直积与张量积的数学定义与物理定义异同
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标题: 直积与张量积的数学定义与物理定义异同
作者: 萍踪浪迹 前言：此文修正了过去主帖的武断观点，并且将若干回帖合并，然后扩充成文。说数学定义与物理定义的异同，不是指数学上和物理上的定义之间有区别，而是数学家内部都有争议，物理学家内部也有类似争议。 直积的思想背景来自Descartes，因此被称为Descartes积（Cartesian product）。直积有时候称为“完全直积”，以区别于“离散直积”（就是直和）。因此有限个因子的直积就是离散积，因此也就是直和。直和只有在非 Abel范畴情形下才被称为“离散直积”。每个向量空间可以分解为一维子空间的直和。 张量积的定义有很多。 1）含单位元的结合交换环A上的两个幺模的张量积。若V_i，V_j是自由A模，e_i，e_j分别是V_i，V_j的基，那么（e_iⅹe_j）就是V_1与V_2的直积的基。如果V_i，V_j都是有限生成自由模，那么dim（V_iⅹV_j）= dimV_iXdimV_j。数域K上有限维向量空间就是有限生成模，所以就适用于这种情形。物理中经常用到的张量积也是这样定义的。我们可以把两个张量积的概念推广到多个甚至无限个的情形。 2）与上面定义相关的还有两个矩阵A与B的张量积，也称为Kronecker积。如果A的矩阵元为a_ij，B的矩阵元为b_mn，那么A与B的张量积的元素就是a_ij与b_mn分别相乘，形成的矩阵的行数就是im，列数就是jn。如果我们把矩阵A看为ij维空间，把矩阵B看成mn维空间，那么矩阵A与B的张量积就是ijmn维空间，与第一种定义是对应的。 3）（拓扑空间上）向量丛的张量积。各个向量丛的转移函数的矩阵张量积（Kronecker积）就是向量丛张量积的转移函数。 4）含幺结合单位环上的代数的张量积，这个与物理学的关系不算很大，因此不是我们关心的，暂时不谈论。 5）群表示的张量积。与拓扑群表示论密切相关，虽然拓扑群表示论与量子场论的关系很密切，但是这个不是这篇文章的主题，所以也不是我们现在要讨论的。 我们从上面的定义中可以看出，虽然张量积种类多种，但是前三种张量积基本上可以视为同一本质，都与直积严格区分。张量积与直积的区别是明显的。至少数学中的张量积与直积基本上（不完全）是泾渭分明的。 数学上基本上按照这些定义来区分张量积和直积。但是一些物理教科书和一些物理文献将直和与直积这两个“基本”上相同的概念作为两个完全不同的概念，前者对应了数学上的直和即离散直积，后者对应了数学上的张量积。马中骐教授的《物理学中的群论》的第一章的最后一节和喀兴林教授的《高等量子力学》的第一章最后一节，在讨论了矢量空间的直和与直积就是用了这种“约定”，将直和与直积区分，前者是数学上的直和(离散直积)，后者是数学上的张量积。与此相类似的一些物理教科书上的这种约定使很多人尤其使学习物理的人产生了种种疑惑，例如看到两个空间的直积，就想到维数一定是这两个空间的乘积，而实际上维数应该使相加。 直积和直和在特定情况下的等价性，很多物理书没有提及，但是不妨碍这个事实成立。或许物理学家认为直接把矩阵元或者线性空间基底逐个相乘得出新空间,就是“直积”，直接把各个空间的基底个数相加后形成新空间坐标基，就是“直和”，这样理解是有道理的，但是不够规范。 虽然对于一部分物理学家，直积的概念不对应Descartes积，从而直接以直积作为张量积的代名词。但是并非所有物理学家都这样，甚至可以说只有少数物理学家遵循这样的约定俗成。 例如，我们可以在理论物理文献中发现大量诸如AdS_5ⅹS^5的写法，就是表示5维反de Sitter空间与5维球面的“直积”，维数却是10维，而不是25维。这里用乘号表示就已经足以说明大量物理学家认为这是直积，我尚未看见有人把这里的乘号换成直和符号，虽然二者的定义在这种情况下是完全一样的（都是有限维）。导致这个符号偏好的原因很大一部分在于物理学家也非常明了此时这个情况是将空间作为集合来定义Descartes积，于是自然采用了乘号，也就强调了这个操作的“积性”而非“加性”，至于加性，体现在所谓的直和分解中，维数可以用子空间维数逐个相加。