它在整个切丛上没有意义.
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（原创）双曲几何与Gauss-Bonnet-Chern定理（by shanqin）
从双曲几何到Gauss-Bonnet-Chern定理 Author：萍踪浪迹（shanqin-wang） 早在Gauss十五岁时，他就构想了一种几何，这种几何中Euclid几何中的第五公设不再成立，他把这个几何成为“星空几何”，或许他预计到这种几何在浩瀚星空中可能实现。 但是我们都知道，真正公开地、系统地提出这个几何的是Lobachevskii（有些英文文献是Lobachevsky，俄国人的名字再翻译成英文时可以有些小差别。）所以这种几何被称作“Lobachevskii几何（Lobachevskian Geometry），也称为双曲几何（Hyperbolic Geometry）。在双曲几何中，三角形内角和不再等于180度。但是我们需要的不仅是这个定性结果，而是要确定内角和与180度的偏差程度，即所 谓的“角盈”，角度的盈余，当然这个盈余时广义上的盈余，如果差别为负数，那么就是负的盈余了：） 描述这个差别的就是著名的（局部）Gauss-Bonnet定理，它将曲面的曲率与角盈直接联系在一起。曲面上多边形的Gauss曲率K在曲面上的积分加上多边形边界曲线的测地曲率k_g在边界上的积分再加上多边形外角和等于2π，如果这个多边形的 边界曲线是测地线，那么测地曲率就为0，这时候测地曲率的积分就为零，计算将大大简化。如果是测地三角形，那么我们马上可以得出三角形内角和公式的推广 。由于内角与外角的互补关系，所以公式将变为：三角形内角和减去π等于Gauss 曲率K在在三角形所围曲面上的积分。于是我们可以知道： 如果K等于零，那么这刚好就是平面三角形，角盈为零，三角形内角和等于π； 如果K大于零，那么这就是类似于球面上的三角形，角盈为正，三角形内角和大于π； 如果K小于零，那么这就是类似于伪球面上的三角形，角盈为负，三角形内角和小于π。 因此Gauss-Bonnet公式即使特殊化两次（第一次先让多边形边界曲线的测地曲率为零，第二次让多边形为三角形）后仍然得出这三个优美结果，直接推广了三角形内角和公式。 而整体的Gauss-Bonnet定理更加优美：紧致定向的二维Riemann流形M（可以粗略地看为是曲面的推广）的Gauss曲率的积分值等于2πχ（M），其中χ（M）是M的 Euler示性数，典型的整体的离散值，而Gauss曲率可以连续取值的局部值。这里，测地曲率的线积分被直接抵消，我们想想复变函数中证明多连通域的Cauchy积分定理时辅助线积分的互相抵消得出得优美结果（实际上我们在证明多连通域的 Grenn定理时就有这个方法了），就可以类推想象这个结果。只是在整体Gauss- Bonnet定理的证明中是用了著名的“三角剖分”把区域分称一个个三角形，抵消线积分（在单连通域的Cauchy积分定理的现代证明中也用到三角剖分），而多连通域的Cauchy积分定理中是将多连通区域划分成一个个单连通区域。我们从这里 也可以看出数学中很多领域的研究有着异曲同工之妙。这样一个公式就巧妙地将起两个迥异的重要概念完美结合。 后来，曲率经过Riemann的推广成为几何中的核心概念，Euler示性数经过Poincare的推广后成为拓扑学中的核心概念，这两个概念在整体微分几何中巧妙结合，而这种巧妙的结合就是由于Chern关于高维复流形（complex manifold）上的Gauss-Bonnet定理的直接的、内蕴的推广。果然应了“龙生龙，凤生凤，老鼠儿子会打洞”这句俗话。伟大的定理，经过伟大的推广，产生更加伟大的学科。 当年Weil和Allendorff用分块切割嵌入高维Euclidean空间中证明推广这个定理时，Nash嵌入定理还未出现，所以前提首先就不成立。在加上一个内蕴的优美结果 却用外蕴的方式来推广，实在很令人不满意。所以Chern一到美国，Weil就把这个 想法告诉Chern，并断定这个定理一定有内蕴的证明方法。Chern很快就完成这个证明了。当时数一数二的数学大师Weyl看了这个结果后惊未神来之笔，赞叹祝贺 。Weil则断定这是几何学里程碑式的伟大工作。 在这里，我们从双曲几何一直说到著名的Gauss-Bonnet-Chern定理，我们还要提 到一个人，那就是伟大的Riemann，正是他创立了狭义的Riemanan几何（Riemann Geometry），然后又把这个结果纳入他创立的极度深邃的“广义Riemanan几何 （Riemannian Geometry，分清楚与Riemann Geometry的区别，它们形式上差别是 “ian”，实质上的差别却是“常曲率”与“任意曲率”的差别），推广了Gauss 的曲面内蕴几何学，定义了抽象Riemann度量，仅仅在2维情形就直接摆脱了Euclidean空间的嵌入研究，使曲面的研究不再等价于3维Euclidean空间中的曲面 研究。著名的Poincare上半平面上定义了Poincare度量，它无法在3维Euclidean 空间中实现嵌入，Poincare度量就是Riemann度量的一种。 正如Milnor的所言，双曲几何在Riemann几何出现前只是没手没脚的躯干而已。Riemann让这个躯干成为正常人体。 Riemanan之后，Beltrami使伪球面上实现了局部的双曲几何，Klein在开单位圆（ 不包括圆周）上实现了整体的双曲几何，而Poincare在上半平面（不包括实数轴 ）上实现了整体双曲几何。容易证明，单位圆和上半平面存在共形映射，而单位 圆周和实数轴作为两个域的边界，也一一对应。在单位圆上赋予Poincare度量（Poincare metric），就可以计算出它的截面曲率为-1，证明双曲几何的空间曲 率小于零。正如我们所知道的，双曲几何从Poincare去世后发展至今，最牛的人 物是Thurston，Fields奖获得者。此外，这个学科的发展很缓慢，足见其艰难，也足见Poincare之伟大。 大名鼎鼎的Schwarzschild早在26岁时就考虑过宇宙如果为弯曲的话，曲率半径应 该为多少，他在19世纪末时就说：“本世纪有人在Euclid几何之外提出non- Euclid几何，其主要实例就是球面空间和伪球面空间。我们如果知道可能具有有限曲率半径的球面和伪球面几何中世界是什么样子，我们会感到惊讶。如果有这种可能，你会感到自己处在几何学的仙境里；而且如此美妙的仙境会不会变为现实，我们也无法知道。”（摘录自Chandrasekhar于1986年的Schwarzschild讲座中所引用文字，杨建邺、王晓明等译） 他还应用当时的天文学数据估算了3维空间曲率半径的极限，认为双曲空间与球形空间的曲率半径的下限分别为64光年和1600光年。 我们当然知道，在1900年的时候，天文测距技术还是不完善的，实际上Einstein 提出静态宇宙学模型时（1917年）对宇宙大小的认识还是很模糊的，甚至于Hubble提出膨胀宇宙学说时，由于造父变星光度的分析有错误，使得宇宙的观测也相应出现严重失误。因此，在Schwarzschild那个时代，对宇宙有着如此的梦幻与计算，实在是非常了不起的。他的思想已经深入到双曲几何和椭圆几何中去了。 说个题外话，现代微分几何学家处理三维问题和四维问题时面对的困难相差时很大的，因为三维空间Ricci曲率如果为零，则Riemann截面曲率就为零，而四维空间没有这个性质。但是在Schwarzschild那时，他肯定无法考虑到这个，所以如果 他牛到直接考虑四维时空，也照样提刀上阵：） 我们也知道，Lobachevskii在提出双曲几何时就已经想象到它或许会在宇宙中实现，他说：“同时，不能不重视Laplace的见解：我们所见到的星星饿银河只属于天体的一部分，就像微弱的、若隐若现的斑点，类似于我们在猎户星座、摩羯星座及其他星座中所看到的一样。于是，且不说在想象中空间可以无限地延伸，自然界本身向我们显示的距离，甚至同我们的地球到恒星的距离相比，后者也因微小而可以忽略。此外，不能进而断言，假定直线的度量不依赖于角——这一假设，许多几何学家想采纳它作为毋需证明的严格的真理——可能在我们过渡到可见世界的极限之前，就会发现它有可以觉察到的错误。” 英国的Clifford实际上也设想过这个问题，但是到了Schwarzschild时，这个梦想被继续深化了。这样我们就可以理解为什么Einstein一搞出广义相对论，Schwarzschild就给出第一个精确解，人家早就是老手了，学起这些新的几何学也 时易如反掌，再加上解偏微分方程的特殊能力，使得Einstein对这个结果赞赏不已，比起6年后对待的Friedman，可谓无比真诚了。 我们理当也多说几句关于椭圆几何的问题，因为它和双曲几何（Hyperbolic Geometry）一样是non-Euclidean Geometry，但是考虑到从Euclidean Geometry 到Hyperbolic Geometry的实质性跨越，双曲几何到椭圆几何的跨越几乎为零，只是平行发展而已，我并没有贬低Riemann的意思，椭圆几何只是上面说的“狭义的Riemanan几何”，仅仅凭借广义的Riemann几何学，Riemann的伟大已经不再需要这个安慰奖了，何况他还是其他多项无上的光荣：Riemann面，Riemann假设等等。 写道篇末，想起了一个巧合，那就是Gauss和Schwarzschild都担任过Gotinggen天 文台台长。一个因为数学而天文，一个因为天文而数学，妙。 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵 痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
