,w2)
伴随映射f^： G(w,fv) = g(v,f^w)
有一简单但重要的结论，线性映射与其伴随映射的像空间之维度相等：
dim im f = dim im f^
至此，我们能够给出一个儿童版的指标定理及完整证明：
对向量空间之间的线性映射f: V-->W，V中元素按ker f作为不变子空间分成等价类，im f 必定与商集V/ker f同构。自然得到：dim V = dim (ker f) + dim (im f)。 同样，我们可以引入余核： coker = W/im f，即W空间中依im f作为不变子空间分出的等价类，显然有：dim W = dim (coker f) + dim (im f). 于是，我们立得：dim (ker f) - dim (coker f) ＝ dim V - dim W。
由于dim (coker f) = dim (ker f^) 故上式亦可写成dim (ker f) - dim (ker f^) ＝ dim V - dim W。
这个简单事实意味深长：左边每项都是非常依赖于f的具体细节，但右边却只与整体性质，即V和W的维度之差有关，它显然是一个拓扑不变量，因而它告诉我们：尽管左边每项都是非常依赖于f的具体定义，但其差dim (ker f) - dim (coker f)却与f没有关系！这一简单结果可以理解为玩具级的指标定理：算子f的解析指标（左边）等于其作用流形的拓扑指标（右边）。
今天礼拜天，多写一点。下个贴看来至少要到星期二。
闲论Atiyah-Singer指标定理（3A）
闲论Atiyah-Singer指标定理（3A）─椭圆算子与纤维丛
至少有些响应。感谢Berkeley狼，xj等人释疑，你们今年必有好运。
人终究是自利的。越写越觉得是娱己胜于娱人，以致有些地方突然变成自言自语。还有就是，虽然我做了一些努力，一些术语的使用还是不符合中文数学文献之规范。这些只能请看官多包涵。今后有空有兴再贴个修改版。
一开始提了，本讲座不是写给娃娃的童话，而是以领略数学颠峰奇景为目的，专门撩拨数学里的超级成人话题，极黄极暴力。看官倘若没有疑虑、心跳、罪恶感以及愤怒的话，阁下必定是数学狂魔，而且是绝代混蛋，数界的陈冠希们会上门跪拜求教。不过看官放心，多数疑问到后面会慢慢澄清，到达顿悟是突然的，不可预测的，但只要稍有耐心它又是必然的。
那就继续讲集合、算子。
一类研究得比较充分的线性映像是线性微分算子。简单而言，线性微分算子就是一阶，二阶，...导数拼凑成的算子多项式：a_(n) f^(n) + a_(n-1) f^(n-1) +...bf
这里a_(i),i=1,2,...,n以及b都是x的多项式。看官可以验证一下，它满足线性映像条件。
假如f是多个变量，x_1,x_2,...,x_n的函数，则上述方程推广成n元微分算子多项式方程，显然这种微分算子包含对单个变量x_i,i=1,2,...n的（1,2,...阶）导数，也包含对不同变量的交叉导数，而每个导数的系数，写成一般的表达式为：a_(i_1,i_2,i_3,...), i_1+i_2+i_3+...=1,2,...,n,它们都是x_1,x_2,...x_n的多项式。
正如代数多项式的根是代数学的基本问题一样，算子多项式的"根"，即给定空间上的微分方程之零频解问题，是微分拓扑学里的基本问题，简单地说也就是一般空间上的偏微分方程（PDE）求解问题。
正如一元二次方程ax^2+bx+c=0按判别式b^2-4ac＝正、负、零分别对应两实根、两复根、重根的情况一样，PDE也依系数之关系决定解的差异，因而有抛物算子、椭圆算子、双曲算子等之分。PDE的判别式由通过叫象征的东西给出：简单而言，就是将要解的PDE转成其富里叶形式，
a_(jn) ξ_j^(n) + a_(n-1 k) ξ_k^(n-1) +...bξ
将其按x和ξ的幂次之和归并，最高次微分项最重要，故用其系数a_(jn)拼凑出n×n主象征（矩阵）。主象征矩阵是对称的。比如二次PDE的主象征矩阵是2×2，三次PDE的主象征矩阵是3×3...依主象征矩阵之正定，零和负定分别给出椭圆，抛物和双曲微分算子。
因此，椭圆算子定义为：如果微分算子主象征矩阵之行列式非零（主象征矩阵有逆矩阵），则为椭圆算子。
我们做几个小练习。df/dx-df/dy=0和df/dx-idf/dy=0是两个看上去相当像的微分方程，但它们的解的性质却大相径庭。第一个解是平庸的，第二个解是解析函数，拥有极丰富的内涵。从它们的（主）象征：ia – ib 与 ia + b看，很清楚。第一个方程的象征在a=b时都会为零， 而第二个仅在a=b=0时才会为零，故第二个方程是椭圆型的，而且只有一个解，其解空间是一维的（椭圆偏微分方程拥有有限维的解空间）。
看官可以亲自验证，通常向量分析里的梯度，散度和旋度算子都不是椭圆算子。
同理，也可以判断出物理上常用的拉普拉斯算子（Laplacian）是椭圆算子，因为其象征为- a^2 - b^2，而另一个常用的达朗贝尔算子（D＇Alambertian）必须限制在光锥外才是椭圆算子。
我们考虑紧致流形，紧致大体就是有限的意思。泛函分析可以给出简单的定理：紧致流形上的椭圆算子之ker和coker都是有限维的，即所谓Fredholm的。前面讲过，对于算子或映射D: V --> W，coker = W / im D。dim coker不等于零就说明存在D不能映到的地方，也就
是说在W上存在额外的限制条件或约束条件。所以，对紧流形，椭圆算子自动暗含它就是Fredholm算子。一般解析指标：ind_ana = dim ker D – dim coker D.
至此，可以解释所谓"微分算子解析指标是个拓扑不变量"是什么意思了。就是指算子里的主象征矩阵元作连续变化时上述解析指标ind_ana不会改变。或者说，有无限多个PDE的解析指标相等（虽然他们的解的具体形式会有差异）。AS定理告诉你这个值是该微分算子作用的流形的拓扑性质所决定（难怪与主象征参数变化无关！）。AS定理也告诉你如何具体算出这个指标的值，也就是说到底是流形的哪个拓扑不变量对应那些（无限多个）椭圆算子的解析指标。
好，集合与映像联合王国的基础概念就暂时介绍到这，其实也没有太多别的啦。如果到此你还没有产生恐惧感，我认为你绝对有起码的数学天赋，品尝几口21世纪数学饭馆的酒菜还是受得了的，甚至能够尽情玩乐享受一番。下面讲一个具体的集合的例子，跟本主题有关的空间，即纤维丛。
描写变化的函数，如车辆飞机的路线，股票的涨落，影音讯号，都是用平面曲线记录的，因此，X-Y坐标系人人会读，人人要用。其实带坐标系的二维平面就是一个纤维丛。我们可以想象整个平面是一根Y向直线横扫X空间而形成的。被横扫的空间（这里是X）叫底空间，那根直线就是纤维。
从另一个角度看，我们也可以将XY平面当作一个乘积空间，即每一个X点可以与Y的每一点相乘得到一条直线。
当然这是一个太平庸的例子，但一般意义的纤维丛确实是乘积空间的推广。"推广"了什么？刚才的例子之所以叫平庸，是因为他每个地方的乘法完全一样，不同X的地方的Y直线毫无差异，就像红朝人民的脑袋，万众一心，平庸得可怕。总而言之，一张四平八板的纸片确实有点无聊。不过，稍微变一下就可以别开生面，例如，将纸带扭一圈或几圈以后对接，形成Mobius带子。哈！你没办法用简单的坐标系或通用的乘法了。局部看来，小人度腹，依然是个"平面方形"，直线段尚在，依然可以用乘积空间描写，但稍微走远一点就发现，原来的"Y直线"整条都是直的而且对得很齐但现在"弯掉了"，不对齐了。跳出三界，来个全观，则发现，相邻的弯掉的直线之间的关系（转换函数或联络）与扭曲的程度有关。
简言之，底空间各个地点各有各的纤维空间，就是非平庸丛了。
为了对阁下负责，对底空间，要做点补充。
第一是底空间无须平直，可以弯折。这个不奇怪，地球表面，阁下的俊脸贵体，都是弯曲空间。不弯还不行。没有曲线美。问题就大了。
第二，空间的长度单位（标准尺）可以随位置甚至时间而变，即，各个地方的长度单位还不一样（上海的1尺是广州的9寸）。这就是最通用的黎曼空间了。黎曼提出这种空间60余年以后，爱因斯坦找到了一个物理实例（使之成为最伟大的科学家），也就是阁下所在的宇宙，其实就是一个黎曼空间。真是不识庐山真面目，只缘身在此山中。当然阁下想看到尺子钟表不一样，或者看到时空之弯曲，您得稍微走高一点看才行，例如走100万光年回头看。藉助现代仪器如原子钟，地面与卫星轨道的时间差异就可以量出来。这里终于搭上了短江兄的GR话题。
这有个休息亭，好，歇一会：一些人觉得像流形、非欧空间或弯曲空间难以捉摸，这里试着从一种特别的角度解释一下。我们回顾一下微积分干了什么。依我看，其实就是用古希腊数学家们关于线段、长方形和长方体的已知结果（长度、面积和体积）用来量度一般曲线、
曲面和曲体的长度、面积和体积。其中用到的一个基本假设就是，不管多么"弯曲"的东西，总可以找到一个足够小的尺度，在此尺度下一切都是平直的。故可以用大量的微小线段、微长方形或微长方体为"尺子"拼凑出任意的形状或体系。微分几何的大部分也就是告诉你如何用微小的平直空间来建造一个"任意的"流形，所以基本思想还就是那一点东西在兜来兜去。
非欧空间简单讲就是一个到处充满奸商政痞地头蛇的国度，尺度和时间或物价等标准（数学家叫度规）由这些地头蛇制订。经历千万年演化，这些地头蛇现在都成了蛇精，变态已极，弄得流形上每一点都有其自己的度规标准，成语"点化成精"得改成"精化成点"。对于一个生活在这个国度的人而言，弄清各个地头蛇之度量时间标准之兑换率是至关重要的，这个兑换率就叫做联络（系数）。有人可能会讲，度规确定联络系数，简直是一句废话，纽约（N）一美元是波士顿（B）的95美分，联络系数当然是L_{NB}=1.05或L_{BN}＝0.95。大体没错。 不过，你们可能还不知道这些地头蛇有多么无耻变态，原来，"上海的1尺是广州的9寸"只是一个大体的说法。地头蛇说，真正的兑换率还要看你的尺子是朝南北方向量，还是沿东西方向量，还是朝民主街方向量，还是朝自由大道方向量....也就是度规还与方向有关。还有比这更黑心变态的地头蛇吗？那种国度最后被上帝警告惩罚，地头蛇稍有收敛，将同一位置不同方向的度规兑换率用一个简单函数约束。只要知道三个互相垂直方向的两两兑换率（对三维流形总共是9个，对吧？）就可以知道任意方向的兑换率。这9个值就是度规张量。不同地方的度规张量之间的转换（联络系数）也可以决定：度规-->联络-->曲率（后面细讲）。
这里我们也看到一个数学与物理、化学和生物的范式对应：线段、长方形和长方体就是数学里的原子、分子和微晶，由此堆集出千千万万的流形（包括纤维丛）。
休息完，继续爬。
底流形上的转换函数之非平庸由结构群描述。例如，Mobius带，我们注意到平面与弯折纸带可能有整体的差异。这是什么意思呢？从纸带上垂直于纸面放一根铅笔，当他沿纸带走一圈回来时，平庸情形没有变化，但在扭曲带上走时会反向。的结构群为{1,-1}，-1出现在反向黏贴的那个地方。
类似地，纤维也有"转换函数"的对应物，由叫和乐群的东西描述。再看Mobius带。现在，不同于平庸情形的"相邻直线或纤维完全等价"，相邻"直线"满足特定的转换关系（这就是称为"局部规范变换"的东西）。和乐群归根到底由结构群决定。
对于一个普通的黎曼流形而言，休息时提了，流形的度规张量完全决定联络系数。而对于一个纤维丛而言，底流形的度规张量加上纤维的holonomy群才能决定联络。底流形上完成一个循环时纤维空间可能没有回归原状，和乐群是指纤维变化的变换群。
细心的朋友可能会说，你讲的所谓整体差异还不是那些局部差异（规范变换）积累起来的吗？铅笔指向在扭曲带上走一圈出现倒向还不是他在走的过程中慢慢逐步积累起来的？
太对了。把这句话将得更清楚一点，就是给一批大师赢来功名利禄的东西。包括陈大师省身先生。即所谓的"将整体不变量用某些局部性质的积分表示"。别急，这个东西我们后面也要把他弄得清清楚楚明明白白。至此，看官自己就可以给纤维丛下定义了。需要的东西为：底空间，纤维空间，转换映像，还有结构群，或简记为E（F,M,π,G）。看官看看时间，您花了多久到这里？数学系本科生四年下来能到达这一步的，罕也，Princeton，Oxford不例外。
好，现在讲一讲切丛，他是最常见的也是最重要的纤维丛。过底空间上每一点可以画出无限多条切线，构成切平面。因此可以将切平面当作纤维与底空间合成一个纤维丛，故名切丛。每个切空间也是一个向量空间，故切丛也是向量丛。
于是，我们知道所谓纤维丛的截面就是每一根纤维上拿一点（一个值）来拼出来的东西。是平面曲线y=f(x)的推广。
以二维球面为底空间的切丛上的一个截面就是该球面上的一个向量场。
古典微积分中导数是函数的变化除以自变量的变化，推广到纤维丛就是截面的变化（平
行移动）对底流形参数的变化，这就是联络（一般有多个分量）。直感上可以猜到，纤维丛的联络由底流形和纤维二者共同决定。
阁下有一个天生的纤维丛。脑袋表面是底空间，上面长的头发就是纤维，转换函数依赖于阁下梳头的风格，结构群为平庸（不是吗？）。梳梳头，你得到纤维丛一个不同的截面。
前已述，群本身也是一个空间，因而我们可以将结构群的群空间就当作纤维空间，这种特殊的纤维丛叫主丛。既然主丛的纤维与结构群同一，只需标出底空间和结构群即可，故主丛记为P(M，G)。一个抽象群的元素都可以通过一些具体动作（操作）表现出来，叫群表示。 李群，平移群，点群，等等天上神仙客都可以来个投胎下凡，即具体化。具体化就是选定群元素作用的场所，即表示空间。神迹在地球上表现。地球就是神的表示空间。看官可以看到，"表示空间"是多么地误导。当初要是叫表演空间多好。既然表演空间也是空间，我们假如将此表演空间当作纤维，也可以构成纤维丛，叫主丛诱导的伴侣丛，简称伴丛，记为PxVg，x指直乘，Vg是结构群G的表演空间，他是一个向量空间，故伴丛也叫伴向量丛。
下面是插曲，看官尽管可以略过。
令人惊心动魄的是这些看似灵界仙境才有的东西刚好是我们描述自然界的最可靠工具。现在物理学家认同所有的相互作用都是规范场刻画，而规范场在数学上与纤维丛完全是一回事。吴大俊和杨振宁证明规范势是纤维丛（主丛）上的联络，而规范场强是纤维丛（主丛底空间）的曲率。朗朗乾坤其实只是纤维丛世界之投影，像在我们世界扮演重要角色的电子似乎生活在三维空间，但实际上他的波函数是生活在以三维空间为底的纤维丛中。量子粒子由波函数描述，通常包含内部自由度。内部自由度对应的波函数可以当作纤维，底空间可以是普通的三维欧氏世界，也可以是（能量算子的）某个参数空间。因此，按纤维丛术语，体系的波函数就是丛截面。相位部分有动力学部分，几何部分和拓扑部分，其中后两种由和乐群描写。微观体系的很多＂古怪＂行为全因于此，例如成键机制，超导，量子霍尔效应等等。
插曲完了。
到此，我们完成至少70％了。迷雾渐散，人心趋定。
作为中国知识分子声音的一个子集，海外中文论坛上总是一片吵骂声，包括新语丝读书论坛上也有那么多缺乏起码教养的，连说话的basic manners都没有，一上来就是要干架，死活就是要"讲赢"，还有那么多志愿的政府宣传员和党工。凭我的第八感，可以看得到那些人血液里流动的毒素和他们精神里的恶瘤。相比之下，短兄和湘女既是正直的热心人，兼具绅士/淑女风度和义士精神。短兄湘女精神境界令人赞赏，心理健康值得敬佩。因此，谨以今天这篇拙文献给短江和湘女。中土这面大鼓，除盛产狼孩这种bad解以外，也还有polik，短兄和湘女这样的良解，这面鼓或许还有一点点可能性予以修补
闲论Atiyah-Singer指标定理（4）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern
学习要反覆，无规的反覆，易易难难，难难易易，易难难易.......今天来点轻松的。
从鼓音、听床联系到原子分子结构和光谱，从平直空间到非欧几何，从单一流形到纤维丛，我们可以看到数学是统领科学和一般生活的最乾净、最经济的思维方式。但实际上，数学家并不像我们通常想像的那样厉害。前面提到的那些看起来很怪异的数学概念，每一个都有漫长的历史。数学书中每一句话都是历经无数人千锤百链共同努力的结果。
我们今天更要凸显一个事实：绝大多数数学概念都可以以形象为基础来理解，也就是说绝大部分数学是符合直觉的。不靠推导，不靠计算，光凭思考，可以学到（至少可以理解）绝大部分数学。
我们今天从AS定理的远祖开始来考察一下AS定理的世系演化。
平面三角形的内角和等于180度这一定理，不能算是AS定理最早的祖先，但算得是一个好的祖先代表。这个简单例子让我们看到了几何体上有代数，三对边夹角之和是个常数。因此，我们知道无穷多个三角形之所以能归为一类，用边数为3或角数为3来判断都不够好，而是因为有一个共同的不变量π。这个不变量是几何不变量。
三角形还有别的不变量吗？当然有。大家可以验算一下：边数-顶点数＝0对所有三角形也成立（不许笑！），而且与几何不变量π没有关系。
这个不变数对任意多边形（平面的或立体的）都成立：边数-顶点数＝0。有一点点意思了吧。敏感的同学可能马上看到这个不变数0是由于任意多边形都是一个闭合的东东。
更多一点意思的是，推广到无穷多边形也是成立的，特别是对圆周也成立，虽然边和顶点已经难以看出来了。
于是我们发现这个不变数0原来是不仅是三角形的，也不仅是多边形的，也不仅是圆周的，而是任意封闭曲线的性质。任意封闭曲线有一个不变数0。这就是封闭曲线的所谓拓扑不变量。到这时，我们看不到这个0与边数或顶点数之类的关系，边、顶点、形状、长度、面积等几何量此时都不是本质性的东西。这说明几何之外，还有更一般的不变数，就是拓扑。拓扑不变量更有包容性，能够对更多的东西声明主权：xxxx自古以来就是我的领土。
