由速度间隔不变性直接推导相对论动力学_百度文库
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2011年2月26日 - 第22 卷第4 期2003 年4 月大学物理COLL EGE PH YSICS Vol. 22 No. 4 Apr. 2003 由速度间隔不变性直接推导相对论动力学费保俊( 装甲兵工程 由光速不变原理直接导出轉為繁體網頁
Lorentz速度变换,并给出其微分形式
,速度间隔不变性的优越性在于:它将经典力学和相对论力学联系起来,将二者统一在一个框架下,因而可以从经典力学直接导出相对论动力学规律.事实上,经典力学假设空间是Euclid的,时间是绝对的,因而速度空间也是Euclid的.而爱因斯坦的光速不变原理实质上是假设三维速度空间是双曲的(或四维速度空间是伪欧的),因此从经典力学到相对论就是速度的几何基础的改变,由经典力学直接导出相对论动力学规律就是将几何基础由Euclid变
为双曲几何(或伪欧几何
布朗运动黎曼几何:随机道路构造负曲率复流形上有界全纯函数 [ 晓兵 ] 于:2013-06-23 20:18:16 复:3889754
用随机道路方法来构造大负曲率复流形上的有界全纯有界全纯函数
1. GR
basically started with
a world where "圆盘以一定的角速度转动，离圆盘中心越远，所受到的离心力越大，因此对应于马鞍面（曲率为负）弯曲时空"
2. 光發散 in 曲率为负's 弯曲时空, a dark world
"gauge" is a challenge in such a world
3. 丘's outstanding work, "卡拉比-丘空間" etc
4. I would guess AI/computer graphics/fiancé appls could come much earlier than "物理 lab realization" of "卡拉比-丘空間"
the concepts/methodology are the greatest part
-----------
时空的历史--丘成桐在中国科学院数学与系统科学研究院的演讲
www.360doc.com/content/06/1217/.../9737_297382.shtml
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迄今为止，在大部分有意义的几何空间中，都要求这条定理在无穷小的情形下成立 ... 最后，高斯、Bolyai和罗巴切夫斯基不约而同地发明了双曲几何-曲率为负常数的空间。 ..... 卡拉比-丘空间乃是弦理论中真空状态的基石，但它不见得是时空微观结构的 ...
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （24） [ changshou ] 于:2012-02-24 09:22:26 复:3659016
1. GR
basically started with
a world where "圆盘以一定的角速度转动，离圆盘中心越远，所受到的离心力越大，因此对应于马鞍面（曲率为负）弯曲时空"
2. 光發散 in 曲率为负's 弯曲时空, a dark world
"gauge" is a challenge in such a world
3. 丘's outstanding work, "卡拉比-丘空間" etc
4. I would guess AI/computer graphics/fiancé appls could come much earlier than "物理 lab realization" of "卡拉比-丘空間"
the concepts/methodology are the greatest part
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时空的历史--丘成桐在中国科学院数学与系统科学研究院的演讲
www.360doc.com/content/06/1217/.../9737_297382.shtml
轉為繁體網頁
迄今为止，在大部分有意义的几何空间中，都要求这条定理在无穷小的情形下成立 ... 最后，高斯、Bolyai和罗巴切夫斯基不约而同地发明了双曲几何-曲率为负常数的空间。 ..... 卡拉比-丘空间乃是弦理论中真空状态的基石，但它不见得是时空微观结构的 ...