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henring  发表文章数: 159 武功等级: 罗汉拳 (第七重) 内力值: 176/176 |  Re: （原创）双曲几何与Gauss-Bonnet-Chern定理（by shanqin） 善钦前辈写的原创文章也很妙！ 很希望您能介绍这些数学时也写出您自己认为经典的，好的相关书籍给我们，给个简短的书评…… 如果能这样，那就不是妙了 是 太 妙 了 ！ Love is patient and kind ;it is not jealous or conceited or proud;love is not ill-mannered or selfish or irritable;
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星空浩淼  发表文章数: 1743 武功等级: 九阳神功 (第五重) 内力值: 617/617 |  Re: （原创）双曲几何与Gauss-Bonnet-Chern定理（by shanqin） 飞刀，又见飞刀 等时间充裕些的时候，再来欣赏“小李飞刀，例无虚发” 我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在
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季候风  发表文章数: 291 武功等级: 太极剑法 (第四重) 内力值: 370/370 | Re: （原创）双曲几何与Gauss-Bonnet-Chern定理（by shanqin） 萍踪兄写得非常好！ 几个补充： 根据 Milnor 的考证，Beltrami 实际上发现了我们现在使用的所有双曲平面模型：Minkowski 空间的伪球面，Klein 投影模型，和单位圆模型。至于上半平面模型，我记不清是谁先发现的了。Klein 和 Poincare 用其中的两个模型做了很多事情，所以后人把这两个模型冠上他们的名字。遗憾的是，Beltrami 反而没能得到其中任何一个模型的冠名权。 在二维，曲率标量就是高斯曲率，所以Gauss-Bonnet 实际上告诉我们二维引力的 Hilbert-Einstein 作用量是常数（曲面的欧拉示性数，不依赖黎曼度量）。所以二维的真空引力是平凡的，即，所有度量都是 Einstein 方程的解。 对于亏格 g>1 的定向闭曲面，总存在双曲度量。在双曲度量下高斯曲率恒为 -1. 把这个 -1从 Gauss-Bonnet 里拿出来，剩下的是对体积形式的积分，即这个曲面在这个双曲度量下的体积。所以曲面上任意一个双曲度量的体积是负的欧拉示性数乘以2pi，是拓扑不变量。这个在二维看来相对平凡的性质， 高维的双曲流形也具有。“双曲体积是拓扑不变量” 这个性质就很能说明为什么双曲几何是研究拓扑分类（至少在三维中）的有力工具了。 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟
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Omni  发表文章数: 305 武功等级: 太极剑法 (第五重) 内力值: 374/374 | Re: Hyperbolic Geometry 老弟对非欧几何的概述非常精彩，我觉得和Penrose的"The Road to Reality"对照阅读会有更深入的体会。下面提几个问题，同时也做些评论。限于时间有限，还是以英文表达为主，尽量少写中文。 >>在双曲几何中，三角形内角和不再等于180度。但是我们需要的不仅是这个定性结果，而是要确定内角和与180度的偏差程度，即所 谓的“角盈”，角度的盈余，当然这个盈余时广义上的盈余，如果差别为负数，那么就是负的盈余了：） 我觉得在双曲几何中还是用“角亏”(shortfall)的概念比较好，这样就与Johann Lambert的公式保持了一致： pi - (a + b + c) = C*S (where S is the area of the hyperbolic triangle and C is a constant) 这样“角盈”的概念就可以留给Elliptic Geometry。我估计你选择的定义方法是为了与Gauss-Bonnet定理联系起来更加方便而为之。 My question for you is --- Penrose said "We can always scale things so that C = 1 ... I shall refer to the quantity C^(-1/2) as the pseudo-radius of the hyperbolic geometry", can you give some details to explain the meaning of "scale things"? Do you scale the area or the angles of the hyperbolic triangle? >> 描述这个差别的就是著名的（局部）Gauss-Bonnet定理，它将曲面的曲率与角盈直接联系在一起。曲面上多边形的Gauss曲率K在曲面上的积分加上多边形边界曲线的测地曲率k_g在边界上的积分再加上多边形外角和等于2π， Your descriptions here can be made clearer, I found reading the MathWorld paragraph is easier for my understanding: "The simplest formulation of Gauss-Bonnet expresses the total Gaussian curvature of an embedded triangle in terms of the total geodesic curvature of the boundary and the jump angles at the corners. More specifically, if M is any two-dimensional Riemannian manifold (like a surface in three-space) and if T is an embedded triangle, then the Gauss-Bonnet formula states that the integral over the whole triangle of the Gaussian curvature with respect to area is given by 2pi minus the sum of the jump angles minus the integral of the geodesic curvature over the whole of the boundary of the triangle (with respect to arc length), where K is the Gaussian curvature, dA is the area measure ..." >> Riemann之后，Beltrami使伪球面上实现了局部的双曲几何，Klein在开单位圆（ 不包括圆周）上实现了整体的双曲几何，而Poincare在上半平面（不包括实数轴 ）上实现了整体双曲几何。