另外在弦论中，我们也经常看到Minkowski空间与额外维空间（如Calabi-Yau空间）的类似的乘积符号，来定义它们的直积。 上面的例子直接说明大部分物理学家与绝大部分数学家一样，认定直和与直积在离散意义下的等价性，大部分物理学家定义的直积不是数学上的张量积或Kronecker积。 虽然很多学物理的人对张量积感到陌生，但是张量积的源头就在于张量这个概念，物理味道很浓，因为这个可以从张量分析甚至最初等的曲面微分几何中的最简单张量——度量（度规）张量中得到来源，因此对于物理学家其实不算陌生概念。在我们非常熟悉的度规张量的构造中，就是直接将切矢量的基底逐个相乘后作为基底。 例如曲面情形，切空间就是切平面，两个线性无关的切矢量张成切平面，基底分别相乘，就形成2X2=4个新基底，在四维（3，1）伪Riemann空间，即 Lorentz流形的情形，就是四个线性无关的切矢量基张成四维切空间，基底分别相乘，即称为广义相对论中的4X4度规张量的基。这个构造方式的张量含义实在太明显了，因此称为“张量积”是顺理成章的。或者可以说，我们对切空间坐标基逐个取“并矢”，就构成新空间的坐标基，因此张量积的物理意义非常明显，至少对于学过相对论的人而言是这样。 在更抽象的整体微分几何中，必然讨论微分流形代数结构，也就必然要讨论张量积，就是多重线性代数而已，粗略说，定义方式类似于局部微分几何时度规张量的基底构造，以映射的观点定义Riemann曲率张量以及Ricci曲率张量。 综合上面所说，直和直积与张量积在数学与物理不同文献上的异同只是名称约定问题，不存在定义方式的问题。只要是维数直接相乘的，就是数学上的张量积，也是一些物理文献和著作上的“直积”；维数直接相加的，就是一些物理书上的“直和”，也就是数学上的直和即离散直积。大家注意各自的定义方式，各取约定就可以轻松避免不必要的混淆了。至于它们的严格定义，教科书上或者百科全书上已经说得很清楚，不用我们在劳作了。
老教授讲过的量子力学基本概念_理学_高等教育_教育专区
专题三 量子力学基本概念的 本质意义 一、量子力学中的几个重要和有质疑的概念 1、量子纠缠态（entangled state） ? 量子态可以用一个波函数（例： ? (r ) ）或一个态矢 （例： ? ）表示。 如果量子系统有多个自由度， 其量子态往往是各自由度波函数或态矢的乘积或叫直积 （direct product）. [例1]氢原子中，电子在三维空间中 运动，有三个自由度： ? (r ,? ,? ) ? Rnl (r )? lm (? )? m (? ) 计及电子自旋： ? ? 1? ? ? ?; ? 0? ? ? ? 0? ? ?? ? ? 1? ? ? 则其量子态用轨道态和自旋态的直积表示。例如轨道态 为 1s 态（n=1, l=0, m=0）,自旋向上，则其完整态为 ? 1 ? ? R10 ( r )? 00 (? )? 0 (? ) ? ? 1s ? ? ? 1s ? ? ? ? 1s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0? ? 0 ? [例2]：氦原子基态上的两个电子，其自旋态各有向 上 ? 与 向下 ? 两个，由电子（费米子）的统计 反对称性，符合要求的自旋态为： 1 ?自 旋 ? ? (1) ? ( 2) ? ? (1) ? ( 2) 2 1 ? ? (1) ? ? ( 2) ? ? (1) ? ? ( 2) 2 ? ? ? ? 这种不能表达成两个因子的直积，即不能写成量子 系统中各个子系统或各个自由度波函数或态矢量直 积的状态，就称为纠缠态。 又例如： （1）价键法，是纠缠态（（1）与（2）纠缠在一起）： ?? 1 2(1 ? S 2 ) ?? a (1)? b (2) ? ? b (1)? a (2)? （2）分子轨函法，是直积态，而不是纠缠态： 1 ?? a (1) ? ? b (1)??? a (2) ? ? b (2)? ?? 2(1 ? S ) 这等效于： ? (1) ? ? ( 2) 量子态的纠缠是量子系统内各 个子系统或各个自由度之间的关联 的反映。