假如量度速度向量時不用歐氏度量，而是用隨點變動的內積
< >x，我們還是可以定義動能
。
在空間每一點都可以變動的內積，即是說給出了黎曼度量，可以寫作一個張量 。
而上述的動能可以寫成
。
研究這種內積的幾何學叫做黎曼幾何，它推廣了歐氏幾何、雙曲幾何和橢圓幾何。
霍奇對偶- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia
https://zh.wikipedia.org/zh-hk/霍奇对偶
利用在定義列維-奇維塔張量中同一個內積g 上升和下降指標。 ... 在一個n-維定向黎曼或偽黎曼流形上每一點的切空間上可以重複如上構造，將得到k-形式的霍奇對偶，[PPT]近代幾何的發展 丘成桐香港中文大學數學科學研究所
www.cms.zju.edu.cn/UploadFiles/AttachFiles/20054411421524.ppt
假如量度速度向量時不用歐氏度量，而是用隨點變動的內積< >x，我們還是可以定義沿着G-軌道必須是常值，這便是說對任何元素h ∈ G 以及一對向量場 X,Y ...
[WML]搜狗百科
o.baike.m.sogou.com/baike/fullLemma.jsp?lid=8415664&sid...
⒉如果赋范线性空间作为（由其范数自然诱导度量d(x,y)=║xy║的）度量空间是完备的，即任何柯西(Cauchy）序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿 ...集合上的任一距离会诱导一个拓扑, 但是在黎曼流形上早就预先设定了一个拓扑, 所以如果这个有黎曼度量定义出来的距离诱导的拓扑最好与原来设定的拓扑是同一个拓扑
季候风 发表文章数: 262 内力值: 310/310 贡献度: 3398 人气: 154    |  Re: 关于黎曼流形 [文章类型: 原创]
当我们谈论一个流形, 总是假定它已经是一个拓扑空间. 其它添加的结构必须与这个预先存在的拓扑相容.
如果要谈黎曼流形, 首先要在流形上加一个微分结构, 它与原来拓扑的相容性没有问题 --- 微分结构的定义本身依赖于预先存在的拓扑; 然后再指定一个二阶正定对称光滑张量场 g; 黎曼度量 g 的一个重要作用是可以用来定义流形上曲线的长度, 这样两点之间的距离可以定义连接两点所有曲线长度的下确界, 这样就在流形的底集合上定义了一个 "距离"; 集合上的任一距离会诱导一个拓扑, 但是在黎曼流形上早就预先设定了一个拓扑, 所以如果这个有黎曼度量定义出来的距离诱导的拓扑最好与原来设定的拓扑是同一个拓扑, 所以标准的黎曼几何教材上都会就这个问题进行讨论, 而事实上新拓扑的确就是旧拓扑. 这样我们在谈论黎曼流形的时候, 连续性就没有任何歧义: 既可以用局部坐标来表达连续性, 又可以用距离来表达连续性. 在英文里, 赋予了 "距离" 的集合传统上叫做 "metric space", 这个距离传统上也叫 metric. 但是近些年由于黎曼几何在数学各个分支的渗透, 它越来越成为更基础的课程. 这样为了避免初学者混淆概念, 很多新写的教材上把原来的 "metric space" 的 "metric" 称为 "distance". 中文就更方便了, 即便把 "度量空间" 改叫做 "距离空间" 也颇为顺口. 为了强调 g 这个 "metric" 跟距离的不同, 一般都会强调说这是一个 "Riemannian metric" 而不仅仅简单叫它 "metric". 近几十年经过 Gromov 等人的工作, 很多原来在黎曼流形上研究的对象, 工具和问题, 现在已经成功地移植到了性质比较接近黎曼流形的距离空间.
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| 季候风 发表文章数: 262 内力值: 310/310 贡献度: 3398 人气: 154 | Re: 关于黎曼流形 [文章类型: 原创]
更正: 上一贴第三行 "定义" 应该是 "定义为"
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| 枭雄 发表文章数: 6 内力值: 74/74 贡献度: 36 人气: 28 | Re: 关于黎曼流形 [文章类型: 原创]
非常感谢各位前辈的指导！由于非钻研数学之人，所以对某些概念的理解比较肤浅！
因为有界只对度量空间有意义，在拓扑学的教材里，只是说度量可以自然地诱导出拓扑，而一般拓扑空间的拓扑结构并非都可以由度量诱导而来。 实际上我遇到的问题是紧致黎曼流形的有界性，现在按照我对各位前辈之言的理解，说紧致黎曼流形有界应该没有问题吧！ 当然还有个地方觉得比较神奇，不知我的理解对否： 黎曼流形M，某点x处的切空间TxM，切空间集合TM。按照各位前辈的说法，黎曼度量是定义在TM上，却可以用来定义M上两点之间的距离！而如果把这个距离说成是M上的一个度量，那这个度量和黎曼度量不是一回事！
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| 季候风 发表文章数: 262 内力值: 310/310 贡献度: 3398 人气: 154 | Re: 关于黎曼流形 [文章类型: 原创]
黎曼度量的实质是在流形每一点的切空间定义了一个内积.