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （24） [ changshou ] 于:2012-02-24 09:22:26 复:3659016
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （24）时空分解与演化（续1）
24.0 如何描述已知时空
上一篇提了一些困难的问题。我们先看一个简单一点的。假如我们已有一个时空，我们如何在数学上描述好它？
24.1 时空没有自然的分解，但时空可被分解
广义相对论中的时空是没有自然的分解为时间与空间的办法的（其实在狭义相对论中也是这样）。但没有自然的分解不代表不能分解。事实上每个观察者都可以选择自己的时空分解。然而我们讲过 单个观察者使用的时空分解只是局部的。
能不能有整体的时空分解呢？我们考虑以下的可能性：能否存在一个整体的坐标时间 以使得时空是一个三维的流形沿着1维的坐标时间线移动而扫出来的，即 对每一个坐标时刻，时空在这一时刻的截面都是 相同的3维流形（注意我没说是相同的度量流形）
。整体的意思是 我们把三维的流形上的每一个点都看作一个观察者的话， 这些观察者都使用相同的坐标时间。注意我说坐标时间线 就已经意味着 对每个上述的观察者而言 沿着整体坐标时间运动的世界线都是类时的。
如果有一个 这样的整体的坐标时间 我们就有无穷多的其他的 整体的坐标时间。这是因为我们可以把观察者们的世界线 作连续的形变（只要形变幅度不大 就仍然是类时的）。从这个意义上讲 没有一个自然的优于其他的 整体坐标时间的选择。但我们先不管这件事，只问能不能找到 一个整体的坐标时间。另外我们还要求 整体的时间线不能首尾相接。
一般而言，在作为爱因斯坦方程的解的时空上 是找不到上面描述的整体坐标时间的。然而我们还有因果性的考虑。
24.2 因果结构
在（14）中我们讲了我们只考虑有因果结构的时空。而当时我们描述了一种可行的要求，正好就是24.1中要求的情况：有整体的（不首尾相接的）坐标时间 使得时空是一个三维的流形沿着1维的坐标时间线移动而扫出来的。于是我们感到24.1中的要求 似乎是合理的
。
24.3 柯西超曲面
可是24.1中的要求（存在整体坐标时间）要求 感觉也太强了。于是我们考虑另一种可能：时空中 存在一个3维流形，并且每一条类时或类光的曲线 和这个3维流形 正好相交一次。如果这件事成立，我们就说时空是全局双曲的时空，而这个3维流形 就叫 柯西超曲面。一个全局双曲的时空包含无穷多的柯西超曲面。我们并没有 一个自然的选择某个特定柯西超曲面的办法。先不管这问题，随便乱选一个就行。
这个要求实际上是 我们想因果结构存在的时候 自然也能想到的。因为我们可以把这3维流形看成是 一个观察者A在某一时刻对他而言的全部空间。该时刻就是该观察者A的类时世界线和这个3维流形的交点。物理上我们当然不希望 某个其他的观察者B能在两个对他自己而言的不同时刻 出现在 对观察者A而言的某一时刻的空间中（这相当于说从A的角度看B在作回到某一时刻的时间旅行）。同时因为这是全部空间，所以我们自然希望所有其他观察者或者光线（世界线往两头不断延伸的观察者或者光线），都出现在（观察者A在某一时刻对他而言的）全部空间中 的某一处。仔细想想，这说的就是第一自然段的内容。
全局双曲的时空 其定义的优点在于 我们只在处理一个3维流形
。而在24.1中我们在处理无穷多的3维流形（每个整体坐标时间的时刻 都对应一个），看起来要麻烦得多。
这个 “全局双曲”的定义看起来和24.1的存在整体时间不是一回事。但数学上可以证明，全局双曲的时空 存在整体的坐标时间。于是24.1 和24.3 的要求可以统一起来！
24.4 广义协变性
在24.1 和24.3 的讨论中 我们容许有很大的选择性。我们可以随意选择整体坐标时间。在知道了是时空是全局双曲的情况下，我们可以随意选择柯西超曲面。会不会出乱子？不会
。你可能想到了，这又是我们的老朋友：广义协变性 在起作用了。选择整体坐标时间 实际上是在选时空分解。相当于选择 有一部分整体化了的坐标系（沿时间方向是整体的）。而时空是不依赖于坐标系的选取的。
24.5 全局双曲的时空是 柯西超曲面随坐标时间演化而成的
为什么要扯全局双曲的时空之类的东西？
第一 如前所述，这类时空不会有因果关系方面的问题。
第二 这类时空 有整体的坐标时间和 对应于（该坐标时间的）某一时刻的空间部分（柯西超曲面）。于是 我们可以说 全局双曲的时空是 柯西超曲面随坐标时间演化而成的。柯西超曲面和坐标时间的选择有极大的任意性，但这不过是对应着 对同一时空的不同描述罢了
。
待续
由速度间隔不变性直接推导相对论动力学
费保俊
(装甲兵工程学院物理教研室,北京 100072)
摘要:证明了若采用Lorentz速度变换的微分形式-速度间隔不变性,即可由经典力学直接导出狭义相对论的动力学规律.
