如上所述，最早生命之间有自适应，即不会发生相互冲突与扼杀的现象，每一条线形分子生命都能生长与繁殖，这意味着：在纵向上路径的两端能不受阻挡地自由延伸以便线形分子生长，这也表示通过一点只有唯一的路径，或者说，两条路径相交则必重合。在侧向上，每一条路径四周不会被其它路径团团封死，不致失去繁殖的机会
微分几何科普(1):浅谈度规和曲率
微分几何科普(1):浅谈度规和曲率
| 论坛嘉宾: 萍踪浪迹 gauge 季候风 |
萍踪浪迹 发表文章数: 1051 内力值: 453/453 贡献度: 9137 人气: 1200     |  微分几何科普(1):浅谈度规和曲率 [文章类型: 原创]
微分几何科普(1):浅谈度规和曲率
Shanqin（萍踪浪迹） 前言：从现在开始，写一些大学理科生可以轻松看得懂的科普帖子,作出的牺牲就是让其他更高学历的人看起来很平庸.从现在开始,要把看起来要写比较长的文章分开写，不在一个帖子里搞连载。这样主要是为了避免没有时间续写自己的主题而让自己的帖子变成TJ帖（啥叫TJ呢？就是和DJ有一定联系的……）。 正文：初步的微分几何,必须掌握基本的曲线论,必须适应以弧长为参数的方程.Frenet公式是曲线论基本公式, Frenet标架是活动标架在曲线时的特殊情形.两条曲率和挠率都一样的曲线可以通过刚体运动重合在一起,这是曲线论基本定理.曲线的内蕴曲率为零。所以所有曲线都可以拉直而不改变其上任意两点间弧长.我们知道,曲面论中这一点通常不能成立,除非此曲面可以等距映射为平面,我们称这种可以和平面进行等距映射的曲面为平坦曲面,如柱面. 因此,我们必须深入研究曲面的曲率问题,首先要熟悉曲线坐标,在切平面上讨论问题,这个是整个微分几何的基础.因为即使到高维情形,我们仍要讨论切空间及其上的Levi-Civita联络. 在切平面上任意点引入切矢量基(du,dv),切向量在这个基下的分量则为r_u,r_v,定义切向量内积系数: E=< r_u. r_u>=g_11, F=< r_u. r_v>=< r_v. r_u>=g_12, G=< r_v. r_v>=g_22, 这三个量就是极其重要的度量(度规)系数. 曲面的第一基本形式于是可以写成: Ⅰ=<dr.dr>=Edudu+2Fdudv+Gdvdv=g_ijdu_idu_j 最后一式我们将du,dv写成du_1,du_2,i,j取值为1,2,这里采用了Einstein求和约定:重复指标自动求和.这样的符号约定和求和约定可以让我们轻松将2维情形推广到n维流形的n维切空间,其上切向量内积系数(度量系数)就是g_ij(i,j=1,2,…,n),若n等于4,就是广义相对论中的度规张量情形. 我们开始讨论曲面的第二基本形式.引入曲面上任意点的法向量n,定义两点间法向量的变化: dn=n_udu+n_vdv. 其中n_u,n_v为dn在基(du,dv)下的展开系数.则我们可以定义内积: L=-< r_u. n_u>=h_11 M=-< r_u. n_v>=< r_v. n_u>h_12 N=-< r_v. n_v>=h_22 L,M,N(h_11, h_12, h_22)称为第二形式基本量,于是第二基本形式可以写成: Ⅱ= -<dr.dn>= Ldudu+2Mdudv+Ndvdv= h_ijdu_idu_j. 最后一个等式采用的符号和求和约定同上. 第一基本形式决定了曲面的内蕴结构,以后我们会发现,联络系数(Christoffel符号)由度规张量和度规张量的一次导数决定,而曲面的Gauss曲率(广而言之,流形的Riemann截面曲率)由联络系数及其一阶导数决定. 什么是Gauss曲率和Riemann截面曲率? 我们可以从曲面的法曲率出发,定义主曲率.我们想象拿着一把刀,贴着曲面上某点(u,v)的法线往下切,在曲面上切出一条曲线,这条曲线的曲率就是曲面在该点(u,v)沿(du,dv)方向的法曲率.