它在整个切丛上没有意义. PDF]px - eThesys 國立中山大學學位論文服務
etd.lib.nsysu.edu.tw/ETD-db/ETD-search/getfile?URN=etd...etd...
由 L Ng 著作 - 2007
多組曲率來搭配與描述形成，也就是其表面上每一點曲率不盡相同。隨著. 時代的進步，產品日新月異，科技的發達程度遠遠超過上個世紀。但因科. 技發展的高度競爭， ...mit 季候风 四维欧氏空间，有无穷多个“微分结构”,流形上有 ...
blog.sina.com.cn/s/blog_a582cd40010183cf.html
2012年8月6日 - mit 季候风 四维欧氏空间，有无穷多个“微分结构”,流形上有无穷多种“整体微积分”可做_phymath_all_quoted_新浪博客,phymath_all_quoted,轉為繁體網頁 季候风 Witten 研究共形场论，自由的一分量手征费米子，其共 ...
blog.sina.com.cn/s/blog_a582cd40010183c1.html - 轉為繁體網頁
2012年8月6日 - 季候风 Witten 研究共形场论，自由的一分量手征费米子，其共形场在经典意义下 ... 共形场论是只依赖于时空的共形结构或者保角结构的场论。 ... 比如，经典“共形场” 可以看作“微分”，共形场的“权” 就是微分的“次数”，比如 \phi(z) (dz)^2 ...科学松鼠会» 拓扑学简介（四）—— 流形
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季候风 发表于2009-12-30 13:20 | Tags 标签：n 维流形, 原创, 拓扑学, 黎曼 .... 所有(轉為繁體網頁 微分拓扑和庞加莱猜想
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2006年6月18日 - 10 篇文章 - 3 位作者
微分结构和拓扑结构的相容性也是微分拓扑研究的一个重点。这个问题之 ... 季候风. 发表文章数: 291 武功等级: 太极剑法(第四重) 内力值: 370/370.科学网—[转载]拓扑学简介(4) - 李铁萌的博文 - 科学网—博客
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2010年9月14日 - by 季候风<BR>转自—— 科学松鼠 ... 也就是所有 (x,y,z,t) 这样的数组组成的空间，轉為繁體網頁 拓扑学简介（摘自科学松鼠会原作者季候风） - 小站
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拓扑学简介（摘自科学松鼠会原作者季候风） .... 虽然后来化学周期表更好地被理解为原子内部结构，但开尔文列举的这几个证据都能在新兴的弦论中 ..... 也就是所有(x,y,phymath999: diffgeom01 topology01 微分结构和拓扑结构的 ...