容易证明，单位圆和上半平面存在共形映射，而单位 圆周和实数轴作为两个域的边界，也一一对应。 Actually Penrose argued from a historical point of view that Beltrami should deserve all the credit mentioned in your paragraph rather than sharing the credit with Klein and Poincare. Here I just pasted his original words: "The specific projective and conformal realizations of hyperbolic geometry that I have described above were both found by Eugenio Beltrami, and published in 1868, together with some other elegant representations including the hemispherical one mentioned in §2.5. The conformal representation is, however, commonly referred to as the ‘Poincare´ model’, because Poincare´’s rediscovery of this representation in 1882 is better known than the original work of Beltrami (largely because of the important use that Poincare´ made of this model). Likewise, poor old Beltrami’s projective representation is sometimes called the ‘Klein representation’. It is not uncommon in mathematics that the name normally attached to a mathematical concept is not that of the original discoverer. At least, in this case, Poincare´ did rediscover the conformal representation (as did Klein the projective one in 1871) ... The representation of hyperbolic geometry that Beltrami is best known for is yet another one, which he found also in 1868. This represents the geometry on a certain surface known as a pseudo-sphere" >> 我们理当也多说几句关于椭圆几何的问题，因为它和双曲几何（Hyperbolic Geometry）一样是non-Euclidean Geometry，但是考虑到从Euclidean Geometry 到Hyperbolic Geometry的实质性跨越，双曲几何到椭圆几何的跨越几乎为零，只是平行发展而已，我并没有贬低Riemann的意思，椭圆几何只是上面说的“狭义的Riemanan几何” My naive questions for you --- (1) Is "elliptic geometry" the same concept" as "spherical geometry" (geometry on the surface of a sphere)? (2) Are there any applications for elliptic geometry at all? (3) Is hyperbolic geometry the only useful Non-Euclidean Geometry to physicists? Finally, could you clarify Penrose's following statement in more details? "Riemannian geometries generalize hyperbolic geometry in an irregularly curved way" What's the meaning of "irregularly curved"? The same concept as your “任意曲率”？ I guess from my intuition --- your Milnor quote of "limbs" (手脚) means the generalization gave Riemannian geometries more flexibility (limbs in a metaphorical sense) than the Lobachevskian geometry? Due to the limitation of my training background, I want to be realistic and hold no dream at all in trying to understand abstract concepts such as "isometric or conformal embedding" or Chern's 1944 intrinsic proof of generalized Gauss-Bonnet. I think that kind of understanding requires a formal course in topology and even differential geometry. But I still enjoy reading your overview a lot. 海天一片，对景愁怀倦。心似木船独飘零，惆怅远景难见。 命里沉浮谁主，流年似水空度。浩翰烟波如故，当时容颜何处。
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kanex  发表文章数: 860 武功等级: 弹指神通 (第六重) 内力值: 343/343 | Re: （原创）双曲几何与Gauss-Bonnet-Chern定理（by shanqin） nice! ……是的，报纸说得对：整个爱尔兰都在下雪。……再往西，又轻轻落在香农河黑沉沉的、奔腾澎湃的浪潮中。它也落在山坡上那片安葬着迈克尔·富里的孤独的教堂墓地的每一块土地上。它纷纷飘落。……他的灵魂缓缓地昏睡了，当他听着雪花微微地穿过宇宙在飘落，微微地，如同他们最终的结局那样，飘落到所有的生者和死者身上。
