12.2 闵可夫斯基时空是平直的“三正一负”类型的度量流形
最快捷的方法，是把这看成是平直的时空的定义。 如果要负责一点， 平直的原因在于我们用了“常系数的”“三正一负”式的 “勾股定理” 定义闵可夫斯基时空。
你可能问 为何 闵可夫斯基时空 和有标准度量的4维欧式空间 都是平直的（感觉他们俩不一样啊）。 回答是， 我们不比较 “三正一负”类型的度量结构 和 “四个正号”类型的度量结构
。 我们只比较同一类型的。 闵可夫斯基时空是平直的“三正一负”类型的度量流形， 有标准度量的4维欧式空间 是平直的“四个正号”类型的度量流形。12.3 把流形和闵可夫斯基时空 结合
我们把（8）和（9）的想法结合起来。 我想接受狭义相对论， 又不想排除 时空整体上有蹊跷 的可能。 于是一个自然的模型是 时空是一个度量流形，在局部上这个度量结构是闵可夫斯基时空。
12.4 也许时空有内在的弯曲
在12.3中给的模型已经是一个很精确的模型了。12.2告诉我们 这个模型是平直的。 可是我一旦知道了 度量流形可以内在的弯曲， 我便禁不住怀疑 也许时空是 有内在的弯曲的度量流形。哪怕在实验上我暂时证明不了（当然目前的实验已经可以证明有内在弯曲了），我也不愿排除这种可能。 于是一个更稳妥的模型是 时空是 （可以有内在弯曲的） 一个 “三正一负”类型的度量流形。
我们把 “三正一负”类型的度量流形 叫做 洛仑兹流形。12.5 广义相对论认为 时空是洛仑兹流形。 这是广义相对论的一个基本观点
。有时候为了强调时空是洛仑兹流形， 我称时空为 时空洛仑兹流形。博文
[转载]关于广义相对论的数学理论
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关于广义相对论的数学理论
爱因斯坦的引力场方程与黑洞
本文的目的是介绍广义相对论的数学背景以及关于数学家们对黑洞形成机制研究的历史
爱因斯坦
1915年11月25日,爱因斯坦向普鲁士科学院提交了广义相对论的论文。而在五天前，希尔伯特也向普鲁士科学院递上了一份关于引力学的手稿。长久以来，人们总是热衷于讨论究竟谁才是第一个提出广义相对论的人。然而这却并不是我们想要讨论的问题，我们关心的是这两份手稿里共同包含的一个方程，这个方程现在普遍被称为爱因斯坦引力场方程。
闵可夫斯基从数学上来看，这个方程本身包含了10个变量和10个相互独立的子方程，并且是一个非线性的二阶双曲型非线性方程，仅仅写下这个方程就需要莫大的勇气和智能，更不要说是找到它的解了。(博主注：事实上，由Bianchi恒等式知这10个方程只有6个方程是独立的。如何处理这个问题呢，由于爱因斯坦场方程是一个张量方程，从而在求解度规张量时必须添加4个坐标条件， 仅此而已。 这一点实际上是与广义协变性一脉相承的， 因为后者意味着引力场方程及其解允许对 4 个时空坐标作任意变换， 从而只有在添加 4 个坐标条件后才能得到确定的解。) 实际上，关于爱因斯坦和希尔伯特对于广义相对论的优先权之争就是围绕着谁先写下了这个方程。据说，1915年初期爱因斯坦对于如何把引力数学化的想法已经相当的成熟，唯一的缺憾就是未找到描述引力分布的场方程。是年七月，他应希尔伯特的邀请去哥廷根大学作了一系列毫无保留的演讲。恰如这个众所周知的调侃之言，“哥廷根马路上一个孩子，都可以比爱因斯坦更懂得四维几何”，希尔伯特由于比哥廷根马路上一个孩子懂得更多的四维几何，很快地得到了引力场方程的表达式，当然这丝毫不影响爱因斯坦的伟大，因为希尔伯特本人都说过，“发现相对论的，是作为物理学家的爱因斯坦，而不是数学家”。
希尔伯特
我们能不能找到其它的解呢？
卡尔•史瓦西(1873-1916),德国天文物理学家
黑洞，现在已是妇孺皆知的名词，用妇孺皆知的说法，是说一个星体的密度大到一定的程度，其引力使得附近的光都无法逃逸，那么既然我们看不到有光线从这个星体发出，“黑”的由来也就理所当然了。我们并不关心黑洞的精确定义而把精力放在史瓦西时空（在Kruskal工作的意义下）的一个特定的区域上。在这个区域里，我们通过计算类光的测地线，可以发现光线永无逃逸的可能性，也就是说，这真的是黑洞的内部（在正确的定义下，这也是黑洞）。