关键词:相对论动力学;Lorentz速度变换;速度间隔不变性
中图分类号:O313 文献标识码:A 文章编号:100020712(2003)0420016203 在文献[1]中,我们由光速不变原理直接导出
Lorentz速度变换,并给出其微分形式:
dσ2=ξijdvi
dvj
(i,j=1,2,3)(1)
其度规张量
ξii=
1-
∑j≠i
vjvj
/c2
(1-δklvkvl/c2)
2
ξij=vivj
/c
2
(1-δklvkvl/c2)
(i≠j)(2)
式中δij为Euclid度规(δijvivj=v2
).引入四维速度
uμ=(γc,γvi
),
γ=(1-v2/c2)-1/2
(3)则式(1)变为
dσ2
=ημνduμduν
(μ,ν=0,1,2,3)
(4)
式中ημν是号差为+2的Minkowski度规.式(1)和(4)是相对论速度空间线素的三维和四维形式,和时空间隔不变性对应,我们称之为速度间隔不变性[2].
由式(2)不难求得三维速度空间的Riemann曲率和曲率半径分别为:
K=
Rijkl
ξikξjl-ξilξjk
=-1
c2, ρ=1
-K
=c(5)
因此我们说,相对论三维速度空间是均匀和各向同性的[3](K=const.)双曲的(K<0)空间,真空中的光速为其曲率半径.当c→∞时K=0,速度空间退化为Eu2
clid空间.可见,光速不变原理的实质是粒子的三维速
度空间不是Euclid性而是双曲性的.但双曲几何的小区域极限是Euclid几何,这就是当vνc时,相对论力学退化为经典力学的几何基础.这就启示我们,应用速
度间隔不变性,可以实现从经典力学到相对论力学的过渡.
选取惯性系S0为瞬时固有系,它与粒子的瞬时相对速度v0=0.则由式(1)可知其度规为Euclid性:
dσ2=δijdvi0dvj0=dv20 (dvi0∈E3
)
(6)
另外,瞬时固有系中的时间是绝对的,因而空间也是
Euclid性的.由此得出结论:在瞬时固有系中经典力学
严格成立.由于固有速度间隔和固有加速度为Euclid
速度空间的余切矢量(dv0)a和切矢量(5/5τ
)a,根据经典力学定律得到动量及其动量原理:
(dp0)a=m(dv0)a=5p05vi0
(dvi0)a,(dp0)a
(dp0)a=(mdσ)2f
a
0=m5
5
τa
=
dpi0d
τ5
5vi0a
,fa
0(f0)a=
m
d
σd
τ2
(7)
我们用抽象指标a,b,…表示张量的类型[4],并用下标“0”表示固有量,但固有时间和质量记作τ和m.现在,只须对式(7)作坐标变换,即可由瞬时固有系S0的力学规律导出一般惯性系S的相对论动力学规律.这一思想是Planck首先提出来的,但他只分析了一些特殊情况[5].这里我们将作系统的讨论.