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卢昌海  发表文章数: 1617 武功等级: 北冥神功 (第一重) 内力值: 602/602 | Re: （原创）双曲几何与Gauss-Bonnet-Chern定理（by shanqin） Shanqin is probably struggling with QCD now. :) Let me answer the questions you raised. I didn't look into the history or definitions as carefully as shanqin did, please feel free to correct me. :: can you give some details to explain the meaning of "scale things"? :: Do you scale the area or the angles of the hyperbolic triangle? You scale the area by setting the unit of length to be the curvature radius |K|^{-1/2} (assume the surface has a constant curvature), which converts \int KdS to \int dS (=S). :: Is "elliptic geometry" the same concept" as "spherical geometry" No, spherical geometry is a special case of elliptic geometry, which is the geometry of a space with positive curvature (but doesn't have to be a constant positive curvature). Elliptic geometry is the geometry in which Euclid's parallel postulate is violated in a particular way (there is NO parallel line). The opposite violation is hyperbolic geometry. :: Are there any applications for elliptic geometry at all? Spherical geometry is a special case of elliptic geometry, so whatever application it has (for instance navigation on the surface of earth) also counted as the application of elliptic geometry. :: Is hyperbolic geometry the only useful Non-Euclidean Geometry to physicists? No (according to the previous answer). :: could you clarify Penrose's following statement in more details? :: Riemannian geometries generalize hyperbolic geometry in an irregularly curved way Riemannian geometry is the geometry in which curvature can change from point to point, can vary from positive to negative. It basically is the geometry with arbitrary curvature. 宠辱不惊，看庭前花开花落 去留无意，望天空云卷云舒
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| 星空浩淼 发表文章数: 1743 武功等级: 九阳神功 (第五重) 内力值: 617/617 | Re: （原创）双曲几何与Gauss-Bonnet-Chern定理（by shanqin） 在众多高手面前，我只有欣赏的份——能够欣赏，已经算是很幸福的了:-) 我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在
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萍踪浪迹  发表文章数: 1983 武功等级: 深不可测 内力值: 645/645 | Re: （原创）双曲几何与Gauss-Bonnet-Chern定理（by shanqin） ::根据 Milnor 的考证，Beltrami 实际上发现了我们现在使用的所有双曲平面模型：Minkowski 空间的伪球面，Klein 投影模型，和单位圆模型。至于上半平面模型，我记不清是谁先发现的了。Klein 和 Poincare 用其中的两个模型做了很多事情，所以后人把这两个模型冠上他们的名字。遗憾的是，Beltrami 反而没能得到其中任何一个模型的冠名权。 ==================================================== 老米果然牛~谢谢指出这个细节:) Minkowski 空间的伪球面,在双曲几何中的发现应该是不难的,形式上说,解析几何中的双曲面就是一个类比. 现在看来,Beltrami 也算比较冤.不过,几何学中这种张冠李戴的事情似乎不少,比如著名的Levi-Civita connection,就被冠以Riemann connection之名,而Riemann本人做梦也不会想到这玩意的................ ::在二维，曲率标量就是高斯曲率，所以Gauss-Bonnet 实际上告诉我们二维引力的 Hilbert-Einstein 作用量是常数（曲面的欧拉示性数，不依赖黎曼度量）。所以二维的真空引力是平凡的，即，所有度量都是 Einstein 方程的解。 ================================================= 二维情形的Gaussian Curvature只有唯一的独立分量,这和高维情形的Riemann Section Curvature是大大不同的. ::对于亏格 g>1 的定向闭曲面，总存在双曲度量。在双曲度量下高斯曲率恒为 -1. 把这个 -1从 Gauss-Bonnet 里拿出来，剩下的是对体积形式的积分，即这个曲面在这个双曲度量下的体积。所以曲面上任意一个双曲度量的体积是负的欧拉示性数乘以2pi，是拓扑不变量。这个在二维看来相对平凡的性质， 高维的双曲流形也具有。“双曲体积是拓扑不变量” 这个性质就很能说明为什么双曲几何是研究拓扑分类（至少在三维中）的有力工具了。 ================================================== 最后一句话让我受益非浅,谢谢季兄! 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵 痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
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| 萍踪浪迹 发表文章数: 1983 武功等级: 深不可测 内力值: 645/645 | Re: （原创）双曲几何与Gauss-Bonnet-Chern定理（by shanqin） 非常感谢昌海兄的代劳!! 关于这个问题,我对Omni兄多说几句: ::What's the meaning of "irregularly curved"? The same concept as your “任意曲率”？ I guess from my intuition --- your Milnor quote of "limbs" (手脚) means the generalization gave Riemannian geometries more flexibility (limbs in a metaphorical sense) than the Lobachevskian geometry? ==================================================== 在赋予度量(meteic)之前,非欧几何的研究最多到三角学为止,因此Milnor才那么说. 在Gauss的研究之后,我们就进入了一个新阶段.我们可以通过metric来研究Curvature,而且不仅是常数曲率,更可以是非常数曲率.但是在二维情形,曲率分量是唯一的,Riemann的另一个伟大的推广就是考虑到切空间中不同方向的切平面对这个切平面所在曲面的偏离,他考虑了截面曲率,现在我们先看三维平直空间,用坐标表示为O-xyz,平面就有三个,xy平面,yz片面,xz平面.现在我们就可以了解Riemann当时的思想,他要考虑这么多不同切平面所在曲面的截面曲率,就相当于让其他变元为零,回归到Gauss情形,由于有不同的切平面,就有不同的曲率.这些曲率如果都一样,那么就称为"迷向",这是考虑一个点的切空间时出现的深刻问题. 后来的Schur证明,如果Riemann流形的每一个点都是"迷向"的,那么这些还可以得出更深刻的结果:这个流形所有点的曲率都相同.就是常曲率流形. 因此,Riemann考虑的“任意曲率”就是这样的.而常数曲率是其特例,Riemann写出了常曲率情形的表达式,涵括了三种常曲率情形(正,零,负),这也是他1854年演讲里的唯一公式. 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵 痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
