著色曲率是曲面上每點的最小和最大法向曲率的乘積。http://help.ptc.com/creo_hc/creo30_pma_hc/chinese_tw/index.html#page/pma/fundamentals/fund_five_sub/Example__Section_Curvature_for_a_Surface.html

黎曼zeta 黎曼球可以看作复数平面上缠一个球体 锥面上顶点处的曲率等于无穷大("频谱分析")，其余点的曲率为0; 從雙曲曲面剪取的一片，其高斯曲率恒等於負一, 反過來說曲率等於負一的曲面與雙面曲面局部相等

 

http://help.ptc.com/creo_hc/creo30_pma_hc/chinese_tw/index.html#page/pma/fundamentals/fund_five_sub/Example__Shaded_Curvature_of_a_Surface.html

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範例：著色的曲面曲率

曲面分析在要顯示曲率的範圍內指派了色彩值。光譜紅端的值表示最大曲率或斜率。最小曲率值顯示為光譜的藍端顏色。

著色曲率是曲面上每點的最小和最大法向曲率的乘積。

phymath999: 频谱分析是可能证明黎曼猜想的途径;复数放在 ...

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2013年1月18日 - 黎曼猜想是什么（2） 2. 算术基本定理与黎曼zeta函数。 算术基本定理又叫唯一分解定理。这个定理是说，每一个大于1的正整数N都可以写成有限个 

 

 

科学网—相对论与黎曼几何-9-平行移动和曲率- 张天蓉的博文

blog.sciencenet.cn/blog-677221-831653.html

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2014年9月29日 - 二维曲面上的平行移动和曲率 根据上节最后得到的“无限小”平行移动公式，理论上便知道了如何将一个矢量的坐标分量改变 ... 相对论与黎曼几何-9-平行移动和曲率 精选 .... 因此，锥面上顶点处的曲率等于无穷大，其余点的曲率为0。

 

黎曼球面Riemann sphere对冲基金数学模型方法_柳州文铮_ ...

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2012年9月24日 - 这个扩展的平面表示扩展的复杂数字 ，即， 复数加一个值∞为无穷大 。 ... 球体与任何紧凑黎曼面，也可能被视为一个射影代数曲线 ，使它代数几何中 ...

 

 

黎曼度规[http://867107157.qzone.qq.com]

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2012年10月13日 - 黎曼度规. 在黑暗的度规中隐藏着鲜为人知的密秘. Kurt Goldel ... 2 0乘以无穷无穷减去无穷（ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成 ...

 

 

黎曼猜想

159.226.2.2:82/gate/big5/www.kepu.net.cn/gb/.../2_25_1016.htm

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希爾伯特回答：“我會先問黎曼猜想是否已經獲得解決了？” 原來他在1900年把這問題 ... 人們早知道下面的調和級數是不收斂（即和是無窮大）。 在1737年左右歐拉引進 ...

 

 

黎曼曲面_好搜问答 - 奇虎

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黎曼流形和黎曼几何,虽然黎曼面是一个一维复流形。黎曼 ... hold on;n=100;%这个数你自己定,反正到无穷大是不可能了for i=2:n j=1:i-1; j=j(gcd(i,j)==1); plot(j/i,1/i,'r.

 

 

 

 

 

黎曼球可以看作复数平面上缠一个球体（通过某种形式的立体投影 

黎曼球面Riemann sphere对冲基金数学模型方法

(2012-09-24 12:22:45)

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标签： 股票数学模型 股票

分类： 股票数学模型

一个几何球体上的两个方位线之间的区域。 
图片来源：KARTHIK Narayanaswami
The region between two loxodromeson a geometric sphere.
Image credit: Karthik Narayanaswami


黎曼球可以看作复数平面上缠一个球体（通过某种形式的立体投影 -详细信息见下文）。

在数学中 ， 黎曼球 ，19世纪的数学家黎曼的名字命名的，是一个模型的扩展复杂的平面 ， 复平面上加上一个无穷远点 。 这个扩展的平面表示扩展的复杂数字 ，即， 复数加一个值∞为无穷大 。 随着黎曼模型，点“∞”是附近非常大的数字，公正的一点是“0”附近寥寥可数。