如果想象我们切一个椭球面,在同一点贴着法线,沿不同方向切下去,切出的所有曲线(称为法截线,相应的这一刀所在的平面称为法截面)的曲率不一定一样.我们把这些曲线的曲率进行比较,最大和最小的法曲率称为主曲率,记为k_1, k_2.这两个法曲率对应的法截线必定垂直. 定义Gauss曲率为k_1, k_2的乘积:K= k_1.k_2. 若K=0,则曲面必然平坦. 定义平均曲率为k_1, k_2的算术平均: H=( k_1+_2)/2.若H=0,则该曲面就是极小曲面. Gauss绝妙定理指出, Gauss曲率K在曲面的等距变换下保持不变.即曲面的内蕴性质由第一基本形式决定决定,与它在外围空间中的形状无关.而曲面的第二基本形式则决定了曲面在外围空间中的形状.这些结论可以可以推广到高维空间中的超曲面(维数比外围空间低一的曲面称为超曲面). 1854年Riemann推广了Gauss的想法,将抽象曲面研究推广到高维抽象弯曲空间(流形)进行研究.在高维情形,我们将面对切空间.与前面类似,我们定义度规系数g_ij(i,j=1,2,…,n),此时我们可以让其他方向都退化,留下两个方向,用曲面论观点看问题.这样就可以将Gauss曲率搬到这里,由于方向很多,我们将面对不止一个的Gauss曲率,我们将这些曲率称为Riemann截面曲率.显然,当弯曲空间为2维曲面时, Riemann截面曲率就是Gauss曲率. Riemann截面曲率为常数的空间称为常曲率空间,如果这个常曲率空间是单连通的,我们就称为“空间形式”,最重要的三种空间形式分别是正曲率的球空间,零曲率的欧空间,负曲率的双曲空间. Riemann在世时,并未将这个想法进行详细发展,后世的Christoffel进行了很大的扩充,这个曲率由Christoffel符号的导数和乘积表示, 所以Riemann截面曲率也称为Riemann-Christoffel曲率. 将Riemann截面曲率缩并(取迹,即让R_ijkl中的两个字母相同而求和),就得到了Ricci曲率R_ij,将Ricci曲率缩并,就得到标量曲率(数量曲率,纯量曲率)R. 这些概念在后来Einstein创立的引力论(GR)之中都成为核心概念.GR确定了时空曲率和物质分布的关系.其基本方程就是Einstein方程: R_ij-1/2 R g_ij+Λg_ij=8πT_ij 其中R_ij为时空的Ricci曲率,R为时空的标量曲率, g_ij为时空的度规张量. Λ为宇宙学常数, T_ij为物质的物质的能-动张量.我们可以记G_ij=R_ij-1/2 R g_ij, G_ij就是通常所说的Einstein张量. 因此我们研究四维时空时,只要知道它的度规张量(第一基本形式系数),就可以直接以这个四维时空为研究对象,而不用考虑将这个时空嵌入更高维数的空间进行研究.所以不管是Minkowski空间,de Sitter空间还是反de Sitter空间,都是写成度规后进行研究. 但是在很多时候,我们要研究时空中的超曲面. 即使是de Sitter空间和反de Sitter空间,我们也可以将它们分别嵌入五维欧氏空间R^5里面的双曲面. 而在广义相对论中我们以Lorentz流形作为基本研究框架(尽管我们可以赋予时空其他形式的度规结构,但是我们最经常使用的还是Lorentz度规.)我们通常要研究Lorentz流形中的类空超曲面M^3,为了研究其上的内蕴特征和外在特征在时间演化下的变化,就必须引入初始数据集(M^3,g_ij, h_ij),此处g_ij, h_ij分别为M^3上的度规张量和第二基本形式量. g_ij和h_ij必须满足的相容性条件是著名的Gauss-Codazzi方程.因为 Gauss-Codazzi方程是(超)曲面存在的充分必要条件.因此可见看似初等的微分几何曲面论中的一些概念在广义相对论的现代研究中实际上是非常重要的. 