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| 萍踪浪迹 发表文章数: 1983 武功等级: 深不可测 内力值: 645/645 | Re: （原创）双曲几何与Gauss-Bonnet-Chern定理（by shanqin） 在Riemann的演讲中，他考察了常曲率流形的一些重要性质，例如他说：“曲率处处为常数的流形的共同特征如下：其上的图形可以不伸缩地在流形上运动。”用现代地话说，就是：“常曲率流形必定为齐性流形。”事实上，常曲率流形是对称流形的子集，对称流形是齐性流形子集。 他已经明确了知n维流形的度量矩阵的独立分量有n（n-1）/2个。 最天才的是，他在演讲的末尾说：“这条道路将把我们引到另一门科学领域，进入到物理学的王国，进入到现在的科学事实还不允许我们进入的地方。” 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵 痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
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| Omni 发表文章数: 305 武功等级: 太极剑法 (第五重) 内力值: 374/374 | Riemann's 1854 Lecture >> 最天才的是，他在演讲的末尾说：“这条道路将把我们引到另一门科学领域，进入到物理学的王国，进入到现在的科学事实还不允许我们进入的地方。” There is a slight misinterpretation in the sentence you quoted. The English translation of Riemann (1854) I have reads "This leads us into the domain of another science, of physics, into which the object of this work does not allow us to go today". The correct translation of the part should be: 。。。那个领域处在我们今天介绍的这项研究工作的目标范围之外。 I also checked the English version of your another quoted sentence, but I'm not sure if your translation is consistent with it. The German-to-English translator was not very good, here I typed in his English version with my smoothing modifications: >> “曲率处处为常数的流形的共同特征如下：其上的图形可以不伸缩地在流形上运动。” "The common character of those continua (manifolds) whose curvature is contant may also be expressed such that figures may be viewed in them without stretching. Clearly figures could not be arbitrarily shifted and turned around in them if the curvatures at each point were not isotropic." Apparently "viewed in" is quite different from "moving". Actually I prefer your reinterpretation in modern mathematical language: "A manifold with constant curvature must also be homogeneous". BTW, what's the English word for "迷向"? 海天一片，对景愁怀倦。心似木船独飘零，惆怅远景难见。 命里沉浮谁主，流年似水空度。浩翰烟波如故，当时容颜何处。
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| 星空浩淼 发表文章数: 1743 武功等级: 九阳神功 (第五重) 内力值: 617/617 | Re: （原创）双曲几何与Gauss-Bonnet-Chern定理（by shanqin） 迷向：形容词是isotropic，名词是isotropy （我瞎猜的） 我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在
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| 萍踪浪迹 发表文章数: 1983 武功等级: 深不可测 内力值: 645/645 |  Re: （原创）双曲几何与Gauss-Bonnet-Chern定理（by shanqin） Omni 兄可否把Riemann演讲的英文全文贴上来？我看中文的确实觉得有写地方不自然。 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵 痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
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| Omni 发表文章数: 305 武功等级: 太极剑法 (第五重) 内力值: 374/374 | Re: Riemann 1852 http://www.emis.de/classics/Riemann/WKCGeom.pdf On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry (Bernhard Riemann, translated by William Kingdon Clifford, Nature, 8 (1873), 14-17, 36-37) 海天一片，对景愁怀倦。心似木船独飘零，惆怅远景难见。 命里沉浮谁主，流年似水空度。浩翰烟波如故，当时容颜何处。
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| 萍踪浪迹 发表文章数: 1983 武功等级: 深不可测 内力值: 645/645 | Re: （原创）双曲几何与Gauss-Bonnet-Chern定理（by shanqin） 谢谢Omni兄提供的地址：） 另外，当年Poincare 证明任何亏格g>1的曲面可以共形映射为曲率为-1的曲面。 而我们知道，所有曲率为-1的曲面可以由 6g - 6 实数维的空间来描述，即 Teichmuller空间。 这个直接和Riemann参模理论相联系。 另一方面，Poincare对双曲几何的研究是直接与他对自守函数论的研究相关连的，事实上他也是拼命思索亏格g>1的Riemann面的单值化，才大力研究这些东西。著名的单值化定理显示了单位圆盘的基本重要性，即它可作为g>1的Riemann面的泛覆盖空间。 |
网格数据结构. 一个三角形网格通过三个二维数组来描述：点数组, 边数组和三角形数
组.
在点数组（例如, 记为p）中, 一列代表一个节点, 第一和第二行为网格节点的x和y坐标. 点数
组的列数即为对应点的编号. 例如, 第n列的节点的编号就是n.