扩展复数复杂的分析是有用的，因为它们允许零 ，在某些情况下，为师的方式，使表现形式，如1/0 =∞ 乖巧 。 例如，在复平面上的任何有理函数可以延长黎曼球上的一个连续函数 ，与极点的有理函数映射到无限远。 更一般地说，任何亚纯函数可以想到作为一个连续函数，其值域是Riemann球形。

在几何的黎曼领域是一个黎曼曲面的典型例子，是一个最简单的复流形 。 在射影几何中 ，可以想到的球体作为复杂的投影线 P1（C）所示，所有的C 2中的复杂的线条的 射影空间 。 球体与任何紧凑黎曼面，也可能被视为一个射影代数曲线 ，使它代数几何中的一个基本例子。 调查也发现依赖于分析和几何形状，如量子力学和物理学的其他分支学科的实用程序。

扩展复数

扩展复数由的复数C一起∞。 扩展复数可写为 C∪{∞}，并且往往是通过添加一些装饰，如字母 C表示

几何上，扩展的复数的组被称为为黎曼球体 （或扩展的复平面 ）。

[ 编辑 ]算术运算

加复数可以延长定义为 z∈C，

任何复数 z，并且可以由乘法

所有非零复数 z，与∞⋅∞=∞。 需要注意的是∞+∞，∞ - ∞，0⋅∞未定义。 不同于复数，复数扩展不形成一个字段 ，因为∞不具有乘法逆元素 。 然而，这是习惯定义分裂C∪{∞}

所有非零复数 z，∞/ 0 =∞，0 /∞= 0。

[ 编辑 ]有理函数

任何有理函数的 函数f（z）= G（Z）次/ h（z）可以被扩展到一个连续函数的黎曼球面上。 具体而言，如果  是一个复杂的数量，使得分母  是零，但分子  为非零，则  可以被定义为∞。 （如果两者的分子和分母是零，则它们共享一个共同的因素，并且，该部分应首先被减少到最低的条件。）此外时，f（∞）可以被定义为函数f（z）的限制 ， 当 z→∞ ，这可能是有限的或无限的。

例如，给定的功能

我们可以定义 f（5）=∞由于分母为零在 z = 5，而f（∞）= 3，因为函数f（z）→3作为Ž→∞。 使用这些定义，F本身成为一个连续函数的黎曼球。

当看作是一个复杂的多方面的，合理的功能，其实是全纯函数的黎曼球本身。

[ 编辑 ]作为一个复杂的多方面的

作为一个一维的复杂的歧管，黎曼球可以由两个图表进行说明，都与域等于复数平面 C。 让ζξ是复杂的对 C的坐标。 确定的非零复数ζ的非零复数ξ使用的过渡地图

由于过渡的地图是全纯的 ，他们定义了一个复杂的多方面的，所谓的黎曼球 。

直观地说，过渡地图显示如何胶水两架飞机一起，形成黎曼球。 这些飞机都粘在一个“由内而外”的方式，让他们重叠几乎无处不在，每架飞机只能提供一点（它的起源）从另一架飞机失踪。 换言之，（几乎）黎曼球的每一个点在同时具有ζ值和ξ值，并且这两个值之间的关系由ζ= 1 /ξ。 的地步，ξ= 0然后应ζ-值“1/0”，在这个意义上，起源的ξ-图表所扮演的角色的ζ-图表中的“∞”。 对称的起源ζ图中所扮演的角色，∞ξ图。

在拓扑上 ，所得到的空间是一个平面成球体的一点紧 。 然而，黎曼球面不仅是一个拓扑领域。 它是一个球体与一个定义良好的结构复杂 [ 消歧需要 ]，因此，在球体上的每一个点周围有可以biholomorphically确定与 C是一个邻里。

另一方面， 均匀化的定理 ，中央在黎曼曲面的分类，国家，只有简单的一维复流形是复平面上， 双曲平面 ，与Riemann球。 其中，黎曼球是唯一的一个，这是一个封闭的表面 （紧凑型表面无边界 ）。 因此，二维球面承认一个独特的复杂的结构，把它变成一个一维复流形。