任意封闭曲线有一个不变数对应，据说在古希腊就有人提到，但直到18世纪大数学家欧拉才真正认真对付。欧拉推广了上述不变数。他首先发现任意多面体的表面，存在关系：面数-边数+顶点数＝2。仿照上述例子，可以轻易地推广到无穷多面体表面，推广到任意封闭体表面，如球面。可见这个数2是所有二维封闭曲面的拓扑不变量，叫欧拉示性数。想想欧拉活在18世纪末，这种今天小孩子都知道的关系也才200年左右的历史。因此，必定还存在一些简单美丽的数学结果等待我们去发现。
欧拉解决封闭曲面的示性数以后，又进一步处理了带洞的曲面，他发现（你也可以轻易验证），带洞曲面的示性数等于无洞封闭曲面的示性数减去洞数。例如，篮球表面挖个洞以后，其示性数就变成1，它拓扑等价于一个圆盘或一张纸。轮胎面，也叫环面，如自行车内胎，也可以想像是一个实心多面体先从中间挖掉一块（也是多面体），再淘空剩下的环体而得，故有两个洞，由此可得其示性数为0。
前面讲过，数学里的一个很重要的事就是分类，因为要统一，要抽象，就必须知道哪些是同一类。数学上的分类与别的领域的分类之基本原则并无两样─就是以共性为基础。 看到欧拉示性数，自然会想，它能不能用来做某种分类呢？答案是: you bet!实际上，二维曲面的分类仅靠欧拉示性数就够了。
任意封闭连通曲面必与下面之一同胚：（1）球面，（2）有限个环面连通和，（3）带交叉帽（Mobius柄）球面。交叉帽（cross-cap），可以想像为变肥的Mobius带，但在倒向处有交线。见图：也就是说二维曲面就只有这几个球面，环面和交叉帽这几个基本类。它们就是二维封闭连通曲面世界的全部"元素"。（三维曲面的"元素"数目由Thurston猜出，由Perelman证明，这是另外的故事了）
高维曲面的欧拉示性数可以很直接了当地推得，而且结果堪称最美妙的数学方程序：
对n维闭多面体，欧拉示性数等于顶点数-边数+面数-3维体数+...χ＝ [(-1)^{i}a_{i}]，对i求和。
也就是说，欧拉示性数是各维子流形之数目之加/减。因此，也有人把欧拉示性数念成交错和。
欧拉交错和之意义无论如何强调都不会过份：事实上已经发现至少有10种类似的交错和，如Betti数，还有后面要讲的上同调等，而每一个这种交错和的发现都是数学史上的大事！每一个这样的交错和都导致新的惊人发现！
我们这里来看一个从示性数引发新思想的小例子。
咋一看封闭线面的这类欧拉示性数，看官可能会觉得有些神秘。但稍微想一想，就可以看出门道。对平面封闭曲线而言，你可能猜想这个0应该与曲线上的点绕一个中心点跑了一圈以后回到基点有关。似乎是切线斜率将所有值扫瞄一次。更仔细的分析表明，那个0是曲联机对每一点的曲率求和的结果。
后来更发现，这一思想可以推广到封闭曲面─即欧拉示性数是曲面上曲率对整个曲面积分。
什么是曲率？微积分里讲过曲线的曲率，就是二阶导数。（一阶导数是斜率，没有忘吧。）推广到高维是直接了当的：经过曲面（体）上每一点可以画很多（无限多）条曲线，因此应该有很多（无限多）个曲率，分别对应沿（无限多个）不同方向的曲线的弯曲程度。一个点处有无限多个曲率值，你可能会觉得是个麻烦，但实际上这些曲率并不都是独立的。例如，对于二维曲面上的点，曲率顶多有9个独立分量，也就是说，知道沿9个方向的曲率值，其他任何方向的曲率可以推算出来。这9个值构成所谓的曲率张量。
欧拉示性数能表示成曲率对几何对象的积分。这是几何/拓扑近100多来的一个很热的主题，可以说它直接催生了AS定理及其后裔。欧拉示性数能给出流形的洞数描述，但洞可以有不同维度。系统记录各维洞的数目及分布，有一个工具叫同伦群。从图像看很清楚。假如流形上有一些洞，如何标记它们呢？最简单的方法就是把每个洞画个圈，表示"内为陷阱，禁止进入"。一维洞，用一维圈围住，二维洞，得用二维洞才能围住，依此类推。总而言之，我们总可以用环绕每个洞的闭合流形将各维洞包围起来。同伦群的最基本元素就是这样的包围圈。
我们来看这些包围圈为何能形成群。事实上对于每一个洞，我们可以用无限多个可能的包围圈将其包住，这些包围圈之间的差异只是形状上的，它们都是等价的，叫同伦等价，因此同伦群元素是以类为"单位"的。同伦类形成群的理由则简单得无法形容：对每个洞，我们不光可以包围一次，也可以包围任意多次，可见包围n圈相当于是加法：围一圈，再围一圈，再围一圈...。而且我们容易注意到包围次数不受次序的影响，因此同伦群是可交换的，即Abel的。更进一步，我们不光可以一次只围一个洞，也可以一次围几个洞，形成不同的同伦类。看官想得出来，同伦类的数目决定了同伦群的＂自由元素＂数目，也就是秩。由于不同维度的洞由不同维度的围道包围，故不同维度的同伦群互相独立，也就是说，不同维度的同伦群（的元素）不会搅到一起。
作为一个例子，我们计算环面的同伦群。零阶同伦群为零，因为没有一维洞。一阶同伦群有三个元素（三种不同的同伦类）：环面上平庸围道（可以收缩成一点），它们不影响同伦群。环面上的非平庸围道有两种：一种是围绕大环的，一种是围绕小环的。两种非平庸围道都服从整数的加法而成群，是为Z群（整数群）。因此环面的一阶同伦群为：Z Z。环面的所有高阶同伦群（大于等于2阶）均为平庸（仅含单位）。
看官不妨算一下中间挖掉两个小圆的三角板的一阶同伦群。
每本拓扑学书都有一大章讲同伦群，一般要花几十页篇幅。凭我的经验，学习效果都远远不如我5到10分钟的解释。写成文字就是上面几行。
很多学生学完拓扑学还是不知道算简单形状的同伦群，就是因为教材上的那种写法是以最错乱的方式写的。休息亭：基本群。它就是一阶同伦群。也就是以一维围道为同伦类构成的群。基本群之所以重要，除它能描述二维洞以外，它与Poincare猜想之关连可能是最重要
的原因。Poincare猜想是說，与球面S^{n}同伦的 n 维拓扑流形一定同胚于 S^{n} 。对三维流形（Poincare猜想原始版的流形），可以表成：如果一个三维流形的基本群与三维球面的一样，则这个三维流形就是一个三维球面（拓扑等价或同胚）。很奇怪这个如此"地道的拓扑学"猜想最后竟然不是用拓扑学方法证明的。
同伦群直观，又是Abel的，是流形分析的一个好工具，也有一些美丽的定理帮我们减少计算。例如，Bott的一个伟大发现是，正交群的同伦群有周期性。这个我们后面还要比较仔细地讲。但一般而言，流形的同伦群计算并没有一个可以依循的通用演算步骤，因而可能很复杂甚至没办法算。像一般n维球面的同伦群问题还没有解决。因此，为了描述流形的组成，还需要别的工具。
欧拉示性数催生的另一个伟大概念是同调群。现在同调已是一个容易导致混乱的词，因为有十几种不一样的东东都打着同调这个旗号。当然从本质上讲，所有的同调有一些共性：就是都对应一个叫同调群的Abel群。基本元素为链，闭链，边缘链（与之对偶的为上链，上闭链，上边缘链）。实际情况中，我们一般通过上下文可以得知用的是哪种同调。
我们这里先讲讲最简单的同调群，后面再讲别的，AS定理至少涉及到四种同调，我们当然都要解释。由欧拉示性数得知，一个一般的流形可以由一些简单的＂元素＂拼成：顶点，边，面，体...不同维度的子流形。链的概念就是这些小流形的各种组合，如一些顶点加一些连接线，一些面拼成的多面形。当拼出的流形封闭时，就叫闭链，如三角形的三条边，长方体上表面的四条边，长方体的的六个面，都形成闭链。看官容易看出，流形的边缘是特殊的闭链，例如三角形的三条边，圆盘的边缘，球体的表面...所以边缘链必为闭链，反之闭链不一定是边缘链。
对于给定的流形，我们可以形式地用边缘算子来求得其边缘。例如，球体在边缘算子作用以后成球面。边缘的边缘为零或边缘没有边缘的事实可以说成边缘算子作用在边缘链上为零。
因此当我们得到一些闭链时，为了将其中的边缘链区分出来，可以用边缘算子去作用它们，剩下来的就是非边缘链。不断作用下去，就得到流形的分解。
因此仅相差边缘链的闭链可以当作是同一等价类，即同调类。也就是说，可以将闭链按边缘链作为商得到的群来表示一个流形的分解。这就是同调群。
其实，同调有两种等价的说法，即所谓的上同调和（下）同调，前者是由低维往高维走，后者是由高维往低维走。你知道，这种分法必然没有本质差异，因此可以不管它。
同调群的计算比同伦群来得可操作多了，在流形上人为画些边，面，得到闭链，即可依固定程序算得同调群。实际上，由于我们知道，同调群闭链的差异其实也是在各维洞附近表现特别，故由洞数以及洞之分布，可以帮助我们（猜）得到同调群。
作为本讲的结束，请看官留意欧拉示性数有一个非常优美的同调群语言表述：χ＝ [(-1)^{i}dim h_{i}]，对i求和。即欧拉示性数等于各阶同调群的维数（也就是Betti数）之交错和。再次以交错和来表达拓扑不变量！
写到这里，我突然看到诗兴盎然的短江兄，于是也跟着诗兴发作，特贴出来与看官分享，并请短江兄修改。
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颂不变量（polik自由诗体）
啊，伟大的不变量！
你是思维的灯塔，
你是黑夜的星光。
有你就有共同点，
有你就有恒等式，
有你就有准绳和皈依。
你是法律，你是指南，
你是地图，你是基石。
啊，伟大的不变量！
你是科学的生命，
你是文明的灵魂。
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将不变量换成荆，周末可骗得美餐一顿。
不难理解，寻找不变量是数学（物理）的一个永恒主题。一方面是追求不变量，另一方面是从完全不同的角度看待几何或拓扑。
我们下面得分开成平行的两讲（4A）和（4B），然后才回到正题（4C）。各节题目预告如下：
闲论Atiyah-Singer指标定理（4A）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：微分形式，（上）同调
闲论Atiyah-Singer指标定理（4B）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：Morse理论
闲论Atiyah-Singer指标定理（4C）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：RR定理及其推广
论Atiyah-Singer指标定理（4A）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：微分形式，de Rham（上）同调
上同调类有十几种，名字也混乱。数学家里变态的多，有些人喜欢迷雾好混水摸鱼，有些人则专门制造迷雾。我在这里引带你们躲过那些害人的东西，直奔要点。我会在不久的将来另文彻底清算数学上的各类同调理论。到时你会发现，同调湖里的浑水是多么的污浊，而又多么不应该。
中学微积分知识告诉我们，对于一条曲线，一阶导数即切线代表倾斜程度，即斜率，二阶导数代表弯曲程度，即曲率。推广到高维情形，依然成立，只是方向多了些，斜率需要多个独立分量（＝流形维度），而曲率就更多了，是一个张量。以二维曲面为例。每点的切线（无限条）构成一个切平面，一个平面可由一个二维向量空间代表。又由于过每一点可以画无限多条曲线，故曲率也很多（无限多），他们的大小满足从基点到一个椭球表面的距离，因此可以用一个椭球面来描写二维曲面某一点的曲率，椭球的三个轴和椭球的方位总共对应6个独立值，叫做曲率张量的6个分量：
d^2/dx^2,d^2/dxdy, d^2/dxdz,d^2/dy^2,d^2/dydz, d^2/dz^2.
高维情形依然有切平面，但曲率张量的分量要多一些。
曲率张量的每个分量是一个二阶导数。曲率张量还是反对称的，即交换指标出现一个负号。这是要点。因此干脆将曲率张量的每个分量带上相应的dx_idx_j,i,j=1,2,...n. 并且规定dx_idx_j ＝ - dx_jdx_i，这当然与通常微分乘法不同，但体现交换反对称性质，叫外微分。这个看似简单的记号改变，外微分是一个巨大的创新，对简化计算至关重要，更重要的是，它是20世纪微分几何发展的一个主动力。现代微分几何都是用这套记号。很多人都不加"外"字了。这是最紧要的，建议看官在这里反覆几次。将二阶导数配上外微分，就得到了表达成外微分形式的曲率张量。
巧的是，如此定义微分，积分会得到巨大简化，高维积分与一维积分一样简便。更巧的是这样定义的微分形式按乘法构成群，叫 (de Rham)上同调群。外微分形式还有很多巧，暂先不谈。
我们知道，把张量分量当作一个矩阵（高维）的元素以后，张量就是矩阵。因此曲率张量就是曲率矩阵。微分形式的曲率张量就是微分形式构成的矩阵。用矩阵时，我们希望矩阵行为端正，例如不要奇异，即有反矩阵存在。否则我们就不理睬它。我们对待曲率矩阵也是如此，都假定它是a good guy。这样我们就可以找他的特征值（即曲率张量的主分量）。我想，如何求矩阵特征值就不用提了吧，归根到底就是解行列式而已：
｜Ω-Iλ｜=0
Ω是曲率矩阵，λ是特征值。与平常解矩阵特征值问题的唯一差异是，这里的特征值也是微分形式。
我们知道任何一个行列式可以展开，曲率矩阵对应的特征行列式做展开以后，按特征值的幂次表示出来：1 + c_1 λ + c_2 λ^2+....=0 （第一个系数总可令其为1，why?）其系数c_1,c_2就是第一陈式，第二陈式，....。他们分别是2i（1<i<n）次（闭）微分形式。陈就是陈省身。
陈式是微分形式，而且是用来表示纤维丛的拓扑不变量的最佳形式，这样表示的拓扑不变量就叫示性类，或特征类，即陈类。
陈式是闭微分形式，非常重要。代表d c_i =0, i=1,2,...表明局部"平"（流形）或"丛局部＝局部积"（丛），但其积分非零（整体拓扑非平庸流形/丛不等于流形简单乘积），即他们不是恰当微分形式，c_i不能（在整个流形上）写成全微分形式df_i。
[微积分里讲过，闭形式是指：w = fdx + gdy 满足 df/dy = dg/dx，因此dw=0, 但w本身不能写成某个形式的全微分dW，即f 不一定等于dW/dx，g也不一定等于dW/dy。]
与同伦群的元素为"类"一样，同调群的元素也为"类",即同调类。可以更清楚地写出明显形式：k维同调群 ＝ k维闭链群/k维边缘链群。同调群的秩或维由群元素数目决定，也即自由群部分的秩。同调群的扭分量是指交换群中的有限阶（非自由）元素。
微分形式组成的同调类叫de Rham上同调类，相应的群叫de Rham上同调群。同样，可以写出de Rham上同调群的明显形式：k维de Rham上同调群 ＝ k维闭形式群/k维正合形式群基础或基本（上同调）类就是n维体积元dx_1dx_2...dx_n，积分时往往要先将"被积函数"（微分形式）里提取出基本类来。Todd类其实就是陈类的某种重组（也有人叫Todd类为陈类的余类）。所以并非新东西，也是一些微分形式拼出来的。之所以特别引入Todd类，目的是他与所谓Betti数的关系更直接。[第4节讲了，betti数就是流形同调群（非扭部分）的维数（秩），其几何意义为将连通流形剖分时，最多可以切几次而不将其分成两片。有人直观但粗略地说，"bett数代表流形上各维洞的数目"，知道betti数可以算出洞数，但并不是指betti数就是洞数！例如，pretzel的一维betti数为6而不是洞数3。]
在最一般的意义下微分算子的作用可以理解为在流形间建立映射，对切场产生前向映射，对余切场（微分形式）产生拉回映射。与本题相关的是椭圆微分算子的作用在丛截面之间建
立映射，对余切场（微分形式）产生拉回映射。微分算子象征的陈类在积分时需要"乘以"Todd类。虽然de Rham上同调类是微分形式类，但多数人觉得它比很多别的（上）同调类反而来得直观友好。其实，微分形式与边缘的关系通过Stokes定理而表现得淋漓尽致。
用文字表达就是：对流形整体的积分可以化成对该流形边缘的积分，或更一般地，微分算子是边缘算子的伴随算子。所以de Rham上同调类与闭链同调类实如形影相伴。Stokes定理对任何维度都成立。这个公式不光美妙，更充满神秘。我相信任何初次接触这个公式的人与看到爱因斯坦的质能关系一样，会感受自己心灵的震颤！
短江兄谈到中国人服暴力不崇理性，十分中肯。这其实是所有落后民族社群的共同不变量。中国历史上产生了众多超级混混而受人膜拜，却从未能产生一个哪怕是玩具版的Stokes定理。再随便看看任何表现理性和需要深度的地方，中国人就得鸭蛋。八卦易经、宫廷狗斗、中医风水、算命相术，这些所谓中华文化的精髓就是蒙昧、荒诞及其滋生的暴力风格，所谓辉煌的中国历史就是愚民反覆被极少数看穿这些精髓的魔头所利用然后很快被烹宰的历史。方舟子老师批中医，据理据实，用心良苦，粪青叫痛早在预料之中，但还有那么多朝野"精英"人物来抵制方老师，难怪中国人最多也不可能产生一个哪怕只是形似Stokes定理的作品。
勒贝格的成名之作是他的论文《积分，长度，面积》（1902年）和两本专著《论三角级数》（1903年）、《积分与原函数的研究》（1904年）. 在《积分，长度，面积》中，第一次阐明了他关于测度和积分的思想. 他的工作使19世纪在这个领域的研究大为改观，特别是在博雷尔测度的基础上建立了“勒贝格测度”，并以此为基础对积分的概念作了最有意义的推广：即把被积函数f(x阿)定义的区间 分成若干个勒贝格可测集，然后同样作积分和，那么原来划分子区间方法的积分和如果不收敛，则现在划分为可测集的方法就有可能收敛. 于是按黎曼意义不可积的函数，在勒贝格意义下却变得可积.