经典系统也有关联，这关 联反映在概率不相乘上；而量子态 的纠缠却反映在概率幅的不相乘上。 概率幅的叠加表现出量子力学特有 的干涉现象。 2、薛定谔猫态 1935年，薛定谔提出 盖革 一个佯谬，向量子力学的诠 计数器 释提出质疑。设想一个小室 传动 中，有一只猫，一个氢氰酸 装置 小瓶，一个放射性原子，以 铁锤 及盖革计数器和传动装置。 设放射原子的半衰期为τ， 氰化氢 即经过时间τ后，该原子有 1/2的概率衰变掉。它衰变 时放出的射线被盖革计数器 接收放大后，产生一个脉冲， 触发传动装置把药瓶打破， 毒气放出，猫被毒死。 放射性 原子 设 0 和 1 分别表示原子发生衰变前、后的状态， 若只考虑原子本身，则经过时间τ后，原子所处的状 态为： 1 ? ? 2 (0 ? 1) 即猫处于一半概率活，一半概率死的（半死半活）状态。 确切地说，这时猫的死活与原子处在衰变前后的状态纠 缠在一起，即猫和原子处于下列纠缠态中： ? ? 1 2 (活 ? 0 ? 死 ? 1 ) 这结论听起来荒诞不经，但是如果猫也服从量子力学规 律的话，则别无选择。这就是“薛定谔猫佯谬”。其实， 经过时间τ之后，猫的死活已成为确定的事实，打开房 门一看便知。但是量子力学断言，在未打开门（这相当 于一次测量）之前，猫处于死与活的叠加态上。 对于薛定谔猫佯谬，过去为量子力学的辩解，寄托 在“量子力学不适用于猫这样的宏观物体”。但是，近 年来在介观尺度上实现了各种各样的“薛定谔猫态”。 当然，还都不是宏观尺度上的薛定谔猫态。 我们不禁要问： “宏观与微观的界限在哪？” “量子力学在什么地方开始失效？” 3、玻尔的“互补原理”与近年的“Which way 实验” 玻尔的“互补原理”： ——量子系统的行为既像粒子，又像波动。这取决于双缝衍射实 验的设置情况：你用哪条路检测器检测，电子就表现为“粒子”， 而你放弃哪条路检测，电子就表现为“波动”。 这实在有“观测创造现实之嫌”。 费曼说：“这是量子物理神秘性的核心。” 玻尔对此的解释，借助了海森伯不确定原理，认为对微观客体 的测量，必然带来不可控制的动量和能量的干扰。 检测器 近年来的“Which way实验”表明，哪条路检测 的退相干作用，主要来自它与被测客体量子态的纠缠。 而传统看法中的测量对动量-能量的干扰并不存在。 设两条路的分波分别为 ? 1 和? 2 ，检测哪条路的仪 器和环境的量子态为 D1 和 D2 。 （1）若没有安置哪条路检测器，则 D1 ? D2 ? D , D1 D2 ? D D ? 1 ? 0 ? ( ? 1 ? e i? ? 2 ) ? D , ? 0 ? 0 ? ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 2 ? e i? ? 1 ? 2 D1 D2 ? e ? i? ? 2 ? 1 D2 D1 ? ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 2 ? 2 Re( e i? ? 1 ? 2 ). 显然， ? 0 是直积态，不是纠缠态。 而粒子的概率分布 ? 0 ? 0 存在干涉项。 （2）启动哪条路检测器，则有 D1 ? D2 , 二 者 正 交 ： 1 D2 ? 0 D ? ? ? 1 ? D1 ? e i? ? 2 ? D2 , ? ? ? ?1 ?1 ? ? 2 ? 2 . 可见， ? 是纠缠态。 而粒子的概率分布 ? ? 不再存在干涉项。 结论：检测哪条路与干涉条纹是相互排斥的。 “干涉二象性”完全是量子态纠缠的结果。 检测器 中国科学技术大学的张永德说：“正是对电子 哪条路位置的测量，造就了电子的“粒子”面貌！事 实是，在位置测量之前，电子并不一定以“粒子”的 形象早就客观地存在着。正是这测量对电子的干扰， 使本来从两条缝“同时”穿过的电子状态发生了突变， 突然变为只从一条缝穿过的状态。 状态的突变过程也称为“坍缩”过程，是一个 极其复杂深邃的尚未了解的过程。表观上表现出的粒 子态的突变，本质上是系统所处时空的坍缩。 事实上，电子既不是经典的粒子，也不是经典的 波。