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| 萍踪浪迹 发表文章数: 1051 内力值: 453/453 贡献度: 9137 人气: 1200 | Re: 微分几何科普(1):浅谈度规和曲率 [文章类型: 原创]
但是在很多时候,我们要研究时空中的超曲面. 即使是de Sitter空间和反de Sitter空间,我们也可以将它们分别嵌入五维欧氏空间R^5里面的双曲面.
=================================================== 昌海兄，请将上面这一段替换成下面这一段，然后删除此回帖： 但是在很多时候,我们要研究时空中的超曲面. 即使是de Sitter空间和反de Sitter空间,我们也可以将它们分别嵌入五维伪欧氏空间（pseudo-Euclidean spaces）R^5里面的双曲面。dS空间嵌入的是号差为（-，+，+，+，+）的伪欧氏空间，AdS空间嵌入的是号差为（-，-，+，+，+）的伪欧氏空间.另外，1933年时，Robertson证明了Einstein静态时空也可以嵌入号差为（-，+，+，+，+）的伪欧氏空间。
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卢昌海 发表文章数: 768 内力值: 416/416 贡献度: 7898 人气: 1737  | Re: 微分几何科普(1):浅谈度规和曲率 [文章类型: 原创]
这篇文章中由于有一些“<”符号， 在修改过程中会被系统错当成 HTML Tag， 因此只好不改了。 不过在文集版本中我会进行上述替换的。
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
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Zhangshizhuo 发表文章数: 71 内力值: 132/132 贡献度: 674 人气: 55 | Re: 微分几何科普(1):浅谈度规和曲率 [文章类型: 原创]
dS空间嵌入的是号差为（-，+，+，+，+）的伪欧氏空间，AdS空间嵌入的是号差为（-，-，+，+，+）的伪欧氏空间.另外，1933年时，Robertson证明了Einstein静态时空也可以嵌入号差为（-，+，+，+，+）的伪欧氏空间。
================================================================================= （-，+，+，+，+）这个东西跟Crystal base and Quantum group有什么关系?
Sheaf and Scheme
有对称的地方就有群 有加法的地方就有同调代数
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| 那一剑的寂寞 发表文章数: 193 内力值: 170/170 贡献度: 2297 人气: 332 | Re: 微分几何科普(1):浅谈度规和曲率 [文章类型: 原创]
萍踪兄,写的好,期待续集,先好好看看.微分几何一直是我的心病.
天下风云出我辈，一入江湖岁月催；
王图霸业谈笑中，不胜人生一场醉。
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| 踏雪无痕 发表文章数: 12 内力值: 83/83 贡献度: 99 人气: 7 | Re: 微分几何科普(1):浅谈度规和曲率 [文章类型: 原创]
正在学习黎曼几何，感觉很是困难，
有高手能解释一下下面的问题吗， 张量的具体定义， 还有在流形上如何定义算子div f,还有梯度 f,其中f 是定义在流形上的光滑函数.
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| 纳兰容若 发表文章数: 2 内力值: 64/64 贡献度: 40 人气: 32 | Re: 微分几何科普(1):浅谈度规和曲率 [文章类型: 原创]
萍踪兄倒是写了不少科普痕迹的文章，而且貌似牵涉到很多的方面。
随便问下，不知萍踪兄自己做国什么工作没有啊？
……
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| 萍踪浪迹 发表文章数: 1051 内力值: 453/453 贡献度: 9137 人气: 1200 | Re: 微分几何科普(1):浅谈度规和曲率 [文章类型: 原创]
张量的定义要从切空间和余切空间开始，这在Riemann几何的很多书里都有，而流形上的算子其实也只是通常的欧空间里的算子的推广定义。只是比较抽象而已。
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| 踏雪无痕 发表文章数: 12 内力值: 83/83 贡献度: 99 人气: 7 | Re: 微分几何科普(1):浅谈度规和曲率 [文章类型: 原创]
萍踪兄是学数学的吗?