[PDF]数学家蒲丰（Buffon，Georges Louis）(17071788)
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一类退化椭圆方程解的存在性及弱极大值原理- 搜索 - 统一检索
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数学(本科)毕业论文题目汇总_0x94文档库
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一类P阶Laplace方程和渐近线性椭圆方程解的存在性研究 - 豆丁
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[PDF]含极限次临界增长项p-Laplace 方程的无穷多解 - 应用数学和 ...
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by 耿堤 - Cited by 4 - Related articles
Oct 15, 2007 - un | p 测度弱收敛. 极限之间的 ..... 将有限测度L 根据测度| ¨u| p 作Lebesgue 分解: ..... 临界增长拟线性椭圆型方程中p-Laplace 算子的弱连续性[ J].（转）《概率论与数理统计》历史资料– 【人人分享-人人网】
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数学家蒲丰（Buffon，Georges Louis）(1707─1788)
“蒲丰于1777年给出了第一个几何概率的例子.”──伊夫斯
蒲丰是法国数学家、自然科学家.1707年9月7日生于蒙巴尔；1788年4月16日卒于巴黎.
蒲丰10岁时在第戎耶稣会学院读书，16岁主修法学，21岁到昂热转修数学，并开始研究自然科学，特别是植物学.1733年当选为法国科学院院士，1739年任巴黎皇家植物园园长，1753年进入法兰西学院.1771年接受法王路易十四的爵封.
蒲丰是几何概率的开创者，并以蒲丰投针问题闻名于世，发表在其1777年的论著《或然性算术试验》中.其中首先提出并解决下列问题：把一个小薄圆片投入被分为若干个小正方形的矩形域中，求使小圆片完全落入某一小正方形内部的概率是多少，接着讨论了投掷正方形薄片和针形物时的概率问题.这些问题都称为蒲丰问题.其中投针问题可述为：设在平面上有一组平行线，其距都等于D，把一根长l<D的针随机投上去，则这根针和一条直线相交的概率是2l/πD.由于通过他的投针试验法可以利用很多次随机投针试验算出π的近似值，所以特别引人瞩目，这也是最早的几何概率问题.1850年，瑞士数学家沃尔夫在苏黎士，用一根长36mm的针，平行线间距为45mm，投掷5000次，得π≈3.1596.1864年，英国人福克投掷了1100次，求得π≈3.1419.1901年，意大利人拉泽里尼投掷了3408次，得到了准确到6位小数的π值.
蒲丰于1740年翻译了牛顿的《流数法》，并探讨了牛顿和莱布尼茨发现微积分的历史.
蒲丰还以研究自然博物史著称，他集多年研究成果编成巨著《自然史》（44卷，蒲丰生前出版了36卷，后8卷由他的学生完成.）他是第一个对地质史划分时期的科学家，他还首次提出太阳与慧星碰撞产生行星的理论.
数学家伯恩斯坦（Bernstein, Sergi Natanovich）（1880—1968）
“在概率论方面伯恩斯坦最早提出并发展了概率论的公理化结构，建立了关于独立随机变量之和的中心极限定理.” ──摘自《中国大百科全书》（数学卷）
伯恩斯坦是原苏联数学家.1880年3月6日生于敖德萨；1968年10月26日卒于莫斯科.
伯恩斯坦1893年毕业于法国巴黎大学，1901年又毕业于巴黎综合工科学校.1904年在巴黎获数学博士学位，1907年成为教授.1914年在哈尔科夫又获纯粹数学博士学位.1907─1933年在哈尔科夫大学任教，1933─1941年在列宁格勒综合技术学院和列宁格勒大学工作，1935年以后在原苏联科学院数学研究所工作.1925年当选为乌克兰科学院院士，1929年当选为原苏联科学院院士.他还是巴黎科学院的外国院士.伯恩斯坦曾获得许多国家的荣誉称号和奖励.
伯恩斯坦对偏微分方程，函数构造论和多项式逼近理论，概率论都作出了贡献.
在偏微分方程方面，他以解决希尔伯特第19问题（正则变分问题的解是否一定解析，1904年伯恩斯坦证明了一个变元的解析非线性椭圆型方程其解必定解析）和1908年试解希尔伯特第20问题（一般边值问题）而闻名于世.他创立了一种求解二阶偏微分方程边值问题的新方法（伯恩斯坦法），他还将普拉托问题解的存在性，当作所举椭圆型偏微分方程的第一边值问题来加以探讨.他的工作推动了偏微分方程的发展.
在函数构造论和多项式逼近理论方面，他1912年发表的《论连续函数借助于具有固定次数的多项式的最佳逼近》的论文，奠定了函数构造论的基础.他引进了伯恩斯坦多项式、三角多项式导数的伯恩斯坦不等式等.开创了不少函数构造的研究方向，如多项式逼近定理，确定单连通域多项式的逼近的准确近似度等.
在概率论方面，他最早（1917年）提出了一些公理来作为概率论的前提，促进了概率论公理化的建立.他与莱维共同开创了相关随机变量之和依法则收敛问题的研究.1917年他们得到了相当于独立随机变量之和的中心极限定理，其特点是把独立性换为渐近独立性.从1922起，他又着手研究一些应用的实例，诸如马尔可夫单链成果的推广等.他与莱维在研究一维布朗扩散运动时，曾尝试用概率论方式研究所谓随机微分方程，并可将它推广到多维扩散过程的研究.
伯恩斯坦对变分法、泛函分析等也有贡献.
在数学中以他的姓氏命名的有：伯恩斯坦定理、伯恩斯坦多项式、伯恩斯坦不等式、伯恩斯坦插值法、伯恩斯坦拟解析类、伯恩斯坦求和法、伯恩斯坦
–科尔莫哥洛夫估计、伯恩斯坦–佐滕多项式、伯恩斯坦极小子流形问题等等，而其中以他的姓氏命名的定理有多种.
伯恩斯坦的主要论著都被收入1952─1964年出版的《伯恩斯坦文集》1─4卷中.
数学家许宝騄(Xu Baolu)(1910─1970)
“从1938年到1945年,许（宝騄）所发表的论文处在多元分析数学理论发展的前沿.…许推进了矩阵论在统计理论中的作用,同时也证明了有关矩阵的一些新的定理.”──安德逊
“初等的方法比艰深的方法更有意义” ──许宝騄
许宝騄是中国数学家.1910年9月1日生于北京；1970年12月18日卒于北京.
许宝騄祖籍浙江杭州,出身于名门世家,1928年毕业于北京汇文中学,毕业后先考入燕京大学理学院,后来了解到清华大学数学系最好,自己又对数学兴趣最浓,于是1929年转入清华大学攻读数学,1933年获理学学士学位.毕业后经考试被录取赴英留学,但由于体重太轻不合格未能出国,然后到北京大学数学系当助教.1936年他再次考取了赴英留学,在伦敦大学当研究生,同时在剑桥大学学习,1938年获哲学博士学位.1940年又获科学博士学位,同年回国,任北京大学教授,执教于昆明西南联合大学.1945年再次出国,应邀先后在美国伯克利加州大学,哥伦比亚大学和北卡罗来纳大学任访问教授,1947年回到北京大学任教.1948年当选为中央研究院院士,1955年当选为中国科学院学部委员.
许宝騄的研究工作主要在数理统计和概率论这两个数学分支,是中国最早从事这方面工作的数学家,并取得突出成就,达到了世界先进水平.他的主要成就有：1938—1945年间,他在多元统计分析与统计推断方面发表了一系列出色论文.他发展了矩阵变换的技巧,推导样本协方差矩阵的分布与某些行列式方程的根的分布,推进了矩阵论在数理统计学中的应用.他对高斯—马尔可夫模型中方差的最优估计的研究是后来关于方差分量和方差的最佳二次估计的众多研究的起点.他揭示了线性假设的似然比检验的第一个优良性质,推动了人们对所有相似检验进行研究.他在概率论方面,得到了样本方差的分布的渐近展开以及中心极限定理中误差大小的阶的精确估计.他对特征函数也进行了深入的研究.1947年他与罗宾斯合作提出的“完全收敛”则是强大数律的重要加强,是后来一系列有关强收敛速度的研究的起点.许宝騄的成就得到了世界学术界的高度评价.例如著名数学家安德逊在纪念许宝騄的文章中写道：“从1935年到1945年,许宝騄所发表的论文处在多元分析数学理论发展的前沿.…许推进了矩阵论在统计理论中的作用,同时也证明了有关矩阵的一些新定理.”
许宝騄积极倡导学科振兴,热心培养人才,仅在北京大学就培养了8届概率统计专门化学生,亲自指导了5届学生的讨论班和毕业论文.特别是他晚年在身体很不好的情况下,在北京大学同时领导了数理统计、马尔可夫过程、平稳过程三个讨论班,希望把一批年轻人带到科研的前沿.他讲课深入浅出,一个复杂的问题经他分析后变得明白自然.近20多年活跃在国内外的不少著名数理统计和概率论领域的学者、教授都是他培养的学生.
许宝騄学习非常勤奋、刻苦.例如,在昆明西南联大时,生活清苦.资料贫乏,那时找一本书都困难,他曾手抄过梯其马舍的整本《函数论》,他念过的书,往往都写了不少批注,有的书都被他翻得成零页了.他在学术研究方面,知难而进,积极参与重大问题的探索.他总是寻求简明、初等的方法,他认为初等方法比艰深的方法更有意义.他追求一个问题的彻底解决,追求一般性.他一生未婚,长期带病工作.他晚年已瘫痪,卧床不起,让人借来“文革”期间出版的全部《数理统计纪事》,两个月内顽强地阅读了几年的杂志,了解到当时的情况,写下了他最后一篇论文.1970年12月他逝世时,床边小茶几上仍放着钢笔和未完成的手稿.
许宝騄的上述精神和品格深深的感动着他同行和学生.例如他的学生和同事著名数学家安德逊、钟开莱、莱曼在一篇他们共同写的文章中说：“许（宝騄）坚持深入浅出,毫不回避困难.特别是沉着、明确而默默地献身于学术的最高目标和最高水准,这些精神吸引了我们.”
1981年,著名的施普林格出版社,刊印了由杰出数学家钟开莱主编的《许宝騄全集》.1984年以他的名字设立了统计数学奖.
数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）
“泊松是第一个沿着复平面上的路径实行积分的人.”──克兰
“我建立了描述随机现象的一种概率分布.”──泊松
泊松是法国数学家、物理学家和力学家.1781年6月21日生于皮蒂维耶；1840年4月25日卒于巴黎附近的索镇.
泊松的父亲是退役军人，退役后在村里作小职员，法国革命爆发时任村长.泊松最初奉父命学医，但他对医学并无兴趣，不久便转向数学.于1798年进入巴黎综合工科学校，成为拉格朗日、拉普拉斯的得意门生.在毕业时由于其学业优异，又得到拉普拉斯的大力推荐，故留校任辅导教师，1802年任巴黎理学院教授.1812年当选为法国科学院院士.1816年应聘为索邦大学教授.1826年被选为彼得堡科学院名誉院士.1837年被封为男爵.著名数学家阿贝尔说：“泊松知道怎样做到举止非常高贵.”
泊松是法国第一流的分析学家.年仅18岁就发表了一篇关于有限差分的论文，受到了勒让德的好评.他一生成果累累，发表论文300多篇，对数学和物理学都作出了杰出贡献.
在数学方面：美国数学史家克兰（Kline）指出：“泊松是第一个沿着复平面上的路径实行积分的人.”在他1817年的出版物中对序列收敛的条件就有了正确的概念，现在一般把这个条件归功于柯西.泊松对发散级数作了深入的探讨，并奠定了“发散级数求积”的理论基础，引进了一种今天看来就是可和性的概念.把任意函数表为三角级数和球函数时，他广泛地使用了发散级数，用发散级数解出过微分方程，并导出了用发散级数作计算怎样会导致错误的例子.他还把许多含有参数的积分化为含参数的幂级数.他关于定积分的一系列论文以及在傅里叶级方面取得的成果，为后来的狄利克雷和黎曼的研究铺平了道路.
泊松也是19世纪概率统计领域里的卓越人物.他改进了概率论的运用方法，特别是用于统计方面的方法，建立了描述随机现象的一种概率分布──泊松分布.他推广了“大数定律”，并导出了在概率论与数理方程中有重要应用的泊松积分 .他是从法庭审判问题出发研究概率论的，1837年出版了他的专著《关于刑事案件和民事案件审判概率的研究》.
泊松就三个变数的二次型建立起特征值理论；并给出新颖的消元法；研究过曲面的曲率问题和积分方程.
在数学物理方面：泊松解决了许多热传导方面的问题，他使用了按三角级数、勒让德多项式、拉普拉斯曲面调和函数的展开式，关于热传导的许多成果都包含在其专著《热的数学理论》之中.他解决了许多静电学和静磁学的问题；奠定了偏向理论的基础；研究了膛外弹道学和水力学的问题；提出了弹性理论方程的一般积分法，引入了泊松常数.他还用变分法解决过弹性理论的问题.
在引力学中，他发表了《关于球体引力》和《关于引力理论方程》的论文，引入了著名的泊松方程.他的名著《力学教程》（2卷），发展了拉格朗日和拉普拉斯的思想，成为广泛使用的标准教科书，在天体力学方面，他研究了关于月球和行星理论以及太阳系稳定性的某些问题，计算出由球体和椭球体引起的万有引力.他1831年还发表了《毛细管作用新论》.
泊松一生对摆的研究极感兴趣，他的科学生涯就是从研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用开始的.直到晚年，他仍用大部分时间和精力从事摆的研究.他为什么对摆如此着迷？有一个传说，泊松小时候由于身体孱弱，他的母亲曾把他托给一个保姆照料，保姆一离开他时，就把泊松放在一个摇篮式的布袋里，并将布袋挂在棚顶的钉子上，吊着他摆来摆去.这个保姆认为，这样不但可以使孩子身上不被弄脏，而且还有益于孩子的健康.泊松后来风趣地说：吊着我摆来摆去不但是我孩提时的体育锻炼，并且使我在孩提时就熟悉了摆.
在数学中以他的姓名命名的有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松流、泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松求和法……等. 数学家费马（Fermat,Pierre de）（1601-1665）
“费马是一个第一流的数学家，一个无可指摘的诚实人，一个历史上无与伦比的数论学家.”──贝尔
“我已经发现了大量极其美妙的定理.”──费马
费马是法国数学家.1601年8月20日（另一说17日）生于图卢斯附近的波蒙特；1665年1月12日卒于卡斯特尔.
费马出生于皮革商人家庭，他在家乡上完中学后，考入了图卢斯大学，1631年获奥尔良大学民法学士学位，毕业后任律师，并担任过图卢斯议会议员.虽然数学只是他的业余爱好，但他对解析几何、微积分、数论、概率论都作出了杰出的贡献，被誉为“业余数学家之王”.
费马是解析几何的两个发明者之一.在笛卡儿的《几何学》发表之前，他在1629年就已发现了解析几何的基本原理.他考虑任意曲线和它上面的一般点M（见图5）：M的位置用 ， 两个字母定出： 是从点 沿底线到点 的距离， 是从 到 的距离.他所用的是倾斜坐标，但 轴没有出现，而且不用负数，他的 ， 相当于现在用的 .费马叙述了他的一般原理：“只要在最后的方程里出现了两个未知量，我们就得到一条轨迹，这两个量之一，其末端就绘出一条直线或曲线.”图中对于不同位置的E，其末端 就把“线”描出.费马采用韦达的代数符号给出了直线和圆锥曲线的方程.他还领会到坐标轴可以平移或旋转，并给出一些较复杂的二次方程及其化简后的形式.他肯定：一个联系 和 的方程，如果是一次的就代表直线，如果是二次的就代表圆锥曲线.他还提出了许多以代数方程定义的新曲线，例如，曲线 和 ，现在仍被称作费马双曲线、抛物线和螺线.费马在1643年又谈到了空间解析几何，他谈到柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面.他在1650年一篇文章中指出，含有三个未知量的方程表示一个曲面.
图5
费马是微积分学的杰出先驱者.他在1629年就获得了求函数极值的法则，他的法则可用现在的记号表示如下：欲求 （费马先取个别整有理函数）的极值，先把表达式 按 的乘幂展开，并弃去含 的各项，再令所得的结果为零，这时方程的根就可能使 在这一点上有极值.他还应用类似的方法求出平面曲线 的切线，实际上他是写出了所谓次切线的表达式 ，约掉 后再弃去含 的各项.费马在这两个问题中的计算，都用到了相当于求极限 的式子.他的求极值的法则给出了（可微函数的）有极值的必要条件 ，而所谓次切线的求法导致求表达式 的结果.他还用类似的方法求出了抛物体截段的重心，这有别于用求积方法求得的重心，在微积分史上是独特的.他还有区分极大和极小的准则，并有求拐点的方法.费马在讨论抛物线 为正整数）下的面积时，以等距离的纵坐标把面积分成窄长条，算出了相当于 的积分.后来他在横坐标做成几何级数的那些点上引出纵坐标而把他的结果推广到 为分数与负数的情形，同时那些近似于 的长条面积组成容易求和的几何级数，其结果当 时，相当于 的计算，当 时，相当于今天的广义积分 的计算.他还得出了求半立方抛物线长度的方法，他用这种方法处理了许多几何问题，例如，求球的内接圆锥的最大体积、球的内接圆柱的最大表面积等.费马这些成果对后来微积分的建立产生了深远的影响，正如牛顿所说：“我从费马的切线作法中得到了这个方法的启示，我推广了它，把它直接地并且反过来应用于抽象的方程.”
