mit 季候风 四维欧氏空间，有无穷多个“微分结构”,流形上有 ...
blog.sina.com.cn/s/blog_a582cd40010183cf.html
轉為繁體網頁
2012年8月6日 - mit 季候风 四维欧氏空间，有无穷多个“微分结构”,流形上有无穷多种“整体微积分”可做_phymath_all_quoted_新浪博客,phymath_all_quoted,轉為繁體網頁
季候风 Witten 研究共形场论，自由的一分量手征费米子，其共 ...
blog.sina.com.cn/s/blog_a582cd40010183c1.html - 轉為繁體網頁
2012年8月6日 - 季候风 Witten 研究共形场论，自由的一分量手征费米子，其共形场在经典意义下 ... 共形场论是只依赖于时空的共形结构或者保角结构的场论。 ... 比如，经典“共形场” 可以看作“微分”，共形场的“权” 就是微分的“次数”，比如 \phi(z) (dz)^2 ...科学松鼠会» 拓扑学简介（四）—— 流形
songshuhui.net › 数学
轉為繁體網頁
季候风 发表于2009-12-30 13:20 | Tags 标签：n 维流形, 原创, 拓扑学, 黎曼 .... 所有(轉為繁體網頁
微分拓扑和庞加莱猜想
www.changhai.org › 繁星客栈
轉為繁體網頁
轉為繁體網頁
2006年6月18日 - 10 篇文章 - 3 位作者
微分结构和拓扑结构的相容性也是微分拓扑研究的一个重点。这个问题之 ... 季候风. 发表文章数: 291 武功等级: 太极剑法(第四重) 内力值: 370/370.科学网—[转载]拓扑学简介(4) - 李铁萌的博文 - 科学网—博客
blog.sciencenet.cn/blog-376241-363015.html
轉為繁體網頁
2010年9月14日 - by 季候风<BR>转自—— 科学松鼠 ... 也就是所有 (x,y,z,t) 这样的数组组成的空间，轉為繁體網頁
拓扑学简介（摘自科学松鼠会原作者季候风） - 小站
zhan.renren.com/mathphy?gid=3602888498002793780 - 轉為繁體網頁
拓扑学简介（摘自科学松鼠会原作者季候风） .... 虽然后来化学周期表更好地被理解为原子内部结构，但开尔文列举的这几个证据都能在新兴的弦论中 ..... 也就是所有(x,y,phymath999: diffgeom01 topology01 微分结构和拓扑结构的 ...
phymath999.blogspot.com/2013/03/123_6.html
轉為繁體網頁
2013年3月6日 - 对于一般的微分流形，当空间维数为1，2，3时，空间上的相容微分结构是 ... 季候风 发表文章数: 291 武功等级: 太极剑法 (第四重) 内力值: 370/370.轉為繁體網頁
季候风"物理/数学对偶"词典 - 热点讨论主题 - 文学城
bbs.wenxuecity.com › 论坛 › 音乐快递
轉為繁體網頁
2011年1月17日 - 季候风： 有时候物理理论和数学理论研究类似的对象, 但是由于各自 ..... Spin 结构轉為繁體網頁
Strongart：微分几何部分的学习小结
来自: Strongart(科幻数学家与萌男哲学家) 2010-04-07 18:46:44
最近我在网上看了梁灿彬教授的微分几何与广义相对论视频讲座，感觉不错就顺便买了本教材，前几天正好把前面的微分几何学完了。尽管他主要是对物理系的学生讲的，像单位分解之类的大定理都没有证明，但很多地方还是颇有心得，下面我就简单小结一下。
书中比较注重微分几何理论与经典分析理论之间联系，即作者所说的“天地连通”。先是对dx做了微分形式的解释，避免了很多无聊的哲学争论，然后用微分形式的积分定义流形上函数的积分，这就对经典积分做了全新的解释，还把经典的积分公式推广为Stokes theory与Gauss law，特别对沿边界积分做了一个沿切向分量的细致解释。最让人欣慰还是用微分几何的语言重述R^3中的场论，如何借助对偶与*算子解释了R^3中为什么没有出现微分形式，比如矢量的叉积其实就是先作用Hodge*再作用外积：×=∧·*，最后用外微分做了刻画grad、curl与div，借助于Poincare lemma可以轻松的证明了“无旋场必可表梯度”、“无散场必可表旋度”。
既然讲述微分几何，对张量语言想必是非常关注的。作者先给出了一个“张量面面观”，清楚的解释了张量作为函数、作为向量空间之间的映射与对偶空间之间的映射这三种观点的转化与联系，避免了只把张量当成满足相应关系的一堆数初级见解。在此观点的影响下，作者特别讨论的张量的抽象指标记法，借助此记法给出了几个常用运算关系，这对后面的计算化简是非常有帮助的。
作者特别讨论了Christoffel symbol是不是张量的问题。很多书中是直接通过坐标基协变导数的展开系数来引入Christoffel symbol，然后发现它不满足张量变换律，就说它不是一个张量，有些书为了防止惯性思维还要特强调一下。但作者却是先讨论了协变导数差的局部不变性，给出一个一般的张量C，然后把其中一个协变导数取为普通导数，得到的Christoffel symbol也就自然成为张量了。这里说它是张量是先取定一个坐标系，然后它在此坐标系下的分量表现对其他坐标系满足张量法则，如果没有取定坐标系笼统的看，它自然是不成为张量的。因此我们在说Christoffel symbol是张量的时候，最好要加一句它是依赖于坐标系的张量。