能具体的讲讲这些算子吗?
偏微分方程是刻画一组量之间的关系的，数学家研究其存在性，稳定性，唯一性，还有一个很重要的是，偏微分方程解的行为。
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追忆 发表文章数: 195 内力值: 180/180 贡献度: 511 人气: 74 |  Re: 微分几何科普(1):浅谈度规和曲率 [文章类型: 原创]
好久没来,又看见萍踪兄的好文章了.
萍踪兄写的好啊,我期待更好的.
非关癖爱轻模样，冷处偏佳，别有根芽，不是人间富贵花；
谢娘别后谁能惜，漂泊天涯，寒月悲笳，万里西风瀚海沙．
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| 萍踪浪迹 发表文章数: 1051 内力值: 453/453 贡献度: 9137 人气: 1200 | Re: 微分几何科普(1):浅谈度规和曲率 [文章类型: 原创]
踏雪无痕：关于张量的一些知识，请进入这个地址：http://www.changhai.org/bbs/collection/s14.php
追忆兄：谢谢 黎日工博客宇宙中第一个生命的形态——关于人和宇宙的设想(3)
1. 引言
我们从前面的讨论中看到，一个“可知”的宇宙与一个生存其中的“能知”的智慧生命将可能形成一个共生再生的整体。这种互利的机制显然会在宇宙的反复运动中普遍化，使得相当数目的可知宇宙看上去在其中几乎是必然地发生生命从而导致智慧生命的出现。生命特别是智慧生命的出现应该是可知宇宙中第一重要的现象，第一伟大的事件，它将宇宙突变成为一个有趣的透明的活的宇宙。 那么，回到我们所在的这个宇宙。它是否可知？而我们人类又是否能知？这个宇宙是不是一个“透明活宇宙”？ 这得找到证据。一个证明途径是，如果人类未来最终能解决上面提到的那个宇宙中第一重要的问题：生命起源问题，完全搞清楚生命是如何必然地在我们这个宇宙中发生进而导致人类出现，那当然就在最根本的意义上显示出宇宙的可知以及人类的能知。如果在此过程中又发现所发生的生命形式内容与地球上生命的形式内容相同，那自然就形成一个证据。 虽然我们不知道要多久才能等到证据，但作者相信最后是一个好结果。作者很多年前考虑过这样的问题：遥远的未来会搞清楚第一个生命从宇宙中何处出现，但不管在哪里发生，我们现在可能看到什么？即便是一些模糊的影子。这也许与上述问题有点关系，作者在此把有关想法整理出来，供感兴趣的人参考及修正。 2. 问题 最早生命或者说第一个生命是如何起源的，又是什么形态或形状？不失讨论的一般性，我们暂且假定第一个生命是从地球上发生的，虽然我们只能观察地球的现象与引用地球上的条件，但这并不影响我们感兴趣的结果。按照RNA世界学说，RNA可能是最早的生命，这蕴涵着这样的图景，最早的生命形态是线形分子即两个以上分子串联成的大分子。线形分子在几何上仅是一条空间曲线，从而形成最简单的组织。 我们也可以独立地从最基本的东西考虑起，我们想象从现在到过去观察生命历经的分子组织，所出现的组织在趋势上是越来越简单，我们最后看到什么？自然是线形分子，虽然现在不能确定最后看到的是否就是RNA分子，但必定线形分子无疑，因为再追溯下去就只有无组织的单个分子了。生命的特征是生长与繁殖，线形分子在形态上恰好具备这两个特征。线形分子在两端生长，向外延伸后仍然可以是一条线形分子。线形分子也可以在侧向俘获外界分子，这些被俘获的分子相互串连，就可以衍生出一条新的线形分子。