[ 编辑 ]复射影线

黎曼球面，也可以被定义为复杂的投影线 。 这是的C 2的子集组成的所有对（α，β）的复数，不同时为零， 模的等价关系

所有非零复数λ。 复平面 C，与坐标ζ，可以映射到复射影线由

C的坐标ξ的另一个副本可以被映射到由

这两个复杂的图表涵盖了投影线。 对于非零ξ鉴定

表明过渡映射ζ= 1 /ξ和ξ= 1 /ζ，如上。

这种治疗方法的黎曼球最容易射影几何连接。 例如，任何行（或平滑的圆锥）在复杂的投影面是双全纯的复杂的投影线。 这也方便了研究领域的同构 ，在本文的后面。

[ 编辑 ]作为一个球体


赤平投影到一个点α的黎曼球的复数 a

Riemann球形可以作为单位球面上的可视化X 2 + Y 2 + Z 2 = 1的三维实空间 R 3。 为此，考虑从单位球面减去点（0，0，1）的立体图的投影到平面上，z = 0时，我们确定与复平面上由ζ= + iy的。 在笛卡尔坐标系 （的x，y，z）的 ，在球体上的球面坐标 （φ，θ）（与φ的天顶角和θ的方位角），突起是

同样，从（0，0，-1）的立体图投影到平面 z = 0时，与复平面上的另一个副本为ξ= X - iy的标识，被写入

为了掩盖的单位球，需要两个立体的预测：第一个将覆盖整个领域，除了点（0,0,1）和第二点（0,0，-1）除外。 因此，一个需要两个复杂的平面，一个为每个突起，可以直观地视为粘在z = 0的后端到背面。 请注意，两个确定复杂的平面以不同的方式与在z = 0 平面 。 一种取向反转是必要的，以保持一致的取向，在球体上，并在特定的复合共轭导致过渡映射到全纯。

ζ-坐标和ξ坐标的过渡之间的映射是通过以下方式获得构成一个突起与其他逆。 它们变成是ζ= 1 /ξ和ξ= 1 /ζ，如上面所述。因此，单位领域是微分同胚的黎曼球。

在此微分同胚，在单位圆中的ζ图，ξ图的单位圆，赤道单位球面的确定。 单位圆|ζ| < 1是确定的南半球Z <0，当本机磁盘|ξ| <1的识别与北半球Z> 0。

[ 编辑 ]公制

一个黎曼面不配备任何特定的黎曼度量 。 然而，复杂的结构，唯一确定的黎曼面共形等价度量。 （两个度量所述是共形等价的，如果它们的差异通过一个正的平滑函数的乘法。）相反，一个定向的表面上的任何度量唯一地确定一个复杂的结构，这取决于对度量最多只能适形等价。 取向的表面上的复杂的结构，因此与该表面上的度量的保角类在一个一一对应。

在一个给定的保形类，可以使用形对称性找到一个方便性能指标代表。 特别是，总是有一个在任何给定的共形类的恒定曲率的完备度量。

在黎曼球的情况下， Gauss-Bonnet定理意味着，恒定曲率度量必须有积极的曲率 K表 。 它如下度量必须是等距的球体半径  通过立体投影R 3。 在黎曼球面的ζ-图表，K = 1时的度量与由下式给出

在实际坐标ζ= u + iv的，计算公式为

最多一个常数因子，这个衡量标准与标准的富比尼研究度量复射影空间（其中的黎曼球就是一个例子）。

相反，，让S表示球体（作为一个抽象的平稳或拓扑流形 ）。 通过统一化定理，存在一个独特的结构复杂， 在 S。 任何度量S 上共形的圆形度量。 所有这些指标确定相同的形几何。 因此，圆的度量是不是内在的黎曼球，因为“圆”是一个不变的形几何。 黎曼球仅仅是一个保形歧管 ，而不是一个黎曼流形 。 但是，如果人都需要做黎曼几何上的黎曼领域中，圆度量值是一个自然的选择。