罗杰•彭罗斯爵士,牛津大学教授,1988年沃尔夫奖获得者
我们再次回到爱因斯坦的重力场方程，从它简洁又不失华丽的外表，恐怕没有人能看到场方程竟然预言了黑洞的存在。近一个世纪后的今天，对于现实世界的人们来说，我们关心如何透过场方程读出未来的劫数；在数学家和物理学家眼中，这意味着能否把重力场方程当成一个发展性的方程来求解。Choquet-Bruhat女士是这个方面的先驱，通过引进近代的偏微分方程的技术，她证明了至少对很短时间内要发生的事情，我们还是相当有把握预测的。由于她的工作运用了极为繁琐的数学，数学家们欢欣鼓舞，他们再次找到了一个借口可以插手物理学家的事务。当然，这里的问题仍然相当的棘手，一些貌似简单的问题令他们一筹莫展。我们举一个具有划时代意义的猜想，叫做正质量猜想。在广义相对论中，质量的概念还是存在，但是质量是否是正的却变得不清楚了。直到上个世纪八十年代，这个猜想才第一次被理查德•舍恩(Richard Schoen)和丘成桐所证明，之后不久威腾(Witten)又给了另一个证明。正质量猜想不仅仅在广义相对论中，就是在微分几何当中也有着众多的应用。
Demetrios Christodoulou,希腊籍数学和物理学家,
普林斯顿大学教授
在今后的研究中，关于黑洞和我们的宇宙，爱因斯坦的重力场方程还会说些什么呢？让我们拭目以待。
卢昌海： 希尔伯特与广义相对论场方程 (上)
卢昌海：希尔伯特与广义相对论场方程 (下)
爱因斯坦对周培源一生的影响 http://www.combinatorics.net.cn/readings/aystdzpy.htm 周的硕博都是数学的学位， 受鼓舞了。
http://blog.sciencenet.cn/blog-81613-734110.html 此文来自科学网王伟华博客，转载请注明出处。
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几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （3） [ changshou ] 于:2012-02-07 16:02:44 复:3659016
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （3） [ changshou ] 于:2012-02-07 16:02:44 复:3659016
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （3）什么是流形？（续2）
提示：我的最终目的是 帮助大家建立一个大致靠谱的 现代物理中的时空观。但目前我仍在描述 描述时空的 几何语言。 （注意我的断句
）。所以大家要试着不想现实的时空 而专注于我描述的几何语言 本身。
（更多讨论见3.6）
3.1 二维化地描述粘成的橡皮膜球面。(初步)
上一节的要点是 橡皮膜球面 是平面膜粘成的。 尽管我们一开始描述的 两块橡皮膜 不是在平面上的，但我们完全可以逆转 把它们压扁为 平面膜 的过程。 可以认为 我们一开始有的 就是两块平面膜。直到接到 粘合的指示后 再把它们扯到三维空间中 去粘。
平面膜是平面上的东西。 谈平面上的东西 不需要3维空间。 就像谈3维空间中的东西 不需要4维空间 （这是多数3维人所习惯的， 将心比心的为平面人考虑考虑吧
）。 你也许想说 虽然1号2号平面膜 是2维的 并且可以看成是2维平面的一部分，但作为球面的一部分 它们是在三维空间粘的。 似乎 粘 是个3维动作， 于是我们便终究离不开三维空间。
粘 是个 （至少）3维的行为吗？