在单连通域的Cauchy积分定理的现代证明中也用到三角剖分
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （3） [ changshou ] 于:2012-02-07 16:02:44 复:3659016
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （3）什么是流形？（续2）
提示：我的最终目的是 帮助大家建立一个大致靠谱的 现代物理中的时空观。但目前我仍在描述 描述时空的 几何语言。 （注意我的断句
）。所以大家要试着不想现实的时空 而专注于我描述的几何语言 本身。
（更多讨论见3.6）
3.1 二维化地描述粘成的橡皮膜球面。(初步)
上一节的要点是 橡皮膜球面 是平面膜粘成的。 尽管我们一开始描述的 两块橡皮膜 不是在平面上的，但我们完全可以逆转 把它们压扁为 平面膜 的过程。 可以认为 我们一开始有的 就是两块平面膜。直到接到 粘合的指示后 再把它们扯到三维空间中 去粘。
平面膜是平面上的东西。 谈平面上的东西 不需要3维空间。 就像谈3维空间中的东西 不需要4维空间 （这是多数3维人所习惯的， 将心比心的为平面人考虑考虑吧
）。 你也许想说 虽然1号2号平面膜 是2维的 并且可以看成是2维平面的一部分，但作为球面的一部分 它们是在三维空间粘的。 似乎 粘 是个3维动作， 于是我们便终究离不开三维空间。
粘 是个 （至少）3维的行为吗？
什么是粘呢？ 要描述粘嘛， 就是 说清楚 1号平面膜的啥部位 和2号平面膜的啥部位 被等同起来 以及 被粘（等同）起来的部分是被粘成什么东西。
说清楚 粘，我们认为 粘成的橡皮膜球面就确定了。 没有必要非动手去粘不可。
3.2 二维化地描述粘成的橡皮膜球面。(续)
回到粘的问题。要说清楚 1号平面膜的啥部位 和2号平面膜的啥部位 被粘（等同）起来 不需要三维空间。 因为它们是平面膜从而是平面的一部分。
描述 被粘（等同）起来的部分是被粘成什么东西 需要3维吗？
不需要。 1号膜2号膜的公共部分（粘起来的部分）是一根 首尾相接的带子 （想不通请动手做个模型）。也就是说 被粘起来的部分是被粘成 首尾相接的带子。 带子 是2维的。 而且首尾相接 在2维就能实现。（首尾相接的带子 可以被 摁平在平面上 成为一个圆环。过程中有拉伸挤压，因为是橡皮膜所以是允许的。）
3.3 二维化地描述粘成的橡皮膜球面。(完成)
但还有一个问题，首尾相接的带子 中间有一个洞。 这意味着它 无法连续地形变为 1号膜或2号膜（他们没有洞）。这里 连续地形变 指的是 可以拉伸压缩移动旋转， 但不可以撕裂或粘合。不许粘合？ 我们不是要粘东西吗？ 是，但粘东西 是将一些 基本的模块 如1号膜或2号膜 按一定的粘合指示 互相粘起来。 同一个 基本模块 不准 自己粘自己。这规定苛刻吗？ 不苛刻。 如果一片膜 就是想 自己粘自己，那么我们就不再称他为基本模块 而是将它分割为 一些更小的基本模块。
我们希望 基本模块 可以被标准化。 即所有的模块 都可以相互间连续形变 从而 在橡皮膜工程师眼中 都一样的好使。
我们把 1号膜或2号膜 看成是 模块的标准。1号膜和2号膜 都可以 连续形变为 圆盘 （想一下它们的来源就清楚了）。 圆盘 可以被 拉扯为（连续形变为） 长方形。 所以 长方形 也可以作为 标准化的模块。
首尾相接的带子 不是标准化的模块。 但首尾相接的带子 可由两长方形 粘成。 长方形1 的一头 粘 长方形2 的一头， 长方形1 的另一头 粘 长方形2 的另一头。
在粘首尾相接的带子过程中 又出现了 新的 公共部分（粘起来的部分）。有两块， 是两个小长方形。 也就是说 被粘起来的部分是被粘成 两个小长方形。 这意味着 首尾相接的带子 的描述 2维化和标准模块化了。因为 长方形1 和 长方形2 被粘的部分 （长方形1和长方形2的局部） 以及 粘起来后形成的部分（两个小长方形） 都是 2维平面的一部分。而且他们都是 标准模块（长方形）。
就这样 我们发现了 2维化的 标准模块化的 描述 粘成的橡皮膜球面 的办法。
3.4 请再读一遍 3.1到3.3
3.5 内在的粘成的橡皮膜球面
数学家 顺着上面的思路， 干脆把描述替换为定义。 即：
取两圆盘状的 平面膜 （1号膜2号膜）， 指定 被粘的区域， 再指定 被粘的区域 被粘成为 待定义的 首尾相接的带子。首尾相接的带子 则被定义为 指定 长方形1和长方形2的被粘的区域 以及 指定 粘起来后形成的公共部分 为两个小长方形 后 贯彻 粘合指示 粘出来的东西。
以上一段话 本身也是 一个粘合指示 （一个粘合指示 告诉我们 啥东西的啥部位 和啥东西的啥部位 被粘起来 以及被粘成啥东西）。 按此粘合指示 粘出来的东西 就是
内在的橡皮膜球面
整个定义 与 三维空间 毫无关系。
所以我称它为 “内在的”。内在的橡皮膜球面 没有嵌入 任何其他流形（如三维空间）。
整个过程 本质上就涉及两种流形：平面 内在的橡皮膜球面。 二者什么关系？ 内在的橡皮膜球面 是由平面的局部 （标准模块）粘成。 标准模块 （圆盘或长方形）从连续形变的角度看 和平面并无区别（标准模块 朝各方向无限拉伸 就成了平面， 反过来说 标准模块 是缩小了的平面）。 因此我们说 内在的橡皮膜球面 局部上 和平面是一样的 （更确切的讲，内在的橡皮膜球面的 局部 就是 平面的局部）。 但 内在的橡皮膜球面 和平面 在整体上是不同的。
注意 内在的橡皮膜球面 和平面一样 是2维的， 维数是从局部上就可以决定的。
再注意 内在的橡皮膜球面 没有 嵌入平面。
挑战：你能从以上定义中 推出 绳子套不住 内在的橡皮膜球面 吗？
（这是以前描述过的 橡皮膜球面的基本属性）。
3.6 一个朴素的道理