费马被誉为近代数论之父.他对数论的研究是从阅读丢番图的著作《算术》一书开始的，他对数论的大部分贡献都批注在这本书页的边缘或空白处，有些则是通过给朋友的信件传播出去的.例如，费马在丢番图著的《算术》第二卷第八命题——“将一个平方数分为两个平方数”的旁边写道：“相反，要将一个立方数分为两个立方数、一个四次幂分为两个四次幂，一般地将一个高于二次幂分为两个同次幂，都是不可能的.关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小写不下它.”这就是数学史上著名的费马大定理.这个定理可用现代的术语简述如下：
不可能有满足 的正整数 存在.
在数论这个领域中，费马具有非凡的直觉能力，他提出了数论方面的许多重要定理，但他对这些定理只是略述大意，很少给出详细证明.对这些定理的补充证明曾强烈的吸引着18世纪和19世纪许多杰出的数学家，从而推动了19世纪数论的发展.“费马大定理”提出以来直至1994年三百多年，其间最优秀的数学家都未能给出一般性的证明.但在试图证明这个定理的过程中，却创造出大量新颖的数学方法，引出了不少新的数学理论.所以希尔伯特（Hilbert）称它是“会下金蛋的老母鸡.”直到1994年，“费马大定理”才被英国数学家怀尔斯（Wiles）给出了严格证明.
费马在1654年写的一批信件中，他还同帕斯卡共同建立了概率论的一些基本概念.
费马研究了几何光学，并在此基础上于1657年发现了光的最小时间原理及与光的折射现象的关系，这是走向光学统一理论的最早一步.
费马性情谦抑，好静好癖.他对数学的许多研究成果都不愿发表.（他的儿子在他去世后，才将其著作、信件、注记汇集成书出版）.这不但使他当时的成就无缘扬名于世，并在他的暮年也脱离了数学研究的主流，所以直到18世纪费马还不太知名.然而进入19世纪中叶，随着数论的兴起，数学家和数学史家对费马及其著作产生了浓厚的兴趣，争先发表研究费马的著作，其中尤以查尔斯·亨利（Cherles Henry）和保罗·坦纳（Paul Tannery）的4卷论文集最为全面，从中可以看出费马对数学和光学所作出的广泛而杰出的贡献.美国数学史家贝尔（Bell）说：“费马是一个第一流的数学家，一个无可指摘的诚实人，一个历史上无与伦比的数论学家.”
在数学中以他的名字命名的有：费马大定理、费马小定理、费马数、费马原理、费马螺线等等.
数学家贝叶斯（Bayes，Thomas）(1702─1761)
“贝叶斯提出了一种归纳推理的理论，以后被一些统计学者发展为一种系统的统计推断方法，称为贝叶斯方法.”──摘自《中国大百科全书》（数学卷）
贝叶斯是英国数学家.1702年生于伦敦；1761年4月17日卒于坦布里奇韦尔斯.
贝叶斯是一位自学成才的数学家.曾助理宗教事务，后来长期担任坦布里奇韦尔斯地方教堂的牧师.
1742年，贝叶斯被选为英国皇家学会会员.
1763年，贝叶斯发表《论机会学说问题的求解》中，提出了一种归纳推理的理论，其中的“贝叶斯定理（或贝叶斯公式）”给出了在已知结果E后，对所有原因C计算其条件概率（后验概率） 的公式，可以看作最早的一种统计推断程序，以后被一些统计学者发展为一种系统的统计推断方法，称为贝叶斯方法.采用这种方法作为统计推断所得的全部结果，构成贝叶斯统计方法的内容.贝叶斯统计在理论上的进展以及它在应用上的方便和效益，使其观点为许多的人所了解，并对一些统计学者产生吸引力.而认为贝叶斯方法是唯一合理的统计推断方法的统计学者，形成数理统计学中的贝叶斯学派.如今在概率、数理统计学中以贝叶斯姓氏命名的有贝叶斯公式、贝叶斯风险、贝叶斯决策函数、贝叶斯决策规则、贝叶斯估计量、贝叶斯方法、贝叶斯统计等等.
在关于微积分基础的论战中，贝叶斯也发表过文章，为了反对贝克莱主教对微积分的攻击，他1736年发表了《流数术学说入门》.
数学家帕斯卡(Pascal,Blaise)(1623—1662)
“帕斯卡显示了早熟的数学天才,但是他在这方面的活动受到了宗教顾忌的阻碍……尽管如此,他还是使数学和物理学的若干不同分支取得显著的进展.”──沃尔夫
“数学是对精神的最高锻炼.” ──帕斯卡
帕斯卡是法国数学家、物理学家、哲学家、散文家.1623年6月19日生于克莱蒙费朗；1662年8月19日卒于巴黎.
帕斯卡4岁丧母,其父是政府的官吏,博学多才,是一个业余数学家.由于帕斯卡从小体弱多病,其父不让他过早接触数学,以免思虑过度有损健康.帕斯卡12岁时,看到父亲阅读几何,便问几何学是什么,父亲为了不想让他知道得太多,就简单的告诉他几何是研究图形的,并且很快把数学书收藏起来,怕帕斯卡去翻阅,父亲对他接触数学的“禁令”,更激起了帕斯卡对数学的好奇心.于是帕斯卡就自行研究,当他把自己的发现：“任何三角形的三个内角和都是一百八十度”的结果告诉父亲时,父亲惊喜交集地流出了激动的眼泪,并改变了原来的想法,提早让帕斯卡学习《几何原本》等经典数学名著,帕斯卡贪婪地很快读完了《几何原本》.
帕斯卡是一位在科学史上富有传奇色彩的人物,曾被描述为数学史上最伟大的“轶才”.18世纪的大数学家达朗贝尔(D’Alembert)赞誉他的成就是“阿基米德与牛顿两者工作的中间环节.”
帕斯卡显示出惊人的早慧：11岁时,当他用餐刀轻敲食盘发出了响声,用手一按住盘子声音便戛然而止,从而启发他写出论述振动体发音的论文《论声音》；12岁时,就独立地发现了不少初等几何中的定理,其中包括三角形内角和等于180º；13岁时,发现了二项式展开的系数──“帕斯卡三角形”；14岁时,就被允许参加由梅森(Mersenne)主持的星期科学讨论会(法国科学院就是由这个讨论会发展起来的).1653年他写成了《三角阵算术》,经费马修订后于1665年出版,在这本书中建立起概率论的基本原理和有关组合论的某些定理.并与费尔马共同建立了概率论和组合论的基础,给出了关于概率论问题的系列解法.莱布尼茨后来读到帕斯卡这方面的研究成果时,深刻的意识到这门“新逻辑学”的重要性.另外,在帕斯卡的关于《三角阵算术》中,包含了数学归纳法最早的也是可被接受的陈述,因此人们认为他也是数学归纳法最早的发现者.
帕斯卡在不到16岁时,受到了几何学家德萨格(Desargues)著作的启发,发现了如下的著名定理：“如果一个六边形内接于一圆锥曲线,则其三对对边的交点共线,并且逆命题亦成立.”为此写成《圆锥曲线论》一文于1640年单篇发行.这是自希腊阿波洛尼厄斯以来关于圆锥曲线论的最大进步,也是射影几何方面的出色成果.后来他又从这个定理导出一系列推论,给出了射影几何的若干定理.
意大利数学家卡瓦列利曾经提示过三角形的面积可通过划分为无数平行直线的办法来计算.帕斯卡为了摆脱卡瓦列利方法中那些逻辑上的缺陷,认为,一条线不是由点构成的,而是由无数条短线构成；一块面不是由线构成,而是由无数个小块面构成；一个立体不是由面构成,而是由无数个薄薄的立体构成.遵循着这一思想线索,他求出了曲线 下曲边梯形的面积(相当于 ),求出了摆线面积和其旋转体体积.帕斯卡当时在运用无穷小研究几何方面达到了很高水平,但由于无穷小概念不甚明确,不可分量也带有神秘色彩,当别人提出问题时,他用“心领神会”来回答别人的批评.帕斯卡认为大自然把无限大、无限小提供给人们不是为了理解而是为了欣赏.他看到了无限大、无限小互相制约(呈倒数关系).否认图形由低维元素构成,并认为离散、连续之差异随着解析方法的应用而消失.他的这些思想,为后来的极限与无穷小的严格定义,为微积分学的建立,开辟了道路.他对摆线进行过深入的研究,于1658年写出了名著《论摆线》,解决了关于摆线的许多问题.这本书对年轻的莱布尼茨有很深的影响.
帕斯卡18岁时,设计出世界上第一台机械计算机(能作加减法计算).
在物理学方面,1648年他通过试验证明了空气有压力,这个试验轰动了整个科学界,从而彻底粉碎了经院哲学中“自然畏惧真空”的古老教条.他还研究了液体平衡的一般规律,发现了“封闭容器内流体在任何点所受的压力以同等的强度向各个方向同样地传递.”这就是流体静力学中最基本的原理──帕斯卡原理.
帕斯卡还是一位散文大师、思想家和神学辩论家.他所写的《思想录》和《致外省人的信》,被列为经典文学名作.他凭着散文大师驾驭文字的能力,发挥思想家鞭辟入里的洞察力,不但文思流畅,还以其论战的锋芒和思想的深邃著称于世.对法国散文的发展影响甚大,甚至连法国大文豪伏尔泰(Voltaire)看了他的文学作品也备受鼓舞.
然而,正当帕斯卡享有科学家的盛誉之时,由于身体衰弱消化不良、失眠和头痛的折磨,经常在夜晚半睡半醒地作恶梦.特别是受其世界观的支配,使之逐步放弃了对数学和科学的探讨,而致力于宗教的冥想.经过短暂的几年之后,虽又回到了科学上来,但已经不能专心致志了,1654年他曾说：受到一个很强的提示,这种重新开展的科学活动是不受上帝欢迎的.这种所谓神的启示是在一次偶然的事故后出现的：一次他乘马车,马失控冲过纳伊桥的栏杆掉入河中,而他自己侥幸由于缰绳突然挣断而未堕下河中,奇迹般地得救.他把这件偶然的事写在一小片厚纸上,一直贴放在胸前,要自己从今以后牢牢记住这一启示,于是他又宿命地回到宗教的冥想中去了.帕斯卡认为：“凡有关信仰之事不能为理智所考虑.”在他生命最后的一段时间,更走上了极端,像苦行僧一样,把有尖刺的腰带缠在腰上.如果他认为有什么对神不虔诚的想法从脑海出现,就用肘撞击腰带来刺痛身体.这样他年仅39岁就去世了.弥留之际,他还用微弱的声音说：“愿上帝与我同在.”英国著名科学史家沃尔夫说：“帕斯卡显示了早熟的数学天才,但是他在这方面的活动受到宗教顾忌的阻碍,并以他的夭折而告终.尽管如此,他还是使数学和物理学的若干不同分支取得显著的进展.”
帕斯卡认为：“一个人的美德决不能从他特别的努力来测度,而应该从他每天的行为来测度.”他还说：“你要人们赞美你吗？那么你不要称赞你自己.”他认为：“数学是对精神的最高锻炼.”
高尔顿（Galton，Francis）(1822─1911)
“高尔顿等人关于回归分析的先驱性的工作，以及时间序列分析方面的一些工作，…是数理统计学发展史中的重要事件.”──摘自《中国大百科全书》（数学卷）
高尔顿是英国人类学家、生物统计学家.1822年2月6日生于伯明翰,1911年1月17日卒于萨里郡黑斯尔米尔.
高尔顿是生物学家达尔文的表弟.他早年在剑桥学习数学，后到伦敦攻读医学.1860年当选为皇家学会会员，1909年被封为爵士.1845—1852年深入到非洲腹地探险、考察.
高尔顿是生物统计学派的奠基人，他的表哥达尔文的巨著《物种起源》问世以后，触动他用统计方法研究智力遗传进化问题，第一次将概率统计原理等数学方法用于生物科学，明确提出“生物统计学”的名词.现在统计学上的“相关”和“回归”的概念也是高尔顿第一次使用的，他是怎样产生这些概念的呢？1870年，高尔顿在研究人类身长的遗传时，发现下列关系：高个子父母的子女，其身高有低于其父母身高的趋势，而矮个子父母的子女，其身高有高于其父母的趋势，即有“回归”到平均数去的趋势，这就是统计学上最初出现“回归”时的涵义.高尔顿揭示了统计方法在生物学研究中是有用的，引进了回归直线、相关系数的概念，创始了回归分析.开创了生物统计学研究的先河.他于1889年在《自然遗传》中，应用百分位数法和四分位偏差法代替离差度量.在现在的随机过程中有以他的姓氏命名的高尔顿─沃森过程（简称G─W过程）.
高尔顿发表了200篇论文和出版了十几部专著，涉及人体测量学，实验心理学等领域，其中数学始终起着重要作用.
数学家勒贝格（Lebesgue, Henri Leon）(1875—1941)
“勒贝格的工作是20世纪的一个伟大贡献，确实赢得了公认，但和通常一样，也并不是没有遭到一定阻力的. ”──克兰
“对许多数学家来说，我成了没有导数的函数的人，虽然我在任何时候也不曾完全让我自己去研究或思考这种函数. ” ──勒贝格
勒贝格是法国数学家. 1875年6月28日生于博韦；1941年7月26日卒于巴黎.
勒贝格在博韦读完中学后，于1894年入巴黎高等师范学校攻读数学，并成为博雷尔的学生，1897年获该校硕士学位. 毕业后曾在南希一所中学任教. 1902年在巴黎大学通过博士论文答辩，取得哲学博士学位. 1902—1906年任雷恩大学讲师. 从1906年起先后在普瓦蒂埃大学、巴黎大学、法兰西学院任教，1919年晋升为教授. 1922年当选为法国科学院院士. 1924年成为伦敦数学会荣誉会员. 1934年被选为英国皇家学会会员. 他还是前苏联科学院的通讯院士.
勒贝格是20世纪法国最有影响的分析学家之一，也是实变函数论的重要奠基人.
勒贝格的成名之作是他的论文《积分，长度，面积》（1902年）和两本专著《论三角级数》（1903年）、《积分与原函数的研究》（1904年）. 在《积分，长度，面积》中，第一次阐明了他关于测度和积分的思想. 他的工作使19世纪在这个领域的研究大为改观，特别是在博雷尔测度的基础上建立了“勒贝格测度”，并以此为基础对积分的概念作了最有意义的推广：即把被积函数f(x阿)定义的区间 分成若干个勒贝格可测集，然后同样作积分和，那么原来划分子区间方法的积分和如果不收敛，则现在划分为可测集的方法就有可能收敛. 于是按黎曼意义不可积的函数，在勒贝格意义下却变得可积. 他在《积分与原函数的研究》中还证明了有界函数黎曼可积的主要条件是不连续点构成一个零测度集，因此从另外一个角度给出了黎曼可积的主要条件. 要想从一个不太抽象的角度，用几句话就能概括勒贝格测度和勒贝格积分的概念及其在近代数学中的巨大作用，是极为困难的. 可以这样说，大家熟知的黎曼积分有如下若干缺点，严重地限制了积分概念在自然科学中的应用. 第一，黎曼积分中的被积函数只能是定义在实直线R的闭区间上（或Rn的闭连通区域上）的实值函数，但实际上有用的函数f ，其定义域可以是R或Rn的某些适当的子集. 第二，黎曼可积的函数类甚为狭小，基本上是“分段连续函数”构成的函数类. 第三，许多收敛的黎曼函数序列，其极限函数却不是黎曼可积的，即使是黎曼可积的，但积分与求极限的过程也不是随便可交换的. 这些缺点不仅在泛函分析中导致严重困难，而且在无穷级数的逐项积分这种简单问题上也导致了严重的困难. 正是勒贝格在20世纪初开创的这些工作为扫除这些障碍提供了理论工具. 按照勒贝格意义下的积分，可积函数类大大地扩张了；积分区域可以是比闭连通域复杂得多（R或Rn）的子集；收敛性的困难大大地减少了. 勒贝格曾对他的积分思想作过一个生动有趣的描述：“我必须偿还一笔钱. 如果我从口袋中随意地摸出来各种不同面值的钞票，逐一地还给债主直到全部还清，这就是黎曼积分；不过，我还有另外一种作法，就是把钱全部拿出来并把相同面值的钞票放在一起，然后再一起付给应还的数目，这就是我的积分. ”
勒贝格积分的理论是对积分学的重大突破. 用他的积分理论来研究三角级数，很容易地得到了许多重要定理，改进了到那时为止的函数可展为三角级数的充分条件. 紧接着导数的概念也得到了推广，微积分中的牛顿—莱布尼茨公式也得到了相应的新结论，一门微积分的延续学科—实变函数论在他手中诞生了.
勒贝格的理论，不仅是对积分学的革命，而且也是傅里叶级数理论和位势理论发展的转折点.
勒贝格还提出了因次理论；证明了按贝尔（Baire）范畴各类函数的存在；在拓扑学中他引入了紧性的定义和紧集的勒贝格数. 他的覆盖定理是对拓扑学的一大贡献.
美国数学史家克兰（kline）说：“勒贝格的工作是本世纪的一个伟大贡献，确实赢得了公认，但和通常一样，也并不是没有遭到一定的阻力的. ”例如，数学家埃尔米特曾说：“我怀着惊恐慌的心情对不可导函数的令人痛惜的祸害感到厌恶. ”当勒贝格写一篇讨论不可微曲面《关于可应用于平面的非直纹面短论》论文，埃尔米特就极力阻止它发表. 勒贝格从1902年发表第一篇论文《积分，长度，面积》起，有近十年的时间没有在巴黎获得职务，直到1910年，才被同意进入巴黎大学任教. 勒贝格在他的《工作介绍》中感慨地写道：“对于许多数学家来说，我成了没有导数的函数的人，虽然我在任何时候也不曾完全让我自己去研究或思考这种函数. 因为埃尔米特表现出来的恐惧和厌恶差不多每个人都会感觉到，所以任何时候，只要当我试图参加一个数学讨论会时，总会有些分析家说：‘这不会使你感兴趣的，我们在讨论有导数的函数. ’或者一位几何学家就会用他的语言说：‘我们在讨论有切平面的曲面. ’”但到了20世纪30年代，勒贝格积分论已广为人知，并且在概率论、谱理论、泛函分析等方面获得了广泛的应用.
勒贝格具有基于直观几何的深刻洞察力. 他的工作开辟了分析学的新时代，对20世纪数学产生了极为深远的影响. 他的论文收集在《勒贝格全集》（5卷）中.