电子就是电子本身！在双缝实验中，可以明确地 说，电子是以其“自身独特”的方式，“同时”穿过 两条缝的。” 曾谨言在“光子的偏振态的叠加”一节中说：“当 α=45°情况，在晶片后，有时观测到一个整光子（能量 与入射光子相同，但是偏振方向改变了）；而有时则什 么也观测不到（从来没有观测到“半个光子”通过晶 片）。在量子力学中，对于一个光子，究竟是通过晶片 还是被吸收，只给出概率性的回答。至于在通过晶片过 程中，一个光子究竟怎样改变了偏振态，现在的量子力 学还无法回答。 量子力学中态的叠加，是指光子两个态的叠加，而 干涉是自己与自己干涉，决不是两个光子相互干涉。双 缝干涉中，是光子自己与自己干涉。 事实上，量子力学中，干涉的并非粒子本身，而只 是概率波幅。” 4、EPR佯谬与Bell不等式 1933年，爱因斯坦和波多尔斯基（Podolsky）、罗森 （Rosen）合作提出著名的EPR佯谬，用悖论的方式挑 战量子力学。 他们认为：对于任何两个系统，即使曾为 复合体系的二子系，一旦类空分离后相互间就不可能发 生“超光速”的作用或联系，这就是爱因斯坦“可分隔 原则”或“定域性原则”。他们的挑战引出了大量“隐 变量理论”的研究，该理论支持EPR观点，认为量子力 学是不完备的。在标明系统状态的力学参量中，有一些 在量子力学中是隐藏而不出现的。例如，自旋状态，可 以用 S2 和 Sz 标明，则Sx ，Sy 就是不出现的“隐变量”。 1965年，贝尔（J.S.Bell）提出定理：“要构造一个定 域的、决定论的隐变量理论而且能够和所有的量子力学 预言相符合是不可能的。” 按定域性原则导出的二子系分离后关联函数所应满足 的条件就是贝尔不等式，而按照量子力学可精确计算出 关联函数，但与贝尔不等式冲突。 Aspect 等人曾作了被公认为精度最高的检验实验，排 除了各种各样的“定域实在论”。 贝尔定理证明了爱因斯坦的定域实在性理论与量子力 学是不相容的。 1993年，Bernett 等提出利用纠缠态远程传送量子态 信息的方案。 1997年后，很多研究组利用孪生光子对的偏振纠缠态 实验成功实现了量子态“非定域”远程传送。 需要说明的是，上述纠缠态的非定域超光速远程传 输实验，虽然突破了相对论的定域性原则，但已有实验 证明，并非真有粒子在二者之间超光速传递信息，那只 是二事件概率相关（纠缠）的量子效应。量子力学关联 （纠缠态）特性是建立在量子力学叠加原理之上的，通 过波函数产生关联。对一个粒子的测量，就从波函数中 析出了相关的部分（即波函数编缩），其中包含了另一 个粒子的信息。但是并非传递了什么信息。 二、一些基本的疑难问题 1、算符 （1）量子力学中的力学量为什么必须用算符表示？ （2）为什么时间不是算符？ （3）经过 Wick 转动，虚时间就与三维纯空间完全平权 完全对称，因此，虚时间也可以像空间那样算符化，即 在量子力学中虽然不存在实数时间算符，但是可能存在 “虚时间算符”。它的物理意义是什么？下一步的研究 可能有什么进展？ （3）为什么力学量用算符表示就称为“量子化”了？ 2、对易关系 （1）量子力学中，为什么会出现不对易的关系？ 例如 [ x , p x ] ? i? （2）量子力学对易关系如果反映了两个正则共 轭变量的乘法类似矩阵乘法的不可交换性，即二 量的不对称性和非线性相关性，那么为什么会存 在这样的不对称性和非线性相关性？ （3）对易关系与不确定原理为什么有关系？这 关系究竟反映了量子世界的什么规律？ 3、电子双缝衍射实验 （1）电子究竟从哪个缝过去的？ （2）为什么在某个缝探测到电子，就不再出现干涉图样？ 这波包坍缩的本质是什么？为什么现在的量子力学对此还 不能解释？为什么说它是时空的坍缩？ （3）为什么可以说电子是从两个缝同时过去的？它究竟 以什么形式过去的？ （4）微观量子为什么不可以形象化了？例如电子究竟长 什么模样？为什么由量子组成的宏观物体又有形象了？ （5）为什么量子不再有体积大小？为什么无穷个量子可 以占据同一个时空点？ （6）为什么必须把量子只看作一份能量或动量？
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