因此，一个自然而然的假定随之而来，最早的生命是从线形分子开始的。 我们知道，生物线形高分子在自由状态下一般将形成螺旋形而不是直线形，有许多理论例如Helfrich的手征弹性链理论[W. Helfrich, Elastic theory of helical fibers, Langmuir, 1991, 7 (3), pp 567–568]可以解释这样的现象。这些理论自然也适用于最早线形分子生命的形态，但是这些理论主要是从物理学角度考虑问题。那么，我们有没有办法在地球环境下从生物学角度，从生命的两个最基本特征：生长与繁殖，来进一步观察最早线形分子生命的形态。回答是肯定的，对线形分子生命来说，生长意味着延伸，繁殖蕴涵着对称性，这种“可延伸的对称性”将为我们打开一扇观察最早生命的窗口。 3. 第一个生命的形态 作为生命，第一个生命或者简单地说最早的生命也必须有适应环境的能力，否则不能生存下去。一方面是对外界物理及化学环境的适应，在能量及物质的互动中进行生长与繁殖，我们假定最早生命当然也有如此的适应能力。另一方面是对外界生物环境的适应，对生物来说这是一个复杂的问题，但是对于最早的生命也只有最早的生命，这个问题变得简单，因为只有最早生命一种生命，最早生命的生物环境就是面临其它可能同时出现的最早生命的竞争。既然可以产生第一个生命，当然就有可能同时产生其它的生命例如被第一个生命繁殖的生命，这些生命都有机会与资格做为第一个生命，这些生命要互相适应，不发生冲突，才能使第一个生命得以生长与繁殖或者说“可延伸与被对称”。 我们设L是第一个线形分子生命，在外界提供的条件下L可以同时进行生长及/或繁殖。设L至少繁殖出一条与L相同结构及相同形状的线形分子L’，相对地，L’在相同的外界条件下也应该可以进行生长并且繁殖出L，L’也有作为第一个生命的机会与资格。这意味着，在外界条件作用之下，L、L’ 可以同时进行生长及/或繁殖，同为最早的生命或者说第一个生命。 形成线形分子需要条件。第一需要能形成线形分子的小分子，我们假定这些小分子是存在的，随机分布于环境。第二需要外界提供耦合小分子的能量(包括催化作用等化合条件)，能量强度要在一定的范围内，而且作为能量载体的物质粒子也要有恰当的物理与化学的特性例如起催化的作用。第一个分子生命从两个小分子耦合开始就需要这些条件共同出现，因为小分子很稀少，碰到一起的机会更少，外界作用的时空范围必须尽量大，作用范围越大，小分子被耦合的机会越多。如果在某一点p，形成线形分子生命L的两项条件均达最佳即条件好于或等于周围点，就可能在p的一个邻域内即条件起作用的范围内形成L或其片断。如果沿一条曲线C出现形成L的最佳条件，而且L的形状与C匹配即L一直位于C邻近，在C的邻域内就可能形成较长的L的片段直至整条L。因为小分子是随机分布的，它们可能在任何地方出现，这时外界作用的轨迹主要由能量状况决定。显然，如果存在一种占优势的能量作用轨迹，则与此轨迹匹配的线形分子就有更多的形成机会。 我们考虑最简单的情形也就是所有曲线中间状态的直线能量的作用。一个能源向外辐射出能量，每个方向的状况可能不同，如果某一时刻沿某一方向辐射出形成L所需的能量，则沿此方向就形成一条直线作用。地球上存在很多这样的直线作用，例如闪电、地热、放射性、海底火山等释放能量的过程都可能形成直线作用。以太阳为例，太阳作为地球的最大能源则在时空范围提供最多的直线作用。太阳通过紫外线、可见光线及红外线及其它物质辐射能量到达地球，通过任一点p的太阳光线是沿着太阳中心点与p的连线。