在数学中以他的姓氏命名的有：勒贝格函数、勒贝格测度、勒贝格积分、勒贝格积分和、勒贝格空间、勒贝格面积、勒贝格准则、勒贝格数、勒贝格点、勒贝格脊、勒贝格链、勒贝格谱、勒贝格维数、勒贝格分解、勒贝格分类、勒贝格不等式等，而以他的姓氏命名的定理有多种.
数学家高斯（Gauss, Garl Friedrich）(1777—1855)
“他的思想深入数学、空间、大自然的奥秘.……他推动了数学的进展直到下个世纪.”──摘慕尼黑博物馆高斯画像下的诗句
“数学是科学的皇后.”──高斯
高斯是德国数学家、物理学家、天文学家.1777年4月30日生于不伦瑞克；1855年2月23日卒于哥廷根.
高斯的祖父是农民，父亲是园丁兼泥瓦匠.高斯幼年就显露出数学方面的非凡才华：他10岁时，发现了1+2+3+4+…+97+98+99+100的一个巧妙的求和方法；11岁时，发现了二项式定理.高斯的才华受到了布伦瑞克公爵卡尔?威廉（Karl Wilhelm）的赏识，亲自承担起对他的培养教育，先把他送到布伦瑞克的卡罗林学院学习（1792─1795年），嗣后又推荐他去哥廷根大学深造（1795─1798年）.
高斯在卡罗林学院认真研读了牛顿、欧拉、拉格朗日的著作.在这时期他发现了素数定理（但未能给出证明）；发现了数据拟合中最为有用的最小二乘法；提出了概率论中的正态分布公式并用高斯曲线形象地予以说明.进入哥廷根大学第二年，他证明了正17边形能用尺规作图，这是自欧几里得以来二千年悬而未决的问题，这一成功促使他毅然献身数学.高斯22岁获黑尔姆斯泰特大学博士学位，30岁被聘为哥廷根大学数学和天文教授，并担任该校天文台的台长.
高斯的博士论文可以说是数学史上的一块里程碑.他在这篇文章中第一次严格地证明了“每一个实系数或复系数的任意多项式方程存在实根或复根”，即所谓代数基本定理，从而开创了“存在性”证明的新时代.
高斯在数学世界“处处留芳”：他对数论、复变函数、椭圆函数、超几何级数、统计数学等各个领域都有卓越的贡献.他是第一个成功地运用复数和复平面几何的数学家：他的《算术探究》一书奠定了近代数论的基础；他的《一般曲面论》是近代微分几何的开端；他是第一个领悟到存在非欧几何的数学家；是现代数学分析学的一位大师，1812年发表的论文《无穷极数的一般研究》，引入了高斯级数的概念，对级数的收敛性作了第一次系统的研究，从而开创了关于级数收敛性研究的新时代，这项工作开辟了通往19世纪中叶分析学的严密化道路.在数学中以他的姓名命名的有：高斯公式、高斯曲率、高斯分布、高斯方程、高斯曲线、高斯平面、高斯记号、高斯概率、高斯变换、高斯分解、高斯和、高斯素数、高斯级数、高斯系数、高斯准则、高斯原理、高斯消元法、高斯过程、高斯映射、高斯测度、高斯二次型、高斯多项式、高斯不等式、高斯随机过程、高斯随机变量……等等.拉普拉斯认为：“高斯是世界上最伟大的数学家.”
在天文学方面，他研究了月球的运转规律，创立了一种可以计算星球椭圆轨道的方法，能准确地预测出行星在运行中所处的位置，他利用自己创造的最小二乘法算出了谷神星的轨道和发现了智神星的位置，阐述了星球的摄动理论和处理摄动的方法，这种方法导致海王星的发现.他的《天体运动理论》是一本不朽的经典名著.
在物理学方面，他发明了“日光反射器”.与韦伯一道建立了电磁学中的高斯单位制，最早设计与制造了电磁电报机，发表了《地磁概论》，绘出了世界第一张地球磁场图，定出了磁南极和磁北极的位置.
高斯对天文学和物理学的研究，开辟了数学与天文学、物理学相结合的光辉时代.高斯认为：数学，要学有灵感，必须接触现实世界.他有一句名言：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后，它常常屈尊去为天文学和其他自然科学效劳，但在所有的关系中，它都堪称第一.”
高斯厚积薄发、治学严谨，一生发表了150多篇论文，但仍有大量发现没有公诸于世.为了使自己的论著无懈可击，他的著作写得简单扼要、严密，不讲来龙去脉，有些语句几经琢磨提炼，以致简炼得使人读了十分费解，他论著中所深藏不露的内容几乎比他所表现的明确结论还要多得多.阿贝尔对此曾说：“他像只狐狸，用尾巴抹平了自己的沙地上走过的脚印.”对于这些批评，高斯回答说：“凡有自尊心的建筑师，在瑰丽的大厦建成之后，决不会把脚手架留在那里.”不过他的著作过于精练、难于阅读也妨碍了他的思想更广泛的传播.由于高斯过于谨慎，怕引起“庸人的叫喊”、长期不敢将自己关于非欧几何的观点公之于世.另外他在对待波尔约（Bolyai）的非欧几何和阿贝尔的椭圆函数所采取的冷漠态度，也是数学史上遗憾的事件.
高斯一生勤奋，很少外游，以巨大的精力从事数学及其应用方面的研究.他精通多种文学和语言，拥有六千多卷各种文字（包括希腊、拉丁、英、法、俄、丹、德）的藏书.他在从事数学或科学工作之余，还广泛阅读当代欧洲文学和古代文学作品.他对世界政治很关心，每天最少花一小时在博物馆看各种报纸.对学习外语也很有兴趣，62岁时，他在没有任何人帮助的情况下自学俄文，两年之后便能顺利地阅读俄文版的散文诗歌及小说.
高斯是近代数学的伟大奠基者之一，他在历史上的影响之大可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列.高斯被誉为：“能从九霄云外的高度按某种观点掌握星空和深奥数学的天才.”在慕尼黑博物馆高斯的画像下有这样一首诗：
“他的思想深入数学、空间、大自然的奥秘.他测量了星星的路径、地球的形状和自然力.他推动了数学的进展直到下个世纪.”
高斯一生勤于思考，重视“一题多解”：他对代数基本定理先后给出了4种不同的证明；对数论中的二次互反律先后给出了8种不同的证明.他说：“绝对不能以为获得一个证明以后，研究便告结束，或把另外的证明当作多余的奢侈品.”“有时候一开始你没有得到最简单和最美妙的证明，但恰恰在寻求这样的证明中才能深入到真理的奇妙联想中去，这正是吸引我去继续研究的主动力，并且最能使我有所发现.”他还说：“一个人在无结果地深思一个真理后能够用迂回的方法证明它，并且最后找到了它的最简明而又最自然的证法，那是极其令人高兴的.”“假如别人和我一样深刻和持续地思考数学真理，他会作出同样的发现.”
高斯在他一生中，只对一种人感到反感和蔑视：这就是明知自己错了又不承认错误的、佯装有学问的人.
他的国家的人民为了缅怀、纪念高斯，特将他的故乡改名为高斯堡，并在他的母校哥廷格根大学建立了一座以正17边形棱柱为底座的高斯雕像.
数学家柯西（Cauchy, Augustin-Louis）(1789—1857)
“每一个在数学研究中喜欢严密性的人，都应读柯西的杰出著作《分析教程》.”
──阿贝尔
“人总是要死的，但他们的业绩应该永存.”
──柯西
柯西是法国数学家.1789年8月21日生于巴黎；1857年5月23日卒于巴黎附近的索镇.
柯西的父亲是一位精通古典文学的律师，曾任法国参议院秘书长，和拉格朗日、拉普拉斯等人交往甚密，因此柯西从小就认识了一些著名的科学家.柯西自幼聪敏好学，在中学时就是学校里的明星，曾获得希腊文、拉丁文作文和拉丁文诗奖.在中学毕业时赢得全国大奖赛和一项古典文学特别奖.拉格郎日曾预言他日后必成大器.1805年他年仅16岁就以第二名的成绩考入巴黎综合工科学校，1807年又以第一名的成绩考入道路桥梁工程学校.1810年3月柯西完成了学业离开了巴黎，“行李不多（在行李中有四本书：拉普拉斯的《天体力学》；拉格朗日的《解析函数论》；托马斯的《效法基督》和一册维吉尔的作品）满怀希望”前往瑟堡就任对他的第一次任命.但后来由于身体欠佳，又颇具数学天赋，便听从拉格朗日与拉普拉斯的劝告转攻数学.从1810年12月，柯西就把数学的各个分支从头到尾再温习一遍，从算术开始到天文学为止，把模糊的地方弄清楚，应用他自己的方法去简化证明和发现新定理，柯西于1813年回到巴黎综合工科学校任教，1816年晋升为该校教授.以后又担任了巴黎理学院及法兰西学院教授.
柯西创造力惊人，数学论文像连绵不断的泉水在柯西的一生中喷涌，他发表了789篇论文，出版专著7本，全集共有十四开本24卷，从他23岁写出第一篇论文到68岁逝世的45年中，平均每月发表一至两篇论文.1849年，仅在法国科学院8月至12月的9次会上，他就提交了24篇短文和15篇研究报告.他的文章朴实无华、充满新意.柯西27岁即当选为法国科学院院士，还是英国皇家学会会员和许多国家的科学院院士.
柯西对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严格的表述与证明方法.正如著名数学家冯·诺伊曼所说：“严密性的统治地位基本上由柯西重新建立起来的.”在这方面他写下了三部专著：《分析教程》（1821年）、《无穷小计算教程》（1823年）、《微分计算教程》（1826─1828年）.他的这些著作，摆脱了微积分单纯的对几何、运动的直观理解和物理解释，引入了严格的分析上的叙述和论证，从而形成了微积分的现代体系.在数学分析中，可以说柯西比任何人的贡献都大，微积分的现代概念就是柯西建立起来的.有鉴于此，人们通常将柯西看作是近代微积分学的奠基者.阿贝尔称颂柯西“是当今懂得应该怎样对待数学的人”.并指出：“每一个在数学研究中喜欢严密性的人，都应该读柯西的杰出著作《分析教程》.”柯西将微积分严格化的方法虽然也利用无穷小的概念，但他改变了以前数学家所说的无穷小是固定数.而把无穷小或无穷小量简单地定义为一个以零为极限的变量.他定义了上下极限.最早证明了 的收敛，并在这里第一次使用了极限符号.他指出了对一切函数都任意地使用那些只有代数函数才有的性质，无条件地使用级数，都是不合法的.判定收敛性是必要的，并且给出了检验收敛性的重要判据──柯西准则.这个判据至今仍在使用.他还清楚的论述了半收敛级数的意义和用途.他定义了二重级数的收敛性，对幂级数的收敛半径有清晰的估计.柯西清楚的知道无穷级数是表达函数的一种有效方法，并是最早对泰勒定理给出完善证明和确定其余项形式的数学家.他以正确的方法建立了极限和连续性的理论.重新给出函数的积分是和式的极限，他还定义了广义积分.他抛弃了欧拉坚持的函数的显示式表示以及拉格朗日的形式幂级数，而引进了不一定具有解析表达式的函数新概念.并且以精确的极限概念定义了函数的连续性、无穷级数的收敛性、函数的导数、微分和积分以及有关理论.柯西对微积分的论述，使数学界大为震惊.例如，在一次科学会议上，柯西提出了级数收敛性的理论.著名数学家拉普拉斯听过后非常紧张，便急忙赶回家，闭门不出，直到对他的《天体力学》中所用到的每一级数都核实过是收敛的以后，才松了口气.柯西上述三部教程的广泛流传和他一系列的学术演讲，他对微积分的见解被普遍接受，一直沿用至今.当然，在柯西的时代，实数的严格理论还未建立起来，对连续性、一致连续性、可微性、可积性以及它们之间的关系也不可能彻底地阐述清楚，所以在他的论著中也存在一些错误.例如，他曾断言如果 连续且 收敛于 ，则 也连续，且可以逐项积分 ；他甚至还断言，对于连续函数 有 ；并且断言二元函数若对每个变量连续则它必是连续的等等.他的这些错误，相继被后来的数学家澄清.现今所谓极限的柯西定义或“ε-δ”定义乃是经过魏尔斯特拉斯的加工.
柯西的另一个重要贡献，是发展了复变函数的理论，取得了一系列重大成果.特别是他在1814年关于复数极限的定积分的论文，开始了他作为单复变量函数理论的创立者和发展者的伟大业绩.他还给出了复变函数的几何概念，证明了在复数范围内幂级数具有收敛圆，还给出了含有复积分限的积分概念以及残数理论等.
柯西还是探讨微分方程解的存在性问题的第一个数学家，他证明了微分方程在不包含奇点的区域内存在着满足给定条件的解，从而使微分方程的理论深化了.在研究微分方程的解法时，他成功地提出了特征带方法并发展了强函数方法.
柯西在代数学、几何学、数论等各个数学领域也都有创建.例如，他是置换群理论的一位杰出先驱者，他对置换理论作了系统的研究，并由此产生了有限群的表示理论.他还深入研究了行列式的理论，并得到了有名的宾内特（Binet）–柯西公式.他总结了多面体的理论，证明了费马关于多角数的定理等等.
柯西对物理学、力学和天文学都作过深入的研究.特别在固体力学方面，奠定了弹性理论的基础，在这门学科中以他的姓氏命名的定理和定律就有16个之多，仅凭这项成就，就足以使他跻身于杰出的科学家之列.
柯西一生对科学事业作出了卓越的贡献，但也出现过失误，特别是他作为科学院的院士、数学权威在对待两位当时尚未成名的数学新秀阿贝尔、伽罗瓦（Galois）都未给予应有的热情与关注，对阿贝尔关于椭圆函数论一篇开创性论文，对伽罗瓦关于群论一篇开创性论文，不仅未及时作出评论，而且还将他们送审的论文遗失了.这两件事常受到后世评论者的批评.
柯西在政治上属于保皇派，终身守节，非常执拗，1830年法王查理十世（Charles X）被逐，路易·菲力普（Louis Phillippe）称帝.柯西由于拒绝宣誓效忠新皇帝，被革去职务，并出走意大利都灵，后移居布拉格.1848年，路易·菲力普君主政体被推翻，成立法兰西第二共和国，宣誓的规定废除，柯西才回到巴黎高等工艺学院任教授.1852年政变，共和国又变帝国，恢复了宣誓仪式，但拿破仑三世（Napoleon Ⅲ）特地豁免柯西和物理学家阿拉哥（Arago）两人可以免除效忠宣誓，对于皇帝的屈尊迁就，柯西的回报是将他的薪金捐赠给他曾住过的地方的穷人.
柯西有一句名言：“人总是要死的，但他们的业绩应该永存.”
数学中以他的姓名命名的有：柯西积分、柯西公式、柯西不等式、柯西定理、柯西函数、柯西矩阵、柯西分布、柯西变换、柯西准则、柯西算子、柯西序列、柯西系统、柯西主值、柯西条件、柯西形式、柯西问题、柯西数据、柯西积、柯西核、柯西网……等等，而其中以他的姓名命名的定理、公式、方程、准则等有多种.
数学家切比雪夫（Chebyshev, Pafnuty Ljvovich）（1821—1894）
“切比雪夫是彼得堡数学学派的创始人.”──摘自《中国大百科全书》（数学卷）
“科学本身在实践的影响下发展，而又为实践开发了新的研究对象.”──切比雪夫
切比雪夫是俄国数学家、力学家.1821年5月26日生于奥卡多沃,1894年12月8日卒于彼得堡.
切比雪夫的左脚生来有残疾，因而童年时代经常独坐家中，养成了在孤寂中看书和思索的习惯，并对数学产生了强烈的兴趣，特别对欧里几得的《几何原本》中关于没有最大素数的证明所深深吸引，1837年考入莫斯科大学物理数学系学习，在大学四年级时，他以一篇题为《方程根的计算》的论文，获系里颁发的银质奖章.大学毕业后，他留在莫斯科大学当助教并同时攻读硕士学位，1846年以题为《试论概率论的基础分析》的论文获硕士学位.其后他到彼得堡大学任教.1849年他以题为《论同余式》的论文获得彼得堡大学博士学位，并获彼得堡科学院的最高数学荣誉奖.切比雪夫于1850年在彼得堡大学晋升为副教授，1860年晋升为教授，1859年当选为彼得堡科学院院士.他还先后当选为法兰西科学院，柏林皇家科学院、意大利皇家科学院、瑞典皇家科学院的外籍院士和伦敦皇家学会会员.1872年彼得堡大学授予他功勋教授称号，1890年他荣获了法国荣誉团勋章.
切比雪夫在数学的很多方面及其邻近的学科都做出了重要贡献.
在函数逼近论方面，他引进了许多新的概念和方法，创立了切比雪夫最佳逼近论，证明了最佳逼近多项式的一系列性质，引入了切比雪夫交错组和符号判别法，提出了在闭区间上的几个著名的切比雪夫多项式，其中用得最多的是Tn(x)、Un(x)，它们在[-1，1]上有n个零点，且数值在 与 之间摆动.他还研究了平方逼近、三角逼近和有理逼近等不同的课题.由此创立了函数构造理论.
在概率论方面，他建立了证明极限定理的新方法—矩方法，用十分简明的初等方法证明了一般形式的大数定律，研究了服从正态规律的独立随机变量和函数的收敛条件，证明了独立随机变量和的函数按 方幂渐近展开（ 为独立变量的项数）.他引出的一系列概念和研究题材与方法为俄国的数学家继承和发展，并形成了俄国的概率论学派.
在数论方面，他从本质上推进了素数分布问题的研究.他在1849年的博士论文中，在假定 极限存在的前提下，证明了 (其中 表示不大于x的素数的个数)；1850年，他在另一篇论文《论素数》中又证明了 满足不等式 (其中a=0.92129，b=1.10555).他还引入了今日被称为切比雪夫函数 ,和 ,它们在数论中都有重要用途.他在这篇论文中还证明了法国数学家贝特郎提出的关于素数分布规律的另一个猜想：即在x和2x之间有素数存在，并进一步证明了对任意自然n(n>3),在n与2n-2之间至少有一素数.另外，他还研究了用有理数逼近实数的问题，发展了丢番图逼近理论.