什么是粘呢？ 要描述粘嘛， 就是 说清楚 1号平面膜的啥部位 和2号平面膜的啥部位 被等同起来 以及 被粘（等同）起来的部分是被粘成什么东西。
说清楚 粘，我们认为 粘成的橡皮膜球面就确定了。 没有必要非动手去粘不可。
3.2 二维化地描述粘成的橡皮膜球面。(续)
回到粘的问题。要说清楚 1号平面膜的啥部位 和2号平面膜的啥部位 被粘（等同）起来 不需要三维空间。 因为它们是平面膜从而是平面的一部分。
描述 被粘（等同）起来的部分是被粘成什么东西 需要3维吗？
不需要。 1号膜2号膜的公共部分（粘起来的部分）是一根 首尾相接的带子 （想不通请动手做个模型）。也就是说 被粘起来的部分是被粘成 首尾相接的带子。 带子 是2维的。 而且首尾相接 在2维就能实现。（首尾相接的带子 可以被 摁平在平面上 成为一个圆环。过程中有拉伸挤压，因为是橡皮膜所以是允许的。）
3.3 二维化地描述粘成的橡皮膜球面。(完成)
但还有一个问题，首尾相接的带子 中间有一个洞。 这意味着它 无法连续地形变为 1号膜或2号膜（他们没有洞）。这里 连续地形变 指的是 可以拉伸压缩移动旋转， 但不可以撕裂或粘合。不许粘合？ 我们不是要粘东西吗？ 是，但粘东西 是将一些 基本的模块 如1号膜或2号膜 按一定的粘合指示 互相粘起来。 同一个 基本模块 不准 自己粘自己。这规定苛刻吗？ 不苛刻。 如果一片膜 就是想 自己粘自己，那么我们就不再称他为基本模块 而是将它分割为 一些更小的基本模块。
我们希望 基本模块 可以被标准化。 即所有的模块 都可以相互间连续形变 从而 在橡皮膜工程师眼中 都一样的好使。
我们把 1号膜或2号膜 看成是 模块的标准。1号膜和2号膜 都可以 连续形变为 圆盘 （想一下它们的来源就清楚了）。 圆盘 可以被 拉扯为（连续形变为） 长方形。 所以 长方形 也可以作为 标准化的模块。
首尾相接的带子 不是标准化的模块。 但首尾相接的带子 可由两长方形 粘成。 长方形1 的一头 粘 长方形2 的一头， 长方形1 的另一头 粘 长方形2 的另一头。
在粘首尾相接的带子过程中 又出现了 新的 公共部分（粘起来的部分）。有两块， 是两个小长方形。 也就是说 被粘起来的部分是被粘成 两个小长方形。 这意味着 首尾相接的带子 的描述 2维化和标准模块化了。因为 长方形1 和 长方形2 被粘的部分 （长方形1和长方形2的局部） 以及 粘起来后形成的部分（两个小长方形） 都是 2维平面的一部分。而且他们都是 标准模块（长方形）。
就这样 我们发现了 2维化的 标准模块化的 描述 粘成的橡皮膜球面 的办法。
3.4 请再读一遍 3.1到3.3
3.5 内在的粘成的橡皮膜球面
数学家 顺着上面的思路， 干脆把描述替换为定义。 即：
取两圆盘状的 平面膜 （1号膜2号膜）， 指定 被粘的区域， 再指定 被粘的区域 被粘成为 待定义的 首尾相接的带子。首尾相接的带子 则被定义为 指定 长方形1和长方形2的被粘的区域 以及 指定 粘起来后形成的公共部分 为两个小长方形 后 贯彻 粘合指示 粘出来的东西。
以上一段话 本身也是 一个粘合指示 （一个粘合指示 告诉我们 啥东西的啥部位 和啥东西的啥部位 被粘起来 以及被粘成啥东西）。 按此粘合指示 粘出来的东西 就是
内在的橡皮膜球面
整个定义 与 三维空间 毫无关系。
所以我称它为 “内在的”。内在的橡皮膜球面 没有嵌入 任何其他流形（如三维空间）。
整个过程 本质上就涉及两种流形：平面 内在的橡皮膜球面。 二者什么关系？ 内在的橡皮膜球面 是由平面的局部 （标准模块）粘成。 标准模块 （圆盘或长方形）从连续形变的角度看 和平面并无区别（标准模块 朝各方向无限拉伸 就成了平面， 反过来说 标准模块 是缩小了的平面）。 因此我们说 内在的橡皮膜球面 局部上 和平面是一样的 （更确切的讲，内在的橡皮膜球面的 局部 就是 平面的局部）。 但 内在的橡皮膜球面 和平面 在整体上是不同的。