顺便谈一下关于坐标系的问题，书中着重讨论了坐标系主动观点与被动观点的一致性，也就是说点之间的主动变换可以通过拉回等价于坐标系之间的变换。在Lorenz坐标系中，所谓的伪转动（boost）本质上就是狭义相对论中Lorenz变换，其欧式空间的类比则是转动对应着正交变换。
既然是为相对论准备的微分几何，那么似乎更侧重于一般的pseudo-Riemann space，其中有一些在普通的Riemann geometry见不到的怪异性质。一般Riemann manifold中的度量到了pseudo-Riemann manifold中称为度规，它可正可负也可以对非零向量取零，由此得到相应的类空、类时与类光向量。对于某个空间的超曲面而言，其类光向量（null vector）作为法向量是可以位于切平面之内的，而类光超曲面上是没有诱导度规的。最大的挑战还在于测地线的最短性，这里主要不是指Riemann geometry中因为越过共轭点而造成对整体最短性的破坏，而是由更本质的线元可负导致结果。事实上，对于类时测地线而言，它恰恰就是（局部）最长的，利用这一点可以轻松的解释相对论中的双生子详谬。
有些人可能会觉得微分几何部分太简略了，但视频中讲到这只是后面讲相对论中最必要的，其他的部分可以在讲到相关理论的时候随时补充。目前我刚看完尺缩钟慢、双生子效应，用几何语言能够轻松的搞定，感觉还是非常令人兴奋的，等以后有了心得再文章哈~
书中比较注重微分几何理论与经典分析理论之间联系，即作者所说的“天地连通”。先是对dx做了微分形式的解释，避免了很多无聊的哲学争论，然后用微分形式的积分定义流形上函数的积分，这就对经典积分做了全新的解释，还把经典的积分公式推广为Stokes theory与Gauss law，特别对沿边界积分做了一个沿切向分量的细致解释。最让人欣慰还是用微分几何的语言重述R^3中的场论，如何借助对偶与*算子解释了R^3中为什么没有出现微分形式，比如矢量的叉积其实就是先作用Hodge*再作用外积：×=∧·*，最后用外微分做了刻画grad、curl与div，借助于Poincare lemma可以轻松的证明了“无旋场必可表梯度”、“无散场必可表旋度”。
既然讲述微分几何，对张量语言想必是非常关注的。作者先给出了一个“张量面面观”，清楚的解释了张量作为函数、作为向量空间之间的映射与对偶空间之间的映射这三种观点的转化与联系，避免了只把张量当成满足相应关系的一堆数初级见解。在此观点的影响下，作者特别讨论的张量的抽象指标记法，借助此记法给出了几个常用运算关系，这对后面的计算化简是非常有帮助的。
作者特别讨论了Christoffel symbol是不是张量的问题。很多书中是直接通过坐标基协变导数的展开系数来引入Christoffel symbol，然后发现它不满足张量变换律，就说它不是一个张量，有些书为了防止惯性思维还要特强调一下。但作者却是先讨论了协变导数差的局部不变性，给出一个一般的张量C，然后把其中一个协变导数取为普通导数，得到的Christoffel symbol也就自然成为张量了。这里说它是张量是先取定一个坐标系，然后它在此坐标系下的分量表现对其他坐标系满足张量法则，如果没有取定坐标系笼统的看，它自然是不成为张量的。因此我们在说Christoffel symbol是张量的时候，最好要加一句它是依赖于坐标系的张量。
顺便谈一下关于坐标系的问题，书中着重讨论了坐标系主动观点与被动观点的一致性，也就是说点之间的主动变换可以通过拉回等价于坐标系之间的变换。在Lorenz坐标系中，所谓的伪转动（boost）本质上就是狭义相对论中Lorenz变换，其欧式空间的类比则是转动对应着正交变换。
既然是为相对论准备的微分几何，那么似乎更侧重于一般的pseudo-Riemann space，其中有一些在普通的Riemann geometry见不到的怪异性质。一般Riemann manifold中的度量到了pseudo-Riemann manifold中称为度规，它可正可负也可以对非零向量取零，由此得到相应的类空、类时与类光向量。对于某个空间的超曲面而言，其类光向量（null vector）作为法向量是可以位于切平面之内的，而类光超曲面上是没有诱导度规的。最大的挑战还在于测地线的最短性，这里主要不是指Riemann geometry中因为越过共轭点而造成对整体最短性的破坏，而是由更本质的线元可负导致结果。事实上，对于类时测地线而言，它恰恰就是（局部）最长的，利用这一点可以轻松的解释相对论中的双生子详谬。
有些人可能会觉得微分几何部分太简略了，但视频中讲到这只是后面讲相对论中最必要的，其他的部分可以在讲到相关理论的时候随时补充。目前我刚看完尺缩钟慢、双生子效应，用几何语言能够轻松的搞定，感觉还是非常令人兴奋的，等以后有了心得再文章哈~
No comments:
Post a Comment