在数学分析方面，他研究过某些由代数函数和对数函数表示的无理函数的可积性.他解决了何种条件下能用有限形式积出椭圆积分的难题.他还利用函数逼近论发展了埃尔米特提出的一种定积分的近似计算法.
切比雪夫重视理论联系实际，并善于将数学理论与自然科学技术的实践紧密地结合起来.例如，他应用函数逼近论的理论与算法于机器设计，取得了许多有用的结果；他关于插值理论的研究也部分地来源于分析炮弹着点数据的需要；他在一篇题为《论服装裁剪》的论文中提出的“切比雪夫网”成了曲面论中的一个重要概念.切比雪夫认为：“科学本身在实践的影响下发展，而又为实践开发了新的研究对象.”
切比雪夫对数学作出了大量的贡献，在数学中以他的姓氏命名的有：切比雪夫集、切比雪夫交错、切比雪夫点、切比雪夫结点、切比雪夫网、切比雪夫常数、切比雪夫向量、切比雪夫中心、切比雪夫子空间、切比雪夫半径、切比雪夫逼近、切比雪夫函数、切比雪夫方程、切比雪夫系、切比雪夫准则、切比雪夫法、切比雪夫迭代法、切比雪夫参数迭代法、切比雪夫半迭代法、切比雪夫多项式、切比雪夫不等式、切比雪夫定理等等.而其中以他的姓氏命名的定理、方程、多项式、不等式……等有多种.
切比雪夫不但研究成果辉煌，而且教学成就卓著，他在彼得堡大学执教35年间，先后主讲过数论、高等代数、积分运算、椭圆函数、有限差分、概率论、分析力学、傅立叶级数、函数逼近论、工程机械学等十余门课程，他在教学工作中能将自己的精练见解与研究成果融汇于讲课之中，因而深受学生的欢迎.例如，他的学生，著名数学家李雅普诺夫评论道：“切比雪夫的课程是精练的，他不注意知识的数量，而是热衷于向学生们阐明一些最重要的观念.他的讲课是生动的、富有吸引力的，总是充满了对问题和科学方法之重要意义的奇妙评论.”由于切比雪夫在彼得堡大学几十年来的言传身教，孕育、培养、造就了不少杰出数学家，例如马尔可夫、李雅普诺夫、格拉韦等，从而逐步形成了以切比雪夫为代表的彼得堡数学学派.这个学派的特点是：重视基础理论，善于以经典课题为突破口；理论联系实际；擅长运用初等工具建立高深的结果；以大学为基地，科研、教学相结合.
切比雪夫终身未娶，把一生献给了科学教育事业.他去世后，先后出版了他的论文集（1899─1907）、全集（1944─1951）和选集（1955）.1944年，苏联科学院设立了切比雪夫奖金.
数学家辛钦（Hincen,Alexandr Jakovlevic）(1894─1959)
“辛钦是现代概率论的奠基者之一.”──摘自《中国大百科全书》（数学卷）
“为了使…教程能够尽可能地简明，我的方法完全在于选取最精简的材料，而不在叙述上压缩辞句.”──辛钦
辛钦是原苏联数学家.1894年7月19日生于莫斯科附近的康德罗沃；1959年11月18日卒于莫斯科.
辛钦1916年毕业于莫斯科大学并留校从事教学工作.1922—1927年在莫斯科数学力学研究所工作，1927年成为教授，1932—1934年任该所所长.1935年获物理数学博士学位.1939年当选为苏联科学院通讯院士，同年调到该院斯切克洛夫数学研究所工作.1944年当选为俄罗斯教育科学院院士.他1941年获原苏联国家奖金，并多次获列宁勋章、劳动红旗勋章、荣誉勋章和其它奖章.
辛钦对概率论、数学分析、数论都作出了贡献.
辛钦是莫斯科概率论学派的创始人之一.他最早的概率成果是伯努利试验序列的重对数律，它导源于数论，是莫斯科概率论学派的开端，直到现在重对数律仍然是概率论重要研究课题之一，关于独立随机变量序列，他首先与柯尔莫哥洛夫讨论了随机变量级数的收敛性，他证明了：（1）作为强大数律先声的辛钦弱大数律；（2）随机变量的无穷小三角列的极限分布类与无穷可分分布类相同.他还研究了分布律的算术问题和大偏差极限问题.他提出了平稳随机过程理论，这种随机过程在任何一段相同的时间间隔内的随机变化形态都相同.他提出并证明了严格平稳过程的一般遍历定理；首次给出了宽平稳过程的概念并建立了它的谱理论基础.他还研究了概率极限理论与统计力学基础的关系，并将概率论方法广泛应用于统计物理学的研究.他早在1932年就发表了排队论的论文.
在分析学中，辛钦早期研究成果属于函数的度量理论，他引进了渐近导数的概念，推广了当儒瓦积分，建立了辛钦积分.研究了可测函数的结构，并把函数的度量理论应用于数论和概率论中.
在数论中，辛钦的成就主要是丢番图逼近论和连分数的度量理论，建立了许多新的原理.
辛钦共发表150多种关于数学和数学史论著.在数学中以他的姓氏命名的有: 辛钦定理、辛钦不等式、辛钦积分、辛钦条件、辛钦可积函数、辛钦转换原理、辛钦单峰性准则等等，而其中以他的姓氏命名的定理有多种.他十分重视数学教育和人才的培养，潜心的编著了多本思路清晰、引人入胜、突出论题本质风格的教材和专著.其中《数学分析简明教程》、《连分数》、《费马定理》、《公用事业理论的数学方法》都已被译成中文在我国出版.他在《数学分析简明教程》的第一版序中说：“为了使这本教程能够尽可能地简明，我的方法完全在于选取最精简的材料，而不在叙述上压缩辞句…特别是我不吝惜说一些话，来帮助读者时时刻刻都能清楚地了解到他所遵循的道路的规律.”
数学家棣莫弗（De Moivre, Abraham）（1667—1754）
“棣莫弗在概率论方面贡献很大.”──伊夫斯
棣莫弗是法国──英国数学家.1667年5月26日生于法国维特里勒弗朗索瓦；1754年11月27日卒于英国伦敦.
棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，最先在当地一所天主教堂学校念书，随后他离开农村到色拉的一所清教徒学校求学，这所学校戒律森严，要求学生宣誓效忠教会，棣莫弗拒绝服从，于是受到严厉制裁，被罚背诵各种教义，但棣莫弗却偷偷地学习数学，他最感兴趣的是惠更斯的《论赌博中的机会》一书，启发了他的数学灵感，后来他又研读了欧几里得的《几何原本》.棣莫弗是法国加尔文派教徒，在新旧教派斗争中被监禁，由于南兹敕令释放后1685年移居英国，曾任家庭教师和保险事业顾问等职，并潜心科学研究，当他读了牛顿的《自然哲学的数学原理》深深地被这部著作吸引了，后来，他曾回忆自己是如何学习牛顿的这部巨著的：他当时靠做家庭教师糊口，必须给许多家庭的孩子上课，因此时间很紧，于是就将这部巨著拆开，当他教完一家的孩子后去另一家的路上，赶紧阅读几页，不久便把这部书读完了，从而打下了坚实的基础.1695年写出颇有见地的有关流数术学的论文，并成为牛顿的好友.两年后当选为皇家学会会员，1735年、1754年又分别被接纳为柏林科学院和巴黎科学院院士.由于棣莫弗是从欧洲大陆到英国的侨民，而且又懂微积分，所以曾被派参加专门调解牛顿与莱布尼茨之间关于微积分发明权之争的委员会.
棣莫弗1711年撰写了《抽签的计量》的论文，1718年扩充为《机会的学说》一书，这是概率论的最早著作之一，书中首次定义了独立事件的乘法定理，给出了二项分布公式，讨论了掷骰和其它赌博的许多问题.他的另一本名著是1730年的《关于级数和求积的综合分析》，讨论了排列和组合理论，书中最早使用了概率积分 ，得到n阶乘的级数表达式，指出对于很大的n， ～ .1733年他又用阶乘的近似公式导出正态分布的频率曲线 （其中c和h是常数），以此作为二项分布的近似.以棣莫弗姓氏命名的棣莫弗—拉普拉斯极限定理，是概率论中第二个基本极限定理的原始形式.
棣莫弗1707年在研究三角学时实质上已经得到了“棣莫弗公式”
(cos θ+i sinθ)n = cos nθ+i sin nθ，
只不过在1722年发表时没有明显的表达出来（明显表达出来是欧拉给出的，欧拉还把此公式推广到任意实数n，而棣莫弗只讨论了n是自然数的情形）.
棣莫弗在概率论方面的成就，受到了他同时代的科学家的关注和赞誉.例如哈雷将棣莫弗的《机会的学说》呈送牛顿，牛顿阅读后倍加赞赏.据说，后来遇到学生向牛顿请教概率方面的问题时，牛顿就说：“这样的问题应该去找棣莫弗，他对这些问题的研究比我深得多.”
棣莫弗还将概率论应用于保险事业.1725年，他出版了《年金论》，在这本书中他不仅改进了以往众所周知的关于人口统计的方法，而且在假定死亡率所遵循的规律以及银行利息不变的情况下，推导出了计算年金的公式，从而为保险事业提供了合理处理有关问题的依据，这些内容被后人奉为经典.他的《年金论》在欧洲产生了广泛的影响，先后用多种文字出版.
棣莫弗还用复数证明了求解方程xn-1=0相当于把圆周分成n等分的结论，因此产生了所谓棣莫弗圆的性质的研究，这个问题在解方程发展史上也有一定的影响.
关于棣莫弗的死有一个颇具数学色彩的神奇传说：在临终前若干天，棣莫弗发现，他每天需要比前一天多睡1/4小时，那么各天睡眠时间将构成一个算术级数，当此算术级数达到24小时时，棣莫弗就长眠不醒了.
拉普拉斯（Laplace, Pierre-Simon）（1749—1827）
“拉普拉斯先生……你不需要什么推荐.你已经更好地介绍了你自己.对我来说这就够了;你应该得到支持.”──达朗贝尔
“自然的一切结果都只是数目不多的一些不变规律的数学结论.”──拉普拉斯
拉普拉斯是法国数学家、天文学家、物理学家.1749年3月23日生于博蒙昂诺日;1827年3月5日卒于巴黎.
拉普拉斯家境贫寒,靠邻居的周济才得到读书的机会.16岁时进入开恩大学,并在学习期间写了一篇关于有限差分的论文.在完成学业之后,他带着介绍信从乡下到巴黎去求见大名鼎鼎的达朗贝尔,荐书投去,杳无音讯,因为达朗贝尔对于只带着大人物的推荐信的年轻人不感兴趣.拉普拉斯并不气馁,随即写了一篇阐述力学一般原理的论文,求教于达朗贝尔.由于这篇论文异常出色,达朗贝尔为共才华所感,欣然回了一封热情洋溢的信,信中写道“拉普拉斯先生,你看,我几乎没有注意你那些推荐信;你不需要什么推荐.你已经更好地介绍了自己.对我来说这就够了;你应该得到支持.”达朗贝尔还很高兴的当了他的教父,并介绍他去巴黎陆军学校任教授.拉普拉斯事业上辉煌时期便从此开始.1773年被选为法国科学院副院士;1783年任军事考试委员,并于1785年主持对一个16岁的惟一考生进行考试,这个考生就是后来成为皇帝的拿破仑（Nopoleon）;1785年当选为法国科学院正式院士;自1795年以后,他先后任巴黎综合工科学校和高等师范学校教授;1816年被选为法兰西学院院士,一年后任该院主席。他还被拿破仑任命为内政部长,元老议员并加封伯爵.拿破仑下台后,路易十八（LouisⅩⅧ）重登王位,拉普拉斯又被晋升为侯爵.格林（Green）则从《天体力学》受到启发,开始将数学用于电磁学;美国天文学家鲍迪奇（Bowditch）在翻译了《天体力学》之后说:只要一碰到书中“显而易见”这句话,我就知道总得花几个小时冥思苦想去填补这个空白.
拉普拉斯对解释世界的任何事情都感兴趣.他研究过流体动力学、声的传播和潮汐现象.在化学方面,他关于物质液态的论著是经典之作.他关于毛细管中使水上升的表面张力的研究以及在液体中内聚力的研究,都有重大的发现.他研究过复变函数求积法,并把实积分转换为复积分来计算.拉普拉斯方程更是重要的微分方程.他研究了奇解的理论,把奇解的概念推广到高阶方程和三个变量的方程,发展了解非齐次线性方程的常数变易法,探求二阶线性微分方程的完全积分.拉普拉斯也很重视研究方法,他十分爱用归纳和类比.他曾说:“甚至在数学里,发现真理的主要工具也是归纳和类化.”
拉普拉斯在政治上是一个机会主义者.在法国大革命时期,随着政局的动荡、改朝换代,他也随波逐流,反复不断地扮演了共和派与保皇派的双重角色,他机灵到能够使敌对的双方在不论哪一方上台掌权时,都相信他是自己的一个忠诚的支持者,因此每次改宗后他都能获得更好的差使和更大的头衔.为此有人把他比做英国文学作品中的假圣人布雷牧师.拿破仑在流放期间说过:“拉普拉斯是第一流的数学家,但事实很快表明他不过是一个平庸的行政官员,……他把无穷小精神带进了政府之中.”拉普拉斯的另一个缺点是:在他的著作中,他常常完全不提前人和同时代人的论述与功绩,给人的印象是其著作中的思想似乎完全出自于他本人.例如,他在《天体力学》中不声不响地从拉格朗日那里取用了位势概念,并把这一概念用得十分广泛,以致从他那时起,势论中的基本微分方程被人称作拉普拉斯方程.他在《分析概率论》中,引用别人的成果也不提及别人的名字,而是把它们同自己的成果混在一起.他的这些品格遭到了后人的非议.
拉普拉斯虽有上述缺点,但作为一个科学家,在席卷法国的政治变动中,包括拿破仑的兴起和衰落,都并未显著地影响他对科学的研究.另外他也能慷慨帮助和鼓励年轻的一代.例如,化学家盖·吕萨克（Gay Lussac）、旅行家和自然研究者洪堡尔晓（Humboldt）、数学家泊松（Poisson）、柯西都曾得到过他的帮助和鼓励.
他学识渊博,但学而不厌.他的遗言是:“我们知道的是微小的,我们不知道的是无限的.” 他曾说:“自然的一切结果都只是数目不多的一些不变规律的数学结论.”他还强调指出:“认识一位巨人的研究方法,对于科学的进步,……并不比发现本身更少用处.科学研究的方法经常是极富兴趣的部分.”
在数学中以他的姓氏命名的有:拉普拉斯变换、拉普拉斯定理、拉普拉斯方程、拉普拉斯函数、拉普拉斯积分、拉普拉斯极限公式、拉普拉斯算子、拉普拉斯展开、拉普拉斯向量、拉普拉斯序列、拉普拉斯分布、拉普拉斯─傅里叶核等等,而其中以他的姓氏命名的变换、定理、方程等有多种.
数学家李雅普诺夫（Lyapunov, Aleksander Mikhailovich）(1857—1918)
李雅普诺夫是俄国数学家、力学家.1857年6月6日生于雅罗斯拉夫尔；1918年11月3日卒于敖德萨.
李雅普诺夫1876年中学毕业时，因成绩优秀获金质奖章，同年考入圣彼得堡大学物理数学系学习，当他听了著名数学家切比雪夫的讲座之后即被其渊博的学识深深吸引，从而转到切比雪夫所在的数学系学习，在切比雪夫、佐洛塔廖夫的影响下，他在大学四年级时就写出具有创见的论文，而获得金质奖章.1880年大学毕业后留校工作，1892年获博士学位并成为教授.1893年起任哈尔科夫大学教授，1900年初当选为圣彼得堡科学院通讯院士，1901年又当选为院士，并兼任应用数学学部主席.1909年当选为意大利国立琴科学院外籍院士，1916年当选为巴黎科学院外籍院士.
李雅普诺夫是切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表，他的建树涉及到多个领域，尤以概率论、微分方程和数学物理最有名.
在概率论中，他创立了特征函数法，实现了概率论极限定理在研究方法上的突破，这个方法的特点在于能保留随机变量分布规律的全部信息，提供了特征函数的收敛性质与分布函数的收敛性质之间的一一对应关系，给出了比切比雪夫、马尔可夫关于中心极限定理更简单而严密的证明，他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.他对概率论的建树主要发表在其1900年的《概率论的一个定理》和1901年的《概率论极限定理的新形式》论文中.他的方法已在现代概率论中得到广泛的应用.
李雅普诺夫是常微分方程运动稳定性理论的创始人，他1884年完成了《论一个旋转液体平衡之椭球面形状的稳定性》一文，1888年，他发表了《关于具有有限个自由度的力学系统的稳定性》.特别是他1892年的博士论文《运动稳定性的一般问题》是经典名著，在其中开创性地提出求解非线性常微分方程的李雅普诺夫函数法，亦称直接法，它把解的稳定性与否同具有特殊性质的函数（现称为李雅普诺夫函数）的存在性联系起来，这个函数沿着轨线关于时间的导数具有某些确定的性质.正是由于这个方法的明显的几何直观和简明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握，从而在科学技术的许多领域中得到广泛地应用和发展，并奠定了常微分方程稳定性理论的基础，也是常微分方程定性理论的重要手段.
李雅普诺夫对位势理论的研究为数学物理方法的发展开辟了新的途径.他1898年发表的论文《关于狄利克雷问题的某些研究》也是一篇重要论文.该文首次对单层位势、双层位势的若干基本性质进行了严谨的探讨，指出了给定范围内的本问题有解的若干充要条件.他的研究成果奠定了解边值问题经典方法的基础.
在数学中以他的姓氏命名的有：李雅普诺夫第一方法，李雅普诺夫第二方法，李雅普诺夫定理，李雅普诺夫函数，李雅普诺夫变换，李雅普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫球面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机函数，李雅普诺夫随机算子，李雅普诺夫特征指数，李雅普诺夫维数，李雅普诺夫系统，李雅普诺夫分式，李雅普诺夫稳定性等等，而其中以他的姓氏命名的定理、条件有多种.
数学家戈塞特（Gossett，William Sealy）(1876─1937)
“戈塞特1908年导出了t分布──正态总体下t统计量的精确分布，开创了小样本理论的先河.”──摘自《中国大百科全书》（数学卷）
戈塞特是英国数学家.1876年6月13日生于坎特伯雷；1937年10月16日卒于比肯斯菲尔德.