注意 内在的橡皮膜球面 和平面一样 是2维的， 维数是从局部上就可以决定的。
再注意 内在的橡皮膜球面 没有 嵌入平面。
挑战：你能从以上定义中 推出 绳子套不住 内在的橡皮膜球面 吗？
（这是以前描述过的 橡皮膜球面的基本属性）。
3.6 一个朴素的道理
我前面讲了“说清楚 粘，我们认为 粘成的橡皮膜球面就确定了。 没有必要非动手去粘不可。” 听上去像废话。
其实不是。很多人并没有想通这一点。
读了上一节，再回过头来 想想这个道理吧。
这个道理 说的是要区分 数学概念与物理实现。 我开始讲的橡皮膜球面 等等 用了物理实现（你可以动手做模型）来说明数学概念。 这仅仅是为了便于理解， 原则上讲是不必要的。比如我说的 “粘” 不必是物理的粘， 说的实际是 要求 被粘的部分 被等同起来。
你应该能够接受以下思维过程：
第一步 一个数学的球面 或三维空间 是可以脱离 物理世界而被定义出来的 （例如：用代数的方法 比如说勾股定理 定义距离 然后 将球面定义为 到固定点距离为1的 点的集合），
第二步 接下来应该论证 这类数学的空间 （如三维空间）是一个 关于物理空间的 好的 可能的 模型。
第三步 在第二步之后 才考虑 某个具体的数学空间 是否可以在现实物理世界中 以空间或空间一部分 的方式 被实现出来。
我说的在理吧。
定义数学的球面时， 你不需要 任何看见或感知它的能力， 用纯粹逻辑推理就够了。 这种抽象定义 的东西未必能够 在物理上实现， 但它有 潜在的物理实现的可能。内在的橡皮膜球面 就是这样的。目前为止 它还是 纯粹数学概念。 但后面我将解释， 以他为代表的流形 可以作为 物理空间的模型。所以 它有潜在的物理实现的可能。
在现阶段 （纯粹数学空间阶段）， 因为和物理时空 尚无瓜葛，内在的橡皮膜球面 无非就是 平面膜 加上 粘合指示。
3.7 流形
流形是 3.5 的推广。 我们先固定 某一维数的欧式空间 （就想 2，3，4维好了）， 然后 发布 一个 只使用 这一维数的欧式空间中的一些部分的 一个粘合指示。这样 定义出来的 粘合物 就叫流形。 它的维数 等于 那欧式空间的维数。
如果 取了 某一维数的欧式空间 把它看成 自身中的一部分 但却采用平凡的粘法：啥也不粘， 我们就得到 该欧式空间本身。 所以 2/3/4 维欧式空间都是流形。（2维欧式空间就是平面）
要点有二：第一，流形不必嵌入（包含于）另一流形。 不要以为它嵌入定义时用的欧式空间。 想一想 内在的粘成的橡皮膜球面。 定义时用的欧式空间是平面。
第二， 局部上 流形等同于 欧式空间（平面，3维空间，4维空间等）一部分，但整体上未必。 比如 内在的粘成的橡皮膜球面 和平面 在整体上是不一样的。
如果理解不了这一段，光理解 内在的（粘成的）橡皮膜球面 也差不多够了。
3.8 第一座高峰
本文的要点是， 一个几何的对象 （流形）是可以 “内在的” 存在的。 它是以 局部的 更基本的几何对象（欧式空间） 粘出来的 一个 整体的东西。它和局部的几何对象 维数一样。
如果到目前为止 你脑子尚未发懵， 那么恭喜你， 你已攀上了 获取较可靠时空观 征途上的 第一座高峰。
按我的估计， 你需要攀 四座高峰。
相邻两座之间的落差 大体上 和第一座高峰和你开始时状态的落差 差不多。
怎么样？ 不入虎穴，焉得虎子。
如果还有勇气和胃口的话， 请继续阅读。
待续
提示：我的最终目的是 帮助大家建立一个大致靠谱的 现代物理中的时空观。但目前我仍在描述 描述时空的 几何语言。 （注意我的断句
）。所以大家要试着不想现实的时空 而专注于我描述的几何语言 本身。（更多讨论见3.6）3.1 二维化地描述粘成的橡皮膜球面。(初步)
上一节的要点是 橡皮膜球面 是平面膜粘成的。 尽管我们一开始描述的 两块橡皮膜 不是在平面上的，但我们完全可以逆转 把它们压扁为 平面膜 的过程。 可以认为 我们一开始有的 就是两块平面膜。直到接到 粘合的指示后 再把它们扯到三维空间中 去粘。