每一条太阳光线的强度、成分可能不同，如果一条光线满足形成L的条件，沿此条光线就形成直线作用。 我们暂且假定，最早的生命就是在某种直线作用下产生的。在这种情况下，与直线作用匹配的线形分子就有更多的形成机会包括将短链连接成长链的机会。 我们设想在某条直线能量作用J的邻域G内观察到第一个线形分子生命L，则在G内应同时至少形成一条同形的线形分子生命L’。L或 L’沿J可以自由生长，L或 L’可能的生长轨迹形成一条沿J延伸的路径，仍记为L或L’。根据对称关系，L’ 也可在L的路径上生成，L则可在L’的路径上生成。因此，在J邻近至少有两条可形成L的路径。在这种情况下存在两种可靠的方式形成这种路径。一是平移，我们将L上的点平行J移动任一距离d形成路径L(T)。L(T)与L相差一个平行移动，两者同形且相对J有相同的位置，故仍在G内，位于J的邻近, 显然，如此得到的L(T)都有机会与资格作为L的路径。另一是旋转，将L以J为轴旋转任一角度w形成路径L(R)。L(R)也与L同形且相对J有相同的位置也仍在G内，位于J的邻近，显然，如此得到的L(R)也都有机会与资格作为L的路径。把平移与旋转组合进行，就得到所有的可能的L的路径。 如上所述，最早生命之间有自适应，即不会发生相互冲突与扼杀的现象，每一条线形分子生命都能生长与繁殖，这意味着：在纵向上路径的两端能不受阻挡地自由延伸以便线形分子生长，这也表示通过一点只有唯一的路径，或者说，两条路径相交则必重合。在侧向上，每一条路径四周不会被其它路径团团封死，不致失去繁殖的机会。 现在我们来求L的路径。首先有两个显然的路径满足上述要求。一个是在G内的平行于J的直线，另一是G内的以J为中轴法线的圆。问题是，除此之外还有哪些路径？ 设L为非平行于J的直线也非垂直于J的圆，我们将L沿J平行移动即将L的所有点沿J平移一段距离，这时L平移轨迹形成一个曲面记为S(T)。我们又将L围绕J连续旋转，L旋转轨迹也形成一个曲面记为S(R)。 S(R)是一个旋转面，S(R)沿J平移一般将产生一个圆柱体或中空的圆柱体，显然，这些空间体中充满L的路径，因此存在L的路径被L的其它路径严密包围，无法与外界环境接触，这就与上述自适应要求矛盾。因此，如果L是分子生命，S(R)沿J平移必须形成圆柱面，记为S。这也表示S(R)或者是S或者是S的一段，从而推得L是S上的曲线即圆柱面上的曲线。当然，我们也可以从S(T)绕J旋转出发导出同样的结论。 假设S(T)仅是S的一部分，这表示L沿J平移形成S上一个条状区域T，T的边界是两条平行于J的直线j(1)、j(2)。这时必定存在L的一段线形L(0)，L(0)的两个端点q(1)、q(2)分别在j(1)、j(2)上。如果L(0)不是L的全部，则q(1)、q(2)中至少有一点将连接L的另一段线形L(0)*。我们沿J平移L，设在t时刻，L(0)及L(0)*平移到L(t)及L(t)*，显然，L(t)*将与L(0) (或L(t)与L(0)*)相交，通过一点出现两条不重合的路径，这又与自适应要求发生矛盾。这表示L(0)就是L的全部， L只能是有限长的，这与路径可自由延伸的假定矛盾。因此，当L是线形分子生命时，S(T)必定是S全部，L沿J平移将覆盖圆柱面S。 将L围绕J旋转一角度w到路径L(w)，再将L(w)沿J平移距离d到路径L(w，d)，如果对任何d，L(w，d)都不与L相交，这意味着L(w)所形成的S(T)没有覆盖S，与前面的结果矛盾。因此，必定存在d, L(w，d)与L相交，根据上述适应性要求，L(w，d)必与L重合，表明L(w，d)又回到原位置L，这就是说，旋转L所得线形与L只相差一个高度。 