戈塞特早先在牛津温切斯特及新（New）学院学习数学和化学，成绩优秀，后来到都伯林市一家酿酒公司担任酿造化学技师，从事统计和实验工作，1906—1907年间，公司派他到伦敦进修，同时在伦敦大学学院生物实验室做研究，也有机会和皮尔逊共同研讨，此后他们经常通信.
戈塞特是小样本统计理论的开创者.戈塞特在酿酒公司工作中发现，供酿酒的每批麦子质量相差很大，而同一批麦子中能抽样供试验的麦子又很少，每批样本在不同的温度下做实验，其结果相差很大.这样一来，实际上取得的麦子样本，不可能是大样本，只能是小样本.可是，从小样本来分析数据是否可靠？误差有多大？小样本理论就在这样的背景下应运而生.1905年，戈塞特利用酒厂里大量的小样本数据写了第一篇论文《误差法则在酿酒过程中的应用》，在此基础上，1907年戈塞特决心把小样本和大样本之间的差别搞清楚.为此，他试图把一个总体中的所有小样本的平均数的分布刻画出来.做法是，在一个大容器里放了一批纸牌，把它们弄乱，随机地抽若干张，对这一样本做实验记录观察值，然后再把纸牌弄乱，抽出几张，对相应的样本再做实验观察，记录观察值.大量地记录这种随机抽样的小样本观察值，就可借以获得小样本观察值的分布函数.若观察值是平均数，戈塞特把它叫做t分布函数.1908年，戈塞特以“学生（Student）”为笔名在《生物计量学》杂志发表了论文《平均数的规律误差》.这篇论文开创了小样本统计理论的先河，为研究样本分布理论奠定了重要基础.被统计学家誉为统计推断理论发展史上的里程碑.戈塞特这项成果，不仅不再依靠近似计算，而且能用所谓小样本来进行推断，并且还成为使统计学的对象由集团现象转变为随机现象的转机.换句话说，总体应理解为含有未知参数的概率分布（总体分布）所定义的概率空间；要根据样本来推断总体，还必须强调样本要从总体中随机地抽取，也就说，一定要是随机样本.但是，应该指出：戈塞特推导t分布的方法是极不完整的，后来费希尔利用n维几何方法给出了完整的证明；另外，戈塞特的小样本理论发表之后，一时未获承认.
戈塞特在其论著中，引入了均值、方差、方差分析、样本等概率、统计的一些基本概念和术语.
数学家凯恩斯（Keynes, John Maynard）（1883—1946）
“凯恩斯主张把任何命题都看作是事件.” ──摘自《中国在百科全书》（数学卷）
凯恩斯是英国数学家、经济学家.1883年6月5日生于剑桥；1946年4月21日卒于苏萨克斯的费尔.
凯恩斯1905年毕业于剑桥大学，1906年以第二名的成绩考入国家行政机关，不久去印度公司服务.两年后回到母校剑桥大学参加经济学系工作，同时还受聘于皇家委员会，协理有关印度方面的财经与流通问题.1913年出版《印度的通货和财政》一书，而崭露头角.1915年任职于英国财政部.1919年作为英方的主要代表出席了在巴黎举行的国际和平会议.凯恩斯曾任英国上议院议员，他是英国皇家学会会员和其它几个科学文化机构的成员.
凯恩斯在数学上的贡献是概率论.凯恩斯是主观概率学派的代表，他主张把任何命题都看作是事件.例如，“明天将下雪”，“学校里有教师”，“张三将死”等等.他把一事件的概率看作是人们根据经验对该事件的可信程度，而与随机试验没有直接联系，因此，通常称为主观概率.主观概率的最大影响不在概率论领域自身，而在数理统计中出现的贝叶斯统计学派.和主观概率派相对立的是以米泽斯为代表的频率理论学派.凯恩斯1911年著有《概率论》，但1921年才正式出版.该书的特点是采用了许多现代的数学符号，并试图为概率论建立一个坚实的数学基础.
凯恩斯在经济学方面深入探讨了特殊商品的供需，各种生产原料的分配、收入的分配等问题.他对20世纪20年代资本主义世界经济萧条有深入的研究.他1936年出版的《就业、利息和货币通论》是经济学领域里的一本名著.
数学家内曼（Neyman, Jerzy）（1894—1981）
“内曼与皮尔逊在1928—1938年期间发表了一系列文章，建立了假设检验的一种严格的数学理论.”──摘自《中国大百科全书》（数学卷）
内曼是美国统计学家.1894年4月16日生于俄国宾杰里；1981年8月5日卒于美国伯克利.
内曼1917—1921年在乌克兰哈尔科夫理工学院任讲师.1921年到波兰深造，曾师从于谢尔品斯基等数学家.1923年在华沙大学获博士学位，后辗转于伦敦、巴黎、华沙、斯德哥尔摩等大学任教.1938年成为美国伯克利加利福尼大学数学教授.他是美国、法国、波兰、瑞典等国家的多个科学团体的成员.
内曼是假设检验的统计理论的创始人之一.他与K·皮尔逊的儿子E·S·皮尔逊合著《统计假设试验理论》，发展了假设检验的数学理论，其要旨是把假设检验问题作为一个最优化问题来处理.他们把所有可能的总体分布族看作一个集合，其中考虑了一个与解消假设相对应的备择假设，引进了检验功效函数的概念，以此作为判断检验程序好坏的标准.这种思想使统计推断理论变得非常明确.内曼还想从数学上定义可信区间，提出了置信区间的概念，建立置信区间估计理论.内曼还对抽样引进某些随机操作，以保证所得结果的客观性和可靠性，在统计理论中有以他的姓氏命名的内曼置信区间法、内曼—皮尔森引理、内曼结构等.内曼将统计理论应用于遗传学、医学诊断、天文学、气象学、农业统计学等方面，取得丰硕的成果.他获得过国际科学奖,并在加利福尼亚大学创建了一个研究机构，后来发展成为世界著名的数理统计中心.
后退在研究二维空间布朗运动曲线和其中一条弦围成的面积时，引进了由布朗运动定义的随机积分.他还引进了依赖于一个在任意有限维空间以至在可分希尔伯特空间变动的参数的布朗运动.他的工作奠定了一般极限理论和随机过程的基础.
莱维在泛函分析方面，他提出了更一般的任意一阶泛函微分方程的积分问题，不仅解决了一个泛函变元问题，还解决了对应于2n个变元的n个一阶偏微分方程当n无限增大时的问题.他还把积分和测度的概念推广到了无限维空间，并发现了一些重要结果.“泛函分析”这个名词也是由他引进的.
莱维的主要著作有：《泛函分析教程》（1922年）、《概率计算》（1925年）、《随机变量的加法理论》（1937年）、《随机过程与布朗运动》（1948年）等.在数学中以他的姓氏命名的有：莱维不等式、莱维标准型、莱维距离、莱维过程、莱维度量、莱维连续性定理、莱维–辛钦表示、莱维–辛钦公式、莱维–伊藤分解定理等.
莱维成果累累，何以到78岁高龄才进入巴黎科学院？1944年，著名的分形几何创始人，法国数学家芒德布罗在一篇讨论“推测数学是否允许存在”的评论中深为不平地说道：“历史告诉我，人类不断地产生一些数学天才，不屈服于一些常规压力，如果他们被压倒了，他们会离开数学──对所有人都是巨大的损失.”“我的第一个证人是莱维，那时的法国数学家‘警察’一直谴责莱维没有充分地给出证明（有时是初等计算笔误）.他无法从那些数学家‘警察’手中逃脱，但他绝不改变初衷.他继续着，一直到70岁时，还在提供精彩绝伦和让人吃惊的直觉‘事实’──这些也许是‘不完备的’，却不断地为许多人提供了极有价值的工作.然而，当他71岁时（我是为他工作的初级教授），他继续被禁止教概率论.”
数学家费希尔（Fisher, Ronald Aylmer）（1890—1962）
“费希尔是使统计学成为一门有坚实理论基础并获得广泛应用的主要统计学家之一.”──摘自《中国大百科全书》（数学卷）
费希尔是英国统计学家、遗传学家.1890年2月17日生于伦敦；1962年7月29日卒于澳大利亚阿德雷德.
费希尔出生在一个没落的拍卖商人家庭，1909年靠一笔助学金进入剑桥大学附属的一个学院，主要学习数学和物理，1913年毕业，其后在一家投资公司里工作，两年之后去中学教数学和物理，并致力于生物统计学研究.1919年在罗萨姆斯泰德农业试验站作统计工作，第一线的工作使他获得了丰富的实验数据和资料.1929年当选为英国皇家家学会会员.1933年任伦敦大学优生学高尔顿讲座教授.1943—1957年任剑桥大学遗传学巴尔福尔讲座教授.1952年被授予爵士称号.1956年后任剑桥冈维尔—科尼斯学院院长.1959年退休后去澳大利亚的联邦科学与工业研究组织中担任一些统计工作.
费希尔是现代数理统计学的主要奠基人之一，他对现代数理统计的形成和发展作出了重大的贡献，其重要成就有：20世纪20年代，他系统地发展了正态总体下种种统计量的抽样分布，这标志着相关、回归和多元分析等分支的初步建立；1912—1925年，他建立了以最大似然估计为中心的点估计理论；20世纪30年代，他与耶茨合作创立了实验设计，并发展了与这种设计相适应的数据分析方法──方差分析法，这在实用上很重要；他引进了“信任推断法”，这种方法不是基于传统的概率思想，但对某些困难的统计问题，特别是著名的贝伦斯—费希尔问题，提供了简单可行的解法；他在假设检验的发展中也起过重要作用.另外，费希尔发现戈塞特的t分布在分析试验结果时十分有用，但戈塞特推导t分布的方法是极不完整的，费希尔利用n维几何方法（多重积分法）给出了完整的证明.
总之，费希尔给出了很多现代统计学的基础概念，他的思考方法是非常直观的，但在数学上也存在着不精练的地方，例如检验程序的推导方法完全是直观的，但未提出判断这些程序好坏的准则.
费希尔还是一位很有建树的遗传学家、优生学家，他是统计遗传学的创始人之一，他用统计方法研究生物学，研究突变、连锁、自然淘汰、近亲婚姻、移居和隔离等因素对总体遗传特性的影响，并作出了贡献.
费希尔发表的近300篇论文收集在《费希尔文集》中；他还撰写了多部专著，如《研究人员用统计法》、《实验设计法》、《统计方法与科学推断》；他还编了《统计表》.费希尔还是一位杰出的教师，他培养了一批优秀的学生，并形成了一个实力雄厚的学派.在数学中以他的形式命名的有：费希尔F分布、费希尔Z分布、费希尔信息量、费希尔信息矩阵、费希尔方程、费希尔不等式、费希尔变换、费希尔距离等等.
费希尔曾多次获得英国和许多其他国家的荣誉.
数学家佩蒂（Petty，William）（1623—1687）
“佩蒂……沿袭了格兰特的方法，进行了社会相互间的比较.”──摘自《岩波数学辞典》
佩蒂是英国政治经济学家、数学家、医生.1623年5月26日生于英国汉普郡的拉姆西；1687年12月16日卒于伦敦.
佩蒂多次到欧洲大陆，在莱顿、巴黎等地学习医学和物理学等.
佩蒂1676年在《政治算术，关于伦敦城市的发展》一书中在经济学里使用数学工具，他沿袭了英国统计学家格兰特的方法，统计了不同的职业人口及税额.伦敦和其它地区的居民数目等,进行了社会相互间的比较.他的另一本著作是1683年出版的《关于死亡率报告的评注》.
在当时，虽然概率论和数理统计学都还没有建立起来，但格兰特和佩蒂的工作推动了概率论和数理统计学的产生和发展.
数学家格兰特（Graunt, john）（1620—1674）
“格兰特的方法是社会现象的数量表现.”──摘自《岩波数学辞典》
格兰特是英国统计学家.1620年4月24日生于伦敦；1674年4月18日卒于伦敦.
格兰特早年继承父业经商.1662年组织调查伦敦与威尔士死亡人数，发表了专著《自然与政治观测……死亡率表》，书中通过对已有数据的计算和推理分析，得出伦敦与威尔士两地的人口预测，是历史上最早出现的统计推断，他的方法是社会现象的数量表现.他由统计的结果发现人口出生率与死亡率相对稳定，于是提出“大数恒静定律”，成为统计学的基本原理.格兰特1662年成为皇家学会最早的会员之一.
数学家杜布（Doob，Jeseph Leo）(1910─2004)
“杜布创立了鞅论.” ──摘自《中国大百科全书》(数学卷)
杜布是美国数学家.1910年10月27日生于辛辛那提.2004年6月7日卒于伊利诺伊.
杜布毕业于哈佛大学，1932年获博士学位.他是美国国家科学院和美国科学艺术研究院院士.伊利诺伊大学教授.
杜布的主要贡献是概率论.他深入研究了随机过程理论，得出了任意的随机过程都具有可分修正，建立了随机函数理论的公理结构.他是鞅论的奠基人，虽然莱维等人早在1935年发表了一些孕育着鞅论的工作，1939年维尔引进“鞅”(martingale)这个名称，但对鞅进行系统研究并使之成为随机过程论的一个重要分支的，则应归功于杜布.他还引进了半鞅的概念.在鞅论中有以他的姓氏命名的著名的杜布停止定理、杜布──迈耶上鞅分解定理等.鞅论使随机过程的研究进一步抽象化，不仅丰富了概率论的内容，而且为其它数学分支如调和分析、复变函数、位势理论等提供了有力的工具.
对马尔可夫过程，杜布关于轨道的严密处理进行了系统的研究.
他对代数函数中的聚值集的理论也作出了贡献.他还对霍普夫的个体遍历定理的特殊情形给出了证明.在数学中以他的姓氏命名的还有：杜布定理、杜布不等式、杜布收敛性等等.
杜布的著作有《随机过程》(1953年)等.
数学家耶茨（Yates, Frank）（1902—1994）
“费希尔与耶茨合作创立了实验设计，并发展了与这种设计相适应的数据分析方法—方差分析法.”──摘自《中国大百科全书》（数学卷）
耶茨是英国统计学家.1902年5月12日生于曼彻斯特.1994年6月17日在英国逝世.
耶茨1938年获剑桥圣约翰学院博士学位，毕业后长期领导工、农业部门的调查统计工作.1948年当选为皇家学会会员，1960—1961年任英国计算机学会主席.他是皇家统计学会会员并在1961—1968年任该学会主席.1966年获皇家奖章.
耶茨研究数理统计，特别是实验设计与分析及抽样调查理论与应用，将计算机应用于调查统计工作.他与费希尔合作创立了试验设计并发展了这种设计相适应的数据分析方法—方差分析法，他还与费希尔合著了《生物、农业与医学调查统计表》，他还著有《人口普查的抽样法》等著作.
数学家克拉默尔（Cramer，Harald）(1893─1985)
“克拉默尔发表的《统计学数学方法》，是第一部严谨且比较系统的数理统计著作.”──摘自《中国大百科全书》（数学卷）
克拉默尔是瑞典数学家.1893年9月25日生于瑞典斯德哥尔摩；1985年10月5日卒于斯德哥尔摩.
克拉默尔1917年在斯德哥尔摩大学获博士学位.1929─1958年任斯德哥尔摩大学数理统计教授，1945年和1947年分别获哥本哈根大学及普林斯顿大学名誉博士学位.1950─1958年任斯德哥尔摩大学校长，1958─1962年任瑞典一些大学的名誉校长和瑞典大学联席主任.他是瑞典、挪威、美国、英国等科学院及众多学术团体的成员.
克拉默尔对现代概率、数理统计作出了贡献.他的主要建树有:概率论极限定理的渐近展开，随机过程稳定性理论和未知参数有效估计理论等.他1946年发表的《统计学数学方法》，用测度论系统总结了数理统计的发展，它是第一部严谨且比较系统的数理统计著作，可以把它看作数理统计进入成熟阶段的标志.在数理统计中有以他的姓氏命名的克拉默尔─米泽斯准则.他对集体风险论作了奠基性的工作.他还研究过预报理论、随机过程的谱表示等，他的著作《随机变量与概率分布》也颇为有名.
克拉默尔对素数分布也有建树，设 是第n个素数， 是相邻两个素数之差，在黎曼假设下，克拉默尔于1921年证明 .
在数学中以他的姓氏命名的还有:克拉默尔定理、克拉默尔法则、克拉默尔条件、克拉默尔公式、克拉默尔级数、克拉默尔─拉奥不等式等等.
为了缅怀克拉默尔对科学贡献，瑞典科学院设立数学家马尔可夫（Markov, Andrei ）(1856—1922)
马尔可夫是俄国数学家.1856年6月14日生于梁赞；1922年7月20日卒于圣彼得堡.
马尔可夫上中学时，大部分课程学得不好，惟独数学成绩常常都得满分，并开始自学微积分，有一次他独立地发现了一种常系数线性常微分方程的解法，就写信给著名数学家布尼亚科夫斯基，信被转到彼得堡数学系科尔金和佐洛塔廖夫手里，从此马尔可夫与彼得堡大学的数学家建立了联系.1874年考入彼得堡大学数学系学习，在学习期间他深受切比雪夫、科尔金、佐洛塔廖夫等数学家的启发和影响，1878年大学毕业，并以《用连分数求微分方程的积分》一文获金质奖章.1880年以题目为《论行列式为正的二元二次齐次》的论文取得硕士学位并在彼得堡大学任教.1884年获物理数学博士学位，1886年成为教授，1890年当选为彼得堡科学院候补院士，1896年当选为院士.1905年退休时彼得堡大学授予他功勋教授称号.
马尔可夫研究的范围很广，对概率论、数理统计、数论、函数逼近论、微分方程、数的几何等都有建树.
在概率论方面，他深入研究并发展了其老师切比雪夫的矩方法，使中心极限定理的证明成为可能.他推广了大数定律和中心极限定理的应用范围.他提出并研究了一种能够用数学分析方法研究自然过程的一般图式，这种图式后人即以他的姓氏命名为马尔可夫链.他还开创了一种无后效性随机过程的研究，即在已知当前状态的情况下，过程的未来状态与其过去状态无关，这就是现在大家耳熟能详的马尔可夫过程.马尔可夫的工作极大的丰富了概率论的内容，促使它成为自然科学和技术直接有关的最重要的数学领域之一.在数理统计方面，他还引入了等价互不相容概念和有效性统计原理.