平面膜是平面上的东西。 谈平面上的东西 不需要3维空间。 就像谈3维空间中的东西 不需要4维空间 （这是多数3维人所习惯的， 将心比心的为平面人考虑考虑吧
）。 你也许想说 虽然1号2号平面膜 是2维的 并且可以看成是2维平面的一部分，但作为球面的一部分 它们是在三维空间粘的。 似乎 粘 是个3维动作， 于是我们便终究离不开三维空间。粘 是个 （至少）3维的行为吗？
什么是粘呢？ 要描述粘嘛， 就是 说清楚 1号平面膜的啥部位 和2号平面膜的啥部位 被等同起来 以及 被粘（等同）起来的部分是被粘成什么东西。
说清楚 粘，我们认为 粘成的橡皮膜球面就确定了。 没有必要非动手去粘不可。
3.2 二维化地描述粘成的橡皮膜球面。(续)
回到粘的问题。要说清楚 1号平面膜的啥部位 和2号平面膜的啥部位 被粘（等同）起来 不需要三维空间。 因为它们是平面膜从而是平面的一部分。
描述 被粘（等同）起来的部分是被粘成什么东西 需要3维吗？
不需要。 1号膜2号膜的公共部分（粘起来的部分）是一根 首尾相接的带子 （想不通请动手做个模型）。也就是说 被粘起来的部分是被粘成 首尾相接的带子。 带子 是2维的。 而且首尾相接 在2维就能实现。
（首尾相接的带子 可以被 摁平在平面上 成为一个圆环。过程中有拉伸挤压，因为是橡皮膜所以是允许的。）3.3 二维化地描述粘成的橡皮膜球面。(完成)
但还有一个问题，首尾相接的带子 中间有一个洞。 这意味着它 无法连续地形变为 1号膜或2号膜（他们没有洞）。这里 连续地形变 指的是 可以拉伸压缩移动旋转， 但不可以撕裂或粘合。不许粘合？ 我们不是要粘东西吗？ 是，但粘东西 是将一些 基本的模块 如1号膜或2号膜 按一定的粘合指示 互相粘起来。 同一个 基本模块 不准 自己粘自己。这规定苛刻吗？ 不苛刻。 如果一片膜 就是想 自己粘自己，那么我们就不再称他为基本模块 而是将它分割为 一些更小的基本模块。
我们希望 基本模块 可以被标准化。 即所有的模块 都可以相互间连续形变 从而 在橡皮膜工程师眼中 都一样的好使。
我们把 1号膜或2号膜 看成是 模块的标准。1号膜和2号膜 都可以 连续形变为 圆盘 （想一下它们的来源就清楚了）。 圆盘 可以被 拉扯为（连续形变为） 长方形。 所以 长方形 也可以作为 标准化的模块。
首尾相接的带子 不是标准化的模块。 但首尾相接的带子 可由两长方形 粘成。 长方形1 的一头 粘 长方形2 的一头， 长方形1 的另一头 粘 长方形2 的另一头。
在粘首尾相接的带子过程中 又出现了 新的 公共部分（粘起来的部分）。有两块， 是两个小长方形。 也就是说 被粘起来的部分是被粘成 两个小长方形。 这意味着 首尾相接的带子 的描述 2维化和标准模块化了。因为 长方形1 和 长方形2 被粘的部分 （长方形1和长方形2的局部） 以及 粘起来后形成的部分（两个小长方形） 都是 2维平面的一部分。而且他们都是 标准模块（长方形）。
就这样 我们发现了 2维化的 标准模块化的 描述 粘成的橡皮膜球面 的办法。
3.4 请再读一遍 3.1到3.3
3.5 内在的粘成的橡皮膜球面
数学家 顺着上面的思路， 干脆把描述替换为定义。 即：
取两圆盘状的 平面膜 （1号膜2号膜）， 指定 被粘的区域， 再指定 被粘的区域 被粘成为 待定义的 首尾相接的带子。首尾相接的带子 则被定义为 指定 长方形1和长方形2的被粘的区域 以及 指定 粘起来后形成的公共部分 为两个小长方形 后 贯彻 粘合指示 粘出来的东西。
以上一段话 本身也是 一个粘合指示 （一个粘合指示 告诉我们 啥东西的啥部位 和啥东西的啥部位 被粘起来 以及被粘成啥东西）。 按此粘合指示 粘出来的东西 就是
内在的橡皮膜球面
整个定义 与 三维空间 毫无关系。
