微分流形,第5章_百度文库
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Aug 21, 2010 - 第5章微分形式重积分、线积分、面积分的被积表达式是微分形式的特例；函数的微分Translate this page
V上线性函数()vα的全体，它也是一个 m维向量空间。线性函数α的其它名称为：余向量，线性形式，1-形式。
两个向量可以做外积，这是观念上的突破。其实从对偶的观点，将向量看成对偶空间上的线
性函数，便一点也不奇怪了。
微分形式及其上的外微分运算，是深刻的数学结构，也是有力的数学工具。在相当多的数学分支中，有着重要应用。函数的微分是微分1形式最简单的例子。然而反过来，微分1形式却不一定是函数的微分
[PDF]從醉月湖的面積談起: 向量微積分簡介-蔡聰明 - 數學系
1. 一個求面積的問題. 面積是一個很古老的幾何概念, 它起源. 於人類要丈量土地的大小。 ... 千多年的發展, 終於創立微積分, 透過微分法 ...... 其中ω 為k − 1 型微分式。
Clifford 几何代数的基本观点
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高斯认为：曲面上的曲线微分长度平方、曲面上曲线的弯曲量度（曲率）是曲面上的任意曲线的基本度量量，具客观性。这是物理性的，为整个曲面几何理论的要素。这里，最小的几何单位是微元曲线、及两条正交微元曲线所形成的微元面。这个几何是没有点概念的。因为点是空（0长度，0面积）。
Clifford 几何代数的基本观点就是：物理上有意义的流形变换是保证上面的两类量的客观不变性。
黎曼几何是取曲线微分长度平方的客观不变性，建立黎曼张量代数。而李代数是取曲线微分曲率为客观不变量条件下的张量，其理论基础可归入旋转不变群。群论的时髦是出于上面的背景。物理学上的运动：微元长度的变化（对称群）；曲率的变化（旋转群）。反对称群（李群，微元长度为0）是旋转群的低阶逼近。
以对称群为主导的代数是：可易的。对于非对称群，其导出的代数系统是：不可易的。
在过去的一百来年里，数学家在群论上的开拓进取成就很大。但是，对物理学和工程科学而言，有两个致命缺陷：1。以点的概念（点群）为主导；2。只取两高斯不变量中的一个。从而，自身理论上的完备和优美是以脱离物理真实的理想化近似来实现的。这是哲学路线上的错误。
在苦苦作战百年后，梦回头，才意识到：这两类不变性要同时满足！这就是Clifford 几何代数进入基础物理学的客观背景。也就是回到了实事求是，以物理客观性为基准的轨道上来。这是哲学路线上的调整。
不依赖于点概念的几何也就基本上有了基本的理论框架。这是高斯曲面科学理念的回归。发达国家有部分科学家呼吁：在高中课程中，必须为大学学习Clifford 几何代数作必要的前期教学。如何做？他们还在思考。而他们还认为，大学的相关课程，尤其是物理学基础理论的课程，必须改为用Clifford 几何代数表述。少数名校已经是这样做了。
数学必须服从物理上的客观性，这条原则将在今后很长时间里主导基础科学的发展方向。这对工程科学是福音！因为，Clifford 几何代数是可以直观操作的，它再也不是那堆玄而有玄的、优美的、难于直观理解的、工程性操作起来难而又难的、公理化封闭体系。
我国是工程大国，如果要进入世界先进水平行列，Clifford 几何代数必须进入工程科学。但是，我认为，除非科学界出现实质性的变革，否则，这个机会我国学界抓不住，从而进入不了工程科学。
国外的大多数学者、大多数高校都在抵制Clifford 几何代数进教科书。但是，他们目前的选择并不代表科学的主流发展走向。然而，我国学界的从众心理决定了，我们参与抵制！尽管我个人不希望如此，但客观事实就是如此！
星星之火，可以燎原！我们无论如何抵制，消灭不了Clifford 几何代数成为基础科学理论主流表述工具的趋势。正如无论如何批相对论，无法阻止张量表述成为过去百年来基础科学理论主流表述工具的事实。
明智的选择是：以史为鉴！
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