1)四维形式的相对论动力学
由式(4)定义的四维速度空间中,余切矢量和切矢
量分别为dua和(5/5τ
)a,均与坐标变换无关.因而由式(7)得到四维形式的动量及其动量原理:
24.0 如何描述已知时空
上一篇提了一些困难的问题。我们先看一个简单一点的。假如我们已有一个时空，我们如何在数学上描述好它？
24.1 时空没有自然的分解，但时空可被分解
广义相对论中的时空是没有自然的分解为时间与空间的办法的（其实在狭义相对论中也是这样）。但没有自然的分解不代表不能分解。事实上每个观察者都可以选择自己的时空分解。然而我们讲过 单个观察者使用的时空分解只是局部的。
能不能有整体的时空分解呢？我们考虑以下的可能性：能否存在一个整体的坐标时间 以使得时空是一个三维的流形沿着1维的坐标时间线移动而扫出来的，即 对每一个坐标时刻，时空在这一时刻的截面都是 相同的3维流形（注意我没说是相同的度量流形）
。整体的意思是 我们把三维的流形上的每一个点都看作一个观察者的话， 这些观察者都使用相同的坐标时间。注意我说坐标时间线 就已经意味着 对每个上述的观察者而言 沿着整体坐标时间运动的世界线都是类时的。如果有一个 这样的整体的坐标时间 我们就有无穷多的其他的 整体的坐标时间。这是因为我们可以把观察者们的世界线 作连续的形变（只要形变幅度不大 就仍然是类时的）。从这个意义上讲 没有一个自然的优于其他的 整体坐标时间的选择。但我们先不管这件事，只问能不能找到 一个整体的坐标时间。另外我们还要求 整体的时间线不能首尾相接。
一般而言，在作为爱因斯坦方程的解的时空上 是找不到上面描述的整体坐标时间的。然而我们还有因果性的考虑。
24.2 因果结构
在（14）中我们讲了我们只考虑有因果结构的时空。而当时我们描述了一种可行的要求，正好就是24.1中要求的情况：有整体的（不首尾相接的）坐标时间 使得时空是一个三维的流形沿着1维的坐标时间线移动而扫出来的。于是我们感到24.1中的要求 似乎是合理的
。24.3 柯西超曲面
可是24.1中的要求（存在整体坐标时间）要求 感觉也太强了。于是我们考虑另一种可能：时空中 存在一个3维流形，并且每一条类时或类光的曲线 和这个3维流形 正好相交一次。如果这件事成立，我们就说时空是全局双曲的时空，而这个3维流形 就叫 柯西超曲面。一个全局双曲的时空包含无穷多的柯西超曲面。我们并没有 一个自然的选择某个特定柯西超曲面的办法。先不管这问题，随便乱选一个就行。
这个要求实际上是 我们想因果结构存在的时候 自然也能想到的。因为我们可以把这3维流形看成是 一个观察者A在某一时刻对他而言的全部空间。该时刻就是该观察者A的类时世界线和这个3维流形的交点。物理上我们当然不希望 某个其他的观察者B能在两个对他自己而言的不同时刻 出现在 对观察者A而言的某一时刻的空间中（这相当于说从A的角度看B在作回到某一时刻的时间旅行）。同时因为这是全部空间，所以我们自然希望所有其他观察者或者光线（世界线往两头不断延伸的观察者或者光线），都出现在（观察者A在某一时刻对他而言的）全部空间中 的某一处。仔细想想，这说的就是第一自然段的内容。
全局双曲的时空 其定义的优点在于 我们只在处理一个3维流形
。而在24.1中我们在处理无穷多的3维流形（每个整体坐标时间的时刻 都对应一个），看起来要麻烦得多。这个 “全局双曲”的定义看起来和24.1的存在整体时间不是一回事。但数学上可以证明，全局双曲的时空 存在整体的坐标时间。于是24.1 和24.3 的要求可以统一起来！
24.4 广义协变性
在24.1 和24.3 的讨论中 我们容许有很大的选择性。我们可以随意选择整体坐标时间。在知道了是时空是全局双曲的情况下，我们可以随意选择柯西超曲面。会不会出乱子？不会
。你可能想到了，这又是我们的老朋友：广义协变性 在起作用了。选择整体坐标时间 实际上是在选时空分解。相当于选择 有一部分整体化了的坐标系（沿时间方向是整体的）。而时空是不依赖于坐标系的选取的。24.5 全局双曲的时空是 柯西超曲面随坐标时间演化而成的
为什么要扯全局双曲的时空之类的东西？
第一 如前所述，这类时空不会有因果关系方面的问题。
第二 这类时空 有整体的坐标时间和 对应于（该坐标时间的）某一时刻的空间部分（柯西超曲面）。于是 我们可以说 全局双曲的时空是 柯西超曲面随坐标时间演化而成的。柯西超曲面和坐标时间的选择有极大的任意性，但这不过是对应着 对同一时空的不同描述罢了
。待续
由速度间隔不变性直接推导相对论动力学
费保俊
(装甲兵工程学院物理教研室,北京 100072)
摘要:证明了若采用Lorentz速度变换的微分形式-速度间隔不变性,即可由经典力学直接导出狭义相对论的动力学规律.