所以我称它为 “内在的”。内在的橡皮膜球面 没有嵌入 任何其他流形（如三维空间）。整个过程 本质上就涉及两种流形：平面 内在的橡皮膜球面。 二者什么关系？ 内在的橡皮膜球面 是由平面的局部 （标准模块）粘成。 标准模块 （圆盘或长方形）从连续形变的角度看 和平面并无区别（标准模块 朝各方向无限拉伸 就成了平面， 反过来说 标准模块 是缩小了的平面）。 因此我们说 内在的橡皮膜球面 局部上 和平面是一样的 （更确切的讲，内在的橡皮膜球面的 局部 就是 平面的局部）。 但 内在的橡皮膜球面 和平面 在整体上是不同的。
注意 内在的橡皮膜球面 和平面一样 是2维的， 维数是从局部上就可以决定的。
再注意 内在的橡皮膜球面 没有 嵌入平面。
挑战：你能从以上定义中 推出 绳子套不住 内在的橡皮膜球面 吗？
（这是以前描述过的 橡皮膜球面的基本属性）。3.6 一个朴素的道理
我前面讲了“说清楚 粘，我们认为 粘成的橡皮膜球面就确定了。 没有必要非动手去粘不可。” 听上去像废话。
其实不是。很多人并没有想通这一点。读了上一节，再回过头来 想想这个道理吧。这个道理 说的是要区分 数学概念与物理实现。 我开始讲的橡皮膜球面 等等 用了物理实现（你可以动手做模型）来说明数学概念。 这仅仅是为了便于理解， 原则上讲是不必要的。比如我说的 “粘” 不必是物理的粘， 说的实际是 要求 被粘的部分 被等同起来。
你应该能够接受以下思维过程：
第一步 一个数学的球面 或三维空间 是可以脱离 物理世界而被定义出来的 （例如：用代数的方法 比如说勾股定理 定义距离 然后 将球面定义为 到固定点距离为1的 点的集合），
第二步 接下来应该论证 这类数学的空间 （如三维空间）是一个 关于物理空间的 好的 可能的 模型。
第三步 在第二步之后 才考虑 某个具体的数学空间 是否可以在现实物理世界中 以空间或空间一部分 的方式 被实现出来。
我说的在理吧。
定义数学的球面时， 你不需要 任何看见或感知它的能力， 用纯粹逻辑推理就够了。 这种抽象定义 的东西未必能够 在物理上实现， 但它有 潜在的物理实现的可能。内在的橡皮膜球面 就是这样的。目前为止 它还是 纯粹数学概念。 但后面我将解释， 以他为代表的流形 可以作为 物理空间的模型。所以 它有潜在的物理实现的可能。
在现阶段 （纯粹数学空间阶段）， 因为和物理时空 尚无瓜葛，内在的橡皮膜球面 无非就是 平面膜 加上 粘合指示。
3.7 流形
流形是 3.5 的推广。 我们先固定 某一维数的欧式空间 （就想 2，3，4维好了）， 然后 发布 一个 只使用 这一维数的欧式空间中的一些部分的 一个粘合指示。这样 定义出来的 粘合物 就叫流形。 它的维数 等于 那欧式空间的维数。
如果 取了 某一维数的欧式空间 把它看成 自身中的一部分 但却采用平凡的粘法：啥也不粘， 我们就得到 该欧式空间本身。 所以 2/3/4 维欧式空间都是流形。（2维欧式空间就是平面）
要点有二：第一，流形不必嵌入（包含于）另一流形。 不要以为它嵌入定义时用的欧式空间。 想一想 内在的粘成的橡皮膜球面。 定义时用的欧式空间是平面。
第二， 局部上 流形等同于 欧式空间（平面，3维空间，4维空间等）一部分，但整体上未必。 比如 内在的粘成的橡皮膜球面 和平面 在整体上是不一样的。
如果理解不了这一段，光理解 内在的（粘成的）橡皮膜球面 也差不多够了。
3.8 第一座高峰
本文的要点是， 一个几何的对象 （流形）是可以 “内在的” 存在的。 它是以 局部的 更基本的几何对象（欧式空间） 粘出来的 一个 整体的东西。它和局部的几何对象 维数一样。
如果到目前为止 你脑子尚未发懵， 那么恭喜你， 你已攀上了 获取较可靠时空观 征途上的 第一座高峰。
按我的估计， 你需要攀 四座高峰。 相邻两座之间的落差 大体上 和第一座高峰和你开始时状态的落差 差不多。怎么样？ 不入虎穴，焉得虎子。
如果还有勇气和胃口的话， 请继续阅读。待续
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