我前面讲了“说清楚 粘，我们认为 粘成的橡皮膜球面就确定了。 没有必要非动手去粘不可。” 听上去像废话。
其实不是。很多人并没有想通这一点。
读了上一节，再回过头来 想想这个道理吧。
这个道理 说的是要区分 数学概念与物理实现。 我开始讲的橡皮膜球面 等等 用了物理实现（你可以动手做模型）来说明数学概念。 这仅仅是为了便于理解， 原则上讲是不必要的。比如我说的 “粘” 不必是物理的粘， 说的实际是 要求 被粘的部分 被等同起来。
你应该能够接受以下思维过程：
第一步 一个数学的球面 或三维空间 是可以脱离 物理世界而被定义出来的 （例如：用代数的方法 比如说勾股定理 定义距离 然后 将球面定义为 到固定点距离为1的 点的集合），
第二步 接下来应该论证 这类数学的空间 （如三维空间）是一个 关于物理空间的 好的 可能的 模型。
第三步 在第二步之后 才考虑 某个具体的数学空间 是否可以在现实物理世界中 以空间或空间一部分 的方式 被实现出来。
我说的在理吧。
定义数学的球面时， 你不需要 任何看见或感知它的能力， 用纯粹逻辑推理就够了。 这种抽象定义 的东西未必能够 在物理上实现， 但它有 潜在的物理实现的可能。内在的橡皮膜球面 就是这样的。目前为止 它还是 纯粹数学概念。 但后面我将解释， 以他为代表的流形 可以作为 物理空间的模型。所以 它有潜在的物理实现的可能。
在现阶段 （纯粹数学空间阶段）， 因为和物理时空 尚无瓜葛，内在的橡皮膜球面 无非就是 平面膜 加上 粘合指示。
3.7 流形
流形是 3.5 的推广。 我们先固定 某一维数的欧式空间 （就想 2，3，4维好了）， 然后 发布 一个 只使用 这一维数的欧式空间中的一些部分的 一个粘合指示。这样 定义出来的 粘合物 就叫流形。 它的维数 等于 那欧式空间的维数。
如果 取了 某一维数的欧式空间 把它看成 自身中的一部分 但却采用平凡的粘法：啥也不粘， 我们就得到 该欧式空间本身。 所以 2/3/4 维欧式空间都是流形。（2维欧式空间就是平面）
要点有二：第一，流形不必嵌入（包含于）另一流形。 不要以为它嵌入定义时用的欧式空间。 想一想 内在的粘成的橡皮膜球面。 定义时用的欧式空间是平面。
第二， 局部上 流形等同于 欧式空间（平面，3维空间，4维空间等）一部分，但整体上未必。 比如 内在的粘成的橡皮膜球面 和平面 在整体上是不一样的。
如果理解不了这一段，光理解 内在的（粘成的）橡皮膜球面 也差不多够了。
3.8 第一座高峰
本文的要点是， 一个几何的对象 （流形）是可以 “内在的” 存在的。 它是以 局部的 更基本的几何对象（欧式空间） 粘出来的 一个 整体的东西。它和局部的几何对象 维数一样。
如果到目前为止 你脑子尚未发懵， 那么恭喜你， 你已攀上了 获取较可靠时空观 征途上的 第一座高峰。
按我的估计， 你需要攀 四座高峰。
相邻两座之间的落差 大体上 和第一座高峰和你开始时状态的落差 差不多。
怎么样？ 不入虎穴，焉得虎子。
如果还有勇气和胃口的话， 请继续阅读。
待续
提示：我的最终目的是 帮助大家建立一个大致靠谱的 现代物理中的时空观。但目前我仍在描述 描述时空的 几何语言。 （注意我的断句
）。所以大家要试着不想现实的时空 而专注于我描述的几何语言 本身。（更多讨论见3.6）3.1 二维化地描述粘成的橡皮膜球面。(初步)
上一节的要点是 橡皮膜球面 是平面膜粘成的。 尽管我们一开始描述的 两块橡皮膜 不是在平面上的，但我们完全可以逆转 把它们压扁为 平面膜 的过程。 可以认为 我们一开始有的 就是两块平面膜。直到接到 粘合的指示后 再把它们扯到三维空间中 去粘。
平面膜是平面上的东西。 谈平面上的东西 不需要3维空间。 就像谈3维空间中的东西 不需要4维空间 （这是多数3维人所习惯的， 将心比心的为平面人考虑考虑吧
）。 你也许想说 虽然1号2号平面膜 是2维的 并且可以看成是2维平面的一部分，但作为球面的一部分 它们是在三维空间粘的。 似乎 粘 是个3维动作， 于是我们便终究离不开三维空间。粘 是个 （至少）3维的行为吗？
什么是粘呢？ 要描述粘嘛， 就是 说清楚 1号平面膜的啥部位 和2号平面膜的啥部位 被等同起来 以及 被粘（等同）起来的部分是被粘成什么东西。
说清楚 粘，我们认为 粘成的橡皮膜球面就确定了。 没有必要非动手去粘不可。
3.2 二维化地描述粘成的橡皮膜球面。(续)
回到粘的问题。要说清楚 1号平面膜的啥部位 和2号平面膜的啥部位 被粘（等同）起来 不需要三维空间。 因为它们是平面膜从而是平面的一部分。
描述 被粘（等同）起来的部分是被粘成什么东西 需要3维吗？
不需要。 1号膜2号膜的公共部分（粘起来的部分）是一根 首尾相接的带子 （想不通请动手做个模型）。也就是说 被粘起来的部分是被粘成 首尾相接的带子。 带子 是2维的。 而且首尾相接 在2维就能实现。
（首尾相接的带子 可以被 摁平在平面上 成为一个圆环。过程中有拉伸挤压，因为是橡皮膜所以是允许的。）3.3 二维化地描述粘成的橡皮膜球面。(完成)
但还有一个问题，首尾相接的带子 中间有一个洞。 这意味着它 无法连续地形变为 1号膜或2号膜（他们没有洞）。这里 连续地形变 指的是 可以拉伸压缩移动旋转， 但不可以撕裂或粘合。不许粘合？ 我们不是要粘东西吗？ 是，但粘东西 是将一些 基本的模块 如1号膜或2号膜 按一定的粘合指示 互相粘起来。 同一个 基本模块 不准 自己粘自己。这规定苛刻吗？ 不苛刻。 如果一片膜 就是想 自己粘自己，那么我们就不再称他为基本模块 而是将它分割为 一些更小的基本模块。
我们希望 基本模块 可以被标准化。 即所有的模块 都可以相互间连续形变 从而 在橡皮膜工程师眼中 都一样的好使。