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2013年3月6日 - 对于一般的微分流形，当空间维数为1，2，3时，空间上的相容微分结构是 ... 季候风 发表文章数: 291 武功等级: 太极剑法 (第四重) 内力值: 370/370.轉為繁體網頁 季候风"物理/数学对偶"词典 - 热点讨论主题 - 文学城
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2011年1月17日 - 季候风： 有时候物理理论和数学理论研究类似的对象, 但是由于各自 ..... Spin 结构轉為繁體網頁 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （3） [ changshou ] 于:2012-02-07 16:02:44 复:3659016
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （3）什么是流形？（续2）
提示：我的最终目的是 帮助大家建立一个大致靠谱的 现代物理中的时空观。但目前我仍在描述 描述时空的 几何语言。 （注意我的断句  ）。所以大家要试着不想现实的时空 而专注于我描述的几何语言 本身。 （更多讨论见3.6）3.1 二维化地描述粘成的橡皮膜球面。(初步) 上一节的要点是 橡皮膜球面 是平面膜粘成的。 尽管我们一开始描述的 两块橡皮膜 不是在平面上的，但我们完全可以逆转 把它们压扁为 平面膜 的过程。 可以认为 我们一开始有的 就是两块平面膜。直到接到 粘合的指示后 再把它们扯到三维空间中 去粘。 平面膜是平面上的东西。 谈平面上的东西 不需要3维空间。 就像谈3维空间中的东西 不需要4维空间 （这是多数3维人所习惯的， 将心比心的为平面人考虑考虑吧  ）。 你也许想说 虽然1号2号平面膜 是2维的 并且可以看成是2维平面的一部分，但作为球面的一部分 它们是在三维空间粘的。 似乎 粘 是个3维动作， 于是我们便终究离不开三维空间。粘 是个 （至少）3维的行为吗？ 什么是粘呢？ 要描述粘嘛， 就是 说清楚 1号平面膜的啥部位 和2号平面膜的啥部位 被等同起来 以及 被粘（等同）起来的部分是被粘成什么东西。 说清楚 粘，我们认为 粘成的橡皮膜球面就确定了。 没有必要非动手去粘不可。 3.2 二维化地描述粘成的橡皮膜球面。(续) 回到粘的问题。要说清楚 1号平面膜的啥部位 和2号平面膜的啥部位 被粘（等同）起来 不需要三维空间。 因为它们是平面膜从而是平面的一部分。 描述 被粘（等同）起来的部分是被粘成什么东西 需要3维吗？ 不需要。 1号膜2号膜的公共部分（粘起来的部分）是一根 首尾相接的带子 （想不通请动手做个模型）。也就是说 被粘起来的部分是被粘成 首尾相接的带子。 带子 是2维的。 而且首尾相接 在2维就能实现。 （首尾相接的带子 可以被 摁平在平面上 成为一个圆环。过程中有拉伸挤压，因为是橡皮膜所以是允许的。）3.3 二维化地描述粘成的橡皮膜球面。(完成) 但还有一个问题，首尾相接的带子 中间有一个洞。 这意味着它 无法连续地形变为 1号膜或2号膜（他们没有洞）。这里 连续地形变 指的是 可以拉伸压缩移动旋转， 但不可以撕裂或粘合。不许粘合？ 我们不是要粘东西吗？ 是，但粘东西 是将一些 基本的模块 如1号膜或2号膜 按一定的粘合指示 互相粘起来。 同一个 基本模块 不准 自己粘自己。这规定苛刻吗？ 不苛刻。 如果一片膜 就是想 自己粘自己，那么我们就不再称他为基本模块 而是将它分割为 一些更小的基本模块。 我们希望 基本模块 可以被标准化。 即所有的模块 都可以相互间连续形变 从而 在橡皮膜工程师眼中 都一样的好使。  我们把 1号膜或2号膜 看成是 模块的标准。1号膜和2号膜 都可以 连续形变为 圆盘 （想一下它们的来源就清楚了）。 圆盘 可以被 拉扯为（连续形变为） 长方形。 所以 长方形 也可以作为 标准化的模块。 首尾相接的带子 不是标准化的模块。 但首尾相接的带子 可由两长方形 粘成。 长方形1 的一头 粘 长方形2 的一头， 长方形1 的另一头 粘 长方形2 的另一头。 在粘首尾相接的带子过程中 又出现了 新的 公共部分（粘起来的部分）。有两块， 是两个小长方形。 也就是说 被粘起来的部分是被粘成 两个小长方形。 这意味着 首尾相接的带子 的描述 2维化和标准模块化了。因为 长方形1 和 长方形2 被粘的部分 （长方形1和长方形2的局部） 以及 粘起来后形成的部分（两个小长方形） 都是 2维平面的一部分。而且他们都是 标准模块（长方形）。 就这样 我们发现了 2维化的 标准模块化的 描述 粘成的橡皮膜球面 的办法。  