我们沿圆柱面S的一条直母线将圆柱面剪开展成一张平面，圆柱面上的曲线就变成平面曲线(注意，连续的曲线存在剪断的地方)。曲线在圆柱面上的旋转在平面上变成平移。上述L具有的性质意味着，如果我们平移曲线任意一段距离，所得曲线只要上下移动即可与原曲线重合。我们可以想象，对平面曲线，只有将所有弯曲磨平成为直线才有可能满足这个要求。平面上的直线对应的正是圆柱面上的圆柱螺线。我们来证明此点，取J为z轴作一个右手笛卡尔直角坐标系0-XYZ，可将L表示为： x=rsint y=rcost z=f(t) 上式中r为圆柱面半径，t为任意实参数，f是t的函数。根据上面最后结果，L绕J旋转任一角度w后与原线形至多相差一高度，这意味着 f(t+w)–f(t)=d(w) 这里d(w)是仅与w有关，两边对t求导 df(t+w)/dt–df(t)/dt=0 注意存在等式 df(t+w)/dt=df(t+w)/dw 故有 df(t+w)/dw=df(t)/dt 令t=0，得 df(w)/dw=df(0)/dt 又令df(0)/dt=h，则有 f(w)=hw+c 式中h为常数，c为积分常数，这表示f为线性函数。 我们不妨取c=0，最后得 x=rsint y=rcost z=ht 当h等于零时为圆，h趋于无穷大时趋于直线，一般情形下为圆柱螺线，h>0时为右旋圆柱螺线，h<0时为左旋圆柱螺线。这就证明L为右旋或左旋的圆柱螺线。 我们来讨论一下这些解的意义。显然，圆的路径没有意义，因为在直径很小的封闭路径上L不能自由延伸，因此线形分子生命不会取这种形状。其次是直线路径，我们已经从物理理论知道生物高分子难以保持直线形，因此线形分子生命也不会取这种形状。直观上也能看到，线形分子上存在单键，单键可以自由旋转，这使得线形分子很难保持稳定的直线结构。余下就是圆柱螺线了，这样的线形分子是存在的例如DNA，因此我们得到结论，第一个生命或最早的生命是圆柱螺线形状，换言之，最早的生命必须有圆柱螺线的结构。 我们到这里终于看到，线形分子生命作为最佳生存能力的线形分子，应具有一定的形状，这就终于允许我们现在在数学形式上考虑问题，假定有一个最优形状使线形分子有最优生存能力。数学上可用两个参数描述空间曲线的几何形状，一个是曲率k，表述曲线偏离直线的程度，另一个是挠率τ，表述空间曲线偏离平面曲线的程度。假定L为最优线形，则L的每一点局部的形状都是最优的。而每一点形状最优意味着每一点都有相同形状，这又意味着所有点的k与τ相等，从而k、τ在曲线上为两个常数。在一个右手直角坐标系0-XYZ中，我们可将k与τ为常数的曲线表示为上述圆柱螺线形式，式中 r=k/(k²+τ²) 为圆柱面半径， h=τ/(k²+τ²) 2πh为螺距。由此可以看到最优线形也只有圆柱螺线线形一种。这不但从另一个视角验证了上述结果，而且特别重要的是，这表明我们在寻找分子生命的过程中所做的假定特别是线形分子生命在直线作用下产生的设想，不会产生遗漏之处。 4. 若干推论 从数学角度我们还能看到圆柱螺线在形成上的优势。如果把一条圆柱螺线拆成任意片段，因为所有片段的k与τ都是相同的常数，只要把片段串联起来，无论次序如何，连成的都是与原来形状相同的圆柱螺线。一般在大自然中在路径上所形成的线形分子大多是较短的(从L的最后获得生命功能的长度来看，这些短链也可看作是“小分子”)，圆柱螺线的这个可任意装配的特性使它比其它线形更容易形成较长的线形。另外，圆柱螺线在旋转之下与原线形在纵向上最多相差一个高度，意味着无论从哪个方位观察线形，外界都看到相同的形态，这表示线形在侧向与外界有均匀的接触。