他发展了力矩理论、函数逼近论和连分数的解析理论，并把连分式理论广泛地应用到有限差分近似计算中.他在这方面的代表作有：《关于代数连分数的某些应用》（1884年）、《某些切比雪夫积分的证明》（1884年）、《关于某些连分数收敛性的两个证明》（1895年）、《连分数的一些新应用》（1896年）、《关于矩的问题》（1897年）等.
在数论方面，他研究了不定二次式理论，解决了求已知行列式的极值二次式的难题.他建立了二次型表示论与丢番图分析之间的联系.得到了关于三元、四元二次型的较好结果.
马尔可夫共发表论著70多种，共中《概率演算》、《有限差分学》堪称经典著作.
在数学中以他的姓氏命名的有：马尔可夫准则，马尔可夫策略，马尔可夫正规算法，马尔可夫时，马尔可夫性质，马尔可夫过程，马尔可夫决策过程，马尔可夫链等. 他的儿子（小）马尔可夫也是数学家.
了克拉默尔奖章数学家伊藤清（1915─）
“伊藤清由于对纯粹与应用概率论作出了奠基性的贡献，特别是随机积分的创立而享得荣誉.”──摘自：WolfprizeAwardedtoItôandLax.NoticesofAmericanMathematical
Society,1987,34(2):286
“纯粹数学中严谨的论证与优美的结构深深地吸引了我.”
“许多数学概念都根植于力学之中.”──伊藤清
伊藤清是日本数学家，1915年9月7日生于日本三重县.
伊藤清1935—1938年就读于东京大学数学系.1939—1943年在政府统计局工作.1943—1952年在名古屋大学任教，1943年开始任副教授，1945获理学博士学位.1952年任东京大学教授.1952—1979年在东京大学任教，但是在这27年中，他大约只有一半时间在东京，其余一半的时间在国外.他去过的地方有普林斯顿、斯坦福、康奈尔及丹麦.1976年，他任日本数理解析研究所所长.1977年当选日本学术会议会员.1979年任日本学士院教授.他曾任日本数学会理事长.1998年当选为美国国家科学院外籍院士.他1978年获日本学士院赏恩赐赏，1987年获沃尔夫数学奖.
伊藤清在东京大学上学时，便被纯粹数学中严谨的论证与优美的结构深深地吸引了，并认识到许多数学概念都根植于力学之中.在数学与力学的天地里漫游时，通过统计力学，他最终对随机过程发生了兴趣，并参加了日本著名数学家弥尔昌吉教授主持的讨论班.在读了柯尔莫哥洛夫的《概率论的基本概念》及莱维的《随机变量的加法理论》等名著之后，打下了坚实的概率论基础.他在统计局工作期间，于1942年在《日本数学杂志》上发表了他的第一篇论文.在这篇论文中，他引入了刻画可微过程跳跃的泊松随机测度.后来他又在大阪大学的一份油印的杂志上发表了他的第二篇论文.在这篇论文中，他得出了决定马尔可夫过程轨道的随机微分方程的概念，它可以只借助一个可微过程的随机微分方程的微分来表示.用概率论的理论和方法研究随机微分方程，虽不是从伊藤清开始的，但他作出了系统而严密的奠基性工作.他在名古屋的前一半时间，对遍历理论、非交换群上的正定函数，以及布朗运动和调和函数之间的关系，特别是对样本轨道有兴趣.1951年，他将维纳的齐次不规则运动稍加修改定义了多重维纳积分.1953年，他引入了复多重维纳积分.伊藤清在名古屋的后半时期，流形理论开始吸引青年人的注意力.在这样一种气氛的感染下，他对紧流形上的扩散产生了兴趣，此扩散的生成算子是退化的椭圆型算子.他试图利用局部坐标，通过写出随机微分方程的方法来构造扩散的轨道，并相继写出了三篇论文.虽然他这三篇论文未能全部实现上述想法，但却意外地获得了随机微分的锁链法则.这一法则在理解生成算子的概率意义时是很有用的.20世纪50年代后期，他与麦基恩（Mckean）合作，借助莱维的局部时概念，成功地构造了具有弹性边界的布朗运动的轨道，并合作写了一本书，名为《扩散过程及其样本轨道》（于1965年正式出版）.他们还合写了两篇论文：一篇是关于随机徘徊与势的；另一篇讨论了半直线上如何针对各种可能的边界条件来构造布朗运动.1956年，伊藤清以更一般的角度定义了由可加过程导出的多重随机测度以及多重随机积分，并将其应用于种种问题.他还研究过多变数情况的广义随机过程.20世纪60年代初，他获得了随机平移的概念.20世纪70年代，他借助鞅积分搞清了他的积分与斯特拉托维奇积分之间的联系，并且阐明了某些数学上的应用；他还确定了马尔可夫过程在常返点的所有可能行为，从而推广了他与麦基恩共同得到的结果.在遍历理论中，他把非奇异变换的不变测度问题的一些结果推广到非奇异马尔可夫转移函数的情形.他还研究过概率母函数的有关问题.后来他开始对以无穷维随机微分方程来处理具有无穷自由度的动力系统发生兴趣，他先研究了基本事实并验证了特殊例子，后来，他习惯于以无穷维的观点来观察即使是有限维的事实，这一习惯引导他将上述问题作为一个在游弋空间中取值的泊松点过程.
伊藤清的成就使人们充分地了解马尔可夫样本道路的无穷小展开.这可以看做是随机领域里的牛顿定律，它提供了起制约作用的偏微分方程和内在的概率机制之间的一个直接转换.它的主要组成部分是布朗运动的函数的微积分.由此而产生的理论是现代概率论（不论是纯粹的还是应用的）基石.伊藤清的工作使人们对工程的计划、控制和最优化，以及其它一些基本上是随机而非确定系统的有关问题和现象，有了深刻的理解.
伊藤清创立随机积分颇负盛名.随机积分是对某些随机过程类适当定义的各种积分的总称，它们在随机过程与随机微分方程的研究和应用中各有其重要作用.以伊藤清的姓氏命名的伊藤积分是对布朗运动定义的一种随机积分.布朗运动的样本函数虽然连续，但几乎所有的样本函数非有界变差，甚至处处不可微，因而无法按样本函数来定义通常的黎曼–斯蒂尔切斯积分或勒贝格—斯蒂尔切斯积分.一般来说，黎曼–斯蒂尔切斯积分定义中的达布和不会以概率1收敛到一定的极限，但在适当的条件下，达布和的均方极限存在.伊藤清正是利用这一性质定义了对布朗运动的随机积分.而伊藤清积分最重要的性质是如下所示的著名伊藤公式.：
其中，F是二次连续可微实函数，W（t）（t≥0）是布朗运动.这个公式及其各种推广在理论上和应用上都有重要的作用.例如，可以用来证明关于布朗运动的鞅刻画的莱维定理.
在概率论与随机过程这个领域中，有不少以伊藤清的姓氏命名的方程、公式、积分、过程等.
伊藤清不但研究成果卓著，而且还培养和造就了整整一代日本的概率论专家.
伊藤清说：“科学的目的是从已知推断未知.如果从已得到的资料能作出惟一正确的推断，则可建立确定性模式，分析学为此提供了手段.当现象极其复杂，不可能作惟一推断时，只好从已知来求未知的平均，为此应建立随机性模式，随机分析学为此提供数学手段.”他指出：“数学取得了显著的进步，数学各分支相互联系越来越密切，作为有机整体的数学正在形成.此外，与数学有关的其它学科也用了很多高深的数学理论，对作为科学基础的数学的期待是很高的.”
伊藤清的主要专著有：《随机过程论》（1942年）、《概率论基础》（1944年）、《论随机微分方程》（1953年）、《随机过程》（1957年）、《概率论》（1952年）等.其中，《概率论》和《随机过程》已译成中文，分别由科学出版社、上海科学技术出版社于1963年、1961年出版.
世界著名的斯普林格出版社1987年出版了伊藤清的选集，这部选集差不多是伊藤清科学论文的全集.它反映了伊藤清所做的贡献，主要涉及他所创立的随机微分理论的基础问题，其余论文则讨论扩散理论、布朗运动、回归理论和随机微分方程.该选集所有的论文都反映出伊藤清对概率学科的极为深刻的探讨，并将读者引进了一个重要而又非常活跃的现代数学领域.该选集还有编者所写对伊藤清工作的评论及伊藤清本人评论其研究工作发展的前言.
伊藤清1981年以日本数学会理事长的身分曾来我国进行学术访问，并作了学术演讲.
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数学家尤尔（Yule，George Udny）（1871—1951）
“尤尔关于时间序列分析的工作中，引进了自回归和序列相关等重要概念，奠定了这个分支现代发展的基础.”──摘自《中国大百科全书》（数学卷）
尤尔是英国统计学家.1871年2月18日生于苏格兰哈丁顿附近的蒙哈姆；1951年6月26日卒于剑桥.
尤尔师从英国应用数学家、近代数理统计的奠基者皮尔逊.早年曾在伦敦大学学院开设统计学讲座.1912年到剑桥，不久即成为剑桥大学教授.1922年当选为皇家学学会会员.
尤尔在1925—1930年间关于时间序列分析的工作中，研究了振荡的时间序列.引进了自回归和序列相关等重要概念，奠定了时间序列分析这个统计分支现代发展的基础.他与格森伍德共同奠定了随机分布理论的基础.概率论中有以他的姓氏命名的著名的尤尔过程和尤尔—沃克方程.尤尔的研究工作很注意理论联系实际.他1912年在剑桥大学开设的统计学讲座很受欢迎，它极大的引起了费希尔的注意.
尤尔的主要著作有：《统计学引论》、《文学词汇的统计研究》.
数学家米泽斯（Mises，Richard von）(1883—1957)
“米泽斯的主要工作是概率的频率定义和统计定义的公理化.” ──摘自《中国大百科全书》（数学卷）
“数学原则中也有其经验的一面，这一个侧面不再谈论‘结论的必然性’，但在认识论的研究中也不能忽略它.”──米泽斯
米泽斯是奥地利数学家、空气动力学家.1883年4月19日生于奥地利伦贝格；1953年7月14日卒于美国波士顿.
米泽斯1907年在维也纳获博士学位.1909—1918年任斯特拉斯堡大学应用数学教授，1920年任柏林大学应用数学教授和应用数学所所长，1921—1933年同时是《应用数学与力学杂志》的创始人与编辑.纳粹上台后，他1933年离开德国到土耳其伊斯坦布尔大学任教，1939年到美国哈佛大学任教，1944年任该校戈登麦凯空气动力学和应用数学教授.
米泽斯是概率的频率理论学派的代表人物.他继承19世纪频率理论的先驱者泊松和维恩等人的思想，把一事件的概率定义为该事件在独立重复随机试验中出现的频率的极限，并把此极限的存在性作为他的第一条公理.他的第二条公理是，对随机选取的子试验序列，事件出现的频率的极限也存在并且极限值相等.这种频率法的理论依据是强大数律，它具有较强的直观性，易为实际工作者和物理学家所接受，但他给出的定义排斥了在概率论中十分重要的诸如某个事件在一无限重复的试验序列中无穷多次发生的概率，虽经他本人及后人多方修饰，仍不尽如人意，不断仍有人在继续讨论研究，真正严格的公理化概率论只有在测度论与实变函数的基础上才可能建立.他建立的频率的极限理论反映在其编者的《概率,统计和真理》一书中.
米泽斯早期的工作集中于空气动力学，尤其是边界层流理论和机翼设计理论.1915年，由他设计、奥地利军队制造了一架600马力的军用飞机，而且他作为驾驶员在第一次世界大战中服役.他关于飞行理论的著作曾一再增订出版.另外，他对弹性、塑性、湍流理论、数值分析等学科也有贡献.
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2013-06-30 20:48 网友采纳
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“帕斯卡显示了早熟的数学天才,但是他在这方面的活动受到了宗教顾忌的阻碍……尽管如此,他还是使数学和物理学的若干不同分支取得显著的进展.”──沃尔夫 “数学是对精神的最高锻炼.” ──帕斯卡 帕斯卡是法国数学家、物理学家、哲学家、散文家.1623年6月19日生于克莱蒙费朗；1662年8月19日卒于巴黎. 帕斯卡4岁丧母,其父是政府的官吏,博学多才,是一个业余数学家.由于帕斯卡从小体弱多病,其父不让他过早接触数学,以免思虑过度有损健康.帕斯卡12岁时,看到父亲阅读几何,便问几何学是什么,父亲为了不想让他知道得太多,就简单的告诉他几何是研究图形的,并且很快把数学书收藏起来,怕帕斯卡去翻阅,父亲对他接触数学的“禁令”,更激起了帕斯卡对数学的好奇心.于是帕斯卡就自行研究,当他把自己的发现：“任何三角形的三个内角和都是一百八十度”的结果告诉父亲时,父亲惊喜交集地流出了激动的眼泪,并改变了原来的想法,提早让帕斯卡学习《几何原本》等经典数学名著,帕斯卡贪婪地很快读完了《几何原本》. 帕斯卡是一位在科学史上富有传奇色彩的人物,曾被描述为数学史上最伟大的“轶才”.18世纪的大数学家达朗贝尔(D’Alembert)赞誉他的成就是“阿基米德与牛顿两者工作的中间环节.” 帕斯卡显示出惊人的早慧：11岁时,当他用餐刀轻敲食盘发出了响声,用手一按住盘子声音便戛然而止,从而启发他写出论述振动体发音的论文《论声音》；12岁时,就独立地发现了不少初等几何中的定理,其中包括三角形内角和等于180??；13岁时,发现了二项式展开的系数──“帕斯卡三角形”；14岁时,就被允许参加由梅森(Mersenne)主持的星期科学讨论会(法国科学院就是由这个讨论会发展起来的).1653年他写成了《三角阵算术》,经费马修订后于1665年出版,在这本书中建立起概率论的基本原理和有关组合论的某些定理.并与费尔马共同建立了概率论和组合论的基础,给出了关于概率论问题的系列解法.莱布尼茨后来读到帕斯卡这方面的研究成果时,深刻的意识到这门“新逻辑学”的重要性.另外,在帕斯卡的关于《三角阵算术》中,包含了数学归纳法最早的也是可被接受的陈述,因此人们认为他也是数学归纳法最早的发现者. 帕斯卡在不到16岁时,受到了几何学家德萨格(Desargues)著作的启发,发现了如下的著名定理：“如果一个六边形内接于一圆锥曲线,则其三对对边的交点共线,并且逆命题亦成立.”为此写成《圆锥曲线论》一文于1640年单篇发行.这是自希腊阿波洛尼厄斯以来关于圆锥曲线论的最大进步,也是射影几何方面的出色成果.后来他又从这个定理导出一系列推论,给出了射影几何的若干定理. 意大利数学家卡瓦列利曾经提示过三角形的面积可通过划分为无数平行直线的办法来计算.帕斯卡为了摆脱卡瓦列利方法中那些逻辑上的缺陷,认为,一条线不是由点构成的,而是由无数条短线构成；一块面不是由线构成,而是由无数个小块面构成；一个立体不是由面构成,而是由无数个薄薄的立体构成.遵循着这一思想线索,他求出了曲线下曲边梯形的面积(相当于),求出了摆线面积和其旋转体体积.帕斯卡当时在运用无穷小研究几何方面达到了很高水平,但由于无穷小概念不甚明确,不可分量也带有神秘色彩,当别人提出问题时,他用“心领神会”来回答别人的批评.帕斯卡认为大自然把无限大、无限小提供给人们不是为了理解而是为了欣赏.他看到了无限大、无限小互相制约(呈倒数关系).否认图形由低维元素构成,并认为离散、连续之差异随着解析方法的应用而消失.他的这些思想,为后来的极限与无穷小的严格定义,为微积分学的建立,开辟了道路.他对摆线进行过深入的研究,于1658年写出了名著《论摆线》,解决了关于摆线的许多问题.这本书对年轻的莱布尼茨有很深的影响. 帕斯卡18岁时,设计出世界上第一台机械计算机(能作加减法计算). 在物理学方面,1648年他通过试验证明了空气有压力,这个试验轰动了整个科学界,从而彻底粉碎了经院哲学中“自然畏惧真空”的古老教条.他还研究了液体平衡的一般规律,发现了“封闭容器内流体在任何点所受的压力以同等的强度向各个方向同样地传递.”这就是流体静力学中最基本的原理──帕斯卡原理. 帕斯卡还是一位散文大师、思想家和神学辩论家.他所写的《思想录》和《致外省人的信》,被列为经典文学名作.他凭着散文大师驾驭文字的能力,发挥思想家鞭辟入里的洞察力,不但文思流畅,还以其论战的锋芒和思想的深邃著称于世.对法国散文的发展影响甚大,甚至连法国大文豪伏尔泰(Voltaire)看了他的文学作品也备受鼓舞. 然而,正当帕斯卡享有科学家的盛誉之时,由于身体衰弱消化不良、失眠和头痛的折磨,经常在夜晚半睡半醒地作恶梦.特别是受其世界观的支配,使之逐步放弃了对数学和科学的探讨,而致力于宗教的冥想.经过短暂的几年之后,虽又回到了科学上来,但已经不能专心致志了,1654年他曾说：受到一个很强的提示,这种重新开展的科学活动是不受上帝欢迎的.这种所谓神的启示是在一次偶然的事故后出现的：一次他乘马车,马失控冲过纳伊桥的栏杆掉入河中,而他自己侥幸由于缰绳突然挣断而未堕下河中,奇迹般地得救.他把这件偶然的事写在一小片厚纸上,一直贴放在胸前,要自己从今以后牢牢记住这一启示,于是他又宿命地回到宗教的冥想中去了.帕斯卡认为：“凡有关信仰之事不能为理智所考虑.”在他生命最后的一段时间,更走上了极端,像苦行僧一样,把有尖刺的腰带缠在腰上.如果他认为有什么对神不虔诚的想法从脑海出现,就用肘撞击腰带来刺痛身体.这样他年仅39岁就去世了.弥留之际,他还用微弱的声音说：“愿上帝与我同在.”英国著名科学史家沃尔夫说：“帕斯卡显示了早熟的数学天才,但是他在这方面的活动受到宗教顾忌的阻碍,并以他的夭折而告终.尽管如此,他还是使数学和物理学的若干不同分支取得显著的进展.”
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