Monday, July 6, 2015

推廣到三維空間：Gauss 定理與 Stokes 定理 ω 為 k-1 型微分式。這是微積分學根本定理最本質的形式。

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_21_2_01/page6.html


推廣到三維空間：Gauss 定理與 Stokes 定理


從醉月湖的面積談起
向量微積分簡介 （第 6 頁） 蔡聰明
 
．原載於數學傳播第二十一卷第二期
．作者當時任教於台大數學系
‧對外搜尋關鍵字

 
6. 推廣到三維空間：Gauss 定理與 Stokes 定理
抓住了 Green 公式的形式與內涵，要推廣到三維空間就不難了。首先令

\begin{eqnarray*} \vec F(x,y,z) & = & P(x,y,z)\vec i + Q(x,y,z)\vec j \\ & + & R(x,y,z)k \end{eqnarray*}


表示空間中的一個向量場 (Vector field)，即定義在空間中某領域的一個向量值函數。
定義：


\begin{eqnarray*} \nabla\cdot\vec F &=& {\partial P\over\partial x}+ {\partial Q... ...{\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y})\vec k \end{eqnarray*}


分別叫做向量場 $\vec F$ 的散度與旋度。
其次我們注意到，平面領域 Ω 可以有兩個方向的推廣：一個是空間中的可定向 (Orientable) 曲面 S（Möbius帶子就不是可定向曲面），參見圖16；另一個是空間中的一塊立體領域 V，參見圖17。

圖16



圖17

在(19)式中，$\vec k$ 是 Ω 的向外單位法向量；當 Ω 改為空間曲面 S 時，$\vec k$ 就應該改為 S 的向外單位向量 $\vec n$。 我們可以證明 $\nabla\cdot\vec F$ 與 $\nabla\times\vec F$ 跟二維的情形有類似的解釋。 $\nabla \cdot \vec F(x,y,z)$ 表示單位時間單位體積流體在點 $(x,y,z) \in V$ 的流出通量， $(\nabla \times \vec F) (x , y , z) \cdot \vec n$ 表示單位時間單位體積流體在點 $(x,y,z)\in S$ 的循環量。從而(19)與(20)兩式就推廣為：
定理4： (Gauss 定理，又叫做散度定理，1839年)
設向量場 $\vec F$ 的分量 P,Q,R 及其一階偏導函數皆為連續函數，則
\begin{displaymath} \int \!\! \int_{\partial V}\vec F\cdot\vec n dA = \int \!\! \int \!\! \int_V(\nabla\cdot\vec F)dv \end{displaymath}(31)

其中 $\partial V$ 為圍成 V 之封閉曲面，dV 表示無窮小的體積元。
定理5： (Stokes 定理，又叫做旋度定理，1854年)
在與定理4相同的假設下，我們有
\begin{displaymath} \oint_{\partial S}\vec F\cdot\vec T ds =\int \!\! \int_S(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n dA \end{displaymath}(32)

參見圖16。
在上述中，(31)式與(32)式分別將曲面積分與三重積分，線積分與曲面積分連結起來。若採用直角坐標系來表達，它們分別就是

\begin{eqnarray*} & & \int \!\! \int_{\partial V} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy \\ & = & \i... ... +{\partial Q\over\partial y}+{\partial R\over\partial z})dxdydz \end{eqnarray*}


以及
$\displaystyle \int_{\partial S}Pdx+Qdy+Rdz$=$\displaystyle \int \!\! \int_{S}\!({\partial R \over \partial y} - {\partial Q \over \partial z})dydz$ 
 +$\displaystyle ({\partial P \over \partial z}-{\partial R \over \partial x})dzdx$ 
 +$\displaystyle ({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy$(33)


這一切可以再推廣到 $\bf R^n$ 的可定向 k 維可微分子流形 $M \subset \bf R^n$，用微分式的積分與外微分理論，統合成為廣義的 Stokes 定理：
\begin{displaymath} \int_{M} d\omega = \int_{\partial M} \omega \end{displaymath}(34)

其中 ω 為 k-1 型微分式。這是微積分學根本定理最本質的形式。




学习外微分形式的一些感受

                                          PB07210141   焦凡书

外微分形式把Stokes,Gauss公式联系起来,而且推广到高维空间。初学时觉得很“神奇”，查阅了一些书籍后才知道Poincare’指出多重积分的体积元素应有一个正负定向导致了外微分的出现。而外微分的出现可以说标志着微积分从古典走向现代。在物理，力学，偏微分方程，微分几何中，外微分发挥了巨大的作用。外微分有其更本质的含义，下面是我的一些总结和感受。

如果我们研究曲面（双侧曲面）的方向性，那么：在双侧曲面上任意取定一点M，并在M处选定一个单位法向量n(M)，对于曲面S上任意一点M’，在S上做一条连接M,M’的曲线，由n(M’)沿曲线连续变化的原则，就可以唯一的确定M’处的单位法向量n(M’)，从而就完全确定了双侧曲面的一个侧。曲面S在M处的单位法向量有且仅有两个，它们是互为相反方向的单位向量，这两个向量正好确定了曲面的两个定侧。

在双侧曲面内令：x=x(u,v) y=y(u.,v)

则面积元素dA=dxdy=||dudv=||dudv=()dudv

若将x,y对换dA=dydx=||dudv=||dudv=()dudv

 

可得dxdy=-dydx

dxdx=0

我们把满足上述关系即：两个相同微分乘积为零，不同微分乘积变换顺序时变号的微分之间的乘积称为微分外积，用 表示。由微分的外乘积乘上函数组成的微分形式称为外微分形式。若P,Q,R,H是x,y,z的函数，则Pdx+Qdy+Rdz为一次外微分形式。Pdydz+Qdzdx+Rdxdy为二次外微分形式，Hdxdydz为三次外微分形式。

可以证得（1）Newton-Leibniz公式用外微分表示=f(b)-f(a)=

         （2）Green公式用外微分表示Pdx+Qdy,=,

         

         （3）Gauss公式用外微分表示Pdydz+Qdzdx+Rdxdy, Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= dxdydz,

         （4）Stokes公式用外微分表示Pdx+Qdy+Rdz, ,


   而数量场的梯度，向量场的散度，旋度分别与之对应。因此他们的关系可以表示为     

外微分形式的次数     
空间
公式
对应的度
0
直线段
Newton-Leibniz
梯度
1
平面区域
Green
旋度
1
空间曲面
Stokes
旋度
2
空间区域
Gauss
散度

 

由此得出公式的一般形式：

定理  设为外微分形式，d是它的外微分，则有

G是d的积分区域，G表示G的边界。

Stokes公式揭示了微分与积分在空间上的关系。若令，d为算子，则它们对偶.

所以说Stokes公式是微积分中最本质的，由它引出了微分几何，广义相对论的很多内容，我的知识有限，希望以后有能力了解更多。

参考书目：《高等数学导论》

          《微积分五讲》龚升
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