同样，圆柱螺线线形在平移之下与原线形最多相差一个旋转角度，这表示线形在纵向与外界同样有均匀的接触。 现在可以说，上述最早生命的特征从数学上看可以从圆柱螺线的性质倒推出来。因此，现有的RNA、DNA、蛋白质分子自然继承了最早生命的特征。在地球初始环境中，产生最大直线能量作用的是太阳，我们不妨假定，最早的分子生命最大可能是从那些可在太阳光直线作用下形成的、而且形状在太阳光直线作用下能保持在光线直线附近的线形分子中产生的。 RNA世界学说认为RNA出现在DNA之前。那么，RNA是否为最早的生命？如果是的话，根据上述结果，RNA中应存在可在直线作用最大可能是太阳的直线作用下产生的圆柱螺线线形结构。在此值得一提的是，关于RNA在太阳光照下的特性，Mulkidjanian等人[Armen Y Mulkidjanian, Dmitry A Cherepanov, Michael Y Galperin: Survival of the fittest before the beginning of life: selection of the first oligonucleotide-like polymers by UV light. BMC Evolutionary Biology 2003, 3:12]模拟太阳紫外线对分子稳定性的影响，发现RNA在强紫外线照射下比其它分子更可能形成长链，而且紫外线可能有促进聚合的作用。如果RNA中不存在可在太阳光直线作用下形成的成分，则RNA必定由更早的生命进化而来。无论如何，RNA在时间上最靠近最早生命，据此，由RNA包含的结构我们推测，地球上最早生命是右旋的。 生命的起点被唯一地限制在圆柱螺线线形结构范围之内，说明生命没有任意性，这正是本文开头感兴趣的事，人类很可能就是我们宇宙中的那个智慧生命。同时另一个问题随之而来，自然界可以提供多少种圆柱螺线线形结构用以形成生命？假如在RNA、DNA之外存在另外的独立的分子结构能在某种直线能量作用下形成上述分子生命的圆柱螺线线形，如果没有物质上的竞争，此种结构一旦形成也可视为一种最早的生命，它应该会适应环境包括与其它分子生命的互动走上生物进化的道路。我们现在不知道是否存在此种结构，如果假定它存在，有一点可以肯定，最早的此种结构的生命也取圆柱螺线形状。 最后，我们不妨进一步想象，假定地球上最早生命是在太阳直线作用下形成的右旋圆柱螺线线形分子，我们推测一下，地球生命诞生地在何处？最早生命可以看作是一种朝着太阳生长的线形分子，这种生长与植物生长的不同点是没有固定的根。首先，平均来说，太阳直线作用最强烈的地方是在地球赤道，因此第一个圆柱螺线线形分子生命最可能产生在赤道附近。其次，我们观察旋向即右旋与左旋，如果在某个地方一种旋向比另一种旋向能更好地利用太阳作用，则这种旋向就有形成上的优势。我们做一个简单的实验，现在可以设太阳在地球赤道上空从东向西做视运动，我们站在北半球上，用手一面跟踪太阳中心一面伸出，手将做出一个右旋运动，这表示在此位置上右旋的线形分子比左旋的线形分子能更好的跟踪太阳视运动，这意味着右旋的线形分子有更多的形成机会。由此推断，地球上第一个生命的诞生地在北半球赤道附近。我们现在不知道它是不是宇宙中的第一个生命？但至少可以看到在地球上能够独立地诞生生命进而导致智慧生命——人类的出现。(2014年1月2日) |
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