关键词:相对论动力学;Lorentz速度变换;速度间隔不变性
中图分类号:O313 文献标识码:A 文章编号:100020712(2003)0420016203 在文献[1]中,我们由光速不变原理直接导出
Lorentz速度变换,并给出其微分形式:
dσ2=ξijdvi
dvj
(i,j=1,2,3)(1)
其度规张量
ξii=
1-
∑j≠i
vjvj
/c2
(1-δklvkvl/c2)
2
ξij=vivj
/c
2
(1-δklvkvl/c2)
(i≠j)(2)
式中δij为Euclid度规(δijvivj=v2
).引入四维速度
uμ=(γc,γvi
),
γ=(1-v2/c2)-1/2
(3)则式(1)变为
dσ2
=ημνduμduν
(μ,ν=0,1,2,3)
(4)
式中ημν是号差为+2的Minkowski度规.式(1)和(4)是相对论速度空间线素的三维和四维形式,和时空间隔不变性对应,我们称之为速度间隔不变性[2].
由式(2)不难求得三维速度空间的Riemann曲率和曲率半径分别为:
K=
Rijkl
ξikξjl-ξilξjk
=-1
c2, ρ=1
-K
=c(5)
因此我们说,相对论三维速度空间是均匀和各向同性的[3](K=const.)双曲的(K<0)空间,真空中的光速为其曲率半径.当c→∞时K=0,速度空间退化为Eu2
clid空间.可见,光速不变原理的实质是粒子的三维速
度空间不是Euclid性而是双曲性的.但双曲几何的小区域极限是Euclid几何,这就是当vνc时,相对论力学退化为经典力学的几何基础.这就启示我们,应用速
度间隔不变性,可以实现从经典力学到相对论力学的过渡.
选取惯性系S0为瞬时固有系,它与粒子的瞬时相对速度v0=0.则由式(1)可知其度规为Euclid性:
dσ2=δijdvi0dvj0=dv20 (dvi0∈E3
)
(6)
另外,瞬时固有系中的时间是绝对的,因而空间也是
Euclid性的.由此得出结论:在瞬时固有系中经典力学
严格成立.由于固有速度间隔和固有加速度为Euclid
速度空间的余切矢量(dv0)a和切矢量(5/5τ
)a,根据经典力学定律得到动量及其动量原理:
(dp0)a=m(dv0)a=5p05vi0
(dvi0)a,(dp0)a
(dp0)a=(mdσ)2f
a
0=m5
5
τa
=
dpi0d
τ5
5vi0a
,fa
0(f0)a=
m
d
σd
τ2
(7)
我们用抽象指标a,b,…表示张量的类型[4],并用下标“0”表示固有量,但固有时间和质量记作τ和m.现在,只须对式(7)作坐标变换,即可由瞬时固有系S0的力学规律导出一般惯性系S的相对论动力学规律.这一思想是Planck首先提出来的,但他只分析了一些特殊情况[5].这里我们将作系统的讨论.
1)四维形式的相对论动力学
由式(4)定义的四维速度空间中,余切矢量和切矢
量分别为dua和(5/5τ
)a,均与坐标变换无关.因而由式(7)得到四维形式的动量及其动量原理:
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