我们把 1号膜或2号膜 看成是 模块的标准。1号膜和2号膜 都可以 连续形变为 圆盘 （想一下它们的来源就清楚了）。 圆盘 可以被 拉扯为（连续形变为） 长方形。 所以 长方形 也可以作为 标准化的模块。
首尾相接的带子 不是标准化的模块。 但首尾相接的带子 可由两长方形 粘成。 长方形1 的一头 粘 长方形2 的一头， 长方形1 的另一头 粘 长方形2 的另一头。
在粘首尾相接的带子过程中 又出现了 新的 公共部分（粘起来的部分）。有两块， 是两个小长方形。 也就是说 被粘起来的部分是被粘成 两个小长方形。 这意味着 首尾相接的带子 的描述 2维化和标准模块化了。因为 长方形1 和 长方形2 被粘的部分 （长方形1和长方形2的局部） 以及 粘起来后形成的部分（两个小长方形） 都是 2维平面的一部分。而且他们都是 标准模块（长方形）。
就这样 我们发现了 2维化的 标准模块化的 描述 粘成的橡皮膜球面 的办法。
3.4 请再读一遍 3.1到3.3
3.5 内在的粘成的橡皮膜球面
数学家 顺着上面的思路， 干脆把描述替换为定义。 即：
取两圆盘状的 平面膜 （1号膜2号膜）， 指定 被粘的区域， 再指定 被粘的区域 被粘成为 待定义的 首尾相接的带子。首尾相接的带子 则被定义为 指定 长方形1和长方形2的被粘的区域 以及 指定 粘起来后形成的公共部分 为两个小长方形 后 贯彻 粘合指示 粘出来的东西。
以上一段话 本身也是 一个粘合指示 （一个粘合指示 告诉我们 啥东西的啥部位 和啥东西的啥部位 被粘起来 以及被粘成啥东西）。 按此粘合指示 粘出来的东西 就是
内在的橡皮膜球面
整个定义 与 三维空间 毫无关系。
所以我称它为 “内在的”。内在的橡皮膜球面 没有嵌入 任何其他流形（如三维空间）。整个过程 本质上就涉及两种流形：平面 内在的橡皮膜球面。 二者什么关系？ 内在的橡皮膜球面 是由平面的局部 （标准模块）粘成。 标准模块 （圆盘或长方形）从连续形变的角度看 和平面并无区别（标准模块 朝各方向无限拉伸 就成了平面， 反过来说 标准模块 是缩小了的平面）。 因此我们说 内在的橡皮膜球面 局部上 和平面是一样的 （更确切的讲，内在的橡皮膜球面的 局部 就是 平面的局部）。 但 内在的橡皮膜球面 和平面 在整体上是不同的。
注意 内在的橡皮膜球面 和平面一样 是2维的， 维数是从局部上就可以决定的。
再注意 内在的橡皮膜球面 没有 嵌入平面。
挑战：你能从以上定义中 推出 绳子套不住 内在的橡皮膜球面 吗？
（这是以前描述过的 橡皮膜球面的基本属性）。3.6 一个朴素的道理
我前面讲了“说清楚 粘，我们认为 粘成的橡皮膜球面就确定了。 没有必要非动手去粘不可。” 听上去像废话。
其实不是。很多人并没有想通这一点。读了上一节，再回过头来 想想这个道理吧。这个道理 说的是要区分 数学概念与物理实现。 我开始讲的橡皮膜球面 等等 用了物理实现（你可以动手做模型）来说明数学概念。 这仅仅是为了便于理解， 原则上讲是不必要的。比如我说的 “粘” 不必是物理的粘， 说的实际是 要求 被粘的部分 被等同起来。
你应该能够接受以下思维过程：
第一步 一个数学的球面 或三维空间 是可以脱离 物理世界而被定义出来的 （例如：用代数的方法 比如说勾股定理 定义距离 然后 将球面定义为 到固定点距离为1的 点的集合），
第二步 接下来应该论证 这类数学的空间 （如三维空间）是一个 关于物理空间的 好的 可能的 模型。
第三步 在第二步之后 才考虑 某个具体的数学空间 是否可以在现实物理世界中 以空间或空间一部分 的方式 被实现出来。
我说的在理吧。
定义数学的球面时， 你不需要 任何看见或感知它的能力， 用纯粹逻辑推理就够了。 这种抽象定义 的东西未必能够 在物理上实现， 但它有 潜在的物理实现的可能。内在的橡皮膜球面 就是这样的。目前为止 它还是 纯粹数学概念。 但后面我将解释， 以他为代表的流形 可以作为 物理空间的模型。所以 它有潜在的物理实现的可能。
在现阶段 （纯粹数学空间阶段）， 因为和物理时空 尚无瓜葛，内在的橡皮膜球面 无非就是 平面膜 加上 粘合指示。
3.7 流形
流形是 3.5 的推广。 我们先固定 某一维数的欧式空间 （就想 2，3，4维好了）， 然后 发布 一个 只使用 这一维数的欧式空间中的一些部分的 一个粘合指示。这样 定义出来的 粘合物 就叫流形。 它的维数 等于 那欧式空间的维数。
如果 取了 某一维数的欧式空间 把它看成 自身中的一部分 但却采用平凡的粘法：啥也不粘， 我们就得到 该欧式空间本身。 所以 2/3/4 维欧式空间都是流形。（2维欧式空间就是平面）
要点有二：第一，流形不必嵌入（包含于）另一流形。 不要以为它嵌入定义时用的欧式空间。 想一想 内在的粘成的橡皮膜球面。 定义时用的欧式空间是平面。
第二， 局部上 流形等同于 欧式空间（平面，3维空间，4维空间等）一部分，但整体上未必。 比如 内在的粘成的橡皮膜球面 和平面 在整体上是不一样的。
如果理解不了这一段，光理解 内在的（粘成的）橡皮膜球面 也差不多够了。
3.8 第一座高峰
本文的要点是， 一个几何的对象 （流形）是可以 “内在的” 存在的。 它是以 局部的 更基本的几何对象（欧式空间） 粘出来的 一个 整体的东西。它和局部的几何对象 维数一样。
如果到目前为止 你脑子尚未发懵， 那么恭喜你， 你已攀上了 获取较可靠时空观 征途上的 第一座高峰。
按我的估计， 你需要攀 四座高峰。 相邻两座之间的落差 大体上 和第一座高峰和你开始时状态的落差 差不多。怎么样？ 不入虎穴，焉得虎子。
如果还有勇气和胃口的话， 请继续阅读。待续
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