[ 编辑 ]同构


莫比乌斯变换作用的领域，在飞机上立体投影
主要文章： Möbius变换

任何数学对象的研究，借助于其基团的同构的理解，这意味着从对象到其自身的地图，保存的基本结构的对象。 在黎曼球的情况下，同构是一个可逆的双全纯映射到自身的黎曼球。 事实证明，只有这样的地图是莫比乌斯变换 。 这些函数的形式

其中的A，B，c和d是复数，使得  。 莫比乌斯变换的例子包括扩张 [ 消歧需要 ， 旋转 ， 翻译 ，和复杂的反转。 事实上，任何Möbius变换可以被写入作为这些的组合物。

莫比乌斯变换盈利看作是复杂的投影线的转换。 在射影坐标，变换f的可写入

莫比乌斯变换可以描述为2×2复杂的矩阵与非零的决定因素 ;两个矩阵得到相同的Mobius变换，当且仅当它们相差一个非零的因素。 因此莫比乌斯变换射影线性变换 PGL（2，C）完全相符。

如果赋予黎曼球面与富比尼-研究公制 ，不是所有的莫比乌斯变换是等距同构，例如，伸缩和平移都没有。 等距形成PGL（2，C）中，即电源模块（2）的一个适当的子群。 此子群是同构的旋转组，SO（3），它是在 R 3（其中，限制为球体时，成为的等距球体）的组中的单位球面的对称性的影响。

[ 编辑 ]应用程序

在复杂的分析，亚纯函数在复平面上（或任何黎曼曲面上，对这一问题）是一种比F / G的两个全纯函数 f 和 g。 作为复杂的数字地图，它是不确定的地方g是零。 但是，它会引起一个全纯映射（F，G）复射影线，是良好定义的， 其中 g = 0。 这种结构有助于在全纯与亚纯函数的研究。 例如，在一个紧凑的黎曼面有没有非定常全纯映射到复数，但全纯映射到复射影线丰富。

黎曼球在物理学有许多用途。 在量子力学中，复杂的投影线的点光子 极化状态， 大量 粒子的自旋为1/2的自旋状态，和2态粒子的一般的自然价值。[ 为什么？ ]黎曼球被建议作为一个相对论 天球模型。 在弦理论中 ，的弦的worldsheets是黎曼曲面，和黎曼球，是最简单的黎曼面，起到了重要的作用。 同样重要的是在磁扭线理论 。

[ 编辑 ]参见
形几何
跨比
霍普夫包
Dessin的儿童
定向无穷
[ 编辑 ]

本文包含一个列表的引用 ，相关阅读或外部链接 ，但它的来源仍不清楚，因为它缺乏内联的参考文献 ， 请改善本文通过引入更精确的参考文献。（2010 年8月）

本文列举了它的来源 ，但不提供页面引用 您可以通过引入更精确的参考文献， 有助于改善它 。（2010 年9月）

布朗，詹姆斯和丘吉尔，鲁埃尔（1989年）， 复变函数与应用 。 纽约：麦格劳-希尔。 ISBN 0-07-010905-2 。
格里菲思，菲利普·哈里斯，约瑟夫（1978年）。 代数几何原理 。 约翰Wiley＆Sons出版， ISBN 0-471-32792-1 。
彭罗斯，罗杰 （2005）。 现实之路 。 纽约：Knopf出版社， ISBN 0-679-45443-8 。
鲁丁，瓦尔特（1987年）。 真实和复杂的分析 。 纽约：麦格劳-希尔。 ISBN 0-07-100276-6 。
[ 编辑 ]外部链接
Hazewinkel，米歇尔，编辑。 （2001年）， “黎曼球” ， 百科全书
莫比斯转换揭晓 ，由： 阿诺德·道格拉斯N.和乔纳森Rogness（两所大学的教授明尼苏达州的一个视频解释和说明莫比乌斯变换，从一个球体的立体投影）


古典的幾何學者在討論三維空間中的曲面時，他們留意到曲面上每一點的曲率，都有兩個不同的選擇。比如在一個圓柱面上，一個方向是沿其橫切的圓，另一個則是沿垂直線。高斯在1827發現這兩個曲率的乘積具有驚人的屬性。當我們另曲面在空間變型，只要它沒有拉長縮短，這個積是不變的！後世稱這個積為高斯曲率