3.4 请再读一遍 3.1到3.3 3.5 内在的粘成的橡皮膜球面 数学家 顺着上面的思路， 干脆把描述替换为定义。 即： 取两圆盘状的 平面膜 （1号膜2号膜）， 指定 被粘的区域， 再指定 被粘的区域 被粘成为 待定义的 首尾相接的带子。首尾相接的带子 则被定义为 指定 长方形1和长方形2的被粘的区域 以及 指定 粘起来后形成的公共部分 为两个小长方形 后 贯彻 粘合指示 粘出来的东西。 以上一段话 本身也是 一个粘合指示 （一个粘合指示 告诉我们 啥东西的啥部位 和啥东西的啥部位 被粘起来 以及被粘成啥东西）。 按此粘合指示 粘出来的东西 就是 内在的橡皮膜球面 整个定义 与 三维空间 毫无关系。  所以我称它为 “内在的”。内在的橡皮膜球面 没有嵌入 任何其他流形（如三维空间）。整个过程 本质上就涉及两种流形：平面 内在的橡皮膜球面。 二者什么关系？ 内在的橡皮膜球面 是由平面的局部 （标准模块）粘成。 标准模块 （圆盘或长方形）从连续形变的角度看 和平面并无区别（标准模块 朝各方向无限拉伸 就成了平面， 反过来说 标准模块 是缩小了的平面）。 因此我们说 内在的橡皮膜球面 局部上 和平面是一样的 （更确切的讲，内在的橡皮膜球面的 局部 就是 平面的局部）。 但 内在的橡皮膜球面 和平面 在整体上是不同的。  注意 内在的橡皮膜球面 和平面一样 是2维的， 维数是从局部上就可以决定的。 再注意 内在的橡皮膜球面 没有 嵌入平面。 挑战：你能从以上定义中 推出 绳子套不住 内在的橡皮膜球面 吗？  （这是以前描述过的 橡皮膜球面的基本属性）。3.6 一个朴素的道理 我前面讲了“说清楚 粘，我们认为 粘成的橡皮膜球面就确定了。 没有必要非动手去粘不可。” 听上去像废话。  其实不是。很多人并没有想通这一点。 读了上一节，再回过头来 想想这个道理吧。这个道理 说的是要区分 数学概念与物理实现。 我开始讲的橡皮膜球面 等等 用了物理实现（你可以动手做模型）来说明数学概念。 这仅仅是为了便于理解， 原则上讲是不必要的。比如我说的 “粘” 不必是物理的粘， 说的实际是 要求 被粘的部分 被等同起来。 你应该能够接受以下思维过程： 第一步 一个数学的球面 或三维空间 是可以脱离 物理世界而被定义出来的 （例如：用代数的方法 比如说勾股定理 定义距离 然后 将球面定义为 到固定点距离为1的 点的集合）， 第二步 接下来应该论证 这类数学的空间 （如三维空间）是一个 关于物理空间的 好的 可能的 模型。 第三步 在第二步之后 才考虑 某个具体的数学空间 是否可以在现实物理世界中 以空间或空间一部分 的方式 被实现出来。 我说的在理吧。 定义数学的球面时， 你不需要 任何看见或感知它的能力， 用纯粹逻辑推理就够了。 这种抽象定义 的东西未必能够 在物理上实现， 但它有 潜在的物理实现的可能。内在的橡皮膜球面 就是这样的。目前为止 它还是 纯粹数学概念。 但后面我将解释， 以他为代表的流形 可以作为 物理空间的模型。所以 它有潜在的物理实现的可能。 在现阶段 （纯粹数学空间阶段）， 因为和物理时空 尚无瓜葛，内在的橡皮膜球面 无非就是 平面膜 加上 粘合指示。 3.7 流形 流形是 3.5 的推广。 我们先固定 某一维数的欧式空间 （就想 2，3，4维好了）， 然后 发布 一个 只使用 这一维数的欧式空间中的一些部分的 一个粘合指示。这样 定义出来的 粘合物 就叫流形。 它的维数 等于 那欧式空间的维数。 如果 取了 某一维数的欧式空间 把它看成 自身中的一部分 但却采用平凡的粘法：啥也不粘， 我们就得到 该欧式空间本身。 所以 2/3/4 维欧式空间都是流形。（2维欧式空间就是平面） 要点有二：第一，流形不必嵌入（包含于）另一流形。 不要以为它嵌入定义时用的欧式空间。 想一想 内在的粘成的橡皮膜球面。 定义时用的欧式空间是平面。 第二， 局部上 流形等同于 欧式空间（平面，3维空间，4维空间等）一部分，但整体上未必。 比如 内在的粘成的橡皮膜球面 和平面 在整体上是不一样的。 如果理解不了这一段，光理解 内在的（粘成的）橡皮膜球面 也差不多够了。 3.8 第一座高峰 本文的要点是， 一个几何的对象 （流形）是可以 “内在的” 存在的。 它是以 局部的 更基本的几何对象（欧式空间） 粘出来的 一个 整体的东西。它和局部的几何对象 维数一样。 如果到目前为止 你脑子尚未发懵， 那么恭喜你， 你已攀上了 获取较可靠时空观 征途上的 第一座高峰。  按我的估计， 你需要攀 四座高峰。 相邻两座之间的落差 大体上 和第一座高峰和你开始时状态的落差 差不多。怎么样？ 不入虎穴，焉得虎子。  如果还有勇气和胃口的话， 请继续阅读。待续 |
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