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2005年11月15日 - 雙曲幾何給出第一個抽象而與歐氏不一樣的空間，影響到黎曼的工作。 .... 張量滿足等價原理，黎曼曲率使得度量拉長或收縮，正符合他的需要。 ... 物理中的等價原理要求引力的定律與座標的選取無關，黎曼的曲率正正具有這種特性。

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在空間每一點都可以變動的內積，即是說給出了黎曼度量，可以寫作一個張量 。 ... 在一般的黎曼幾何裏，兩點 p 和q 之間可以有超過一條的路徑使得E(x) 是極短的。 ... 在 t  0 ，熱方程的核可以用擾動的方法計算出來，它跟空間的曲率有關，因此指標可由曲率表示， .... 單連通的定義是說在此空間中任何一個閉曲線可以連續收縮成一點。

博研联盟.__.2005-几何三十载_百度文库

wenku.baidu.com/view/212730d276eeaeaad1f330d9.html?re=view

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2011年3月22日 - 0 在空間每一點都可以變動的內積，即是說給出了黎曼度量， 可以寫作一個張量? i ... 3 在一般的黎曼幾何裏，兩點p 和q 之間可以有超過一條的路徑使得E(x) 是極短的。 ... 0 ，熱方程的核可以用擾動的方法計算出來，它跟空間的曲率有關，因此指標 .... 單連通的定義是說在此空間中任何一個閉曲線可以連續收縮成一點。

庞加莱猜想100年 - 欢迎访问科学文化评论 - 中国科学院

sourcedb.scr.cas.cn/zwqkk/.../t20091123_2673455.html

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2009年11月23日 - 高斯的确做过这种测量，但测量误差使他无法做出判断。 ... 在向高维推广时，这缺点更加突出，尤其是当只是“粗线条”地了解图形的时候。 ... 主要的一个是单连通性，也就是球面上任何一个绳圈都可以在球面上连续地变形，最后收缩成一点。 .... 把黎曼度量和曲率引到流形上面就使得拓扑问题大大复杂化：一个球面如果 ...

[PDF]to download the PDF file. - 中研院數學研究所

w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d232/23201.pdf

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Euler-Lagrangian 方程, 即黎曼泛函的. 臨界度量方程。 ... 的初值度量gij(0) 的Ricci 曲率是正的, 則 ... 的解沿著正. Ricci 曲率的方向向內收縮(shrinking); 然 ... 例如在S2上, (∗) 的任何正曲率. 解在有限時間 ... 限時間的奇異解的特性, 使得在奇異解產生.

科学网—相对论与黎曼几何-15-引力场方程- 张天蓉的博文

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2014年11月14日 - 就像是天意安排的，格罗斯曼后来成为黎曼几何专家。 ... 观测者测量直径的时候，尺子不会缩短，所以，运动观测者测量到的周长与直径的比值，要大于圆周率。 ... 从我们所学过的黎曼几何知识，与度规二阶导数有关的是曲率张量。 .... 直线尺子来度量圆周各点邻域的“收缩”；其次，圆盘周长如果真的收缩了，那么圆盘上 ...

    從球面剪取一片曲面，其高斯曲率為正常數。反過來說，局部而言，任何具正常曲率的曲面都是球面的一部分。

  類似地，從雙曲曲面剪取的一片，其高斯曲率恒等於負一，而反過來說曲率等於負一的曲面與雙面曲面局部相等。雙曲曲面曾在討論歐氏第五公設時論及



算術基本定理與黎曼zeta函數 送交者: 莊銳 2013年01月12日16:19:17 于 [教育學術] 發送悄悄話

黎曼猜想是什麼（２）

2. 算術基本定理與黎曼zeta函數。

算術基本定理又叫唯一分解定理。這個定理是說，每一個大于1的正整數N都可以寫成有限個質數（或者素數）的乘積；這個乘積叫做N的因數分解。N的因數分解中的質數因子可以有重復但是其個數是由這個被分解的正整數確定的，不同整數的分解是不可能相同的。這個定理幾乎有兩千年的歷史。 算術基本定理描述了全體素數是整個大于一的正整數之集合的生成集；就是說從所有素數的集合出發，把所有有限乘積都加進去就得到了所有大于1的正整數之集合。
描述質數之個數的結論叫做素數定理，這個定理根據估計的準確度可以有多種不同的形式。固定任何一個比一大的正整數N，通過簡單的實驗人類很早就知道在一到N之間我們可以期待有少數質數。比如在1到10之間有2，3，5，7這四個質數；佔幾乎五分之二。 這個比例平均地講隨著N的增加在減少，實驗結果告訴我們在一到N之間大概有 M =log（N)　分之一的整數是質數。這里的　log(N)　是類似與常用對數的（以ｅ為底的）自然對數。這個ｅ是繼圓周率ｐｉ之後的第二個重要數學常數。用公式表示，通常把從一到N之間的質數個數表示為 pi(N)。這里的　pi　用的是圓周率的同一個符號，但是不是指那個圓周率常數，而是用來表示質數計數函數。 最簡單的素數定理是說　pi(N)　大致等于N　與 log（N)　的商。　這里的大致必須用數學詞匯準確地描繪。 其他精確的素數定理就要給出對這個函數的更精確描寫加上對誤差的估計。
在黎曼之前，高斯對質數計數函數有一個猜測，那就是用現在叫做　高斯的(logarithmic integral) 對數積分函數 li（N) 來代替上面所提到的N與log（N)之商。高斯對後來叫做黎曼zeta函數的那個數學對象已經有過一些研究。1859年，黎曼在他唯一關于數論的研究論文中引進復數作為變量，從而制造出現在叫做黎曼zeta函數的這個特殊函數。黎曼zeta函數是一個以復數為變量的函數，除了一個奇點以外這個函數在整個復數平面上是解析的。這里用的的“解析”一詞，基本上就是微積分中無窮次可微分的意思。
要解釋什麼是黎曼zeta函數，我們還是從如何計算質數的個數說起。 數學發展到前兩個世紀中間的時候，已經有了非常成熟的無窮個數字相加的工具。　其實幾乎兩千年前就有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的說法。如果把二分之一，四分之一，八分之一，十六分之一，等等一切，一直加起來，可以想象其和為一。 嚴格地說，這就是現代數學系大學高年級里學到的“無窮級數”。定義黎曼zeta函數就必須要用到“無窮級數”與“解析”的概念，所以至少要到大學數學系接近畢業的學人們才可能真正理解黎曼zeta函數的定義。
這里給出在某個場合本人曾經使用過的一個籠統解釋，那就是黎曼zeta函數其實就是把所有的正整數添加必要的附帶數據後然後巧妙地糅合在一起得到的一個函數。不難想象，有關整數的所有一切都被揉在里面了。 因此可以說，這個函數既展示了宇宙的完美無瑕，又顯現出這個世界的雜亂無章。 對于數學家們的問題就是，如何從這個非常復雜的函數里面找到清晰的數學數據。
既然有無窮個質數存在，我們可以比如用每一個正整數的倒數來相加。事實上，所有正整數的倒數相加起來叫做調和級數。調和級數的和仍然是一個無窮大；而這正是黎曼zeta函數中唯一一個奇點的來源。如果把所有正整數的平方的倒數加起來，那麼得到的結果等于那個圓周率的平方除以6。這樣用來研究質數個數的黎曼zeta函數與圓周率也有著緊密的聯系。事實上，所有的數學理論都是緊密地聯系在一起的。作為開端，黎曼zeta函數被定義為所有正整數的其復數變量次方的和，比如我們必須定義2的pi次方是什麼意義。但是這個定義只對復數變量的實數部分大于一的時候有用，然後就要進行進一步的解析延拓把這個函數對所有復數變量都給予定義。除了在復數變量為一的時候為無窮大以外，其他所有復數變量對應的函數值都是有限的。這就是對于什麼是黎曼zeta函數的一個簡單解釋。

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黎曼猜想是什麼（1）

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